精品解析：江苏海安市紫石中学2026-2027学年第一学期第一次学研八年级数学

2026-2027学年第一学期第一次学研 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的判定，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可； 【详解】解：根据已知选项可知、、不是轴对称图形，是轴对称图形； 故选：． 2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 3. 如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（　　） A. 6cm B. 8cm C. 7cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质即可求出：AC＝BD＝7cm. 【详解】解：∵△ABC≌△DCB，AC＝7cm， ∴AC＝BD＝7cm． 故选C． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解决此题的关键. 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图形可知三角形的两边和夹边，于是根据即可画出一个与原来完全一样的三角形．此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：已知三角形的两角和夹边， ∴两个三角形全等的依据是， 故选：B． 5. 如图，图中含有三个正方形，则图中全等三角形共有多少对（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出，，，，，可得，，再根据全等三角形的判定，即可判断． 【详解】解：∵四边形，，都是正方形， ∴，，，，， ∴，，，，， ∴，， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴； 综上所述，图中全等三角形共有3对． 6. 如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形性质求出，再根据是的垂直平分线得出，求出，即可求出结论． 【详解】解：在等腰中，， ， 由题意得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ． 7. 如图，点P在内，点P关于的对称点分别为E，F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设交于点，交于点，点P关于的对称点分别为E，F，得到，根据四边形内角和即可求出答案． 【详解】解：设交于点，交于点， ∵点P在内，点P关于的对称点分别为E，F， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=( ). A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长． 【详解】解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG， ∵AD是△ABC的中线， ∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG， ∴△ADC≌△GDB（SAS）， ∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G， ∵EF=AF， ∴∠DAC=∠AEF， ∴∠G=∠AEF=∠BEG， ∴BE=BG=7.5， ∴6+AF=BG=7.5， ∴AF=1.5=EF， 故选择：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 9. 如图，在中，，沿将此三角形翻折，交于点，又沿再一次翻折，点落在上的点处，此时，则原三角形的的度数为  （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两次折叠性质可知，在和中，由三角形内角和定理、对称性及已知条件等角代换，列方程求出即可得到答案． 【详解】解：如图所示：     由题中两次折叠可知，， 在中，，则， 在中，， 与关于直线对称， ， 则， ，，， ，解得， 则． 10. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意证明，得到，，，可判断①，证明得到，，可判断②③，根据全等三角形的性质可得，，可判断④． 【详解】解：在中，为中线， ， ，， ， ， ， ，，，故①正确； ，，， ， ，即，， ，，故③正确； ， ，故②正确； ，， ，， ， ，故④正确； 综上，正确结论的序号有①②③④， 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，在中，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角以及三角形内角和定理，可得，接着利用平角求得，最后再次根据等边对等角以及三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12. 如图，已知，，下列条件中①，②，③，④能判定的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定定理，有四种．逐条验证即可． 【详解】解：在与中，已知，， ①添加，符合，能判定； ②由，得出，所以添加，符合，能判定； ③添加，符合，能判定； ④添加，不能判定， 故能判定的序号是①②③． 13. 如图，已知的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且△ABC的面积为13，则OD长为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F， ∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC， ∴， ∴， 即， 解得，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 14. 如图，已知，平分，且于点D，则________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，利用角平分线+垂直的条件证明，得，进而推出为面积的一半，即． 【详解】解：延长交于点． ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， ∴，． ∴​． 代入得． 15. 如图，四边形中，．若点B关于的对称点恰好落在上（不与点D重合），则__________度． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质，三线合一，直角三角形两锐角互余，解决问题的关键是作出正确的辅助线． 连接，过点A作于点E，根据题意可得垂直平分， 从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点A作于点E， ∵点B关于的对称点恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 【答案】 ①. ②. 2或5 【解析】 【分析】（1）根据对顶角相等、余角的性质即可得到结论； （2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE=AC=7，继而得出BE的长，从而得出答案． 【详解】解：（1）由对顶角的定义，则 ∠BCD=∠ECF=α， ∵∠ACB=90°，CD为AB边上的高， ∴∠CAB+∠CBD=90°，∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠CAB=∠BCD=α； 故答案为：α； （2）如图，当点E在射线BC上移动时， ∵∠A=∠BCD，∠BCD=∠ECF， ∴∠A=∠ECF， 在△CFE与△ABC中， ， ∴△CEF≌△ACB（AAS）， ∴CE=AC=7， ∴BE=BC+CE=10， ∴t=10÷2=5（s）； 当点E在射线CB上移动时， 同理△CF′E′≌△CBA（AAS）， ∴CE′=AC=7， ∴BE′=CE′-CB=4， ∴t=4÷2=2（s） 总之，当点E在射线CB上移动5s或2s时，CF=AB． 故答案为：2或5 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出； （2）画出与关于轴对称的，请直接写出点，的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求． （2） 如图所示，即为所求， ， （3） 【解析】 【分析】（1）先在坐标系中描出、、，然后顺次连接、、即可； （2）先根据关于轴对称的点的坐标特征描出、、关于轴对称的点、、，然后顺次连接、、，最后写出、的坐标即可； （3）根据的面积等于其所在的矩形面积减去周围三个三角形的面积求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：． 【点睛】本题主要考查了在坐标系中描点，画轴对称图形，坐标与图形—轴对称，三角形面积等等，熟知相关知识是解题的关键． 18. 已知：如图，点，，，在一条直线上，且，，．求证：． 【答案】 证明：， ， . 在和中， . 【解析】 【分析】利用“”即可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定定理．熟记定理内容是解题关键． 19. 如图，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连结与边交于点D，若点D恰为线段中点，求证：； 【答案】证明：如图，过点E作，交于点， 则，， ∵点D恰为线段中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】过点E作，交于点，则，，接着证明，推出，接着证明，得到，即可得证． 【详解】略 20. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与的边交于点D，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：垂直平分． 【答案】（1） 如图所示： （2） 证明：如图：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ， 又∵， ， 又∵，， ∴， ∴，即点D在的垂直平分线上， ∵， ∴点A在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据尺规作图作线段的垂直平分线，并按要求标注即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，从而得到、，可证，然后根据即可证明可得，即点D在的垂直平分线上；又，可得点A在的垂直平分线上；然后根据垂直平分线的判定定理即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，CF⊥BD于F. (1)求证：CF＝BE； (2)若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE. 【答案】 证明：(1)∵∠ABC＝90°，CF⊥BD，AE⊥BD， ∴∠ABE＋∠EBC＝90°＝∠EBC＋∠BCF， ∴∠ABE＝∠BCF. 又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝CB， ∴△ABE≌△BCF， ∴CF＝BE. (2)由(1)知△ABE≌△BCF， ∴BF＝AE，∠ABE＝∠BCF.又∵BD＝BF＋FD＝2AE， ∴BF＝DF. 又∵CF⊥BD于F，∴CB＝CD， ∴CF平分∠ACB. 又∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴AE∥CF，∴∠EAD＝∠ACF. ∵∠ABE＝∠BCF＝∠ACF， ∴∠EAD＝∠ABE. 【解析】 【详解】分析：（1）根据已知条件证明△ABE≌△BCF即可求证CF＝BE. （2）由（1）可知：∠ABE＝∠BCF，且AE∥CF所以∠EAD＝∠ACF，只需证明∠ABE＝∠BCF＝∠ACF即可证明出∠EAD＝∠ABE. 点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质；角平分线的性质.熟记性质是解答本题的关键. 22. 求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 【答案】将命题转化为几何语言如下： 如图，已知在和中，，，是边上的中线，是边上的中线，且． 求证：． 证明：∵是边上的中线，是边上的中线， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴ ． 【解析】 【分析】先将命题转化为几何语言，然后先证明，可得，再利用即可证明． 【详解】略 23. 如图，在中，是它的角平分线，求证：； （1）在图中完成上面的证明过程． （2）在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 【答案】（1） 证明：过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式即可证明； （2）过作于，于，由三角形面积公式可得到，再代入数据计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ， ，即． 解得． 24. 如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若四边形的面积为12，，求的长． 【答案】（1） 证明：在与中， ， ． （2） 如图所示： （3）3 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定方法，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）利用证明即可； （2）过点作于，根据全等三角形的性质，得到，利用面积公式推出，即可得证； （3）证明，，推出，进而得到的面积，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于， ， ，， 又，即， ， 又，， ， 平分． 【小问3详解】 在和中，， ， 同理：， ， ， 的面积， ， ， 解得：； 故答案为：3． 25. 【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 【答案】 （1）证明：是的垂直平分线， ， 在中，， ， ； （2）； （3）证明：在上截取，连接， 平分，， 又， ， ，， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出结论； （2）由三角形三边关系可得出，证出，则可得出结论； （3）在上截取，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期第一次学研 八年级数学 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 近年来，随着新一代信息技术的广泛应用，智慧城市建设进入崭新阶段．下列四个智能领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 3. 如图，△ABC≌△DCB，点A和点D是对应点，若AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝7cm，则DB的长为（　　） A. 6cm B. 8cm C. 7cm D. 5cm 4. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，图中含有三个正方形，则图中全等三角形共有多少对（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 如图，在等腰中，，分别以点A、点B为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点M和点N，连接，直线与交于点D，连接，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点P在内，点P关于的对称点分别为E，F，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF， BE=7.5， CF=6，则EF=( ). A. 2.5 B. 2 C. 1.5 D. 1 9. 如图，在中，，沿将此三角形翻折，交于点，又沿再一次翻折，点落在上的点处，此时，则原三角形的的度数为  （ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，为中线，过作，垂足为，过作，垂足为．在延长线上取一点，连接，使． 给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有（ ） A. ③④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共6小题，第11～12题每小题3分，第13～16题每小题4分，第16题每空2分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 如图，在中，，，则的度数为________． 12. 如图，已知，，下列条件中①，②，③，④能判定的序号是________． 13. 如图，已知的周长是13，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且△ABC的面积为13，则OD长为___________. 14. 如图，已知，平分，且于点D，则________． 15. 如图，四边形中，．若点B关于的对称点恰好落在上（不与点D重合），则__________度． 16. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=7cm，BC=3cm，CD为AB边上的高， （1）若∠ECF=α，则∠CAB=_____________ (用含α的代数式表示）； （2）点E从点B出发，在直线BC上以每秒2cm的速度移动，过点E 作 BC的垂线交直线CD 于点F，当点E运动_________ s时，CF=AB． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在平面直角坐标系中画出； （2）画出与关于轴对称的，请直接写出点，的坐标； （3）求出的面积． 18. 已知：如图，点，，，在一条直线上，且，，．求证：． 19. 如图，在中，已知，点E为边上一点，点F为边延长线上一点，连结与边交于点D，若点D恰为线段中点，求证：； 20. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，与的边交于点D，在上截取，连接（保留作图痕迹，不写作法）； （2）连接，求证：垂直平分． 21. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D是AC上一点，AE⊥BD，交BD的延长线于E，CF⊥BD于F. (1)求证：CF＝BE； (2)若BD＝2AE，求证：∠EAD＝∠ABE. 22. 求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三角形全等． 23. 如图，在中，是它的角平分线，求证：； （1）在图中完成上面的证明过程． （2）在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 24. 如图，在和中，，，，过作，垂足为，交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求证：平分； （3）若四边形的面积为12，，求的长． 25. 【问题回顾】我们知道：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）．其证明方法：如图1，在中，，作顶角的平分线，交边于点，利用“”可以证明，可得．其本质是利用了图形的轴对称性． 【类比探究】某数学兴趣小组在三角形“等角对等边”定理的基础上，提出猜想：在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”．转化成数学符号语言为： （1）已知：在中，． 求证：． 数学兴趣小组学生发现，该命题也可利用轴对称证明．作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（如图2），请你帮助数学兴趣小组完成证明． 【知识应用】 请利用在三角形中，大的内角所对的边也大，即“大角对大边”这一结论完成下列问题： （2）已知，中，，，且，则边的取值范围为______； （3）已知，如图3，在中，平分，点为边上任意一点（不与点，点重合），连接交于点． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $