专题02 构造模型解抽象函数（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“构造模型解抽象函数”专题，系统涵盖线性、幂函数、指数函数、对数函数、三角、分式等六大类抽象函数模型，包含13个细分题型的模型特征、解题策略及典型例题。 清单通过模型类型分级呈现知识体系，如线性模型细分为基础、平移、二次幂等子题型，结合变量赋值、性质应用等解题技巧，培养数学抽象与逻辑推理素养。例题标注考频与易错点，如三角模型中正弦与余弦模型对比分析，助力学生高效自主复习，教师可据此优化教学策略提升备考针对性。

专题02 构造模型解抽象函数 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 线性抽象模型1：线性基础 解决抽象函数的求解优先策略： 1.联系函数模型：化抽象为具体 2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。 3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性 4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来求解。 抽象函数模型，线性模型，特征就是符合直线的：可累加型。 过原点型： --过原点直线型f（x）=kx 1．（23-24高三·全国·阶段检测）若且函数在上单调，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·山东德州·阶段检测）已知连续函数对任意实数恒有，当时，则以下说法中不正确的是（    ） A． B．是上的奇函数 C．在上的最大值是8 D．在上递减 3．（22-23高三·全国坝·阶段检测）已知连续函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是(    ) ① ②是上的奇函数 ③在上的最大值是 ④不等式的解集为 A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 4．（23-24高三全国·模拟测试）已知是区间上的单调函数，且对满足，若，则的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 题型02 线性抽象模型2：线性平移 线性抽象函数上下平移型，不经过原点的直线模型： 1．（2025高三·全国·专题练习）若定义在上的函数满足：对于任意，有，且当时，在，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调递减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．单调性不确定 3．（24-25高二·全国·暑假作业）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 4．（2025·辽宁沈阳·阶段检测）若定义在上的函数满足：对于任意，有，且时，有，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为 A． B． C． D． 题型03 线性抽象模型3：二次幂模型 二次幂函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型 模型记忆分析：二次函数首先是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的和平方，即（x+y）2，则必然会有xy的项“增加出来”（要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2025·全国·阶段检测）定义在R上的函数对任意x，均满足，，则等于（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 题型04 线性抽象模型3：三次幂模型 一元三次模型： 模型特征：线性抽象+x2y+xy2型。 模型记忆分析：三次函数依旧是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的3次方，即（x+y）3，则必然会有x2y与xy2的项“增加出来”，但是这个抽象函数结构式xy对称性，所以增加出来的项的系数应该是一致的，所以前边x2y+xy2中，=（）要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 11．（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 2．（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 3．（2023·湖南永州·二模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7 C． D．对 4．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为奇函数 B． C． D．对，， 题型05 三大函数模型1：幂函数模型 满足，对应的是幂函数 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 2．（2016·河南商丘·三模）下列函数中，满足的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22高三上·甘肃天水·开学考试）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·河南·阶段检测）下列函数中，满足的单调递增函数是 A． B． C． D． 题型06 三大函数模型2：指数函数模型 满足，对应的是指数函数 1．（25-26高三·全国·阶段检测）对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 3．（23-24高三下·云南·阶段检测）函数对定义域内任意的，，都有，写出一个满足上述条件的函数___________. 4．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为______. 题型07 三大函数模型3：对数函数模型 满足，对应的是幂函数 1．（23-24高三·浙江阶段检测）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 2．（22-23高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三·全国·阶段检测）若函数对任意实数x和y均满足，且，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且函数满足，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 题型08 三角抽象模型1:正弦与双曲正弦模型 正弦与双曲正弦型： 1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 2．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 4．（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的一条对称轴是直线 C． D． 题型09 三角抽象模型2:余弦与双曲余弦模型 余弦与双曲余弦模型 1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（    ） A．-2 B． C．1 D．2 3．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 4．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．的图象关于点对称 题型10 三角抽象模型3:正切型 分式正切函数两角和公式型 1．（2025高三·全国·专题练习）下列指定的函数中，一定有的有（    ） A．指定的函数是奇函数； B．指定的函数满足：，都有； C．指定的函数满足：，都有且当时，； D．设，指定的函数满足：都有． 2．（多选）（22-23高三上·福建宁德·期末）已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称 题型11 分式抽象模型1：反比例型 1.（多选题）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 2.（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 3.（2024高三上·全国·竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（22-23高一上·浙江温州·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．为奇函数 B．是上的增函数 C． D．是周期函数 题型12 分式抽象模型2：对数复合型 对数反比例型： 1．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）定义在上的函数；当时，，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23高三上·山东·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型13 分式抽象模型3：齐次同除型构造 齐次同除构造型： 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意、，有，且当时，．当时，设，，则（    ） A．、大小无法确定 B． C． D． 2.（2025高三·全国·专题练习）设函数满足：对任意的正数，，，且，则______，______． 3.（23-24高一上·四川凉山·期中）已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是__________． ①； ②函数是奇函数； ③函数在上是减函数； ④不等式的解集为 4.（24-25高三 全国·阶段检测）已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立，数列满足（），且，则数列的通项公式_______． Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 构造模型解抽象函数 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 线性抽象模型1：线性基础 解决抽象函数的求解优先策略： 1.联系函数模型：化抽象为具体 2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。 3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性 4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来求解。 抽象函数模型，线性模型，特征就是符合直线的：可累加型。 过原点型： --过原点直线型f（x）=kx 1．（23-24高三·全国·阶段检测）若且函数在上单调，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集. 【详解】令，所以，所以， 令，所以， 所以且的定义域为关于原点对称， 所以是奇函数； 又因为且在上单调，所以在上单调递增； 又因为，所以， 所以不等式等价于， 又因为在上单调递增，所以， 故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难. 2．（24-25高三·山东德州·阶段检测）已知连续函数对任意实数恒有，当时，则以下说法中不正确的是（    ） A． B．是上的奇函数 C．在上的最大值是8 D．在上递减 【答案】C 【分析】令、及奇偶性定义判断A、B；令结合已知和单调性定义判断D；根据已知得，，结合单调性判断C. 【详解】A，对任意实数恒有，令，可得，正确； B，令，得，则，所以是奇函数，正确； D，令，则，当时， 所以，即，所以在均递减， 函数连续，所以在上递减，正确； C，由，得；令，得， 所以，，则，函数在上的最大值是6，错误； 故选：C 3．（22-23高三·全国坝·阶段检测）已知连续函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是(    ) ① ②是上的奇函数 ③在上的最大值是 ④不等式的解集为 A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】因为函数对任意实数恒有,当时,,,先证明其奇偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案.. 【详解】奇偶性证明: 令 令 即又 故是定义域为的奇函数 单调性证明: 任取且,则; 令 时, 时, 又 为奇函数 在上是减函数; 对于①,因为,故①正确; 对于②,因为是定义域为的奇函数,故②正确; 对于③,,可得令,可得,,, 在上是减函数 在上的最大值是,故③正确； 对于④, 不等式 即 则 在上是减函数,解得:或,故④错误. 故选:C． 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性和单调性,解函数不等式,解题关键是掌握判断奇偶性和单调性的方法,灵活使用赋值法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 4．（23-24高三全国·模拟测试）已知是区间上的单调函数，且对满足，若，则的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据可判断是单调递减函数，根据可得是奇函数，进而可通过赋值法求解最大值. 【详解】令，得,由于是单调函数，因此可得是区间上的单调递减，因此的最大值为， 再令,得,所以为奇函数，所以的最大值为， 令则，再令，则 故故选：C 题型02 线性抽象模型2：线性平移 线性抽象函数上下平移型，不经过原点的直线模型： 1．（2025高三·全国·专题练习）若定义在上的函数满足：对于任意，有，且当时，在，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用赋值法可求得，设，利用已知关系式可推导得到，知的单调性和最值点，由此可求得结果. 【详解】令，，解得：； 令，，， 设， 则； ，，， 在上单调递减，，， . 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调递减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 3．（24-25高二·全国·暑假作业）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 【答案】B 【分析】抽象函数问题，一般使用特殊函数法确定错误项，或赋值法研究性质即可.选项A求函数值，令；选项B求函数最值，先研究单调性，令，，构造；选项C研究函数对称性，证明； 选项D求解抽象不等式，变形为，用单调性解. 【详解】法一：令， 在上的最大值是，即B错误. 法二：由已知，对任意实数恒有. 对选项A，令，则，解得，，即A正确； 对选项B，令，， 则 ， 即， 当时，，， 即在定义域上单调递增. 由单调性可知，最大值为， 已知，得，则，即B项错误； 对选项C，由，得， 由，则， 故任意恒有， 所以图像关于中心对称，即C正确； 对选项D，由， 得 ， 则，即D正确； 故选：B. 4．（2025·辽宁沈阳·阶段检测）若定义在上的函数满足：对于任意，有，且时，有，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：令，依题意，所以，令，依题意，所以，令，则 ，根据题意有，即，即，所以为减函数，故最值在区间端点取得，所以． 考点：抽象函数判断单调性、奇偶性． 题型03 线性抽象模型3：二次幂模型 二次幂函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型 模型记忆分析：二次函数首先是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的和平方，即（x+y）2，则必然会有xy的项“增加出来”（要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项. 【详解】由题设， 令，则，且， 若，则，显然，A排除； 若，则，显然，B排除； 若，则，显然，C排除； 故选：D 2．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】在等式中，令可得， 令可得， 当时，总有，则， 所以，，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系. 3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论． 【详解】令，得； 令，，得； 令，得. 将以上三式相加得，即. 故选：A． 4．（2025·全国·阶段检测）定义在R上的函数对任意x，均满足，，则等于（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】令求出，再令，即可求出； 【详解】解：因为函数对任意x，均满足且，所以令，所以，令，，则 故选：D 题型04 线性抽象模型3：三次幂模型 一元三次模型： 模型特征：线性抽象+x2y+xy2型。 模型记忆分析：三次函数依旧是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的3次方，即（x+y）3，则必然会有x2y与xy2的项“增加出来”，但是这个抽象函数结构式xy对称性，所以增加出来的项的系数应该是一致的，所以前边x2y+xy2中，=（）要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 11．（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值；二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D选项处理过程中，对合理变形为，进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题. 2．（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 【答案】ABD 【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式. 【点睛】对于A：令得，所以，A正确； 对于B：令得，所以，B正确； 对于C：因为，所以，即， 所以为偶函数，由可得， 令得， 则，令，得， 所以，C错误； 对于D：因为，， 所以，且 所以，相加可得， 所以，则，D正确. 故选：ABD. 3．（2023·湖南永州·二模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7 C． D．对 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D. 【详解】由题意定义域为的函数满足 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，A正确； 由于，故，即， 则为偶函数，由可得， 由，令得， 故，令，则，B错误； 又， 则， 令，则， 由柯西方程知，，故， 则，由于，故， 即，则，C正确； 对 , 故，D正确， 故选：ACD 4．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为奇函数 B． C． D．对，， 【答案】ABC 【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法并对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D. 【详解】由题意定义域为的函数满足 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，A正确； 由于，故，即， 则为偶函数，由可得， 由，令得， 故，令，则，B正确； 又， 则， 令，则， 由柯西方程知，，故， 则，由于，故， 即，则，C正确； 对 , 故，D错误， 故选：ABC. 题型05 三大函数模型1：幂函数模型 满足，对应的是幂函数 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 2．（2016·河南商丘·三模）下列函数中，满足的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抽象函数和函数的单调性，对于本题可依据函数运算性质逐项检验，再分析其单调性即可判断. 【详解】对于A:；故A项不符合题意; 对于B,由于定义域分成两个部分,所以不是定义域上的单调递增函数；故B项不符合题意; 对于C:且为单调递增函数, 故C项符合题意; 对于D:. 故D项不符合题意. 故选：C. 3．（21-22高三上·甘肃天水·开学考试）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断各选项中函数的单调性，再根据解析式判断是否成立，即可知正确选项. 【详解】A：为单调增函数，，符合题设； B：为单调减函数，不合题设； C：为单调增函数，，不合题设； D：为单调增函数，在，不合题设； 故选：A 4．（24-25高三·河南·阶段检测）下列函数中，满足的单调递增函数是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，对于，有，满足，符合题意； 对于B，，为对数函数，不满足，不符合题意； 对于C，，为指数函数，不满足，不符合题意； 对于D，，为指数函数，不满足，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题． 题型06 三大函数模型2：指数函数模型 满足，对应的是指数函数 1．（25-26高三·全国·阶段检测）对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D. 【详解】令，有，且，得，A成立； 令，得，C成立； 不妨设，满足，则，B不成立； ，D成立． 故选：B． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高三下·云南·阶段检测）函数对定义域内任意的，，都有，写出一个满足上述条件的函数___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用指数的运算性质可知指数函数符合题意. 【详解】根据题意，且， 则，有，， 所以定义域内任意的，，都有， 所以指数函数符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为______. 【答案】 【分析】利用抽象函数关系式，可知常见函数类型中的指数函数符合题意. 【详解】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为. 故答案为：. 题型07 三大函数模型3：对数函数模型 满足，对应的是幂函数 1．（23-24高三·浙江阶段检测）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用赋值法分析求解. 【详解】因为， 令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故选：D. 2．（22-23高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由赋值法得，由函数的单调性转化后求解， 【详解】由于，令得，即， 则，由于，则， 即有， 由于对于，都有，则在上递减， 不等式即为. 则，解得或，即解集为. 故选：D 3．（24-25高三·全国·阶段检测）若函数对任意实数x和y均满足，且，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】结合，先求出，再由即可求解 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 4．（2025·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且函数满足，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得（16）（2），从而求得的值． 【详解】函数满足，且， （16）（4）（4）（2）（2）（2） ， 故选：C． 题型08 三角抽象模型1:正弦与双曲正弦模型 正弦与双曲正弦型： 1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【答案】C 【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可. 【详解】对A，令，则，得，故A错误； 对B，令，得， 由整理可得， 将变换为，则， 故，故，故是奇函数，故B错误； 对C，设，则， 且 ，故，则. 又，是奇函数，故是增函数，故C正确； 对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误. 故选：C 2．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】对于A，令，得，令，整理得到判定；对于B，先证明是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断. 【详解】对于A， 令，则，得， 令，得， 由整理可得， 由题干可知不恒为0，故， 即，故是奇函数，不是偶函数，A错误； 对于B，设，则， 则， 且， 故，则， 又，是奇函数，故是增函数， 由是增函数可得不是周期函数，故B错误； 对于C，时，，， ，，C错误； 对于D，时，， ，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可. 3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 4．（23-24高二下·浙江舟山·期末）已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的一条对称轴是直线 C． D． 【答案】D 【分析】令，可求得，令，可得，利用已知可得关于对称，可判断B；可求得函数的周期为6，关于对称，计算可判断AD；由题意可得在上单调递减，可判断C. 【详解】， 令，可得，解得； 令，，则， ∴，∴为奇函数； ∵的图像关于对称，, ∴关于对称，故B正确； ∴，∴， ∴，即的周期为6， ∵关于对称，可得关于对称 ∴，，，，， 所以，， 故A正确，D错误； ∵，又在上单调递增 ∴在上单调递减，所以，即，故C正确. 故选：D. 题型09 三角抽象模型2:余弦与双曲余弦模型 余弦与双曲余弦模型 1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断； 对于B，由，不妨令，即可判断； 对于C，令，通过换元即可判断； 对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断. 【详解】对于A，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故A正确； 对于B，由A可知，不妨令， 有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 所以偶函数，即为偶函数，故B正确； 对于C，令，有， 令，由，得， 所以当时，有，即当时，，故C正确； 对于D，若，令，有， 所以关于中心对称， 又为偶函数， 所以，所以是周期为4的周期函数， 又，， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】采用“赋值法”为突破口，确定的取值范围，可得答案. 【详解】令，则，解得或 令，则， 所以 故BCD皆有可能． 故选：A 3．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可. 【详解】A：在中， 令，得， 因为，所以，所以本选项不正确； B：函数的定义域为全体实数，由上可知，显然不符合，因此本选项不正确； C：在中， 令，得 ，或， 显然函数没有零点，故本选项不正确， D：在中， 令， 得，所以本选项正确， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用赋值法. 4．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】应用赋值法判断A选项，求出周期判断B选项，应用周期性结合特殊函数值判断C选项，反证法应用对称中心定义判断D选项. 【详解】令，则，，， 再令，则，为偶函数，A正确； 又令，则， 为周期是4的周期函数，B正确； ，C正确；若D正确，则，又为周期是4的周期函数， ，为奇函数，则与已知中“”矛盾，D错误. 故选:D. 题型10 三角抽象模型3:正切型 分式正切函数两角和公式型 1．（2025高三·全国·专题练习）下列指定的函数中，一定有的有（    ） A．指定的函数是奇函数； B．指定的函数满足：，都有； C．指定的函数满足：，都有且当时，； D．设，指定的函数满足：都有． 【答案】BD 【分析】利用赋值法，结合函数的定义域、奇函数的定义与性质构造方程求解． 【详解】解：对于：函数在处可能没有意义，所以错； 对于：令中，得，所以对； 对于：令，，所以或与题意不符 ，所以错． 对于：由所以对． 故选：． 2．（多选）（22-23高三上·福建宁德·期末）已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用赋值法能够确定选项ABD，利用函数的单调性可判断C. 【详解】由题知，令，，则有，当时，解得； 令，且在定义域内，则，则，即， 是奇函数，A正确； 由题知，= ，所以周期为，故B正确； 由，而，所以D选项错误； 关于C，对于任意，且， 有， 因为，，所以， 所以也即，所以在上单调递增； 且在时，；任取，且， 则，， 且， 所以，所以， 所以函数在上单调递增，所以在上是增函数，故C正确. 故选：ABC 题型11 分式抽象模型1：反比例型 1.（多选题）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】令，则，解得，故A正确； 因为，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 故，故B错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则， 令代换，则， 由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确； 因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误. 故选：AC 2.（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得，所以，又，故，由，取，，可得， 故选：D. 3.（2024高三上·全国·竞赛）已知是定义在上单调递增且图像连续不断的函数，且有，设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性的定义和性质以及利用反证法证明不等式，结合选项先证明，再根据，可得，构造函数，根据函数单调性即可得出结论. 【详解】得到， 因为单调递增，所以不恒等于，故， 因为在上单调递增，故， 若存在使得，则， 则恒等于1，与单调递增矛盾，故， ，若存在，使得 因为连续，，故存在，使得， 与上述矛盾，故, 对于本题，，当且仅当时取等， 因为单调递增，故不取等号，即 当时，有，即， 当时，令，, 因为单调递减，所以单调递增， 因为，所以，单调递增， 因为，， 所以，所以. 综上所述. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据选项先证明，构造函数，根据单调性得出结论. 4.（22-23高一上·浙江温州·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．为奇函数 B．是上的增函数 C． D．是周期函数 【答案】ABC 【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可 【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， ∴，令，则，所以，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于C：令，，因为 若,则,又为非常值函数故舍去， 所以，所以所以,故C正确: 对于B: 设任意的且 令所以，又因为为奇函数， 所以， 又因为当时，，所以，，, 即，所以是上的增函数,故B正确; 对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且, 所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误. 故选:ABC. 题型12 分式抽象模型2：对数复合型 对数反比例型： 1．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）定义在上的函数；当时，，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取，所以，利用单调性定义得函数在上为减函数，利用函数法则得，最后利用函数单调性比较大小即可. 【详解】取，则，所以， 设，则，所以， 所以，所以函数在上为减函数， 由，得， 由，所以， 因为，所以. 故选：A 2．（22-23高三上·山东·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，得，令，得，得为奇函数. 令，得，得函数在上单调递减，利用单调性将不等式化为，结合函数的定义域和可求出结果. 【详解】在中，令，得，得， 在中，令，得，即， 所以为奇函数，令，则，所以， 因为，所以，，所以， 因为， 所以，所以，，所以， 因为当时，恒成立，所以恒成立， 所以，即，所以函数在上单调递减， 由及函数的定义域可知，， 又由已知，可得，可得，由得，因为函数在上单调递减，所以， 所以，因为，，所以， 所以，所以，结合，可得. 故选：D 3．（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将，再用裂项相消法求的值. 【详解】∵函数满足对任意的且都有 ∴令，则， ∴ ∴ . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为： 4．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令代入，得到的奇偶性，令，可得，并结合题干可推得的单调性，再对、、进行变形，往中凑，最后再令，研究的单调性即可求解． 【详解】，，令，则，得， 令得，即函数是奇函数，下面判断函数的单调性，令，则，，所以， 所以，即，所以在单调递增， ，，， 构造函数，则，当时，，当时，， 所以在递增，在递减，则， 即，所以，又在单调递增， 所以，也即． 题型13 分式抽象模型3：齐次同除型构造 齐次同除构造型： 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意、，有，且当时，．当时，设，，则（    ） A．、大小无法确定 B． C． D． 【答案】B 【分析】由赋值法求出、的值，令，可判断出的奇偶性，令，讨论的单调性，结合函数单调性可判断、间的大小关系． 【详解】令，得，所以． 令得，所以． 令，得，则，所以，是偶函数， 所以． 令，则． 设，则，且，所以， 则，所以在上单调递增． 当时，，所以，即， 即，即， 故选：B． 2.（2025高三·全国·专题练习）设函数满足：对任意的正数，，，且，则______，______． 【答案】 2 10240 【分析】应用赋值法计算求解得出，再根据已知性质得出，再应用叠加法计算求解即可. 【详解】令，得，所以． 令，，得，所以． 令，，得，即． 所以． 所以． 故答案为：2；10240. 3.（23-24高一上·四川凉山·期中）已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是__________． ①； ②函数是奇函数； ③函数在上是减函数； ④不等式的解集为 【答案】①②③ 【分析】利用赋值法，即可判断①②；，令，得，即可判断③；若，得结合奇函数的性质确定在各区间的符号，解不等式即可判断④. 【详解】①：令，则， 令，则， 所以，故①正确； ②：令，则， 所以函数为奇函数，故②正确； ③：，且，令，则， 所以，又当时，则， 所以，故， 所以函数在上是减函数，故③正确； ④：若，则， 由性质（2）可得，得， 由②可知函数为奇函数，得，， 同理，当时，，当时，， 由，得或， 所以不等式的解集为，故④错误. 故选：①②③. 4.（24-25高三 全国·阶段检测）已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立，数列满足（），且，则数列的通项公式_______． 【答案】 【详解】试题分析：由于，则且，所以对于任意的，都有成立，令，则，所以，所以，所以是为首项，公差为的等差数列，所以，所以． 考点：抽象函数的应用；等差数列的通项公式． 【方法点晴】本题主要考查了数列的表示及抽象函数的性质，其中解答中涉及到抽象函数的赋值及应用，等差数列的概念及表示，等差数列的通项公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及构造思想的应用，解答中根据题设条件，化简得到数列是为首项，公差为的等差数列是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $