专题02 三大补充定理与四心向量（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02 三大补充定理与四心向量 题型脑图核心考法搭建 奔驰定理1：核心题型之面积比 等和线3：二次型 奔驰定理2：外分点 等和线4：轨迹型 奔驰定理3：多“奔驰“点 四心向量：内心 极化恒等式1：数量积最值范围 三大补充定理与四心向量 四心向量：重心 极化恒等式2：求参及应用 四心向量：外心 等和线1：基本定理 四心向量：垂心 等和线2：压缩与拉伸比值换元型 考法深研·解题技能进阶 题型01奔驰定理1：核心题型之面积比 点方法技巧 核心定理：注意是内分点 mOA+sOB+tOC=0(内分点时，都是从O出发，则m,s,都是正数) (S=t:(2)So:SMco:SC8o=t:m SMBc m+s+t P为△ABC内-点，axPA+bxPB+cxPC=0,则Saac:SAPAC:SB=a:b:c. .=a.= b=c 重要结论：Sca+b+e,Sca+h+c'auea+b+C 结论1：对于△ABC内的任意一点P,若△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为S4、Sg、Sc,则： S4PA+Sa·PB+Se·PC=0 1,(25-26·山东泰安阶段检测)已知点P是△ABC所在平面内一点，3PA+4PB+AC=0,延长AP交BC 于D,则△ABP与APDC的面积之比为() A.5:2 B.1:4 C.5:8 D.4:1 2·(24-25高三·重庆南岸阶段检测)若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足4AM-AB-AC=0, 则△ABM与△ABC的面积之比为() A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.2:5 1/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(24-25上海浦东新阶段检测)已知点P为ABC内-点，PA+2PB+3PC=0,则△APB,△APC, △BPC的面积之比为() A.9:4:1 B.1:4:9 C.1:2:3 D.3:2:1 一2025天津模拟测试)已知点M是A4BC所在平面内一点，满足M-号AB+AC,则AMBM 4 △BCM的面积之比为 A.s 8 B3 C.3 0·3 题型02奔驰定理2：外分点 点方法技巧 奔驰定理外分点： 对于△ABC平面内的任意一点P,若点P在△ABC的外部，并且在∠BAC的内部或其对顶角的内部所在区 域时，则有-SAPc·PA+SPAC·PB+SpHB·PC=0. 普遍性结论： 对于AMBC所在平面内不在三角形边上的任一点P, PA+PB+PC=0,则△PBC、△PCA、△PAB的面积分别为H2H. 要注意： 奔驰定理三角形外点结论：即系数有负的 奔驰定理三角形外点结论：即系数有负的 1·(25-26·湖南郴州阶段检测)在△ABC所在平面上有一点P,满足PA+PB+PC=2AB,则△APC与 △ABC的面积比为() A习 1 B·3 2·(24-25·安微合肥期中)设O为△ABC所在平面内-点，满足20A-7OB-30C=0,则△ABC的面积 与△BOC的面积的比值为() A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 3.(24-25高三四川绵阳阶段检测)已知人MBD是等边三角形，且+)D=AC,CD-3那么四边形 ABCD的面积为 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C B·35 C·6N5 D.95 4.(2023秋江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习)在△ABC中，D是直线AB上的点若 S=(） 2BD=CB+AC:记△4CB的面积为S:A4CD的面积为s,则3 2 A·6 B.2 c. 题型03奔驰定理3：多“奔驰“点 点方佐技巧 奔驰定理思维： 若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之 比各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形 1,(24-25江苏单元测试)已知点A,B.C,P在同-平面内，P四=写PA,QR=0B,RP=RC 则SABC:SaPBC等于() C A.14:3 B.19:4 C.24:5 D.29:6 2.(2o25全国专酒练习)设pQ为。MBC内的两点且AP-号B+4C.40-+号4C,则 5 3 △ABP的面积与△ABO的面积之比为() A号 8 3 B·5 c D·10 3.24-25高三全国课后作)如图MN为AMBC内的两点，且M- 1 AB+AC 4 3 N-号B+号4C.测ABM与AMBN的面积之比为 5 2 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A B 4.（2026全国专题练习)已知P、Q为△MBC中不同的两点，且3PA+2PB+PC=0, OA+0B+0C=0,则SaS0为() A.1:2B.2:1c.2:3D.3:2 【答案】A 3P4+2PB+PC=2(PA+PB+P4+PC=0 【解析】因为 所以P在与BC平行的中位线上，且是 1 该中位线的的一个三等分点，可得 SAPAB= QA+QB+0C=0可得9是三角形ABC的重 1 1 心，因此 Ss0-3SMne S4B:S0=2.故选A 题型04极化恒等式1：数量积最值范围 点方法技巧 极化恒等式 (a+6=a2+2a6+6 (a-6}=a2-2a6+6 →a6-a+-a-] 在△ 中，是边 的中点，则 ABC D BC B.AC-AD-DB 几何意义： 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的"和对角线”与“差对角线” 平方差的 1.(2022北京统考高考真题)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且 PC=1,则PAPB的取值范围是() A.[-5,3] B.[-3,5] C.-6,4] D.[-4,6] 【答案】D 方法一 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P(cos,sin),表示出PA,PB,根据数量积的坐标表示、辅助 角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(0,0）,A(3,0),B(0,4), 4/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -2 因为PC=1,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动， 设P(cos0,sin0),0∈[0,2x] 所以PA=(3-cos0,-sin0)）.PB=(-cos6,4-sin0) P4.PB=(-cos0)x(3-cos0)+(4-sin0)x(-sin0) cos20-3cos0-4sin+sin20 =1-3cos0-4sin0 =1-5s如n(0+p）.其中sm0=号.cos0=号 因为-1≤sin(0+p)s1,所以-4≤1-5sin(0+p)s6,即PA.PB∈[-4,6]： 方法二：极化恒等式 的中点为M,连接CM则( 由极化恒等式可得： m丽-P-4-P- -1PM=水cM+1-子m.m=Pm--6 p.=M-1=m丽-p网-空 即PAPB∈[4,6]故选：D 2.(2023全国统考高考真题)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC·ED=（) A.5 B.3 C.25 D.5 【答案】B 【分析】方法一：以{AB,AD}为基底向量表示EC,ED,再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建 系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求Cs∠DEC,进而根据数量积的定义运算求 解， 【详解】方法一：以{AB,D}为基底向量，可知A@D=2,BD=0, RI EC-EB+BC-14B+AD,ED-EA+AD--14B+AD 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所xc而-}孤+而川}亚+而4花+而=-14=3 方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系， 则E(1,0),C(2,2),D(0,2),可得EC=(1,2),ED=（-1,2) 所以EC.ED=-1+4=3; 方法三：由题意可得：ED=EC=V5,CD=2 在CDE中，由余弦定理可得cos∠DBC=DE+CE-DC-5+5-43 2DE.CE 2x5x55 所以EC.ED=ECEDcos∠DBC=5x5x?-3 5 D E B 方法四：极化恒等式 设CD中点为O点，由极化恒等式可得： EC.ED-Eo-DC"-3 故选：B. 3.(2025全国模拟预测》若等边。4BC的边长为2，平面内-点M满足-0函+C,则M:M5 () A.5 13 B.9 e.- 4.(2025吉林长春模拟预测)在矩形ABCD中，AB=L,AD=2,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD 于E,则AE·AO=() 12 A·25 24 2 4 B·25 c.5 0.5 题型05极化恒等式2：求参及应用 点方法枝巧 平行四边形模式： 如图，平行四边形ABCD,O是对角线交点.则ABAD=ACP-BD] 6/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三角形模式： 如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则ABAC=ADP-BDP. (）推导过程：由.c-+aC列[（而-c可=0-{}函j-而-D (2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决 (3)记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差。 1·(23-24浙江杭州期中)正方形ABCD的边长为6点E.F分别在边AD,BC上，且DE=EA CF=2FB.如果对于常数九， 在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P,使得 PEPF=入成立，那么2的取值范围为() A（34 B.(-3,3) C·(3,12) 2.(25-26高三上海阶段检测) 已知平面直角坐标系中两个定点E(3,2),F(-3,2),如果对于常数元. 在函数y=x+2+x-24,x∈[4,4的图像上有且只有6个不同的点P, 使得PE.PF=入成立，那么λ 的取值范围是 c（g D.（-5,1) 3.(25-26高三全国一轮复习)在△ABC中，AC=2BC=4,∠ACB为钝角.MN是边AB上的两个动 3 点，且MN=1:若CM.CN的最小值为4，则∠B= 4.(25-26高三浙江阶段检测)在AABC中，AB=25,AC=210,∠BAC为钝角，P,Q是BC边上 的两个动点，且P?=2,若AP·AQ的最小值为3，则cos∠BAC=」 题型06等和线1：基本定理 方法技巧 平面内一组基底OA,O丽及任-向量OP,OP=A01+uOB(2,4∈R),若点P在直线AB上或者在平 行于AB的直线上，则几+“=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为 等和线。 ①当等和线恰为直线AB时，k=1; 7/18 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②当等和线在0点和直线AB之间时，k∈(0，)： ③当直线4B在点O和等和线之间时，k∈，+)： ④当等和线过O点时，k=0: ⑤若两等和线关于0点对称，则定值k互为相反数； +u=k>0时，k=OP/ ⑥当 00长度比，期中Q赃基底所在直线上 B B 1已知在R△ABC中，A= 2·AB=3AC=4P为BC上任意一点（含B.C),以P为圆心，1为半 径作圆，Q为圆上任意一点，设A0=xAB+yAC,则x+y的最大值为 13 15 19 A.12 B.12 c品 0·12 C 及D.12 【详解】如图 C D 2.(2026高三哈尔滨模拟测试)在△MBC中，点D是线段BC上任意一点，且满足AD=3AP,若存在实 数m和n, 使得BP=mAB+nAC,则+F() 2 1 2 1 A.3 B.3 C.3 D.3 答案：C 解 BP=AP-AB=mAB+nAC 4P-(m+l)4B+nAC m+l+n= 1 P1m+n=?-1=一 所以 AD3,则 答案：C 3.(2025四川绵阳模拟检测)已知抛物线x=4y的焦点为R点C(0,-2) ,过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一 8/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 点，若CP=mCA+nCB 则m+n的最小值为() 1 1 2 3 4.3 B.2 C.3 D.4 答案：A CP CP m+n= 解：因CP=mCA+nCB.则"” m+n= CR, 当等和线相切于抛物线时 CR有最小值。 CP CS 过C作两等和线的垂线，垂足分别为T、S,则CRCT 由抛物线方程为=4y可得直线4B方程为x-少+1=0.广=2 2 故 切点为P2D.此时切线方程为x-y-1=0 CS=1 CT=3 CP CS 1 m+n= 则 CR CT 3 答案：A 4.(2025·全国·高三专题练习)已知△ABC的外接圆圆心为O,∠A=120°，若A0=xAB+yAC(x,yR ),则x+y的最小值为() 3 A. B C.2 D.2 B 0 I答案】D 【解析】设OA与BC交点为E,设OE=m,圆的半径为R,D为BC中点，如图所示： 则 ，设 ， 因为 三点共线，则 A0=-RAE R-m AE=AAB+uAC B,C,E 元+=1 R（九+u)=D 所以A0=xAB+yAC=。R(2AB+AC故x+y户R-m】 因为∠4=120°，则∠cOD=60所以lo0=Rcos60-R R之RD 则RmR故R-mPR 所以的最小值为2 2 2 x+y 9/18 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：D 题型07 等和线2：压缩与拉伸比值换元型 点方法技巧 OP=OA+4OB(2,u∈R)m2+tμ 形如 求 值或者范围一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构 造三角函数辅助角形式求最值 主要方法： 方法一：建系，三角换元， 方法二：逆向构造等和线 1.(2025·全国·高三专题练习)如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0，P为圆0上任一点，若 AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为（) 4 A3 B.2 c.3 D.1 【答案】A 【解析】 0 E 作BC的平行线与圆相交于点P,与直线AB相交于点E,与直线AC相交于点F, 设AP=元AE+4AF,则2+H=1, AEAF BC四设指CA,即ke0 .AE=kAB,AF=kAC.AP=AAE+HAF=akAB+uk AC .x=k,y=uk 2x+22(1+0k=2冰≤放选：A 10/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2025全国·高一专题练习)如图，点C是半径为6的扇形圆弧AB上一点，OAOB=-18,若 OC=xOA+yOB,则3x+2y的最大值为() A. 2V51 B.57 c.25 3 3 D.v51 3 【答案】c ∠AOB=120° 【解折]由OA.05=6×6cos∠4O6=-1g则ca∠408=号 所以∠A0B=120建立如图所示坐标系 则 ,设 2π A(6,0),B(-3,35) C(Geosa,6sina) 由oC=x0i+0i与(6cosa,6sna)=(60+33V)=6r-33N5y)化简得：x=5 -sina cosa sina 3 则3x+2y=3 -sina+cosa +2x26 3 3 兮sin(a+p)其中anp=3y5则当 sina+3cosa2 7 in(a+p)=1时，3x+2v最大，值为3故选g 3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O,P为圆O上任一点，若AP=xAB+yAC,则2x+2y的最 大值为() C 0 B 8 A·3 B.2 c青 D.1 4在矩形A8CD中B=14D=5P为矩形内-点，且4P= 2若AP=AB+uAD(元，ueR)则 +V34的最大值为() 11/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 A· 6+32 c.34g 4 D. 4 题型08 等和线3：二次型 点方法技巧 OP=2OA+uOB(2,4∈R) 元与4 形如 求关于 二次型值或者范围，有如下思维： (1)图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； (2)得到关于元，“的不等式中没有元·“，所以取t=几+”，建立入，“之间的关系； (3)用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式： (4)根据二次函数的最值及1的范围求出最值 1.(2025高三江苏苏州阶段练习)如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P是以A为圆心，AB为 半径的圆弧上的任意一点。设C-DE+4那.则广-}的最小值为 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，利用导数求解函数的最值问题；解题关键是能够通过建立平 面直角坐标系的方式将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数来确定最值取得的情况，属于难题. 2.(2025全国·高三专题练习)给定两个长度为1，且互相垂直的平面向量OA和OB,点C在以O为圆心、 OA为半径的劣弧AB上运动，若OC=xOA+yOB,其中x、y∈R,则x+-)'的最大值为 【答案】2 【分析】建系，根据平面向量的坐标运算可得OC=(x,y).根据三角函数的定义可设x=cos0, y-sin0.0e. π 结合同角三角关系以及正弦函数的性质分析运算。 【详解】如图，以O为坐标原点，OA为x轴正方向，OB为轴正方向建立平面直角坐标系 y个 0 A x 由题意可得0A=(1,0),0B=(0,1) 则OC=xOA+yO丽=(x,y),即点C为(x,y) 12/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为点C在以O为圆心的劣弧AB上运动， 所以类比三角中的平方关系”，可以设 =cos0 y=sin0,00 2) 则x2+(y-1)2=cos20+(sin0-1)=2-2sin0 又因为00引 则0≤sin0≤1 所以x2+(0y-l)2=2-2sin0的最大值是2，当且仅当0=0，即x=1,y=0时，取到最大值， 故答案为：2， 3.(24-25高三宁夏银川阶段练习)已知矩形ABCD的对角线交于点O,E为AO的中点，若 DE=1AB+HAD(几，4为实数)，则-=（) A 7 3-2W2 B c. 2 D.1+2 2 【答案】A 【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出入“即可. 【详解】解：如图 D E 在矩形1BCD中，D0=D1+DC).在aDM0中DE=(Di+D0) 2 4 4 4 4 2-2=19.1 16162 故选：A· 3 4.(24-25高三福建福州模拟测试)在△ABC中，点D满足BD=4BC,当E点在线段AD上移动时，若 AE=AB+uAC,则t=(2-1)+的最小值是() A.310 B.v82 9 D.41 10 4 8 【答案】c 4,3m 【分析】设正=mD(0≤m≤)，利用向量线性运算可得1- 4,利用二次函数求最值即可， 【详解】如图 13/18 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A 存在实数m使得花=mD0≤m≤到).D=B+8D=6+8C=+(aC-孤)-B+子4C =m 4 3m u= 4 8m-5+0 9 当m=5时，函数取得最小值10，故选：C 题型09等和线4：轨迹型 点方法枝巧 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标(x,),根据题意列出关于x,y的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程 xo=g(x) ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法， x.V 将=x代入f)=0 1. (2025高三上海专题练习)在平面直角坐标系X0y中，已知向虽a,6,团--1，a-6=0,点Q 满足0g=2(a+).曲线C={PoP=acos0+bsin6,0≤0≤2m.区域2={P0<r≤Pp≤R,r<R.若 C∩2为两段分离的曲线，则() A.1<r<R<3 B.I<r<3<R C.r≤1<R<3 D.1<r<3<R 2.(2026浙江温州模拟预测)设O为△MBC的内心，AB=6,AC=7,BC=8,动点P满足： OP=xOA+yOB+z0C,x∈[0，，y∈[0，]，z∈[0，，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为() A分 B.21 c.21 2 D.215 3.(24-25高三浙江绍兴阶段检测)已知平面向量a,6,c,d满足：1 aHbF-a-b=2,a-c=8若对满足条件 的任意c,|d-c的最小值恰为d-a设d=xa+yb,则x+2y的最大值为 4.(25-26高三湖北襄阳阶段检测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b.c,其中a=7 14/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2 ccos B=(3a-2b)cosC,B=2C,点O是△ABC的内心，动点M满足OM=xOA+yOC,其中x,y∈[0,1]，则 M的轨迹所覆盖的图形的面积为】 题型10四心向量：内心 点方法技巧 四心的向量统一形式：设X是△ABC内一点且mXA+nXB+pXC=0: 若X为内心，则m:n:p=a:b:c; SA:SB:Sc=a:b:c a.0A+b.0B+c.OC=0 1.(2025全国高三专题练习)已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=C,AC=b,BC=a若 aA+bB+clC=0,则I是△ABC的（) A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心 2.(2025四川成都阶段检测)在△ABC中，AB=3,BC=V7,AC=2,若点0为△ABC的内心，则A0.AC 的值为() A.3 B2 C:5-7 。月 【答案】c 【分村由余弦定理得o∠BC-分得到∠B4C=60,求得9 2, 进而求得。4BC内切圆半径 r 6V5 10+2V万， 得出A0=125 10+2√7，结合向量的数量积的运算公式，即可求解， 【详解】在△ABC中，由AB=3,BC=V7,AC=2,且点0为△4BC的内心可知，A0平分∠A, 设圆o交AC于点D根据余弦定理可得c0s∠BAC=4+97=} 2×3×22 所议c-0期以c-9所以a-子23✉9-9 1 2 22 2S 则aM8C内切圆半径r= a+b+c10+2√7 所以在 8in30=2rs12V5 A0D中，A0=y 10+2√万 10+2V7x2xcos30=5-V7 所以A0.AC=12V3 故选：C. 15/18 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025全国高三专题练习)已知在△ABC中，AB=BC=3,AC=4,设O是△ABC的内心，若 =m5+nC则外=() n A c .9 42O25全国高三专题练习引已知点0是ABC的内心若40-号B+片4C,则as∠BAC:{) 9 1 1 1 A·5 1 B6 C·8 D·9 题型11四心向量：重心 点方法技巧 重心四心的向量统-形式：设X是△ABC内一点且mXA+nXB+pXC=0: 若X为重心，则m:n:p=1:l:l: S4:Sg:Sc=1:1:1 0A+0B+0C=0 解决该类问题常用如下方法： (1)根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形； (2)利用向量，结合向量的数量积进行求解： (3)建立直角坐标系，利用坐标进行求解 1.(2025河北邢合阶段练习)过△ABC的重心G的直线1分别交线段AB,AC于点E,F,若 AE=AB,AF=4AC,则2九+4的最小值为（) A.1+22 3 B·3+2W2 c.2+22 3 D. 3 2.(2024,广东清远高二校考阶段练习)已知A4BC的重心为点G,点E为4C上一点，且满足AC=4AE ,记AB=a,AC=b,则EG=() A3a+2 e+ 1+1 1a+2 12 C2+12 D.2a+ 3.(2024山西朔州阶段练习·)在△ABC中，AB=a,AC=b,点D在边AC上，且满足CD=2DA,E为 16/18 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB中点，CE和BD交于点F,G是AABC的重心，则GF= (用a,b表示) 4.(2025高二课时练习)A是△BCD所在平面外一点，G是△BCD的重心，则AG= (AB+AC+AD). 题型12四心向量：外心心 点方法技巧 设X是△ABC内-点且mXA+nXB+pXC=0: 若X为外心，则 m:n:p=sin 2A:sin2B:sin 2C: S:S:Sc=sin2A:sin2B:sin 2C sin2A.04+sin 2B.0B+sin2C.OC=0 12025高三河南开封阶段练习到在锐角RC中m45 S若点o为。4BC的外心且 osBB+cosCC=mA0,则实数m的值为 sin C sin B 2024四川成都阶段练习)已知点O是△4BC的外心，AB=6,BC-?B =行.若BO=xBA+yBC 则3x+4y= 3.(2025湖北武汉阶段检测)△4BC中，AB=2,BC=2W6,AC=4,点0为△ABC的外心，若 AO=mAB+nAC,则实数m= 4025f百阶级习)已知4C内-点0是其外心血4320s4引 且A0=mAB+nAC 则m+n的最大值为 题型13四心向量：垂心 点方法技巧 四心的向量统一形式：设X是△ABC内一点且mXA+nXB+pXC=0: 若X为垂心，则m:n:p=tanA:tanB:tanC, S:S:Sc=tan A:tan B:tan C tan A.04+tan B.0B+tanC.OC=0 1.(2025全国高三专题练习)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的面积分 别记为S,、S,、S,则S0A+S,0B+S,0C=0.奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论，这个 定理对应的图形与“奔驰”轿车的log很相似，故形象地称其为奔驰定理”，如图，已知O是△ABC的垂心， 且OA+20B+40C=0,则cosB=() 17/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B c 2.(2025全国高三专题练习)奔驰定理：已知O是△ABC内的一点，若aBOC、△AOC、△AOB的面积分 别记为S、S,、S,则SOA+S,·0B+S,·0C=0.“奔驰定理"是平面向量中一个非常优美的结论.这个 定理对应的图形与“奔驰”轿车的l0g0很相似，故形象地称其为“奔驰定理”如图，已知O是△ABC的垂心， 且OA+20B+40C=0,则cosB=() B c 0. 3 3.(2024全国高三专题练习)在△ABC中，D为边BC上的一点，H为△ABC的垂心，AB·AC=2021,则 AD·AH=(） A.2019 B.2020 C.2021 D.2022 4.(2025·全国高三专题练习)若0是△ABC的垂心， ∠A= 3,.sin eoC+sinCeos BC=msin Bsin C40,则m=(） A·1 8.3 3 c·5 D. 2 Jieshu 18/18 专题02 三大补充定理与四心向量 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 奔驰定理1: 核心题型之面积比 核心定理：注意是内分点 为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 1．（25-26·山东泰安·阶段检测）已知点是所在平面内一点，，延长交于，则与的面积之比为（   ） A．5：2 B．1：4 C．5：8 D．4：1 【答案】C 【详解】因为，，所以， 解得因为共线，所以设 ，因为共线，所以设，且，因为，即，所以， 因为 共线，所以系数和为 1，即，解得，即， 即，所以， 因为，， 所以，解得，即，即， 所以，设，因为，所以 ， 因为，所以 ，因此， 则选项C正确. 2．（24-25高三·重庆南岸·阶段检测）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算可得为线段的中点，再结合三角形面积公式以及边长比例关系可得结果. 【详解】取的中点为，如下图所示： 易知，又可得； 因此可得，即三点共线，且为线段的中点， 所以；又，所以； 所以与的面积之比为. 故选：C 3．（24-25·上海浦东新·阶段检测）已知点P为ABC内一点，，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比 【详解】解：，，如图：    ， ， 、、三点共线，且，为三角形的中位线 而 ，，的面积之比等于 故选：． 【点睛】本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键 4．（2025·天津 模拟测试）已知点是所在平面内一点，满足，则与的面积之比为 A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】延长交于，利用三点共线可设，再利用三点共线可设，利用题设条件可计算的值，从而可计算所求面积之比. 【详解】 如图，延长交于，则， 因为三点共线，所以即， 所以，则，故且， 又，故，所以， 所以，所以，故选C. 【点睛】一般地，利用向量的线性运算可计算平面几何中线段的比值，从而得到相应的面积之比，在计算线段比值时，应利用基底法，把向量的关系转化为基底向量的系数关系，从而得到欲求的线段长度的比值. 题型02 奔驰定理2: 外分点 奔驰定理外分点： 对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 普遍性结论： 对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 要注意： 奔驰定理三角形外点结论:即系数有负的 奔驰定理三角形外点结论:即系数有负的 1．（25-26·湖南郴州·阶段检测）在所在平面上有一点，满足，则与的面积比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，结合平面向量的线性运算可得，则有并且方向一样，，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】解：，， 即，即，即， 并且方向一样，则，设和夹角为，则和的夹角也是， 则，， 所以.故选：B. 2．（24-25·安徽合肥·期中）设O为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点、、、，根据已知条件求出点的坐标，利用三角形的面积公式可求得结果. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设点、、， 则，，， 由可得，解得，， 所以，，，因此，. 故选：D. 3．（24-25高三·四川绵阳·阶段检测）已知是等边三角形，且,那么四边形ABCD的面积为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AD的中点为E，以为邻边作平行四边形AECB，画出对应的图形，利用E为中点，得到为平行四边形，再根据可得四边形为矩形，于是得到四边形ABCD为直角梯形，进而可得所求的面积． 【详解】取AD的中点E，以为邻边作平行四边形AECB，如图所示， 则有，又，∴，∴四边形为平行四边形， 又BE为等边的中线，∴，∴平行四边形BCDE是矩形，∴四边形ABCD是直角梯形． 又，∴， ∴四边形ABCD的面积为．故选A． 【点睛】解答本题的关键是对式子的理解，然后结合向量加法的平行四边形法则构造平行四边形，然后通过分析得到四边形ABCD的形状，体现了向量具有数和形的双重性质的特点，考查分析问题和解决问题的能力． 4.（2023秋·江苏南京·高三南京市第十三中学校考阶段练习）在中，是直线上的点.若，记的面积为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 依题意作上图，设 ，由条件 ， ∴ ， ，， ∴点D在AB的延长线上，并且 ， ∴  ，故选：D. . 题型03 奔驰定理3: 多“奔驰“点 奔驰定理思维： 若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 1．（24-25江苏·单元测试）已知点A，B，C，P在同一平面内，，，，则等于（    ） A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 【答案】B 【分析】先根据向量的线性运算得到，然后再利用奔驰定理即可求解. 【详解】由可得：, 整理可得：， 由可得，整理可得：， 所以，整理得：， 由奔驰定理可得：， 故选：. 2．（2025全国专题练习）设、为内的两点，且，，则的面积与的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出的面积与的面积之比，同理可得的面积与的面积之比，从而即可求得的面积与的面积之比． 【详解】解：设，， ，， 由平行四边形法则知， 的面积与的面积之比， 同理由，可得的面积与的面积之比为， 的面积与的面积之比为， 故选：D． 3．（24-25高三·全国·课后作业）如图，，为内的两点，且，，则与的面积之比为_______. 【答案】 【分析】设，，则，根据考查向量加法的平行四边法则，可知，再利用等面积法分别确定，，求解即可. 【详解】如图， 设，，则，连接，， 过点，点作的垂线，垂足分别为点，点， 由向量加法的平行四边形法则可知 又 同理可得∴.故答案为： 【点睛】本题考查向量加法的平行四边法则，等面积转化法，是解决本题的关键，属于较难的题. 4.（2026全国专题练习）已知P､Q为中不同的两点，且0， 0，则 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以 在与 平行的中位线上，且是该中位线的的一个三等分点，可得， 可得 是三角形 的重心，因此， ，故选A. 题型04 极化恒等式1:数量积最值范围 极化恒等式 在△中，是边的中点，则. 几何意义： 向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的． 1.（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 方法一 【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得； 【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 方法二：极化恒等式 记AB的中点为M，连接CM，则 由极化恒等式可得： 即故选：D 2.（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 方法四：极化恒等式 设CD中点为O点，由极化恒等式可得： 故选：B. 3.（2025全国模拟预测）若等边的边长为2，平面内一点满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理完成向量的分解与合成，再利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】， ， . 故选：C. 4.（2025吉林长春·模拟预测）在矩形中，与相交于点，过点作于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立直角坐标系，设，由和可列方程求出点E，再根据数量积坐标运算即可求解. 【详解】建立如图所示直角坐标系：   则，设，则 且，，解得，， 在矩形中，为的中点，所以，由，所以， ，故选：D. 题型05 极化恒等式2: 求参及应用 平行四边形模式： 如图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则·＝[|AC|2－|BD|2]． 三角形模式： 如图，在△ABC中，设D为BC的中点，则·＝|AD|2－|BD|2． （1）推导过程：由. （2）三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． （3）记忆规律：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 1．（23-24·浙江杭州·期中）正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且，.如果对于常数，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得成立，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，由点在不同的边上求出的表达式，分类讨论利用向量数量积的坐标表示及二次函数的性质，得出有一解，有两解的情况，即可得的取值范围. 【详解】以为轴，以为轴建立平面直角坐标系，如图， 则， ，  若在上，设，， 则，，∴，∵， ∴．∴当时有一解，当时有两解；若在上，设，， 则，，∴，∵， ∴，当或，有一解，当时有两解； 若在上，设，，则，，∴， ∵，∴，∴当时有一解，当时有两解； ④若在上，设，，则，， ∴，∵，∴， ∴当或时有一解，当时有两解； 综上，若在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，则． 故选：D. 2．（25-26高三上海·阶段检测）已知平面直角坐标系中两个定点，，如果对于常数，在函数，的图像上有且只有6个不同的点，使得成立，那么的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围． 【详解】函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4 ， （1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2． ∴（3﹣x，6+2x），（﹣3﹣x，6+2x）． ∴x2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27=， ∵x∈[﹣4，﹣2]，∴λ≤11． ∴当λ或时有一解，当λ≤-1时有两解； （2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2． ∴（3﹣x，2），（﹣3﹣x，2）． ∴x2﹣9+4＝x2﹣5， ∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1． ∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解； （3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4． （3﹣x，6﹣2x），（﹣3﹣x，6﹣2x）， ∴x2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27， ∵2＜x≤4，∴λ≤11． ∴当λ或时有一解，当λ<-1时有两解； 综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是λ＜﹣1． 故选C． 【点睛】本题考查平面向量的数量积的坐标运算，二次函数的根的个数判断，注意运用分类讨论的思想方法，属于中档题． 3．（25-26高三·全国·一轮复习）在中，为钝角，M，N是边上的两个动点，且，若的最小值为，则_____________． 【答案】 【分析】取的中点P得，，，再将、用向量表示并结合的最小值为得，即C到直线的距离为，再根据几何关系即可求得. 【详解】取的中点为P，连接，则，, 由极化恒等式得． 因为的最小值为，所以． 由平面几何知识知，当时，最小． 如图，作为垂足，则． 又，所以在中，． 故答案为：. 4．（25-26高三·浙江 阶段检测）在中，，，为钝角，P，Q是BC边上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____． 【答案】 【分析】取中点，再根据平面向量的线性运算即数量积运算化简可得，进而可得当时取最小值，再根据勾股定理与余弦定理求解即可. 【详解】取中点，则， 又的最小值为3，故，易知最小时且， 所以，，则， 所以.    故答案为： 题型06 等和线1：基本定理 平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。 ①当等和线恰为直线时，； ②当等和线在点和直线之间时，； ③当直线在点和等和线之间时，； ④当等和线过点时，； ⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数； ⑥当 1.已知在中，，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 如图:设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于,过A作,垂足为,然后根据向量知识将的最大值转化为的最大值来求, 【详解】如图: 设或的延长线交于D,过Q作//BC交AC或AC的延长线于,过圆上离BC最远点作切线与AB的延长线交于,与AC的延长线交于, 过A作,垂足为,交BC于K，此时圆P的圆心为,BC=5,,,其中,又,所以,当Q在BC的下方时, ; 当Q在BC上时,,当Q在BC的上方时,, 根据平面几何知识,可知当Q为、 D为K时，最大，所以x+y取最大， 所以：x+y的最大值为：．故选：C． 【点睛】 本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题. 2.（2026高三哈尔滨模拟测试）在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ） A. B. C. D. 答案：C ·解： ，则， 所以，则 答案：C 3.（2025四川绵阳模拟检测）已知抛物线的焦点为F，点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于AB两点，点P为抛物线上任意一点，若，则m+n的最小值为（ ） A. B. C. D. 答案：A 解：因，则，当等和线相切于抛物线时有最小值，过C作两等和线的垂线，垂足分别为T、S，则 由抛物线方程为可得直线AB方程为，，故 切点为，此时切线方程为，， 则 答案：A 4.（2025·全国·高三专题练习）已知的外接圆圆心为，，若(，)，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】设与 交点为，设，圆的半径为，为中点，如图所示： 则，设，因为三点共线，则 所以，故 因为，则所以 则 ，故 所以的最小值为2 故选：D 题型07 等和线2：压缩与拉伸比值换元型 形如，求值或者范围.一般动点多在圆上，则可以通过三角换元，构造三角函数辅助角形式求最值 主要方法： 方法一：建系，三角换元； 方法二：逆向构造等和线 1.（2025·全国·高三专题练习）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则， ∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴ ∴故选：A. 2.（2025全国·高一专题练习）如图，点C是半径为6的扇形圆弧上一点，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由, 则，所以 建立如图所示坐标系， 则，设，， 由,化简得: ， 则 , 其中,则当时, 最大，值为故选：C 3.如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【解析】 【分析】 等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决. 【详解】 作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F， 设，则，∵BC//EF，∴设，则 ∴， ∴∴故选：A. 4.在矩形ABCD中，，，P为矩形内一点，且若，则的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 可根据条件画出图形，根据图形设，且，则又可用表示为：所以根据平面向量基本定理得到：，所以，最大值为1，所以的最大值为． 【详解】 如图，设，， 则：； 又；；； 的最大值为．故选B． 题型08 等和线3：二次型 形如，求关于二次型值或者范围，有如下思维： （1）图形比较规则，建立直角坐标系来解决向量问题； （2）得到关于的不等式中没有，所以取，建立之间的关系； （3）用判别式求得的范围，化简所求式子至二次函数的形式； （4）根据二次函数的最值及的范围求出最值. 1.（2025高三·江苏苏州·阶段练习）如图，在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点，设，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，可得点轨迹，从而可设，；利用向量的坐标运算可构造方程求得，将所求式子整理为；令，；利用导数可求得当时，取得最小值，利用同角三角函数平方关系可构造方程求得，代入可求得最小值. 【详解】以为坐标原点可建立如下图所示的平面直角坐标系 设，则，，，， ，由题意可得，点轨迹方程为： 设，     由得：，解得： 设， 当时，；当时， 当时，取最小值         由得：即当，时，取最小值     即的最小值为本题正确结果： 【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，利用导数求解函数的最值问题；解题关键是能够通过建立平面直角坐标系的方式将问题转化为函数最值的求解，从而利用导数来确定最值取得的情况，属于难题. 2.（2025全国·高三专题练习）给定两个长度为，且互相垂直的平面向量和，点在以为圆心、为半径的劣弧上运动，若，其中、，则的最大值为 【答案】 【分析】建系，根据平面向量的坐标运算可得，根据三角函数的定义可设，，结合同角三角关系以及正弦函数的性质分析运算. 【详解】如图，以为坐标原点，为x轴正方向，为轴正方向建立平面直角坐标系， 由题意可得， 则，即点为， 因为点在以为圆心的劣弧上运动， 所以类比三角中的“平方关系”，可以设，， 则， 又因为，则， 所以的最大值是，当且仅当，即，时，取到最大值. 故答案为：2. 3.（24-25高三·宁夏银川·阶段练习）已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量运算的平行四边形法则求出即可． 【详解】解：如图 在矩形中，，在中，，，， ． 故选：A． 4.（24-25高三·福建福州·模拟测试）在△ABC中，点D满足BD＝BC，当E点在线段AD上移动时，若，则的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用向量线性运算可得，，利用二次函数求最值即可. 【详解】如图， 存在实数使得 ，， 所以，所以 ， 原式 ， 当时，函数取得最小值，故选：C 题型09 等和线4：轨迹型 向量型求动点轨迹： 利用向量几何意义与坐标运算，寻找转化为坐标。 ①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可； ②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程； ③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入. 1．（2025高三·上海·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知向量，，，，点Q满足，曲线，区域．若为两段分离的曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知设，，则，所以，由此得点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆，从而得，，得解. 【详解】解：设，，则，所以；， 则点轨迹为一个以为圆心，1为半径的单位圆， 表示区域为：以为圆心，内径为,外径为的圆环， 且 为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内，外两圆均相交. 又因为，所以所以. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中根据已知条件利用向量的几何特征建立适当的坐标系,分析出点的轨迹及表示的区域是解决本题的关键，属于中档题. 2．（2026·浙江温州·模拟预测）设O为的内心，，，，动点P满足：，，，，则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为（    ） A． B．21 C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意，结合向量加法的几何意义，可以得到点的轨迹所覆盖的平面区域，利用公式求得其面积. 【详解】如图所示，根据向量加法的几何意义可知， 点的轨迹所覆盖的平面区域为图中的三个平行四边形， 所以动点的轨迹所覆盖的平面区域等于△面积的倍， 由余弦定理得， 所以， 所以， 所以点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为， 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关平面向量的线性运算，三角形的面积公式，属于中档题目. 3．（24-25高三·浙江绍兴·阶段检测）已知平面向量满足：.若对满足条件的任意，的最小值恰为.设，则的最大值为_______________________. 【答案】 【解析】设，固定后，确定的，过点作的垂线，垂足为，则，故点在定直线上，故的最小值即为点到直线的距离，由此得．点的轨迹为以点为焦点，准线为的抛物线．建立如图直角坐标系得抛物线的标准方程，同时得出的坐标，取的中点，平行于直线作抛物线的切线，切点分别为，切线交轴于点，由向量的运算有，因此当点与点重合时，有最大值，最大值为.求出切线方程后可得． 【详解】解：如图，设，由于，则 ，故．由于，过点作的垂线，垂足为，则，故点在定直线上. 故的最小值即为点到直线的距离.由此. 故点的轨迹为以点为焦点，准线为的抛物线．以的中点为原点建立直角坐标系，则抛物线的方程为，. 取的中点，平行于直线作抛物线的切线，切点分别为，切线交轴于点. 由于，即，故当点位于点时，有最大值，最大值为. 设抛物线上的点，该点处抛物线切线为.令，则，则切线，故点.从而. 故答案为：3． 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量的线性运算，解题关键是作在平面上作出固定的三点，然后根据数量积的定义得出点轨迹是一条直线，再根据抛物线定义得出点轨迹是抛物线，建立平面直角坐标系，得出抛物线标准方程，及坐标，特别是利用平行线性质，向量的线性运算的性质，取中点，作与平行的切线，切点为，当与重合时，取得最大值． 4．（25-26高三·湖北襄阳·阶段检测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，点O是的内心，动点M满足，其中，则M的轨迹所覆盖的图形的面积为__________ 【答案】 【分析】由三角形内角的性质、正弦边角关系及三角恒等变换化简条件得并求出其正弦值，再由和二倍角正余弦公式求，进而求得，应用正弦定理求其它两条边，设内切圆半径为，应用三角形面积公式及求，从而有，最后由向量的线性关系知点的轨迹所覆盖的图形是以与为邻边的平行四边形，即可求. 【详解】由题设及正弦边角关系，得， 所以，得， 由，则，且，则，， 所以，又， 所以，且， 由，， 由正弦定理，解得， 则， 设内切圆半径为，且， 则， 所以，结合，其中， 点的轨迹所覆盖的图形是以与为邻边的平行四边形，其面积是.    题型10 四心向量：内心 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为内心，则； 1.（2025·全国·高三专题练习）已知为所在平面上的一点，且.若，则是的（    ） A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 【答案】B 【分析】利用平面向量基本定理及向量数量积的运算可求得，由此可得点I在的平分线上，同理可得，点I在的平分线上，由三角形内心的性质可得选项. 【详解】因为，所以 ， 所以，所以， 所以在角A的平分线上，故点I在的平分线上， 同理可得，点I在的平分线上，故点I在的内心， 故选：B. 2.（2025·四川成都·阶段检测）在中，，若点为的内心，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦定理得，得到，求得，进而求得 内切圆半径，得出，结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】在中，由，且点为的内心可知，平分， 设圆交于点，根据余弦定理可得， 所以，所以，所以， 则 内切圆半径， 所以在中，， 所以 故选：C. 3.（2025全国·高三专题练习）已知在中，，，设是的内心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系，由内切圆的性质得出，再由得出. 【详解】以的中点为坐标原点，建立如下图所示的坐标系： 设的内切圆的半径为，则，解得 故，则 因为，所以，即，解得，故.故选：C 4.（2025全国·高三专题练习）已知点O是ABC的内心，若，则cos∠BAC = （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则四边形为菱形，设该菱形的边长为，则，表示出内切圆的半径，根据等积法可以求出的长，然后转化为等腰三角形处理即可 【详解】解：由，设，则四边形为平行四边形， 因为点O是ABC的内心，所以， 所以四边形为菱形，设该菱形的边长为，则， 因为∥，， 所以的内切圆半径， 所以， 所以，解得， 所以为等腰三角形，所以，故选：C 题型11 四心向量：重心 重心四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为重心，则； 解决该类问题常用如下方法： （1）根据条件，利用正、余弦定理直接解三角形； （2）利用向量，结合向量的数量积进行求解； （3）建立直角坐标系，利用坐标进行求解. 1.（2025·河北邢台阶段练习）过△的重心的直线分别交线段于点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用重心的性质及已知用表示出，再由共线得，最后应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取值条件. 【详解】如下图，若为中点，又△的重心，则共线，且， 而，又共线， 所以，即，则， 故， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A 2.（2024·广东清远·高二校考阶段练习）已知的重心为点，点为上一点，且满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意推出以及，根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】由题意的重心为点，点为上一点，且满足， 则，    设D为的中点，则， 故， 故选：A 3.（2024·山西朔州阶段练习· ）在 ABC中，，点D在边AC上，且满足，E为AB中点，CE和BD交于点F，G是 ABC的重心，则= （用表示） 【答案】 【分析】根据C，F，E共线，设，用表示，同理由B，F，D共线，设，用表示，利用向量相等，求得，再根据G为重心，得到，由求解. 【详解】解：如图所示： 因为C，F，E共线，设，则，所以， 因为B，F，D共线，设，则，所以， 所以，则，解得，所以， 又因为G为重心，所以，所以， 即，故答案为；. 4.（2025·高二课时练习）是所在平面外一点，G是的重心，则 ． 【答案】 【分析】由题知，进而，即可得答案. 【详解】解：如图，设为边中点，则， 因为是的重心，所以， 所以， 所以， 所以.故答案为： 题型12 四心向量：外心心 设是内一点且； 若为外心，则 ； 1.（2025·高三河南开封阶段练习）在锐角中，，若点为的外心，且，则实数的值为 【答案】 【分析】设外接圆的半径为，从而化简可得，结合二倍角公式可得，从而解得答案． 【详解】设的外接圆的半径为，  若， ，，，， 即，由于二倍角公式可得 即，故， 故，故．故且即， 由于为锐角，所以，即，故答案为： 2.（2024·四川成都阶段练习）已知点O是△ABC的外心， ，若，则 ． 【答案】7 【分析】根据为的外心，可得出，而同理可求出，这样在两边分别乘以进行数量积的运算，可得出关于，的二元一次方程组，解出即可． 【详解】如图，    ，，，且， ，，， ，，整理得，，． 故答案为：7 3.（2025·湖北武汉·阶段检测）中，，，，点为的外心，若，则实数 ． 【答案】/ 【分析】根据外心及数量积的运算性质可得、，从而可求的值. 【详解】由可得， 所以，，同理可得，， 故即，而，故为钝角. 如下图所示：取线段的中点，连接，由垂径定理可得， 则，同理可得， 因为，则； ，即，故 故答案为：. 4.（2025·广西·阶段练习）已知内一点是其外心，，且，则的最大值为 ． 【答案】/0.75 【分析】延长交于，令结合向量共线的推论得到，数形结合判断取最大值时的形状，进而求其最大值. 【详解】如图所示，延长交于，   令，∵，，三点共线， ∴，∴取最大值时，取最大值，则，∵为外接圆的半径（定值）， ∴当取得最小时，取最大值，此时，∴为等腰三角形，且， ∴，则，，，∵，， ∴．故答案为： 题型13 四心向量：垂心 四心的向量统一形式：设是内一点且； 若为垂心，则. 1.（2025·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ，同理可得，∴：，又，∴， 又，∴， 不妨设，其中， ∵，∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得.故选：A. 2.（2025·全国·高三专题练习）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由O是垂心，可得，结合可得，根据三角形内角和为π，结合正切的和差角公式即可求解. 【详解】∵是的垂心，延长交与点， ∴ ， 同理可得，∴：， 又， ∴， 又， ∴， 不妨设，其中， ∵， ∴，解得或， 当时，此时，则都是钝角，则，矛盾. 故，则，∴是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 3.（2024·全国·高三专题练习）在中，D为边BC上的一点，H为的垂心，，则（    ） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】C 【分析】令BC，AB边上的高分别为AE，CF，利用向量共线及向量数量积可得， 再借助面积法及正弦定理计算可得即可得解. 【详解】设BC，AB边上的高分别为AE，CF，则AE与CF交点为H，如图， 由B，C，D三点共线可得：，于是有， 则 ， 在中，，则， 在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理有，于是得， 因此，， 所以2021故选：C 4.（2025·全国·高三专题练习）若是的垂心，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值. 【详解】在中，，由， 得，连接并延长交于， 因为是的垂心，所以，，所以 同乘以得， 因为，所以， 由正弦定理可得又，所以有， 而，所以， 所以得到，而，所以得到，故选：C. 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