重难专题02 已知递推关系求通项、数列求和（11种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难专题02 已知递推关系求通项、数列求和 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 叠加法求通项 累加法适用于形如或的递推式。如，，等等。 求通项时，利用，注意求和时是项的和。 1．（26-27高二上·河北保定·期中）在数列中，，，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】C 【详解】由题知，则，又， 所以，，，， 将各式相加可得：， 即，所以. 2．（26-27高三上·山东青岛·开学考试）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第层比第层多个球，则第100层球的个数为（    ） A．4949 B．4950 C．5049 D．5050 【答案】D 【详解】设第层球的个数为，． 由题意可知，． 当时，第层比第层多个球，即． 所以 ． 当时，，满足上式． 故第层球的个数为，． 所以当时，． 3．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知数列满足递推关系，且首项，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，由， 则，，，，，， 累加得：， 即， 因为，所以 ， 当时，满足题意，故数列的通项公式为：. 4．（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 5．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知数列满足，，则__________. 【答案】333000 【详解】由已知条件可得，则. 令， 则 即. 所以，，…，. 累加得，所以. 于是，. 则. 6．（26-27高三上·黑龙江辽宁·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)答案见解析；(2)． 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以， 所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，故． 7．（2026·江西九江·模拟预测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)（）；(2) 【详解】（1）将递推式两边同除以， 得 ， 令，则，且， 当时，由累加法得 ，所以 ， 因此，经检验时满足上式，故. （2）由（1）得， 其前项和， 则， 两式相减可得 ， 即. 8．（2026·山西忻州·模拟预测）设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意， 令，则， 又，， ，即， 计算得， ， ，． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 9．（25-26高三上·广东广州·开学考试）设数列满足 (1)证明：为等差数列并求； (2)设，求． (3)求 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【详解】（1）由题意证明如下，， 在数列中，，， 所以，即， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1，所以，即， 在中，， 所以，所以， 当且时，两式相减得， 所以； 当时，； 当时，； 综上，； （3）当时， . 题型02 叠乘法求通项 累乘法适用于形如或的递推式。如，，等等。求通项时，利用。 10．已知数列满足，，求数列的通项公式. 【答案】 【详解】由，得， 所以， 将以上各式相乘，可得， 因为，所以， 又因为满足上式，所以数列的通项公式为． 11．（2025高三下·甘肃·竞赛）已知数列满足，，．那么_________． 【答案】 【详解】因为，，所以， 所以，，，， 所以由累乘法得，所以， 也适合上式，故， 令， 所以， 两式相减得， 所以， 所以. 12．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 当时，满足， 所以. （2）证明：因为， 所以， 因为，所以. 13．（25-26高二下·江西九江·期末）已知数列满足，且对任意，有. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得， 所以时，. 当时，，符合上式.， 所以的通项公式为. （2）由（1）得. 所以. 14．（2026·河北秦皇岛·一模）在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1)；(2)（或等价化简形式） 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 15．（25-26高三上·江苏徐州·期末）已知数列的前n项和为，，且．数列为等比数列，． (1)求和的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1），， 当时，，可得， 即有， 上式对也成立，则； 为公比设为q的等比数列，， 可得，，则，即，∴， 所以； （2）， 前n项和为． 16．（26-27高二上·甘肃平凉·阶段检测）已知数列的首项，前项和满足，数列的首项，且满足，其中． (1)求和的通项公式； (2)若数列的第项是直线的斜率，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用得到是首项为3，公比为2的等比数列，然后利用等比数列的通项公式可得到的通项公式，利用累乘法可求得的通项公式. （2）先求得，然后再化简，然后利用错位相减法求得结果. 【详解】（1）由，当时，两式作差得. ，满足. 故是首项为3，公比为2的等比数列，. 由，累乘得：. 验证时符合条件，故. （2）由题意得：. 所以. 所以①，②， ①-②得：，所以. 化简得，即. 17．（2026高三·全国·专题练习）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若，且(Sn+1+λ)an=(Sn+1)an+1对一切n∈N*都成立． （1）若λ=1，求数列{an}的通项公式;       （2）求λ的值，使数列{an}是等差数列． 【答案】（1）；（2）λ=0. 【分析】（1）若λ=1，根据已知可得=，累乘可得，再根据与的关系即可得解； （2）根据已知求得，再由数列{an}是等差数列，得，解得λ=0，代入已知，证明数列{an}时等差数列即可. 【详解】解：（1）若λ=1，则 ,，令n=1，得． 又因为，，所以=， 所以 ··=···， 即，所以① 所以当n≥2时，② ①-②，得，所以=2(n≥2)．当n=1时上式也成立． 所以数列{an}是首项为1、公比为2的等比数列，即． （2）令n=1，得．令n=2，得． 要使数列{an}是等差数列，必须有，解得λ=0． 当λ=0时，，且． 当n≥2时，， 整理，得，则=， 从而·=·， 化简，得，即，所以． 综上所述，an=1(n∈N*)． 所以λ=0时，数列{an}是以1为公差的等差数列． 18．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知，数列的首项为，.（提示：） (1)求的通项公式. (2)记，设函数.证明： （ⅰ）当时，； （ⅱ）. 【分析】（1）利用已知得，逐项推算即可得. （2）（ⅰ）利用已知得，再求，作差即可判断；（ⅱ）构造函数，利用（ⅰ）的结果，可得，再利用的单调性即可. 【详解】（1）由已知，得， 当时，，，，， 所以当时，，故. 上式对也成立，所以. (2)（ⅰ）由（1）知，所以， 所以， 所以， 当时，，所以，即. （ⅱ）设.由（2）（i），知， 所以在上单调递减. 因此，即，所以，即. 所以. 题型03 构造等差数列求通项 ⑴形如（为常数，且）的递推式，可通过等式两边同时除以，转化为，从而构造为等差数列； ⑵形如的递推式，可通过两边同时取倒数得到，从而构造为等差数列； ⑶的递推式，可通过两边同同时除以，得到，从而构造为等差数列； 19．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）在各项均不为零的数列中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知各项均不为零的数列满足， 两边同时除以得 设，则，故为等差数列. 因为，所以， 所以，数列的公差， 所以， 所以 20．（2026·云南昆明·二模）设数列满足． (1)证明：为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：由得： ， 所以，                                 所以，即得，                         由等差数列的定义知：数列为以3为首项，4为公差的等差数列 ； （2）由（1）知：， 所以  ，                                  所以， 所以，           所以， 所以； 21．（26-27高三上·辽宁·阶段检测）在数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由，得， 又，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以， 故. （2）证明：由（1）知，， 所以 22．（25-26高二下·江西·期末）在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求的前项和； (3)在（2）的条件下，令，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）由，得， 又，，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，所以. （2）， 两边同乘以2，得， 两式相减，得， 所以. （3）由（2）知，所以， 所以 23．（25-26高二下·广西钦州·期末）已知数列的首项，且满足． (1)求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）由，得，即， 又，∴为等差数列，首项为1，公差为4； 由，得. （2）由（1）得， ①， ②）， ①②得， ， ∴． 24．（25-26高二下·福建厦门·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：由， 两边同时除以，得，即， 又，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）得，故， 故， ，   两式相减，得 ， 因此． 25．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列中，． (1)证明：数列为等差数列； (2)设数列的前项积为，求数列的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明： 因为， 所以， 等式两边同除以， 得，即， 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知 得， 则， 则， 所以 两式相减得 所以． 26．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）在各项都是正数的数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）由， 得， 又，所以． 又，所以数列是首项为6，公差为4的等差数列． 所以，即． （2）证明：由（1）知，所以． 所以． 因为，所以，． 27．（2026·陕西咸阳·二模）已知数列满足，且， (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记的前n项和为，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【详解】（1）解：因为，两边同时取倒数得，即， 又因为，可得，所以数列是以为首项，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以数列的通项公式. （2）解：由（1）知：，可得， 则， 可得， 两式相减得 ， 所以， 因为，所以为递增数列， 则， 又因为，所以，所以. 28．（河北衡水中学2024届下学期高三年级五调考试（数学））在数列中，， (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）                     所以数列是公差为3的等差数列． （2）由题得，由（1）可得所以                                             记  ①， 所以   ②， ①-②得 则                         所以 29．（2026·四川资阳·模拟预测）已知数列的前n项和为，，当时，． (1)证明：数列是等差数列； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）数列的前n项和为，当时，，而， 则，依题意，因此， 所以数列是等差数列. （2）数列是以为首项，为公差的等差数列，则，， 则， 因此， 两式相减得 所以． 30．（2026高三·全国·专题练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列，求证：； (3)设，数列的前项和为.若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3). 【详解】（1）由， 两边同除以得， 即， 又，故，所以是以2为首项，1为公差的等差数列， 解得，所以. （2） ， 所以 ，即命题得证. （3）由（1）知 ， 故数列的前项和为： ， 将代入不等式，得， 即， 因为，所以，两边同乘得 令，分析其单调性： ， 故在上单调递减，因此， 要使对恒成立，只需，即， 所以，实数的取值范围为. 31．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）在数列中，. (1)求证：数列是等差数列； (2)令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】(1)由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. (2)由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 题型04 构造等比数列求通项 ⑴形如（为常数，且，）的递推式，可用待定系数法将原等式变形为（其中），构造等比数列 ； ⑵形如的递推式，可用待定系数法将原等式变形为（其中，），构造等比数列 ； ⑶的递推式，可用待定系数法将原等式变形为（其中），构造等比数列 。 32．（25-26高二下·河南濮阳·期末）已知数列满足，，是数列的前项和.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 所以， 不等式对恒成立，则实数的取值范围为. 33．（多选）（26-27高三上·陕西榆林·开学考试）在数列中，，，．则（    ） A．数列为等比数列 B．数列的通项公式为 C．数列的前项和 D．若，则数列的前项和 【答案】ABC 【详解】已知，所以，因为，因此，所以，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，正确； 所以，即，正确； 数列的前项和，正确； 因为，所以，所以， 等式两边同时乘：，所以， 所以，错误. 34．（2026高三下·新疆·竞赛）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【详解】解析：由可得，解得或（舍）， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. ∴， ∴. 35．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列满足，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以， 所以数列为以为首项，4为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可知， 设数列的通项公式为，前项和为， 数列的通项公式为，前项和为， 则， 所以， 则， 所以， 又， 所以． 36．（25-26高三下·贵州遵义·阶段检测）已知数列满足，． (1)证明：数列是等比数列，并求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：数列中，由，得， 而，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，， 所以的通项公式为. （2）由（1）得，令数列的前项和为， 则，， 两式相减得， 因此，， 所以数列的前项和. 37．（25-26高二下·河南许昌·期末）已知数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1答案见解析；(2) 【详解】（1）)证明：因为，所以， 故是以为首项，3为公比的等比数列，得证； （2）由（1）知，所以， 所以，则， 作差，得， 所以，故 38．（2026·山东烟台·模拟预测）在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 39．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知，即， 所以是以1为首项，公比为3的等比数列， 故， 因此，. （2），两边同乘3， 可得， 相减得： ， 故. 40．（26-27高三上·湖北·开学考试）在数列中，，，． (1)证明：是等比数列； (2)求的前n项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：因为，所以， 又，所以，所以， 所以是以3为首项，2为公比的等比数列． （2）由（1）得， 所以，，，…，， 以上各式左右相加，得， 所以， 又，符合上式，所以． 所以 ． 41．（2026·重庆·三模）已知数列满足，对且，． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）当时，， 当时，，有， 整理有，即有， 由，所以，所以数列是等比数列. （2）由（1）知，，即， 当时，，……，， 相加有， 所以有，当时也成立，从而， 记数列的前项和为，则， ，① 可得，② ①②，， 所以，故. 42．（2026·天津·模拟预测）在数列中，. (1)求的通项公式. (2)已知集合，记的非空子集为，中的所有元素的和为，记. （i）求数列的前2n项和 （ii）记中最大的元素为，求 【答案】(1)；(2)（i）；（ii） 【详解】（1）在数列中，由，得， 因此数列是常数列，则，， 所以的通项公式为； （2）（i）集合的每个元素在非空子集中出现的次数均为 ， 因此 ， ， 所以 ； （ii）依题意，的非空子集有个， 其中最大元素为的子集中，含1个元素的子集有1个，含2个元素的子集有个， 含3个元素的子集有个，，含个元素的子集有个， 因此最大元素为的子集有个， 同理得最大元素为的集有个， 最大元素为1的子集有个， 则=， 记， 则， 两式相减得 =， 所以=. 43．（25-26高二下·四川资阳·期末）已知数列的首项，且满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)记数列的前项和为， （i）求； （ii）若不等式对任意正整数都成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2)（i）；（ii）． 【详解】（1）由，得， 则，即， 又， 所以，是首项和公比均为的等比数列 （2）（i）由（1）得， 则． 则 令， 相减可得， 整理得， 故． （ii）由，得， 所以．设， 则． 当时，；当时，；当时，， 可得； 故当或4时，有最大值为， 所以． 题型05 利用与的关系求通项 利用消去得到关于与的递推关系，或消去得到与的递推关系，再利用等差（比）数列、或叠加、叠乘法活构造法求通项。 44．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 【答案】ACD 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 45．（25-26高二下·安徽马鞍山·期末）已知数列的前项和为，且满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，. 由，则 ， 即，所以， ，，， 累加得，又，所以， 检验，当时，符合，所以. （2）由（1）知，则， 则①， ②， ①-②得， 所以. 46．（25-26高二下·广东湛江·期末）为的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）当时，，即. 当时，有. 所以， 所以，即. 由，且，代入得，即，所以. 故从第一项起即为等比数列，公比，首项. 所以. （2）由(1)知，则. 于是. 因为，所以. 因此. 设， 则. 两式相减得， 其中. 所以， 故. 47．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为， 所以， 两式相减并整理得， 则， 当时，，则， 所以， 所以数列为首项为的等比数列，故各项均为，则， 所以. （2）由（1）知，， 则， ， 两式相减得 ， 故. 48．（2026·安徽芜湖·模拟预测）已知数列满足： (1)求； (2)猜想数列的通项公式并给出证明； (3)设，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2)答案见解析；(3) 【详解】（1）已知对任意正整数，有 当时，， 当时， ，代入，得 ， 所以，； （2）通项公式为 ， 由题设，当时，有​， ①－②得：， 将替换为，得， ④－③得：，即​， 结合，，则， 知数列是首项为，公比为的等比数列， 故通项公式为，得证； （3）已知 ，则 ， 令 ， 用错位相减法：， ， 两式相减得： 所以 所以 ，从而 49．（2026·四川成都·三模）已知等比数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，， 相减可得当，即，． 因为是等比数列，． 当时，，可解得． 数列的通项公式为． （2）∵    ∴，① ①3得，② 由①②得， 即， 化简得． 50．（2026·云南·模拟预测）已知正项数列的前n项和为，且满足． (1)求的通项公式； (2)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由，得，当时，，即， 又，所以．当时，， 所以， 即，整理得， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）得， ①当n为偶数时， ， 设，则， 令，所以， 两式相减得：， ， 所以，所以； ②当n为奇数时， ， 所以． 51．（26-27高三上·辽宁大连·开学考试）已知正项数列是的前项和，且满足． (1)求的通项公式： (2)数列满足，是的前项和，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由题意得，所以， 两式相减，可得，即． 数列的各项均为正数，，， 两式相减得，即 由数列的各项均为正数，知． 由，，， 由，解得， 于是，从而数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故； （2）由（1）可知，代入可得 ； ． 52．（2026·福建泉州·三模）已知数列的前项和为，． (1)证明：是等差数列； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，又因为， 所以，即，所以， 所以， 所以是以为首项，公差为的等差数列． （2）由（1）得，，， ，， 设，则变为对任意正整数恒成立， 当，，； 当，，， 因为， 所以，当时，，即；当时，，即， 故，， 所以，解得或， 因此的取值范围为． 53．（2026·山东济南·模拟预测）已知数列的前项和为，，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设； （ⅰ）求数列的前项和； （ⅱ）当时，设集合，集合中所有元素的和记为，求数列的通项公式． 【答案】(1)答案见解析；(2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据已知递推关系得，结合等差数列的定义即可证； （2）（i）由（1）得，利用关系求得，根据已知及组合数性质、二项式定理得，若数列的前项和为，再应用错位相减法、等比数列的前n项和公式求；（ii）根据已知得到，再由不等关系有，则，最后应用分组求和求解即可. 【详解】（1）证明：由，， 则， 所以，故是首项、公差均为1的等差数列； （2）（i）由（1）得， 当时，， 显然满足，所以， 所以， 又，， 所以， 所以， 若数列的前项和为， 则，， 所以 ， 所以； （ii）当时， ， 与矛盾，所以， 当时，， 与矛盾，所以， 综上，此时， 所以，可得，即， 所以，则 . 题型06 隔项成等差或等比数列 隔项成等差数列或等比数列的关键是分奇偶项讨论，分别写出奇数项和偶数项的通项，再用分段形式合并。核心思路是把递推式隔项相减（或相除），得到两个独立的等差（或等比）子列，然后按为奇数和偶数分别求通项。 54．（2026·北京海淀·三模）设是公差为1的等差数列，且，若，则（    ） A．2026 B．2027 C．1013 D．1014 【答案】D 【详解】已知是公差为1的等差数列，故对任意，有 . 由题设，可得，同理. 将代入的表达式，得： ， 即的奇数项、偶数项分别构成公差为1的等差数列. 属于奇数项，首项，奇数项通项为：对，. 令，解得，所以. 55．（多选）（26-27高三上·云南·开学考试）已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】对于选项A，因为，所以，两式相减得． 因为，所以，故A错误； 对于选项B，因为，，所以． 因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列； 数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对于选项C，由前面分析，得，， 所以，故C正确； 对于选项D， ，故D正确． 56．（多选）（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】由，， 令，得，故； 令，得，故，因此选项A错误. 由，当时，， 两式相减得， 故数列是首项为，公差为的等差数列，选项B正确. ， 其中，，， 由的通项公式， 得，故，选项C正确. 对于，， 每一组的和为（）， 故，选项D正确. 57．（多选）（25-26高二下·四川南充·期末）已知数列满足，且，为前n项和，下列说法正确的是（  ） A． B．偶数项是等比数列 C． D． 【答案】ADC 【详解】对A，由已知，，A正确； 对B，由已知，，，， 显然，因此偶数项不是等比数列，B错； 对C，，所以， 又，所以是等比数列，且公比为， 所以，从而，C正确； 对D，由选项C得， ， 又 ， 所以，D正确. 58.（多选）（25-26高三上·湖北·期中）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，可求出，由可得，两式相减可得，从而得到的奇数项和偶数项均为等差数列，由等差数列的通项公式可判断A；分别对的奇数项和偶数项求和可判断B（或相邻两项求和也可）；由古典概型的概率计算公式可判断C（或直接计算也可）；由数列放缩可判断D. 【分析】对于A，当时，，又，， 又，，， 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为4，公差为2的等差数列， ，故A正确； 对于B，， 故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，当，时，，又，，故D正确. 故选：ACD. 59．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列满足，（），则__________． 【答案】100 【详解】由可得， 两式相减得， 则对于奇数项数列，首项为，公差， 得， 令. 题型07 裂项相消法求和 裂项相消求和主要适用于形式的数列求和。 类型①（分式型裂项）：，其中为等差数列，公差为. 如，，； 类型②（根式型裂项）：； 类型③（指数型裂项）：，如，， ； 类型④（对数型）：； 类型⑤：， 60．（2026·山东济南·模拟预测）已知正项等比数列满足，设，则数列的前2027项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知正项等比数列满足， 当时，根据等比数列的性质，若，则， 所以，即， 因为数列为正项数列，所以， 因为，所以，即 设数列的前项和为，则. 61.（26-27高三上·云南·阶段检测）设等差数列的前项和为，若，，则数列的前11项和为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】等差数列的公差为：， 则， ， 则数列的前11项和为：. 62．（2026高三下·新疆·竞赛）已知正项数列满足，令，数列的前项和为，则__________. 【答案】 【分析】根据题意求出，进而求出和的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【详解】解析：由可得，解得或（舍）， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. ∴， ∴. 63．（26-27高三上·北京朝阳·开学考试）已知数列 满足 ， ，则下列命题正确的有 _________. ① 是递减数列； ② ； ③ ； ④ . 【答案】②④ 【详解】①因为，易知，故，所以是递增数列，错误. ②由于数列各项为正整数且是递增数列，由数学归纳法可证：, 假设，则， 故对所有的正整数成立，因此，正确. ③因为（当时取等），所以，错误. ④因为，所以，， ，正确. 64．（2026·湖南永州·一模）记为等差数列的前项和，已知，． (1)求数列的通项公式． (2)数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)；(2)答案见解析 【详解】（1）设等差数列公差为, 因为，所以， 因为， ，所以， 则，解得，即， 联立，解得， 则. 由(1)知，故， ， ， 因为，所以. 65．（26-27高三上·浙江嘉兴·开学考试）已知等比数列的各项均为正数，记为的前项和，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 由题意知，所以，解得或（舍去）， 所以，所以． （2），所以， 所以， 所以． 66．（25-26高三上·广东佛山·阶段检测）已知数列的前项和为，且，， (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：因为①，所以，解得， 对任意的，②， 得，即， 则,即，因为， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）分析可得，即． 因为， 所以． 67．（26-27高三上·广东·阶段检测）设公比为的等比数列的前项和为，且． (1)求和； (2)记，数列的前项和为，求． 【答案】(1)，；(2)（等价化简形式均可） 【详解】（1）已知，所以， 两式作差得：，即，， 所以，所以等比数列的公比为， 当时，， 又有，所以，， 综上，； （2）由知，， 所以， 则， 所以. 68．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）已知函数的图象关于点对称，数列满足. (1)求实数a的值； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由函数的图象关于点对称，得， 则，即， 因此，所以. （2）由（1）知，而当时，， 则， 于是，当时，，即，满足上式，因此， ， 所以. 69．（25-26高二下·江西吉安·期末）已知等差数列的首项，且，，成等比数列，公差． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数t的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意知. 因为成等比数列，故. 又，所以，，，代入得 展开整理得，即. 由得，因此数列的通项公式为 . （2）， 数列的前项和 因为，所以，故， 因此，即的最大值为. 不等式对任意恒成立，等价于， 整理得，即， 解得或. 70．（25-26高二下·江西鹰潭·期中）设数列的前n项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前n项和； (3)令，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）由，当时，，解得， 当，，则，即， 故是公比为3的等比数列，，所以，也适合此式，. （2）因为所以，. 从而， ， 两式相减得:， ，解得 （3）由（1）可知：，， ， ， 所以{}为递增数列，， 所以. 题型08 错位相减求和 若，其中为等差数列，为等比数列，可用错位相减法求数列的前项和； 71．（2026·湖南常德·模拟预测）已知数列的前项和为，，是公差为的等差数列，则的通项公式__________；令，则数列的前项和__________． 【答案】 【详解】根据题意由等差数列通项公式得 ，因此. 当时，，解得. 当时，， 又得 ,整理得， 即，因此为常数列， ，即； 验证时，满足上式，故. 代入得 ， 将前项按奇偶分组求和 合并得 ； 令 ①， 两边同乘得 ； ①②得 ， ， 代入得 ， 整理得， 因此 . 72．（25-26高三上·湖南·阶段检测）记等差数列的前n项和为，满足，． (1)求的通项公式； (2)设，求（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列首项，公差， ， 化简：，解得：， 通项：. （2）设①， 两边乘：②， ①②，错位相减： ， 则， 所以， 即. 73．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）在等差数列中，公差， ，，， 因为，，成等比数列， 所以，即， 解得，所以． （2）因为，所以， 所以， ， 两式相减得 ， 所以． 74．（25-26高二下·四川成都·期末）已知是等差数列，是等比数列，.设的前项和为，且，. (1)求和的通项公式； (2)若数列的前项和对任意都成立，求整数的最小值. 【答案】(1)，，其中.(2)6 【详解】（1）设的公差为，的公比为. 由及，得，即.     由及，得，即.     将代入，得，因为，所以，故.     所以数列的通项公式为.     数列的通项公式为，其中. （2）因为，所以.     故.     相减得.     .     故.     因为，所以.     又，故.     所以整数的最小值为6. 75．（26-27高三上·四川绵阳·开学考试）数列的前项和满足，等差数列中，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）由数列满足， 当时，， 两式相减得， ，是等比数列，公比为. 当时，，， 数列的通项公式为. ，， 设公差为，则， ，，数列的通项公式为. （2）由(1)得， 得 ， . 76．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，且. (1)设，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【详解】（1）由题意，当时，，解得， 当时，由①，可得②， ①-②，可得，即， 两边同时加6，可得， ，，即. 数列是以2为首项，为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为， （2）由（1）知，，则， ， ， 两式相减，得， ， . 77．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知是数列的前项和，，数列是公差为的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，且数列是公差为的等差数列，所以， 所以， 当时，，两式相减，得， 所以，所以， 所以数列是常数列，所以，即. （2）因为，所以. 又， 两式相加，得. 所以. 所以， ， 两式相减，得 . 所以. 题型09 分组（并项）求和 并项求和的方法： ①周期类数列求和：数列的周期为，则项合并； ②摆动类数列求和：形如，2项合并求和； ③有特定规律类型求和：按变化规律合并. 78．（2026·广东深圳·模拟预测）已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则（     ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为． 由，得①， 由得，得②， 联立①②，，解得， 所以． 则， 则，所以 ． 79．（多选）（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知，记数列的前项和为，则下列说法正确的有（    ） A．对任意， B． C．若，则 D．当数列是等差数列时， 【答案】ACD 【详解】对于A，将原递推公式的替换为,得 ， 又，两式相减可得，故A选项正确； 对于B， ，故B选项错误； 对于C， ，故C选项正确； 对于D，当数列是等差数列时，设公差为，则，， 令，则即，， 所以，，故D选项正确. 80．（多选）（2026·安徽六安·模拟预测）已知数列满足，记数列的前n项和为，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，，所以是数列的第3项，是数列的第3项， 所以，，所以，故A正确. 对于C，当，时，，，所以； 当，时，，，所以； 综上，，故C正确. 对于B， ，故B错误. 对于D， ，，故D正确. 81．（26-27高三上·陕西西安·阶段检测）设数列是公差为的等差数列，为公比为的等比数列，若，，，记数列的前项和为，则_____． 【答案】59158 【详解】由已知及，得，而， 解得，所以. 74．（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知数列的前项和为，且满足：，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由， 当时，， 两式相减得，，即，， 当时，，即，则， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 则. （2）由， 则 . 82．（26-27高三上·四川眉山·阶段检测）已知是各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由，得 ，即 ， 解得（舍去） . 所以数列的通项公式为： . （2） 由(1)得， 当时，， 又，故是首项为，公差为的等差数列. 设等比数列的前项和为，等差数列的前项和为， 由分组求和得. 计算：， 计算：， 因此. 83．（26-27高三上·安徽·阶段检测）设公差不为的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，（）， 因为，故， 又，则，解得或（舍去）， 则，所以． （2）结合（1）得， 所以的前项和为 ． 84．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）已知等差数列的首项为1，等比数列的公比为3，且，． (1)求和的通项公式； (2)设（），求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，， 解得，， 所以等差数列的通项公式为， 等比数列的通项公式为    ． （2）由（1）知（）， 则数列的前项和为， 其中， ， 因此，即数列的前项和为． 85．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）已知等差数列满足：，． (1)求的通项公式； (2)已知，，求前项的和． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，将已知条件转化为关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到和，再利用等差数列通项公式，求得的通项； （2）由的通项得到的表达式，判断的数列类型.因为按的奇偶性分别取和，所以前项和拆分为所有奇数项的和与所有偶数项的和两部分，其中奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，分别利用等差数列、等比数列前项和公式计算两部分的和，相加得到. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由题知： 解得，. 故. （2）由题知：. 奇数项：，故. 偶数项：，故. 故前项的和. 86．（26-27高三上·江苏南通·开学考试）记为等差数列的前n项和．已知，，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足：，且，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，，成等差数列，所以， 代入，，即， 所以． 又，所以， 所以． 故． （2）由（1）知，，则，且， 当为偶数时， . 当为奇数时，若， ， 也符合上式； 综上，. 87．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知数列的前项积为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，，由于，解得， 当时，由于，所以， 化简可得：， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以. （2）由（1）知，则， 当时，，所以， 此时， 则， 当时，，且， 此时， 综上，. 88．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知数列的前项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求的前项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）当时，， 当时，， 时满足上式，所以； （2）当为奇数时，；当为偶数时，； 所以 89．（2026·陕西西安·模拟预测）已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 90．（2026·河北·模拟预测）已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 91．（2026·江苏南京·三模）已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)答案见解析；(2)600. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. （2）由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 92．（25-26高三·全国·一轮复习）已知为数列的前n项和，且． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)答案见解析；(2) 【详解】（1）证明：当时，， 整理得，所以， 所以， 因为，所以， 所以是以1为首项，以2为公比的等比数列． （2）由（1）得，则，所以， ①当n为偶数时， ； ②当n为奇数时，可得； 综上：． 题型10 倒序相加法求和 若数列中的第项与倒数第项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和. 93．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 94．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 95．（25-26高二下·四川南充·期末）定义在上的函数满足，数列满足，若存在，使不等式成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为对任意，有， 数列 ①， 将①式倒序得： ②， 得：， 因此. 将代入不等式，整理得：存在，使得成立. 因为， 当且仅当时等号成立，解得， 即时有最小值，故，即的取值范围为. 96．（2026·河南·模拟预测）若函数，则（   ） A．6322 B． C．6321 D． 【答案】D 【详解】令，则， 所以， 则， 所以， 令， 则，两式相加得， 所以. 97．（25-26高二上·湖北黄冈·阶段检测）已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则______. 【答案】4034 【详解】令① 则也有② 由， ，即有， 可得：， 于是由①②两式相加得， 所以. 98．（25-26高二下·江西南昌·期末）已知，数列的前n项和为，点均在函数的图象上． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2026项和． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）点均在函数的图象上，， 当时，，即， 当时， ，满足上式，； （2）， ， ，， ①， 又 ②， ①②，得， ． 99．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn；(2) 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 题型12 数列求和的其它方法 100．（多选）（26-27高三·全国·一轮复习）若数列{an}满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前n项和为．下列结论正确的有（    ） A． B．是奇数 C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，数列为1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，所以，故A正确； 对于B，将斐波那契数列从第一项起按每三个数分成一段，则在每一段中前两个为奇数，后一个为偶数， 因为，所以是在第676段的第一个数，为奇数，故B正确； 对于C，由，得，，…，， 累加得，故C错误； 对于D，由，得 , 因,则 ,所以，故D正确． 101．（26-27高三上·陕西西安·开学考试）设为不超过的最大整数，若数列的通项公式为，记的前项和为，则使得的最大正整数的值为（    ） A．42 B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义令，解出对应的区间，每一个对应连续项，分段求和：算出到对应的项数与累加和，得到，进而时列不等式，求出m的最大值即可求解. 【详解】已知是不超过的最大整数，设（为整数）， 则.变形得，即. 因为是正整数，所以的整数取值为， 所以对，满足的正整数共有个，每个项的值为，该组的和为. 则时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时； 时，正整数共有个，即，此时， 设，解得，即最大取. 此时，； 若，，不符合要求. 因此使得的最大正整数为，则选项A正确. 102．（2026·安徽淮北·模拟预测）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则______；______ 【答案】 ； 【详解】； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 次扩充后得到，则，； 103．（26-27高三上·江苏徐州·开学考试）设､都是定义在上的奇函数，且为单调函数，．若对任意有（为常数），，则______． 【答案】 【分析】先利用奇函数的性质与的单调性求出，代入条件得到的递推式；构造辅助函数推出 ，判定为等差数列，最后用等差数列求和公式算出结果. 【详解】都是上奇函数，故， 因为，令，得， 所以， 因为 为单调函数，因此得， 因为，所以， 构造，则，得， 所以，得，则， 故是周期为的函数，即，得， 因为，令，得，得， 令，得，得， 由，取，得， 数列是首项，公差的等差数列， 所以， 所以. 104．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）某人工智能深度学习模型在训练时，采用自适应梯度下降算法优化参数，记第轮迭代的模型误差为数列，满足，，定义误差加权项，数列的前项和为，若（），且为奇数，则_____．（参考公式：（），参考数据：、、三个数均近似7.6） 【答案】 【分析】由已知条件先求出数列的通项公式，进而求出数列的通项公式，利用分组求和、裂项相消法及不等式的放缩，求出数列的前项和为，即可求出，最终求出的值. 【详解】由，则，所以， 因此数列是以为首项，1为公差的等差数列，则， 所以，代入，则， 所以， 因为，则， 因为，，所以， 又， 即， 又， 即， 所以， 又， 因此，即，即， 又因为（），且为奇数， 所以当时，区间为，而不合题意， 当时，则，此时符合题意， 所以. 105．（2026·安徽滁州·一模）将一个正n边形顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个不同的三角形区域，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则____________，____________． 【答案】 18 4086 【分析】根据排列组合的基本性质，通过分类和分步计数方法，求出三个区域、四个区域、和五个区域的不同方案数，再根据题意，讨论个、个、个不同的三角形区域的不同方案数之间的递推关系，根据递推关系，构造等比数列，进而求出结果. 【详解】有三个区域时，如下图，任意两个区域两两相邻，则三种颜色都要使用，共有种不同涂色方案； 有四个区域时，如下图，分两类情况，①当和区域颜色相同，不同方案有种； ②和区域颜色不同，不同方案有种.故当有四个区域时，共有种不同涂色方案； 当有五个区域时，如下图，分两类情况，① 和区域颜色相同，不同方案数为种； ②和区域颜色不同时，不同方案数为种；故当有五个区域时，共有种不同涂色方案； 当有个不同的三角形区域时，如下图所示， 情况一：当区域和区域颜色相同时，可理解为对个区域进行涂色，有种不同的方案，此时区域有两种不同的颜色可用，即共有种不同的方案； 情况二：当区域和区域颜色不同时，可理解为对个区域进行涂色，有种不同的方案，此时区域只有一种颜色可用，即共有种不同的方案； 综上可得； 所以，即， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列， 可得， 所以. 106．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）设无穷数列满足：，，且对任意，有． (1)若，，求前项的和； (2)求证：对任意，有； (3)问：是否存在常数，使得对任意，均存在互不相同的，使得？并给出证明． 【分析】（1）根据递推公式，逐一代入求出，，，，，，，进而即可求出前项的和； （2）先根据题意得到对任意，有，再分和两种情况分析即可证明； （3）将拆成组，第组为，再结合（2）得到，从而适当选取即可求出，进而得证． 【详解】（1）依题意，若，， 则，，，，，，， 所以前项的和为． (2)依题意，显然可得对任意，有， 若，则，则， 所以； 若，则，则， 所以， 综上，对任意，有，证毕． (3)存在，证明如下： 将拆成组，第组为， 结合（2）有，若，有，则； 若，有，则， 所以对任意，有， 这意味着每组连续三项的和，一定等于本组内某一项的倍， 即可适当选取，使得， 所以，即， 所以存在，使得等式成立，证毕． 107．（26-27高三上·广东湛江·开学考试）如图，在矩形中，为边上的中点，，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，直线与半圆相切，点，均在半圆的直径上，，均在半圆的弧上，作矩形，如此无限继续下去，记矩形的面积为． (1)求； (2)求数列的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)4；(2)；(3) 【分析】（1）通过直线与半圆相切，得到，即可求； （2）连接，通过，结合直线与半圆相切，得到，进而得到，即可求； （3）结合两角差的正切公式和裂项相消法求和即可. 【详解】（1）如图1，连接，则， 在矩形中，直线与半圆相切， 所以，，故． （2）如图2，连接，由题意可得：， 在矩形中，直线与半圆相切， 所以，． 由，得，所以， ，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故． （3）由（2）得，所以， 由，得， 所以数列的前项和： ． 108．（25-26高二下·江西赣州·期中）已知数列满足，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若将数列中满足的项，（）称为数列中的相同项，将数列的前20项中所有的相同项都剔除，求数列的前20项中余下项的和． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3) 【分析】（1）利用等差数列的定义证明； （2）数列中奇数项与偶数项分别构成等差数列，根据等差数列前项和公式计算求解； （3）结合（2）利用通项列举出两个数列相同的项，即可计算求解数列的前20项中余下项的和. 【详解】（1）数列满足，， 设，则， 有， 所以 ， 所以数列是首项为3，公差为3的等差数列，即数列为等差数列； （2）由（1）可知，， 设，同理可证数列是首项为12，公差为9的等差数列，即， 当时，前项包含个奇数项和个偶数项； 所以， 将代入可得， 当时， ， 将代入可得， 所以； （3）由（2）可知，列举出数列的前20项为： 奇数项：， 偶数项：， 相同的项为：， 数列的前20项中余下项的和为. 109. （26-27高三上·湖南·开学考试）对所有满足且的数列，记为满足的的最小值（若不存在，则记）． (1)若，求的可能取值； (2)证明：若，则； (3)求． 【答案】(1)，，；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）利用因式分解求得数列的递推关系式，然后根据的定义，依次检验各项即可. （2）利用条件，构造的通项公式，得到，同时证明不成立，于是得到. （3）先考虑奇数的情况，；然后再考虑偶数的情况，设，记，其中，．记,利用二进制格式证明.于是可以得到，再利用错位相减法求前n项和即可求解. 【详解】（1）由 因式分解得． 因此可得或． 已知，则或，即； 则可能为或，即； 则的可能取值为：若，则； 若，则， 所以． 又因为，故的所有可能取值为，，． （2）一方面，构造数列如下： 显然符合原式且此时，即． 另一方面，若，则，但，显然，矛盾． 因此只能有． 构造方法亦可写成：取，． （3）易知当为奇数时，． 以下讨论为偶数时的情形． 设，且记，其中，． 记．下面尝试证明：．     考虑，则，且满足：或． 则显然是满足的的最小值，此时，且， 由上述分解，可将写为唯一的二进制格式，即， 下考虑将该二进制数从左往右写出，从1开始（显然），每写一个数字即对应一个新的二进制数，直到得到的二进制数． 每多写一个0，对应十进制中即为给上一个数乘2， 每多写一个1，对应十进制中即为给上一个数乘2再加1． 则从到的过程即可等价于到的过程（显然这一路径具有最小性）， 写0时，相当于进行一步递推；写1时，相当于进行两步递推，故总递推步数为： “该二进制数的位数”“二进制数中1的个数”，即， 则．     （用其他方法完成该结论的证明亦可，若提出该结论而未证明，扣除证明过程的相应分数） 当时，满足的的个数为， 这是因为最高位固定，其余位中恰有个1．     于是 ．     故． 记， 则， 相减得， 故，     因此． 【点睛】（1）利用因式分解将未知的递推数列转化为已知的常见递推关系是处理复杂递推关系的重要方法；（2）利用二进制实现递推关系为或的处理是一种巧妙的方法值得借鉴；（3）最终求和时使用错位相减法处理数列通项前n项和需要认真运算，避免计算错误. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题02 已知递推关系求通项、数列求和 题型脑图重难考法归纳 题型1叠加法求通项 题型7裂项相消求和 题型2叠乘法求通项 题型8错位相减求和 题型3构造等差数列求通项 题型9分组（并项）求和 己知递推关系求通项、数列求和 题型4构造等比数列求通项 题型10倒序相加求和 题型5利用an与Sn的关系求通项 题型11其它方法求和 题型6隔项成等差或等比数列 考法深研•解题技能通关 题型01叠加法求通项 点方法技巧 累加法适用于形如a1-a,=fm）或4，-a1=mn≥2)的递推式。如4-a,=2n, a1-a,=2”,+1h1-na,=2n+l等等。 求通项时，利用4，=4+(a,-a)+(a,-a)++(a,-a）,注意求和时是n-)项的和。 1. （2627商二上河北保定期中)在数列a,}中，4=1，a=0,+ nn+1,则ao=() 29 39 A.20 B.3 C.20 D.2 2.(2627高三上山东青岛开学考试)如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》 中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，从第二层开始，第n层比第n-1层多n个球，则第 100层球的个数为() 1/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4949 B.4950 C.5049 D.5050 3.(26-27高三上贵州开学考试)已知数列 满足递推关系0。=a+23 ，且首项%=2 ,则数列 {a.} 的通项公式为() A.0。=3-3 8.a,=3”-1 C.0,=3+1 D.0,=3+3 1+1+ 1 4.(25-26高二下云南文山阶段检测)己知数列{a}满足4，=6,41-2=a.+2n,则a4, a20 () 9 10 19 20 A.10 B.11 C.20 D.21 1 g2026商下商州我克)已知散a/游足.之二+2g+ 1+2a9= n,则3 6.(26-27高=上黑龙江辽宁开学考试)在数列a,}中，4=1,4=4,0+2a,=301 an-an (1)证明： 是等比数列： 2求数列a,的通公式. 7.(2026江西九江模拟预测)已知数列a满足4=4，且meN,(2n-a=(2m+l加，-4 但求数列a}的通项公式 2设4，=a2,求数列他的前”项和 2/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.(2026山西忻州模拟预测)设数 a满足4=2.+l)a,=a,+2n+1neN). (田求数列a的通项公式 2例设冈=ax+a,2++a '() ,求 9。（25-26高三上广东广州开学考试)设数列a,}满足4=3，a=阳+ n+1n+1 (1)证明： {a,}为等差数列并求”； 2设)=ax+4r产++a,x 求3) 题型02叠乘法求通项 点方法技巧 al=fom）a=fmln22) du=n antl =2" 累乘法适用于形如 或a 的递推式。如a,n+1,a l=2n =4.4g an n+1等等。求通项时，利用 a1a2an-1。 10.已知数列a,满足4=2m一+a=0nGN）,求数列a的通项公式 2025 %=2',=2n+2 11.(2025高三下·甘肃·竞赛)己知数列，，满足 ’。·那么 a; n n≥2 12.(25-26高二下江西南昌期未)已知数列a,满足4=1，a,1=9a 求a 的通项公式： 1 (2)设数列2n+logs a的前n项和为Sn,证明：Sn<1. 1日。(25-26高二下江西九江期末)已知数列a,}满是4=2，且对任意1eN,有“中24 3/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 日求数列a的通项公式， 2求数列a的前”项和5 1 14.(2026-河北秦皇岛一模)在正项数列{an}中，设an的前n项和为Tn,已知a4=2,Tnan=n2. 国求a,的通项公式： 1 2令(a+2)a,求亿的前n项和5. 15.〔526病三上江苏徐州期末)已知数列a30的前0项和为8,8-”告24aeN),且a1.数 列，3为等比数列. b=43-4,b4=4+1 国求a}和子的通顶公式， nb,neN Cn= (2)设+1 ,求数列c}的前n项和T. 16.(26-27高二上甘肃平凉·阶段检测)己知数列 a的首项4=3，前”项和5满足5=25+3，数列 b-n+2 b,}的首项6=1，且满足b,n，其中neN. a求a和么，}的通项公式， (2)若数列c}的第n项cn是直线 (an2-x+ V= n+1 的斜率，求数列2b,c}的前n项和T。 (1)若=1，求数列{a的通项公式； (2)求1的值，使数列{a}是等差数列. 18.(2627高三上辽宁开学考试)已知neN,数列a的首项为0，-a+1)a=”.(提示： 4/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ml=1x2x3x…xu-l)×n) 四求a,} 的通项公式 1 2)记a.+1,设函数f(y)=1+bx+b,x2++br证明： (1)当x>0时，ff) (i)么+6++6，<e-1 题型03构造等差数列求通项 点 方法技巧 形如a1=gam+P·g”(P,9为常数，且p9≠0)的递推式，可通过等式两边同时除以9“，转化为 an+l an an q” =p 从而构造(9”可 )为等差数列： n41= gan 1-1=卫 1 (2)形如 pa,+q的递推式，可通过两边同时取倒数得到an+1a,9，从而构造 anJ为等差数 列； 11=卫 (③)Pa,a+1+q0+1=q0,的递推式，可通过两边同同时除以90，am+1,得到am+1a,9,从而构造 1 an) 为等差数列： 19.(26-27高三上·福建福州-阶段检测)在各项均不为零的数列{a,}中，若a=1,a,=3, 2a,a=aaa+a,4(aeN）.则4asF(） 1 1 A. 4033 B.4035 5/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 1 C.4051 D.4053 20.(2026云南昆明二模)设数列a清足4=3，a:+1a1 ()证明： a,}为等差数列： 以设么=a-小2，求数列私}南前”顶和了 21.(2627商三上辽宁阶段检)在数列a3中，4=2，帝. +H=马，+n 求数列a}的通项公式： S= (2)设”4aa,证明：S<1. 2.（25-26高二下江西期未)在数列a}中，4=10=20，+2 四求a,的通项公式： 2求a,}的前”项和S； 。Sn-1 (3)在(2)的条件下，令 ，n+)(n+2,求数列，}的前n项和工 23.(25-26高二下广西钦州期末)己知数列a}的首项4=1，且满足 1 (1)求证：数列an」为等差数列，并求数列{an}的通项公式： an,求数列{bn}的前n项和Sn. fan3 24.2526高三下福建厦门阶段检测)已知数列满足912a,+2 ，且92 6/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：数列2”了是等差数列： a. Sn 2)求数列a的前”项和○. (2n+4)a 25.(25-26高三下安徽阜阳阶段检测)已知数列a)中， a=4an-9n+2+4. n+1 (1)证明：数列a」为等差数列； (a) {红} (2)设数列 的前”项积为”，求数列的前”项和 26。(2627高三上四川南充阶段检测)在各项都是正数的数列a}中，4=36， a-a=4(va+va) (1)求数列 a}的通项公式： 1 .1 2记数列a4的前0项和为二，证明：工<16. 2a. 27.(2026陕西咸阳二模)已知数列{a}满足4=1，且 an+2, 求a,的通项公式 6=12 (2)若数列也，}满足”a,，记b}的前n项和为T,证明：1≤T,<3. 28。(河北衡水中学2024届下学期高三年级五调考试（数学）)在数列0，中，4=2， an+1=an+(n+2)2”+3. (1)证明：数列a,-n2 为等差数列： 7/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②求数列，的前n项和 ta 29.(2026四川资阳模拟预测)已知数列a}的前见项和为8,8±0，当"≥2时，8仅，-Q+1)=8 (1)证明：数列心n是等差数列； 1 21 2)若4=2，求数列S了的前n项和T· 30.(2026高三全国专题练习)已知数列a}满足4=2mH=(m+1a++1eN） 0)求数列 的通项公式： 2)设数列6-， 2 ，求证：么+6+6++b,<n+1-1 n+1; n+2 c21 (3)设 品，故阿和为方5对mN成，求数a的取酮 31.(25-26高二下黑龙江齐齐哈尔期中)在数列fa}中，4=1,3a,a1+a-a1=0u≥2neN） 「1 (1)求证：数列4」是等差数列： (2令2，数列}的前n项和为3，证明：8，<4 题型04构造等比数列求通项 点方技巧 1)形如a1=ka,+卫(k,P为常数，且p≠0，k≠1)的递推式，可用待定系数法将原等式变形为 m= a+m=(,+m）(其中mk-),构造等比数列a,+m, 8/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (②)形如a1=ka,+pn+9的递推式，可用待定系数法将原等式变形为 咖+=眼a小E台.品，我接7之黄刘 a,+mn+tj. ③“1=a。+pk≠P)的递推式，可用特定系数法将原等式变形为“1+mp=,+mp(其 1 m= 中 k-p),构造等比数列 .+mp}. 2”-1 32.(25-26高二下河南濮阳期末)已知数列{an}满足a,=1,an1=2an+n-1,Tn是数列anan+1J的前n 项和若不等式 2>I对n∈N 恒成立，则实数的取值范围为() A.[L,+) B.(,+oo) c.(2+o) D.[2,+o) 3.（多选)(2627高三上陕西检林开学考试)在数列a}中，4-=2,01=30。-2，n∈N,则 () A数列a,-为等比数列 8.数列o 的通项公式为0，=3+1 C,数列和，}的前n项和3=)+ 2 43n+4 D.若=lg,(a-),则数列的前n项和了-号4 段，206商三下新得喜南已正数a/清足4=2.=2a+4,州十2.网 么}的前”项和为5，则5， 9/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35。(2627高三上黑龙江哈尔演阶段检测)已知数列a,}满足0=4a,+3≥2，meN）,且4=3 (求数列a的通项公式： 2老。=ma,求的前”项和 36,(2526高三下费州遵义阶段检已知数列a清足4=3.0=2a,n+1. (证明：数列a,-川心是等比数列，并求a}的通项公式： 2设=受，求数列么，}的前n项和S, _1a-3-2a an 37.(25-26高二下河南许昌期末)已知数列a,}中，4=4， 1 (1)证明：数列a,为等比数列； 求数列{bn}的前n项和Tn 38。(2026山东烟台模拟预测)在数列a,}中，4=1，a,=2a+a4. 1 (1)证明： an 为等比数列： 2)设8,9，=(2n-1 ,求数列的前”项和5 39.(2526高三下旷广西南宁阶段检测已知数列a满足4-1,3m+1a,=n0 但求数列a,的通项公式： 2求数列a,小的前n项和S 40.(2627高三上湖北开学考试)在数列a}中，4=1,4=4,4+2a=304 10/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 {a41-an} (1)证明： 是等比数列： 2求a}的前n项和。 41,(2026重庆三模)已知数列a满足4-3，对m≥2且"eN,0-2a,=2-. 证明：数列a1a-是等比数列 2设-是，求数列么，}的前n项和S,. 42.(2026天津模拟预测)在数列a,中，4=L2n-1a=(2n+1a (山求a的通项公式 2己知集合4，=a,a,4,…a},记4的非空子集为B≤1≤2”-)，8中的所有元素的和为了，记 6=1.Z+3+3++7 2-1 0求数列6} 2n 的前2n项和 (①)记B中最大的元素为m,求” B m1+m2+…+m21 3 3an 43. (25-26高二下四川资阳期末)已知数列0，}的首项44，且满足” -2a.t7'neN 1 (1)证明：数列an」是等比数列： 2n-1 (2)记数列a,J的前n项和为Tn, (i)求”： 11/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (m+n-nZ)+2n-3>2n-3 (i)若不等式 a,对任意正整数n都成立，求2的取值范围. 题型05利用a与S的关系求通项 点方法技巧 利用a,=S,-S≥2)消去S得到关于0与a-的递推关系，或消去a,得到S.与S1的递推关 系，再利用等差（比）数列、或叠加、叠乘法活构造法求通项。 4,《多选)（2627高三全国一轮复习)已知数列a满足4+2a,++2a,=n:2” 则() (n+2) A.a=n+l B.{an}的前n项和为 2 c.《少a,}的前100项和为50 D.{1a,-5}的前30项和为357 45.(25-26高二下安徽马鞍山期末)已知数列a,的前”项和为5，日满足4=1， 2S,=(n+1)a,-n+1 neN' 但求数列a的通项公式： 2设=是，求数列色，}的前n项和工 46,(2526高二下广东湛江期末)5为a,的前”项和，已知45，+30- 求a,的通项公式： a设么=少1-2 求数列{bn}的前n项和Tn· 47.(2526高=下辽宁辽阳阶段检测)记8为数列a,的前”项和，已知3+2a,=+4n-2 (田求a的通项公式， 12/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 求数列，(3}的前n项和工。 48.(2026安徽芜湖模拟预测)已知数列a满足： (2n-1)a1+(2n-3)a2+..+3an1+an=n )求，马 回猜想数列a的通项公式并给出正明： 没=a2,求数列}的前”项和 49.(2026四川成都三模)已知等比数列a的前”项和为5，且满足=2S,+2(meN) (1)求数 {a,}的通项公式： n 、an (2)求数列(2的前n项和T. 50.(2026云南模拟预测)已知正项数列a,}的前n项和为S,且满足° 2. 求a 的通项公式： n为奇数 (2)记 = a(a+2) 2,为偶数，求数列，}的前”项和 51,(2627高三上江宁大连开学考试)已知正项数列a3,8是a} 的前”项和，且满足 S =Va3+a3+...a3 ①求a}的通项公式： =(10” 9+1- (2)数列{}满足 Tn是{色}的前n项和，求Tn. 13/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 52（2026定泉州三使)已加数列红的前0质和为S.。+5-日厂 (1)证明 {2a}是等差数列： 2刨若，-2-（←y1s0 求入的取值范围. 53. (2026-山东济南模拟预测)已知数列a的前”项和为S,4=1,且0，=8，+广+n, ∫Sn (1)证明：数列nJ为等差数列 bn=∑Ca (2)设 (1)求数列6 的前”项和： (ii)当n之l时， 设集合M,=6+bBm-2+2<+6<n:22+2,1≤1<1eN,柴合M,中所有元 素的和记为K, 求数列 的通项公式。 题型06隔项成等差或等比数列 点方法技巧 隔项成等差数列或等比数列的关键是分奇偶项讨论，分别写出奇数项和偶数项的通项，再用分段形式合 并。核心思路是把递推式隔项相减（或相除），得到两个独立的等差（或等比）子列，然后按为奇数 和偶数分别求通项。 54。(2026北京海淀三模)设么 是公差为1的等差数列，且。=0+a,若a1,则m（） A.2026 B.2027 C.1013 D.1014 5.(多选）(2627高=上云南开学考试)已知数列a,的前”项和为5，若0，+a1=61-1,8=2 则() A.0-7 B.数列a小是等差数列 14/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.4m-4-1=1 0 S5=331 56,（多选）（2526药二下黑龙江哈尔滨阶段检测)已知数列0的前”项和为5,4=， an +an =3n+1 则下列结论正确的有() A.%=11 B.数列a是等差数列 C.9=40 D.S =3n+n ,n为偶数 5又（多选）(2526高下四川南充期末)已知数列2满足” 2 an+1,n为奇数，且a=1,Sn为 an 前n项和，下列说法正确的是() A.8-4 B.偶数项是等比数列 3)- C.dzn-1=2x -1 D.Sm=16×2 -76 2 58.(多选)(2526高三上湖北期中)数列a,满足，+a=(-”(aeN）,且4=-3，数列a,的前 ”项和为5，从a,的前2n项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列口的前”项积为了，则 () A.a2=14 B.S。=-5 c.p>2m>) 59. (2026广东深圳模拟预测)已知数列a,}满足4=2，a+a,=2n(neN),则， 题型07裂项相消法求和 点方法技巧 15/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 裂项相消求和主要适用于a,a+1J形式的数列求和。 1 111 111 类型0（分式型裂项）：aa1da。a, 其中a}为等差数列，公差为d.如a+可nn+1 1(1 1 (2n-12n+022n-12n+1. ®a-nad 1 先86路：a+amo-k0 (a-1)a”11 2" 1 1 类型③（指数型裂项）：a“+ba1+ba”+ba+b,如2”+12+1)2”+12+1， 2n+5 1 2n+12n+3)2(2n+1)少2(2n+32”, n+2 .1 1 nn+1)-2n2▣n+1)2: 类型④（对数型）： +}=g.a+小-愿a 4n 类型⑤： m-e6r+id 60 （2026山东济南模拟预测)已知正项等比数列a满足：4≥2)，设么=0g,2 ，则数列 .b的前2027项和为（） 2026 2027 2028 2027 A.2027 B.2028 C.2027 D.2026 n+2 61.(26-27高三上云南阶段检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=8,a=16,则数列SnSn1 的前11项和为() 1 75 A.30 B.2464 16/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 11 C.36 D.360 n+2 b=- 62.(2026高三下新疆竞赛)已知正项数列{a,}满足4，=2，a=2a+a,a1,令nn+1a,数列 么的前”项和为，则， 63。(2627高三上北京朝阳开学考试)已知数列a}满足4=1，a=a+a,则下列命愿正确的 有 ①a}是递减数列：②a,>-1 1 1 ③a2026≤22025 ④a灯4+1++，1 ,*11 64.(2026湖南水州一模)记8为等差数列a的前”项和，已知4=3,8=4。 四求数列红的通项公式 ∫1 2爱别a的前灭和为r,求证：了<生 65,(26-27商=上浙江嘉兴开学考试已知等比数列a}的各项均为正数，记8为权}的前”项和，且 4=2S3=26 求数列a}的通项公式： 「1 (2)若b,=log3(Sn+1),求数列bb的前n项和T· 6,(2526高三上广东佛山-阶段检测)已知数列a3的前”项和为8，且8=24”，n∈N, 四求证：数列a+ 是等比数列； 17/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2设°，1g(a+)1og,(a+,求数列c,}的前n项和工. 67.(2627高三上旷广东阶段检测)设公比为9的等比数列a的前”项和为3，且8=0：2 (1)求和： = 2)记SS,数列}的前n项和为，求工. 68.(25-26高三上湖南长沙阶段检测)已知函数f()=sinr-+a(aeR)的图象关于点P(1对称， 0,n=1 数列满足0，= {an} f月+f(白)++f-马 ,n≥2 (1)求实数a的值： 2- b.= (2)设”(2+1)(21+1)，求数列{bn}的前n项和Sn. 69.(2526商二下江西吉安期末)已知等差数列a的首项4=1，且4，，成等比数列，公差 d≠0」 日求数列a}的通项公式 --g (2)设 GG,记数列}的前n项和为T,若不等式P-2t>In对任意的neN恒成立，求实数t的 取值范围。 70.(2526高二下-江西鹰源期中)设数列a,的前n项和为5，且满足25，=3a,-3,nGN。 求数列a,}的通项公式： 回若数列}满足么=log4,求数列ah,}的前n项和了， 18/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 Cn+2 (3)令Cn=2”log a,记数列c,Cm+1的前n项和为2n,求证：2 2≤0.<2 题型08错位相减求和 点方法技巧 若a。=b.c,其中亿.为等差数列， ,}为等比数列，可用错位相减法求数列a,j的前”项和； Sn 71.(2026湖南常德模拟预测)己知数列{an}的前n项和为Sn,a,=1, an是公差为2的等差数列， an2”+l,n为奇数 则{an}的通项公式an= a,·2",n为偶数，则数列{bn}的前2n项和Tn= 户。.（2525高三上湖南阶段检测)记等差数列a,eN门的前项和为，满足马+a,=6 Ss-as=7 四求a 的通项公式： 2设么受，求弟（用合的代数式表示）. ∑b 73。(26-27高三上湖南衡阳开学考试)已知等差数列0的公差为2，前”项和为，且.8，S成 成 b. bn=(-2)” 等比数列.数列n'满足 {an} (1)求数列的通项公式： Cn= an (2)若”b。,求数列cn}的前n项和T. 74。(25-26高二下四川成都期末)已知a,}是等差数列， 么，是等比数列4=么=1设6，的前”项和 19/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为”，且 2=a2S3=a4 国求a,和么，的通项公式。 an (2)若数列b,」的前n项和T,<2对任意n∈N都成立，求整数的最小值 75.(2627高三上四川绵阳开学考试)数a的前”项和>满足，=2a,2,等差数列 中， b2+b3=a3,b+b=a4 日求a,的通项公式， 回若。=么-)a,求数列的前”项和 76。(2526高二下北京期中)已知数列a的前”项和为S,且0，+。=3-1 没=3-a,证明数列 b.s 是等比数列，并求数列 的通项公式： 2设=(2n-16,求数列c的前”项和7。 1 77.(2026陕西榆林模拟预测)己知Sn是数列{an}的前n项和，a=1,数列anJ是公差为2的等差数 列： 但求数列a,的通项公式 6,=∑C,求数列b的前r项和7 (2)若“ 题型09分组（并项）求和 点方法技巧 并项求和的方法： 20/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①周期类数列求和：数列a)的周期为T,则T项合并： ②摆动类数列求和：形如4，=（少fm）,2项合并求和： ③有特定规律类型求和：按变化规律合并. an-8,n=2k-1 78.(2026广东深圳模拟预测)已知数列{an}是等差数列， 20,+ln=2k,keN b= 记Sn,Tn分别 为a,》的前”项和，若9=18，五=10，则7=() A.370 B.0 c.450 D.1024 79.(多选)(26-27高三上黑龙江哈尔滨阶段检测）已知”+a.=4n+2,记数列a, 的前”项和为 则下列说法正确的有() A.对任意n∈N,a+2-an=4 8.520=240 C.若4=，则5=461 D.当数列a,}是等差数列时，=90 an+1,n为奇数 80.（多选)(2026安徽六安模拟预测)已知数列{a,}满足4=l4=2a,2 2an,n为偶数，记数列 {a 的前”项和为，则下列说法正确的有() A.as ag 8.50=78 2,n=2k-1, n+1 k∈N 22,n=2k, D.S2 _+t+2'-2,teN 2 81.(2627高三上陕西西安阶段检测)设数列a,}是公差为·的等差数列，仙，}为公比为9(g>0)的等 比数列.若4=么=2,4+6=10,4+6-24，记数列a+6的前”顶和为了，则。 21/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 74。(26-27高三上重庆九龙坡阶段检测)已知数列a}的前”项和为S,且满足：又+2=4eN) 41=2 求o ”的通项公式： B设=+1，a,数}的前”顶和为，求 82.(26-27高三上四川眉山阶段检测)已知 a 是各项均为正数的等比数列，4=3,94-24，=1 (1)求数列 a,}的通项公式： 2设品=1e:&，求数列a+b 的前”项和 3.(2627高三上安徽阶段检测)设公差不为0的等差数列a}的前”项和为8，且=6,4,4， 成等比数列. 求a}的通项公式： 以没么=3+a,求数列 的前”项和 凸} 84。（26-27高三上河北论州开学考试)已知等差数列a} 的首项为1，等比数列3的公比为3，且 4=b4=b3 回求a}和的通项公式 ②没=a+么(n=N),求数列的前2”顶和， 85.(26-27高三上·北京海淀阶段检测)已知等差数列 }满足：4+a,=0,2a+4=3 0)求 ’的通项公式： 22/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a,n为奇数， 2)已知b.=(2,c= b,n为偶数.，求{cn}前2n项的和Tm 86。(2627高三上江苏南道开学考试)记8为等差数列风}的前川项和。已知4+3，，“4成等差数 列，且0=145 (1)求数列 的通项公式： (2)数列 6+。a,且8-1=4，求数列的前”顶和 1+1=1 7.(26-27高三上黑龙江哈尔滨开学考试)已知数列a}的前n项积为刀，且满足工4. 国求数列子的通项公式 ②没.=25-2文，求数列，的前产项和 8。(2526高二下四川南充阶段检测)已知数列}的前%项和为S,且S-+),。 求风子的通项公式： 2a,n为奇数 ②若数列红}满足么 2,n为偶数，求{bn}的前2n项和Tm· 89.(2026陕西西安·模拟预测)己知数列 的前”项和为8，且8=心 a) 求a}的通项公式： (2)若b.=gim 2,记数列，}的前n项和T,求T6 (2026河北模拟预测)已知等比数列a满足马=27，=72”，数列3满足4=g:. 90. (1)求数列 的通项公式： 23/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b.,（n=2k-1) 2)设 。,0a=2kkez b,b+2 求数列，}的前40项和S如 91,(2026江苏南京三模)已知数列a,}冲，其前粉项和记为及，且S=受0+号 n 数列c3满足+c2对于n≥2恒成立，则称数列.}是等差数列证明：数列}是等差数列： = 」a,n是奇数 (2)若4=3，记 2a-1,n是偶数，求b}的前20项的和. 92.(（2526高三全国一轮复习)已知8为数列a}的前n项和，且8=24+T-3m-1 但求证：数列a,2为等比数列： (2)设么=ac0sm 求数列私 的前n项和 题型10倒序相加法求和 点方法技巧 若数列口，}中的第k项与倒数第k项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和. 93.(2026广西桂林·一模)已知函数 2 2024 2025 ++ f 2026 、2026 () 2025 A.2026 B.2025 C.1013 D.2 94.(2026山西临汾一模)已知)=(t-小sim(2x-1)+1,数列a,}满足： a=)+(f. 则a2026为() 24/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2025 B.2026 C.4050 D.4052 95,(2526商二下四川南充期末)定义在R上的函数)满足()+f0-)=2,数列a满足 ,若存在nN,使不等式+2n-a+50成立.则1 的取值范围是() A.[2,+∞) B.[B,+∞) c.[4,+o) D.[5,+oo) 96。(2026河南模拟预测)若函数()=x+lg(NF-2x+1-x+,则 4051) 2026 2026 (2026 () 12253 12153 A.6322 B. 2 C.6321 D 2 97.(2526高二上湖北黄网阶段检测已知函数冈-s加(-)+2，数列a为等比数列，a>0,且 利用课本中推导等差数列前”项和的公式的方法，则（a)+f(血a,)++f(ham) a1009=e 98.(2526高二下-江西南昌期末)已知/(，-2+2，数列{a,}的前u项和为S,点(m,5)∈N) 2 y=f(x) 均在函数 的图象上 日求数列a的通项公式， 2考8) =8总)aeN）,求数列a的前2m6项和 4+2,令 9.(2026湖南长沙模拟预测)已知数列a的前u项和3=2-4eN）,函数/（四对任意的x∈R 25/29 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 都有0-动小1，数别6}满起么=+得…(0 国求数列a},么的通项公式： 2若数列c,满足。=a,b,求数列，的前”项和了 题型12数列求和的其它方法 10.（多选)(26-27高三全国一轮复习)若数列a清足4=a=1,4,=0+0,≥3) 则称该数 列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐 波那契数为边长的正方形拼接而成，从内到外依次连接通过正方形的四分之一圆弧，得到的曲线就是“黄 金螺旋线”.记以“为边长的正方形中扇形的面积为，数列的前”项和为。.下列结论正确的有 A.,=34 a026是奇数 B. S2025 C.a2+a4+a6+…+a2024=a202s D.a202502026 4 101.(2627高三上陕西西安开学考试)设冈为不超过”的最大整数，若数列a,的通项公式为 a,=[og,(2n+刃，记a,}的前”项和为5，则使得S,≤20的最大正整数”的值为() A.42 B.43 C.44 D.45 102.(2026·安徽淮准北模拟预测)数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数 列，初始数列口经过1次扩充后的新数列记为口}，项数记为P,所有项的和记为S现若扩充提测则为 2(0) 26/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 每相韶两项之间播入这两项的和，如：数列a么c经过一次扩充后得到数列口}=a,a+h6b+6,d. R=5,8=2a+3b+2c.已知初始数列a}=31,3),则B=一：S= 103.(26:27高三上江苏徐州开学考试)设（冈8（都是定义在R上的奇函数，且(）为单调函数， 01.若刻对任整xcR右e(小a(a为爱.&x42rg/(-2+2.则27)- 104.(河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题)某人工智能深度学习模型 1 在训练时，采用自适应梯度下降算法优化参数，记第n轮迭代的模型误差为数列{a},满足4二2， 1 b= a,+l,定义误差加权项”na。,数列b,}的前n项和为Sn,若S%∈(k,k+2)(keN),且k 奇数，则k=。(参考公武：mn+<1+T。++,<n+(n八)，参考数据：n20 23n n2026、n2027三个数均近似7.6) 105.(2026安徽滁州·一模)将一个正边形顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个不同的三 角形区域，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色.若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种 11 数为an,则a4= i=3 106。(2627高三上北京西城阶段检测)设无穷数列a,}满足：4,4>0，且对任意n∈N,有 0n+2= antl-an,ant>an an+1+an,an+l≤an· 若4=1,4=3，求a前'项的和 27/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2)求证：对任意”eN, an4 =an+an+2 ,有 a+a,++ak=元 (3)问：是否存在常数元，使得对任意keN,均存在互不相同的，，，，使得4+a。++a?并 给出证明. 107.(26-27高三上广东湛江开学考试)如图，在矩形 4CD中，0为48边上的中点， AB=2AD=2,点4，B均在半圆4，OB的直径4，B上，C，,D均在半圆4，OB的弧4，B:上，作矩形 ABC,D:,直线 ,D:与半圆 0相切，点，品均在图408的直径8上.G,D A,OB, 2,2均在半圆 AOB,的孤4码上，作矩形4B,CD,如此无限继铁下去，记矩形4BCD的面积为，(a∈N,） D A3 A2A B B2 B3 求， 2求数列a}的通项公式， B活人=tm(oga）,求数列的前”项和 3an+3,n为奇数 an+1=1 108. (25-26高二下江西赣州：期中)已知数列{a,}满足4=3， 0,+2,n为偶数」 (1)证明：数 an-)为等差数列： (2)求数列 的前项和； (3)若将数列 }中清足“=“的项，(+)称为数列0，中的相同项，将数列 }的前20项中所 28/29 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 有的相同项都剔别除，求数列a,的前20项中余下项的和。 109.(2627高三上湖南开学考试)对所有满足4-2且0+24+4a,-2a,-3a,01=0的数列a, 记为满足-★的的最小值（若不存在，则记=0) 似若=4，求的可能取值： k 2证明：若=2+20eL.2n-2),则=n (3)求台 29/29