专题02 构造模型解抽象函数（培优题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单聚焦“构造模型解抽象函数”专题，系统涵盖线性、幂函数、指数函数、对数函数、三角、分式等六大类抽象函数模型，包含13个细分题型的模型特征、解题策略及典型例题。 清单通过模型类型分级呈现知识体系，如线性模型细分为基础、平移、二次幂等子题型，结合变量赋值、性质应用等解题技巧，培养数学抽象与逻辑推理素养。例题标注考频与易错点，如三角模型中正弦与余弦模型对比分析，助力学生高效自主复习，教师可据此优化教学策略提升备考针对性。

专题02 构造模型解抽象函数 题型脑图·核心考法搭建 考法深研·解题技能进阶 题型01 线性抽象模型1：线性基础 解决抽象函数的求解优先策略： 1.联系函数模型：化抽象为具体 2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。 3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性 4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来求解。 抽象函数模型，线性模型，特征就是符合直线的：可累加型。 过原点型： --过原点直线型f（x）=kx 1．（23-24高三·全国·阶段检测）若且函数在上单调，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件先分析出的奇偶性和单调性，然后根据条件将转化为（为实数），再根据单调性和奇偶性解不等式求出解集. 【详解】令，所以，所以， 令，所以， 所以且的定义域为关于原点对称， 所以是奇函数； 又因为且在上单调，所以在上单调递增； 又因为，所以， 所以不等式等价于， 又因为在上单调递增，所以， 故选：A. 【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的单调性和奇偶性判断、根据单调性解不等式，对学生的分析与转化问题的能力要求较高，难度较难. 2．（24-25高三·山东德州·阶段检测）已知连续函数对任意实数恒有，当时，则以下说法中不正确的是（    ） A． B．是上的奇函数 C．在上的最大值是8 D．在上递减 【答案】C 【分析】令、及奇偶性定义判断A、B；令结合已知和单调性定义判断D；根据已知得，，结合单调性判断C. 【详解】A，对任意实数恒有，令，可得，正确； B，令，得，则，所以是奇函数，正确； D，令，则，当时， 所以，即，所以在均递减， 函数连续，所以在上递减，正确； C，由，得；令，得， 所以，，则，函数在上的最大值是6，错误； 故选：C 3．（22-23高三·全国坝·阶段检测）已知连续函数对任意实数恒有,当时,,,则以下说法中正确的是(    ) ① ②是上的奇函数 ③在上的最大值是 ④不等式的解集为 A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】因为函数对任意实数恒有,当时,,,先证明其奇偶性和单调性,在逐项判断,即可求得答案.. 【详解】奇偶性证明: 令 令 即又 故是定义域为的奇函数 单调性证明: 任取且,则; 令 时, 时, 又 为奇函数 在上是减函数; 对于①,因为,故①正确; 对于②,因为是定义域为的奇函数,故②正确; 对于③,,可得令,可得,,, 在上是减函数 在上的最大值是,故③正确； 对于④, 不等式 即 则 在上是减函数,解得:或,故④错误. 故选:C． 【点睛】本题考查了判断抽象函数的奇偶性和单调性,解函数不等式,解题关键是掌握判断奇偶性和单调性的方法,灵活使用赋值法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 4．（23-24高三全国·模拟测试）已知是区间上的单调函数，且对满足，若，则的最大值为 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据可判断是单调递减函数，根据可得是奇函数，进而可通过赋值法求解最大值. 【详解】令，得,由于是单调函数，因此可得是区间上的单调递减，因此的最大值为， 再令,得,所以为奇函数，所以的最大值为， 令则，再令，则 故故选：C 题型02 线性抽象模型2：线性平移 线性抽象函数上下平移型，不经过原点的直线模型： 1．（2025高三·全国·专题练习）若定义在上的函数满足：对于任意，有，且当时，在，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用赋值法可求得，设，利用已知关系式可推导得到，知的单调性和最值点，由此可求得结果. 【详解】令，，解得：； 令，，， 设， 则； ，，， 在上单调递减，，， . 故选：B. 2．（23-24高一下·湖南·期中）定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调递减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．单调性不确定 【答案】B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 3．（24-25高二·全国·暑假作业）已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则下列结论错误的是（ ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 【答案】B 【分析】抽象函数问题，一般使用特殊函数法确定错误项，或赋值法研究性质即可.选项A求函数值，令；选项B求函数最值，先研究单调性，令，，构造；选项C研究函数对称性，证明； 选项D求解抽象不等式，变形为，用单调性解. 【详解】法一：令， 在上的最大值是，即B错误. 法二：由已知，对任意实数恒有. 对选项A，令，则，解得，，即A正确； 对选项B，令，， 则 ， 即， 当时，，， 即在定义域上单调递增. 由单调性可知，最大值为， 已知，得，则，即B项错误； 对选项C，由，得， 由，则， 故任意恒有， 所以图像关于中心对称，即C正确； 对选项D，由， 得 ， 则，即D正确； 故选：B. 4．（2025·辽宁沈阳·阶段检测）若定义在上的函数满足：对于任意，有，且时，有，设在上的最大值，最小值分别为，则的值为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：令，依题意，所以，令，依题意，所以，令，则 ，根据题意有，即，即，所以为减函数，故最值在区间端点取得，所以． 考点：抽象函数判断单调性、奇偶性． 题型03 线性抽象模型3：二次幂模型 二次幂函数型模型： 模型特征：线性抽象+xy型 模型记忆分析：二次函数首先是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的和平方，即（x+y）2，则必然会有xy的项“增加出来”（要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 1．（2025高三·全国·专题练习）已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项. 【详解】由题设， 令，则，且， 若，则，显然，A排除； 若，则，显然，B排除； 若，则，显然，C排除； 故选：D 2．（23-24高一上·浙江·期中）已知函数定义域为，满足，当时，总有，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在等式中，分别令、可得出、的关系式，再由，可得出，即可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【详解】在等式中，令可得， 令可得， 当时，总有，则， 所以，，解得， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查抽象函数求值，对自变量赋值是解题的关键，要注意所求函数值对应的自变量与所赋的自变量值之间的关系. 3．（23-24高三上·贵州遵义·阶段检测）已知函数满足，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】分别令，，得出与的关系后可得结论． 【详解】令，得； 令，，得； 令，得. 将以上三式相加得，即. 故选：A． 4．（2025·全国·阶段检测）定义在R上的函数对任意x，均满足，，则等于（    ） A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】D 【分析】令求出，再令，即可求出； 【详解】解：因为函数对任意x，均满足且，所以令，所以，令，，则 故选：D 题型04 线性抽象模型3：三次幂模型 一元三次模型： 模型特征：线性抽象+x2y+xy2型。 模型记忆分析：三次函数依旧是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的3次方，即（x+y）3，则必然会有x2y与xy2的项“增加出来”，但是这个抽象函数结构式xy对称性，所以增加出来的项的系数应该是一致的，所以前边x2y+xy2中，=（）要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 11．（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（    ） A．是奇函数 B．若，则 C．若，则为增函数 D．若，则为增函数 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：定义域为，关于原点对称； 对原式，令，可得，解得； 对原式，令，可得，即， 故是奇函数，A正确； 对B：对原式，令，可得， 又，则； 由A可知，为奇函数，故，故B正确； 对C：由A知，，又，对， 当时，；当时，； 故在时，不是单调增函数，故C错误； 对D： 在上任取，令， 则 ， 由题可知，又，故， 即，，故在上单调递增， 也即在上单调递增，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是合理的使用赋值法，对已知条件赋值，求得需要的函数值；二是对函数奇偶性和单调性定义的熟练掌握；三是在D选项处理过程中，对合理变形为，进而根据抽象函数满足的条件进行计算，属综合题. 2．（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A． B．为奇函数 C． D．设，则 【答案】ABD 【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式. 【点睛】对于A：令得，所以，A正确； 对于B：令得，所以，B正确； 对于C：因为，所以，即， 所以为偶函数，由可得， 令得， 则，令，得， 所以，C错误； 对于D：因为，， 所以，且 所以，相加可得， 所以，则，D正确. 故选：ABD. 3．（2023·湖南永州·二模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（    ） A．为奇函数 B．在处的切线斜率为7 C． D．对 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法结合对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D. 【详解】由题意定义域为的函数满足 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，A正确； 由于，故，即， 则为偶函数，由可得， 由，令得， 故，令，则，B错误； 又， 则， 令，则， 由柯西方程知，，故， 则，由于，故， 即，则，C正确； 对 , 故，D正确， 故选：ACD 4．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（      ） A．为奇函数 B． C． D．对，， 【答案】ABC 【分析】利用赋值法可判断A；利用赋值法并对函数求导，可判断B；将变形为形式，利用柯西方程可求得，代入求值，即可判断C；结合，利用作差法可判断D. 【详解】由题意定义域为的函数满足 令，则， 令，则，即， 故为奇函数，A正确； 由于，故，即， 则为偶函数，由可得， 由，令得， 故，令，则，B正确； 又， 则， 令，则， 由柯西方程知，，故， 则，由于，故， 即，则，C正确； 对 , 故，D错误， 故选：ABC. 题型05 三大函数模型1：幂函数模型 满足，对应的是幂函数 1．（25-26高三·全国·一轮复习）已知定义在R上的单调函数，满足，，，则下列说法不正确的是（ ） A． B．可能是单调递减函数 C．为奇函数 D．若，则 【答案】B 【分析】由单调函数性质，奇函数定义结合赋值法可判断各选项正误. 【详解】因为定义在R上的单调函数，则，时. 对于A，令，则或， 若，则对，取，都有，不满足单调函数性质， 故，故A正确； 对于B，令，则或 由，则舍去，得， 因，结合为定义在R上的单调函数，则只能是单调递增函数，故B错误； 对于C，令，则或（舍）， 则，取， 则，又定义域为R，则为奇函数，故C正确； 对于D，令，则， 令，则， 则，故D正确. 故选：B 2．（2016·河南商丘·三模）下列函数中，满足的单调递增函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抽象函数和函数的单调性，对于本题可依据函数运算性质逐项检验，再分析其单调性即可判断. 【详解】对于A:；故A项不符合题意; 对于B,由于定义域分成两个部分,所以不是定义域上的单调递增函数；故B项不符合题意; 对于C:且为单调递增函数, 故C项符合题意; 对于D:. 故D项不符合题意. 故选：C. 3．（21-22高三上·甘肃天水·开学考试）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断各选项中函数的单调性，再根据解析式判断是否成立，即可知正确选项. 【详解】A：为单调增函数，，符合题设； B：为单调减函数，不合题设； C：为单调增函数，，不合题设； D：为单调增函数，在，不合题设； 故选：A 4．（24-25高三·河南·阶段检测）下列函数中，满足的单调递增函数是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，对于，有，满足，符合题意； 对于B，，为对数函数，不满足，不符合题意； 对于C，，为指数函数，不满足，不符合题意； 对于D，，为指数函数，不满足，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查函数的值的计算，涉及函数单调性的判断，属于基础题． 题型06 三大函数模型2：指数函数模型 满足，对应的是指数函数 1．（25-26高三·全国·阶段检测）对于任意的，都有，且，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用赋值法计算判断A，C，应用 特殊函数计算判断B，多次应用已知条件计算判断D. 【详解】令，有，且，得，A成立； 令，得，C成立； 不妨设，满足，则，B不成立； ，D成立． 故选：B． 2．（25-26高一上·江苏南通·期末）写出一个满足的函数解析式__________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意考虑常数函数，或者指数函数即可. 【详解】由题意知， 当，时满足条件， 当，且时， 可得， 形如，或且均可. 故答案为：（答案不唯一） 3．（23-24高三下·云南·阶段检测）函数对定义域内任意的，，都有，写出一个满足上述条件的函数___________. 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用指数的运算性质可知指数函数符合题意. 【详解】根据题意，且， 则，有，， 所以定义域内任意的，，都有， 所以指数函数符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 4．（23-24高二上·辽宁·阶段检测）已知定义域为R的函数满足：①；②.则满足条件的的一个解析式为______. 【答案】 【分析】利用抽象函数关系式，可知常见函数类型中的指数函数符合题意. 【详解】由，可知符合该性质的函数可以为指数函数（且），又因为，解得，所以满足条件的的一个解析式为. 故答案为：. 题型07 三大函数模型3：对数函数模型 满足，对应的是幂函数 1．（23-24高三·浙江阶段检测）设函数的定义域为，，若，则等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用赋值法分析求解. 【详解】因为， 令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 故选：D. 2．（22-23高一上·河北衡水·期中）已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由赋值法得，由函数的单调性转化后求解， 【详解】由于，令得，即， 则，由于，则， 即有， 由于对于，都有，则在上递减， 不等式即为. 则，解得或，即解集为. 故选：D 3．（24-25高三·全国·阶段检测）若函数对任意实数x和y均满足，且，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】结合，先求出，再由即可求解 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D 4．（2025·全国·阶段检测）已知函数的定义域为，且函数满足，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得（16）（2），从而求得的值． 【详解】函数满足，且， （16）（4）（4）（2）（2）（2） ， 故选：C． 题型08 三角抽象模型1:正弦与双曲正弦模型 正弦与双曲正弦型： 1．（2024·广西南宁·一模）已知函数的定义域为，且当时，，则（    ） A． B．是偶函数 C．是增函数 D．是周期函数 【答案】C 【分析】对A，令求解即可；对B，令化简可得即可；对C，设，结合题意判断判断即可；对D，根据是增函数判断即可. 【详解】对A，令，则，得，故A错误； 对B，令，得， 由整理可得， 将变换为，则， 故，故，故是奇函数，故B错误； 对C，设，则， 且 ，故，则. 又，是奇函数，故是增函数，故C正确； 对D，由是增函数可得不是周期函数，故D错误. 故选：C 2．（24-25高三上·山东菏泽·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】对于A，令，得，令，整理得到判定；对于B，先证明是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断. 【详解】对于A， 令，则，得， 令，得， 由整理可得， 由题干可知不恒为0，故， 即，故是奇函数，不是偶函数，A错误； 对于B，设，则， 则， 且， 故，则， 又，是奇函数，故是增函数， 由是增函数可得不是周期函数，故B错误； 对于C，时，，， ，，C错误； 对于D，时，， ，，D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不断变换求解即可. 3．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 4．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知函数的定义域为，且当时，，则下列正确的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】对于A,令，得，令， 将变换为，得到判定；对于B，先证明 是增函数，可得不是周期函数判断；对于C，D运用单调性可判断. 【详解】对于A,令，则，得，令，得，由整理可得. 将变换为，则，故，故，故是奇函数，故A错误. 对于B，,设，则， 且 ，故，则. 又是奇函数，故是增函数，可得不是周期函数，故B错误. 对于C，时，故C错误； 对于D，时，.故D正确. 故选：D. 题型09 三角抽象模型2:余弦与双曲余弦模型 余弦与双曲余弦模型 1．（23-24高二下·辽宁大连·阶段练习）定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断； 对于B，由，不妨令，即可判断； 对于C，令，通过换元即可判断； 对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断. 【详解】对于A，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故A正确； 对于B，由A可知，不妨令， 有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 所以偶函数，即为偶函数，故B正确； 对于C，令，有， 令，由，得， 所以当时，有，即当时，，故C正确； 对于D，若，令，有， 所以关于中心对称， 又为偶函数， 所以，所以是周期为4的周期函数， 又，， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）函数的定义域为R，对于任意实数x，y，都有，则的值不可能是（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】采用“赋值法”为突破口，确定的取值范围，可得答案. 【详解】令，则，解得或 令，则， 所以 故BCD皆有可能． 故选：A 3．（2023·上海嘉定·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．为奇函数 C．有零点 D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，结合奇函数的定义、零点的定义逐一判断即可. 【详解】A：在中， 令，得， 因为，所以，所以本选项不正确； B：函数的定义域为全体实数，由上可知，显然不符合，因此本选项不正确； C：在中， 令，得 ，或， 显然函数没有零点，故本选项不正确， D：在中， 令， 得，所以本选项正确， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用赋值法. 4．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）定义在上的函数满足对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】应用赋值法判断A选项，求出周期判断B选项，应用周期性结合特殊函数值判断C选项，反证法应用对称中心定义判断D选项. 【详解】令，则，，， 再令，则，为偶函数，A正确； 又令，则， 为周期是4的周期函数，B正确； ，C正确；若D正确，则，又为周期是4的周期函数， ，为奇函数，则与已知中“”矛盾，D错误. 故选:D. 题型10 三角抽象模型3:正切型 分式正切函数两角和公式型 1．（2025高三·全国·专题练习）下列指定的函数中，一定有的有（    ） A．指定的函数是奇函数； B．指定的函数满足：，都有； C．指定的函数满足：，都有且当时，； D．设，指定的函数满足：都有． 【答案】BD 【分析】利用赋值法，结合函数的定义域、奇函数的定义与性质构造方程求解． 【详解】解：对于：函数在处可能没有意义，所以错； 对于：令中，得，所以对； 对于：令，，所以或与题意不符 ，所以错． 对于：由所以对． 故选：． 2．（24-25高三上·全国·阶段练习）下列指定的函数中，一定有的有（    ） A．指定的函数是奇函数； B．指定的函数满足：，都有； C．指定的函数满足：，都有且当时，； D．设，指定的函数满足：都有. 【答案】BD 【解析】由在处可能没有意义可判断A；令可判断B；令可判断C；直接可计算，即可判断D. 【详解】对于A，函数在处可能没有意义，所以A错； 对于B，令中得，所以B对； 对于C，令，因为有，∴，，所以C错； 对于D，由，所以D对. 故选：BD. 【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题. 题型11 分式抽象模型1：反比例型 1.（多选题）（23-24高三上·山东·阶段练习）对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】令，则，解得，故A正确； 因为，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 故，故B错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则， 令代换，则， 由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确； 因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误. 故选：AC 2.（24-25高一上·宁夏石嘴山·期末）定义在上的函数满足条件①，②，，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】由，取可求，由，取可求，再取，，可求结论. 【详解】因为，取可得， 又，可得， 因为，取可得，所以，又，故，由，取，，可得， 故选：D. 3.（24-25高一上·湖南·阶段练习）定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得. 【详解】，， 令，得，又，， ， 再令，，， . 故选：B 4.（22-23高一上·浙江温州·期末）已知为非常值函数，若对任意实数x，y均有，且当时，，则下列说法正确的有（    ） A．为奇函数 B．是上的增函数 C． D．是周期函数 【答案】ABC 【分析】令，代入，即可得到再由，分别应用函数的奇偶性，单调性，值域和周期性判断A,B,C,D选项即可 【详解】对于A:由题意，令， ,解得：或 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， 当时，令，则恒成立，又已知为非常值函数故舍去， ∴，令，则，所以，即， 所以为奇函数，故A正确； 对于C：令，，因为 若,则,又为非常值函数故舍去， 所以，所以所以,故C正确: 对于B: 设任意的且 令所以，又因为为奇函数， 所以， 又因为当时，，所以，，, 即，所以是上的增函数,故B正确; 对于D:因为是上的增函数,又因为为奇函数且, 所以是上的增函数,故不是周期函数,故D错误. 故选:ABC. 题型12 分式抽象模型2：对数复合型 对数反比例型： 1．（25-26高一上·广东汕头·阶段检测）定义在上的函数；当时，，若，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取，所以，利用单调性定义得函数在上为减函数，利用函数法则得，最后利用函数单调性比较大小即可. 【详解】取，则，所以， 设，则，所以， 所以，所以函数在上为减函数， 由，得， 由，所以， 因为，所以. 故选：A 2．（22-23高三上·山东·阶段检测）已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，得，令，得，得为奇函数. 令，得，得函数在上单调递减，利用单调性将不等式化为，结合函数的定义域和可求出结果. 【详解】在中，令，得，得， 在中，令，得，即， 所以为奇函数，令，则，所以， 因为，所以，，所以， 因为， 所以，所以，，所以， 因为当时，恒成立，所以恒成立， 所以，即，所以函数在上单调递减， 由及函数的定义域可知，， 又由已知，可得，可得，由得，因为函数在上单调递减，所以， 所以，因为，，所以， 所以，所以，结合，可得. 故选：D 3．（2024·浙江·二模）已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将，再用裂项相消法求的值. 【详解】∵函数满足对任意的且都有 ∴令，则， ∴ ∴ . 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为： 4．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令代入，得到的奇偶性，令，可得，并结合题干可推得的单调性，再对、、进行变形，往中凑，最后再令，研究的单调性即可求解． 【详解】，，令，则，得， 令得，即函数是奇函数，下面判断函数的单调性，令，则，，所以， 所以，即，所以在单调递增， ，，， 构造函数，则，当时，，当时，， 所以在递增，在递减，则， 即，所以，又在单调递增， 所以，也即． 题型13 分式抽象模型3：齐次同除型构造 齐次同除构造型： 1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意、，有，且当时，．当时，设，，则（    ） A．、大小无法确定 B． C． D． 【答案】B 【分析】由赋值法求出、的值，令，可判断出的奇偶性，令，讨论的单调性，结合函数单调性可判断、间的大小关系． 【详解】令，得，所以． 令得，所以． 令，得，则，所以，是偶函数， 所以． 令，则． 设，则，且，所以， 则，所以在上单调递增． 当时，，所以，即， 即，即， 故选：B． 2.（2025高三·全国·专题练习）设函数满足：对任意的正数，，，且，则______，______． 【答案】 2 10240 【分析】应用赋值法计算求解得出，再根据已知性质得出，再应用叠加法计算求解即可. 【详解】令，得，所以． 令，，得，所以． 令，，得，即． 所以． 所以． 故答案为：2；10240. 3.（23-24高一上·四川凉山·期中）已知定义在上且不恒为0的函数满足如下条件：（1），（2）当时，；则下列结论中正确的是__________． ①； ②函数是奇函数； ③函数在上是减函数； ④不等式的解集为 【答案】①②③ 【分析】利用赋值法，即可判断①②；，令，得，即可判断③；若，得结合奇函数的性质确定在各区间的符号，解不等式即可判断④. 【详解】①：令，则， 令，则， 所以，故①正确； ②：令，则， 所以函数为奇函数，故②正确； ③：，且，令，则， 所以，又当时，则， 所以，故， 所以函数在上是减函数，故③正确； ④：若，则， 由性质（2）可得，得， 由②可知函数为奇函数，得，， 同理，当时，，当时，， 由，得或， 所以不等式的解集为，故④错误. 故选：①②③. 4.（24-25高三 全国·阶段检测）已知是定义在上不恒为零的函数，对于任意的，都有成立，数列满足（），且，则数列的通项公式_______． 【答案】 【详解】试题分析：由于，则且，所以对于任意的，都有成立，令，则，所以，所以，所以是为首项，公差为的等差数列，所以，所以． 考点：抽象函数的应用；等差数列的通项公式． 【方法点晴】本题主要考查了数列的表示及抽象函数的性质，其中解答中涉及到抽象函数的赋值及应用，等差数列的概念及表示，等差数列的通项公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及构造思想的应用，解答中根据题设条件，化简得到数列是为首项，公差为的等差数列是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题． Jieshu 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02构造模型解抽象函数 题型脑图核心考法搭建 三大函数模型3：对数函数模型 线性抽象模型1：线性基础 @ 三角抽象模型1：正弦与双曲正弦模型 线性抽象模型2：线性平移 三角抽象模型2：余弦与双曲余弦模型 线性抽象模型3：二次幂模型 构造模型解抽象函数 三角抽象模型3：正切型 线性抽象模型3：三次幂模型 分式抽象模型1：反比例型 三大函数模型1：幂函数模型 分式抽象模型2：对数复合型 三大函数模型2：指数函数模型 分式抽象模型3：齐次同除型构造 考法深研·解题技能进阶 题型01线性抽象模型1：线性基础 点方法技巧 解决抽象函数的求解优先策略： 1联系函数模型：化抽象为具体 2通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。 3运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性 4借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来 求解。 抽象函数模型，线性模型，特征就是符合直线的：可累加型。 过原点型： f(x+y)=f(x)+f() 过原点直线型f(x)x 有以下性质： 1.f(0)=0 2.奇函数：y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x)=0 3.一定要注意，这个模型可能具有单调性（结合其他条件） 1.(23-24高三全国阶段检测)若x,yeR,f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1且函数y=f(x)在R上单调，则 f(x)≤2的解集为() A.[-2,2] B.[-2,0) c.[-1, D.[0,2] 2.(24-25高三山东德州阶段检测)已知连续函数f(x)对任意实数f(x)恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当 1/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x>0时f(x)<0,f()=-2,则以下说法中不正确的是（) A.f(0)=0 B.f(x)是R上的奇函数 C.f(w)在[-3,3]上的最大值是8 D.f()在R上递减 3.(22-23高三全国坝阶段检测)已知连续函数f()对任意实数x恒有f(x+y)=f()+f),当x>0时， f(x)<0,f()=-2,则以下说法中正确的是() ①f(0)=0 ②f()是R上的奇函数 ③f()在-3,3]上的最大值是6 ④不等式6r）-2<5+4的解失为✉号<x< A.①3 B.①2 C.①23 D.①23④ 4.(23-24高三全国模拟测试)已知f(x)是区间[-3,3]上的单调函数，且对x,y∈[-3,3]满足 fx+)=f()+f0y),若f四=-2，则f(x)的最大值为 A.2 B.4 C.6 D.8 题型02线性抽象模型2：线性平移 点方法技巧 线性抽象函数上下平移型，不经过原点的直线模型： f(x+y)=f(x)+f(y)+b(b带正负，即是b或者-b) >f(x)=kx-b 证明如下： f(x+y)+b=f(x)+b+f(y)+b 岁同构”：h(x)=f(x)+b h(x+y)=h(x)+h(y)-h(x)是过原点的直线 1·(2025高三全国专题练习)若定义在R上的函数f(x)满足：对于任意x,x∈[-2021,2021川，有 f(:+x)=f(:)+f(:)-6,且当x>0时，在f(x)<6,设f(x)在[-2021,2021]上的最大值，最小值分 别为M,m,则M+m的值为() A.6 B.12 C.2021 D.4042 2·(23-24高-下湖南期中)定义在R上的函数f(x)满足对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1 若x>0时，f(x)>1,则f(x)() A·先单调递减后单调递增 B.在R上单调递增 C.在R上单调递减 D.单调性不确定 3,(24-25高二全国暑假作业)已知连续函数∫(x)对任意实数x恒有f(x+y)=f(x)+fy)-1,当x>0 时，f(x)>1,f()=2,则下列结论错误的是() A.f(0)=1 2/13 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B.f(x)在[4,4上的最大值是4 C.f(x)图像关于(l,0)中心对称 D,不等式fBr)-2f<时)-2的解集为0写 4.(2025辽宁沈阳阶段检测)若定义在R上的函数fx)满足：对于任意x,2∈[-2015,2015]，有 f(:+x)=fx)+fx,)-2016,且x>0时，有fx)>2016,设fx)在[-2015,2015]上的最大值，最小值 分别为M,N,则M+N的值为 A.2015 B.2016 C.4030 D.4032 题型03线性抽象模型3：二次幂模型 点方法技巧 二次幂函数型模型： 模型特征：线性抽象+九y型 模型记忆分析：二次函数首先是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的和平方，即(x+y) 2,则必然会有y的项增加出来”（要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特征）。 f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c 则f(x)=ax2+bx+c. f(x+y)=a (x+y)2+b (x+y)+c=ax2+bx+ay2+by+c+2axy =ax2+bx+c+ay2+by+c+2axy-c=f(x)+f(y)+2axy-c 此模型，b的值无法推导，多依赖其他条件来待定系数确认。 1. (2025高三·全国专题练习)已知连续函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)=f(x)+f(y)+2y-2 且f()=4,则函数y=f(x)+x的图象的对称轴为直线() 1 A.x=2 2 C·x=1 D·x=-l 2:(23-24高一上浙江期中)已知函数f(x)定义域为R,满足f(x)+f(y)+y=f(x+y,当x≠0 时，总有f()=x/日)则f份的值是() A日 c.8 5 D. 3.(23-24高三上贵州遵义阶段检测)已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2y-1,则 f(4)-4f(1)=() A.9 B.10 C.11 D.12 4.(2025全国阶段检测)定义在R上的函数f(x)对任意x,y∈R均满足f(x+y)=f(x)+f(y)+3y f)=3,则f(3)等于() 3/13 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.10 B.12 C.16 D.18 题型04线性抽象模型3：三次幂模型 点方法技巧 一元三次模型： 模型特征：线性抽象+九xy+4y型。 模型记忆分析：三次函数依旧是一次线性函数叠加，其次，因为出现变量x、y的3次方，即(x+y)3, 则必然会有xy与y的项“增加出来”，但是这个抽象函数结构式y对称性，所以增加出来的项的系数应 该是一致的，所以前边九xy+4y中，九=4()要通过以下证明推导过程来体会理解这个经验特 征)。 f(x+y)=f(x)+f(y)+3axy(x+y), 则f(x)=ax3+cx,(其中b可以借助其他条件待定系数) 证明如下： f(x)=ax3+bx2+cx+d.f(x+y)=(ax3+3ax2y+3axy2+ay)+(bx2+2bxy+by2)+(cx+cy)+d f(x)+f(y)+3axy(x+y)=(ax'+bx2+cx+d)+(ay'+by2+cy+d)+3axv(x+y) 由两式相等恒成立，可以得到：d=0,b=0。 所以三次函数f(x)=x3+cx模型符合上边这个抽象函数式子。 11.(2024福建莆田.二模)已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y),则 A.y=f(x)是奇函数 B.若f()=1,则f(-2)=4 c.若f()=-1,则y=f(x)+x3为增函数 D.若r>0,f(x)+x>0,则y=f(x)+x为增函数 2.(2024贵州，三模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+y2,f'(x)为f(x) 的导函数，且f"()=2,则() A.f(0)=0 B.f(x)为奇函数 C.f'(-2)=7 D.设b,=f(n(n∈N).则b4=2023×2025+2 3.(2023湖南永州，二模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+y(x+y),f"(x)为 f(x)的导函数，且f"()=2.则() A.f(x)为奇函数 B.f(x)在x=-2处的切线斜率为7 C·f(3)=12 D.对e05小园 4/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4:(24-25高三上安微合肥期中)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+y)小xy=f(x)+(y)+x2 f'(x)为f(x)的导函数，且∫（①）=2，则下列说法正确的是() A,f(x)为奇函数 B.f'(-2)=5 C.f(3)=12 f()+f(x) D.对x,五2∈(0，+∞)x≠x 2 2 题型05三大函数模型1：幂函数模型 点方法技巧 f (xy)=f(x)f (y) f (x)=x" 满足 对应的是幂函数 幂函数，还可以通过换元转化为f(心)=「(x) f(y) 1.(25-26高三全国一轮复习)已知定义在R上的单调函数f(x),满足x,y∈R, f(y)=f(x)f(y),则下列说法不正确的是（) A.f(I)=1 B.f(x)可能是单调递减函数 C·f(x)为奇函数 D.若f(8)=2.则f2)=2 2.(2016河南商丘，三模)下列函数中，满足f(y)=fx)f0y)的单调递增函数是() A.f(x)=log2 x B.f(x)= C.f(x)=x D.f(x)=2 3.(21-22高三上甘肃天水开学考试)下列函数中，满足f(y)=f(x)f(y)的单调递增函数是() A·f()=xB.f(x)=x C.f(x)=log;x D.f(x)=3 4.(24-25高三河南阶段检测)下列函数中，满足f(y)=f(x)f(y)的单调递增函数是() A·f(x)=x B.f(x)=lgx c.f()=(i D·f(x)=3 题型06三大函数模型2：指数函数模型 点方法技巧 f(x+y)=f(x)f(y) f(x)=a,(a>0,a≠1D 满足 ，对应的是指数函数 5/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 幂函数，还可以通过换元转化为f(xy)=(x幻 f(y) 1. (25-26高三全国阶段检测)对于任意的x,y∈R,都有f)f)=f(x+),且f0)≠0，则下列等 式不一定成立的是（) A.f0)=1 B.f(1)=2 C.f(x)f(-x)=1 D.f(I)f(2)f3)=f(6) 2.(25-26高一上江苏南通期末)写出-个满足f(x+y)=f(x)f(y)的函数解析式f(x)= 3.(23-24高三下，云南阶段检测)函数f(x)对定义域内任意的x,y,都有f(x+y)=f()f(y),写出 一个满足上述条件的函数∫(x)= 4,(23-24高二上辽宁阶段检测)已知定义域为R的函数f(x)满足：①f(x+y)=f(x)f(y);② /[)=4则满足条件的似的-个解析式为-— 题型07三大函数模型3：对数函数模型 点方弦技巧 满足f(xy)=f(x)+f(y),对应的是幂函数f(x)=logx,(a>0,a≠1) 对数函数，还可以通过换元转化为f(X)=f(x)-f(y) 对数函数，还有个借助换底公式转化的：f(x")=nf(x) 1.(23-24高三浙江阶段检测)设函数y=f(x)的定义域为(0，+0)，f(y)=f(x)+f(y),若f(9)=6 则f3V5)等于() A是 B.2 2.(22-23高一上河北衡水期中)已知函数f(x)的定义域是(0，+∞），且满足 f)=f(+)f,如果对于0<x<y 都有f(x)>fy)则不等式f(2x)+f3-x)≥-2的 解集为(》 A.[,2] B.（-o,1U[2,+o) c.(0,1)U(2,3) D.(0,[2,3 3.(24-25高三全国阶段检测)若函数∫(x)对任意实数x和y均满足f(y)=f(x)+f(y),且f(2)=3, f3)=2,则f(12)=（) A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2025全国阶段检测)已知函数f(x)的定义域为[0，+o),且函数f(x)满足f(y)=f(x)+f(y),若 6/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 fI6)=1则f(N2)的值是（) 1 A.8 C.E 1 题型08三角抽象模型1：正弦与双曲正弦模型 点方弦技巧 正弦与双曲正弦型： 满足形如f(x+y)f(x-y)=(x)-(y)型函数，可以用正弦函数，或者双曲正弦函数来替换： 模型一：正弦函数f(x)=ksin(ox) 1.f(x)=sin x---f(x+y)f(x-y)=sin(x+y)-sin(x-y)=(sin x -cosy+conx-siny)(sin x .cosy-conx-siny) =sin2x cos2y-con2x-sin2y=sin2x (1-sin2y)-(1-sin2x)-sin2y=sin2x-sin2 y=f2(x)-f2(y) 模型二：，正弦双曲函数)-，“（这个函数可能性较少） x)= 1.(2024广西南宁一模)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)f(x-y)=f(x)-f(),且当x>0 时，f(x)>0,则() A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数C.∫(x)是增函数D.f(x)是周期函数 2.(24-25高三上山东菏泽阶段练习)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)f(x-y)=f(x)-(y) 且当x>0时，f()>0,则下列正确的是（) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.当-1<x<0时.f2-x)<fx+2)D.当0<x<1时.f(x2+1)>f2) 3.(23-24高二下浙江温州期末)已知函数f(x)的定义域为R,且满足 (x)-f(y)=f(x+y)f(x-y)f()=1,f(3)=-1,则下列结论错误的是() A.f(2)=0 B.f(4)=2 C.f(x)是奇函数 D.f(x+4)=f(x) 4.(24-25高三上广西阶段练习)已知函数f(x)的定义域为R,f(+y)f(x-)=f(x)-f(y,且当 7/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x>0时，f(x)>0,则下列正确的是() A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.当-1<x<0时.f(2-x)<f(x+2) D.当0<x<1时，f(x2+1)>f(2x) 题型09三角抽象模型2：余弦与双曲余弦模型 点方法技巧 余弦与双曲余弦模型 f+0+c-0-2e/0或/+0=2)(2 ①)模型一：f(x)=coskx 特征：函数值有上下确界 证明：f(x+y)+f(x-y)=cos(x+y)+cos(x-y) cos x cosy-sin x siny+cos x cosy+sin x sin y=2cosx cosy =2f(x).f(y) (2)、模型二：双曲余弦函数f(x)cosh(x)-e+e 2 特征：f(x)=osh（x)=e+e≥2ee-1 er+e x刘= 2 1.(23-24高二下辽宁大连阶段练习)定义域为R的函数f(x),对任意 x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(x)不恒为0.则下列说法错误的是() A.f(0)=1 B.f(x)为偶函数 C·f(x)+f(0)20 0.若0=0.20=4048 2.(23-24高二下安徽阶段练习)函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,都有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),则f(四的值不可能是() 8/13 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 8.、3 2 C.1 D.2 3.(2023上海嘉定-模)已知定义在R上的函数f(x)满足2f(x+y)f(x-y)=f(x)+f(y).且 f(0)≠0，则（) A.f(0)=2 B.y=f()为奇函数C.y=(x)有零点D.f(2x)=f() 4.(23-24高三上·重庆渝中阶段练习)定义在R上的函数f(x)满足对任意x,y∈R都有 fx+)+fx-)=2f(x)fy),且f0)=0,f(0)≠0，则下列命题错误的是（) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.f(2024)=1 D.f(x)的图象关于点(2，O)对称 题型10三角抽象模型3：正切型 点方法技巧 分式正切函数两角和公式型 /x+)I+f四点fa+Aa/6 1-f(x)f(y) 所以复合f(x)=tan(kx)。(k根据其余条件待定系数) 1.(2025高三全国专题练习)下列指定的函数/)中，一定有(0)=0的有（) A.指定的函数f(是奇函数； B带定的w是，么y北部南：一小得 C.指定的函数f)满足：x,少∈R,都有f(x+)=f()fy)且当x>0时.f)>1: D.设h(x)=lg(Nx2+1+x),指定的函数fx)满足：，y∈R,都有f(x)=h(x+y)+h(x-y). 【答案】BD 【分析】利用赋值法，结合函数的定义域、奇函数的定义与性质构造方程求解. 【详解】解：对于A:函数(x)在x=0处可能没有意义，所以A错： 对于B:令f)中x=y,得f(0)=0,所以B对： 对于C:令x=y=0,f0)=f(0),所以f0)=0或f(0)=1,f(0)=0→f(x)=0与题意不符，所以C 错 对于D:由f(0)=hy)+h(-y)=g0y2+1-y)=0所以D对. 故选：BD 2,(24-25高三上全国阶段练习)下列指定的函数∫(x)中，一定有f(0)=0的有() A.指定的函数f(x)是奇函数： B,指定的函数f因满足：xER都有x)十 C.指定的函数f(x)满足：x,yeR,都有f(x+y)=f(x)f(y)且当x>0时，f(x)>1; 9/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.设h(x)=g(N2+1+x. 指定的函数f(x)满足：x,y∈R都有f(x)=h(x+y)+h(x-y) 【答案】BD 【解析】由f()在x=0处可能没有意义可判断A;令x=y可判断B;令x=0,y=2可判断C,直接可计算 f(O).即可判断D 【详解】对于A,函数f(x)在x=0处可能没有意义，所以A错： 对于B,令f(x)中x=y得f(O)=0,所以B对 对于C,令x=0,y=2→(2)=f(0)f(2)因为有f(2)>1,f(2)≠0，f(0)=1≠0，所以C错： 对于D,由f(0)=hy)+h(-)=lg(2+1-y2)=0,所以D对 故选：BD 【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题 题型11分式抽象模型1：反比例型 点方法技巧 f(x+y)= f(x)f(y) 则f(x)= 上。证明如下： f(x)+f(y) k 左边f(x+)= x+y kk 右边因以-x义-k:kk=fx+)=左边 f(x)+f(y)k_k yk+xkxty xy 1.(多选题)(23-24高三上山东阶段练习)对于任意非零实数x,y,函数(x)满足 (x+)=()) f()+f)且f)在(0，+w)单调递减，f0=1则下列结论正确的是() 8- C,f(x)为奇函数 D.f(x)在定义域内单调递减 2.(24-25高-上宁夏石嘴山期末)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足条件①x∈(0，+∞)，f(x)≠0，② fo)f+ f(x)f(y) x,y∈(0，+o) f()+f(可)： 则)的值为《) A.0 C.1 3.(24-25高一上湖南阶段练习)定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足条件①x∈(0，+∞），f(x)≠0，② 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x,y∈(0，+o) )-()r(v).) f(x)+f(y) 则f )的道为() A号 B含 c. 4.(22-23高一上浙江温州期末)已知∫(x)为非常值函数，若对任意实数x,y均有 +当时0下法正确的有了 A.f(x)为奇函数 B.f(x)是(0，+o)上的增函数 c.f(x)<1 D.f(x)是周期函数 题型12分式抽象模型2：对数复合型 对数反比例型： 满足形如f(x)+f(y)=f(X+y)函数，可以用对数反比例函数来替换 1+xy f (x)=In-x 。 1+x 或者f(x)=n+x 1-x 此函数极容易证明是奇函数，所以这个函数还有变形函数形式： f (x)-f (y)=f (x-y) 1-xy 1:②5-26宫-上广东汕头阶受检测定义在（仁1训上的画数）心)=/品) 当x∈(-1,0) 时0若P=)).Q=付.R=0明pgR的大小关系为() A.R>O>P B.R>P>O C.P>R>O D.O>P>R 2.(22-23高三上山东阶段检测)已知函数f(x)的定义域为(-1，)，对任意的x,y∈(-1,1)，都有 国+=) 且当xe(L0)时.>0恒成立苦a（受引 则不等式 2f(tana)>f(tan2a)的解集是() A〔-0）e（0 c.( p.(g 3.204浙江二模钓已知委数内满足任东的xy网只y都有)/但- 11/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若an=f 1 n2+5n+5' n∈N, 则a+a,+4,++a=（） A. 53 253 (3 8.f八380 4.2c6湖t阅定义在(-)的函数满足x()国f0)小=/任)且 0时：内0苦P=后)0=)R=0心2别pgR的大小x系为 () A.O<R<P B.R<O<P C.R<P<O D.P<R<O 题型13分式抽象模型3：齐次同除型构造 解题大 齐次同除构造型： 满足形如f(xy)yf(x)+x"f(y)函数型函数，可以通过同除齐次式子x"y,转化为常见的函数模型 对数模型"fCXy》fx)2,令gx)=X”，得到g(xy)g(x)+gG x"yn 对数模型， 1.具有增减性（具体结合题中条件判断），恒有g(1)=0 2对数g(x)1og,X-f(,这样得f(x)=X,log,x 1(2024高三全国专题练习)已知函数f(x)的定义域为D={x≠0}，对任意x、y∈D,有 f()_f(x)f(v) x2y2 =+.且当x>1时.fy)>0·当m>10时.设P=(gm-}f(gm） Q=(gm)}f(1-lgm）,则() A·P、Q大小无法确定 B.P>0 C.P-0 D.P<O 2.(2025高三全国专题练习)设函数f(x)满足：对任意的正数x,y,f(y)=听(x)+f(y),且 f9)5则f—f)— 3.(23-24高一上四川凉山期中)已知定义在R上且不恒为0的函数(x)满足如下条件：(1) f(y)=f(y)+f(x).(2)当x>1时，f(x)<0;则下列结论中正确的是 ①f(1)=f(-1)=0: ②函数f(x)是奇函数： ③函数f(x)在(L,+∞)上是减函数； 12/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ④不等式八因，0的解集为10)uL+o） 4.(24-25高三全国阶段检测)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x,y∈R都有 f(xy)=xfy)+f(x)成立，数列{an}满足an=f(3)(neN*),且a=3,则数列{an}的通项公式an= Jieshu 13/13