精品解析：北京市中国人民大学附属中学通州校区2026-2027学年高一上学期月考一数学试卷

人大附中通州校区高一数学 月考一 2026年10月 一､选择题（共10道小题，每题4分，共40分.每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上） 1. 若集合，集合，若，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 3. 命题“,”的否定为（　　） A. , B. , C. , D. , 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a>b>0，则ac2>bc2 B. 若a>b，则a2>b2 C. 若a<b<0，则a2<ab<b2 D. 若a<b<0，则 5. 设集合的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 7. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ） A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b 8. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 10. 设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ） A. 7 B. 10 C. D. 二､填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数的定义域为_________.（写成区间形式） 12. 若集合，则实数的取值范围是__________. 13. 已知，则的最小值为_________，此时实数的取值为_________. 14. 已知集合，且有个子集，则实数的取值范围是________． 15. 设，下列不等式恒成立的是：__________. ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 三､解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合. （1）当时，求集合 （2）若，求的取值范围. 17. 已知集合. （1）求集合； （2）若是成立的_________条件，判断实数是否存在？若实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. [请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在问题（2）中，并作答.] 18. 已知函数，． （1）若的解集是，求函数的零点； （2）求不等式的解集． 19. 二次函数满足且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求a的取值范围． 21. 李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） （1）求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； （2）求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人大附中通州校区高一数学 月考一 2026年10月 一､选择题（共10道小题，每题4分，共40分.每道题只有一个正确答案，请把正确答案填在答题纸上） 1. 若集合，集合，若，则实数的取值集合为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题中条件可得或，解方程即可. 【详解】因为，，， 所以或， 解得或， 所以实数的取值集合为. 故选：D. 2. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】同一函数需满足的条件：①定义域一样；②表达式一样，依次判断即可. 【详解】A选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以A选项错误； B选项，，而，两个函数表达式不一样， 所以不是同一函数，所以B选项错误； C选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，且定义域为， 两个函数表达式一样，定义域一样，所以D选项正确. 3. 命题“,”的否定为（　　） A. , B. , C. , D. , 【答案】A 【解析】 【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】解：命题为全称命题,则命题“,”的否定为： “,”, 故选：A 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础． 4. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若a>b>0，则ac2>bc2 B. 若a>b，则a2>b2 C. 若a<b<0，则a2<ab<b2 D. 若a<b<0，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例说明ABC不正确，依据不等式的性质可知D正确，从而得出选项. 【详解】对于A，当c=0时，ac2=bc2，所以A不是真命题； 对于B，当a=0，b=-2时，a>b，但a2<b2，所以B不是真命题； 对于C，当a=-4，b=-1时，a<b<0，a2>ab>b2，所以C不是真命题； 对于D，若a<b<0，则，所以D是真命题． 故选:D． 5. 设集合的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】主要考查充要条件的概念及充要条件的判定方法． 解：因为NM.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件．故选B． 6. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的补集以及交集的定义即可求解. 【详解】由图可知，阴影部分的元素为属于但不属于的元素构成， 所以集合表示为. 故选：A. 7. 设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ） A. a>b B. a<b C. a≥b D. a≤b 【答案】C 【解析】 【分析】作差比较可得答案. 【详解】a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以a≥b. 故选：C. 8. 命题“”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知“，”为真命题，从而得或即可求解. 【详解】根据命题的否定可知“，”为真命题，所以有或，解得或. 所以实数的取值范围是 9. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润（单位:10万元）与营运年数为二次函数的关系（如图）；则要使营运的年平均利润最大，每辆客车应营运（ ） A. 3年 B. 4年 C. 5年 D. 6年 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象上的已知点，结合待定系数法求得函数解析式，表示出年平均利润，利用基本不等式即可求解. 【详解】由图可知，二次函数的图象的顶点为，过点，开口向下， 因此，设二次函数的解析式为， 所以，解得，即， 则营运的年平均利润， 当且仅当，即时，有最大值；即每辆车营运5年时，年平均利润最大. 故选：C. 10. 设集合，集合，定义，则中元素个数是（ ） A. 7 B. 10 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集和并集的定义求得，再根据的定义求解即可. 【详解】集合，集合 ， ， 共有10个元素. 故选：B． 二､填空题（每小题4分，共20分） 11. 函数的定义域为_________.（写成区间形式） 【答案】 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数非负、分式分母不为零的要求列不等式组，求解解集的交集即可得到定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下约束条件： 对于偶次根式，要求被开方数非负：，解得； 对于分式，要求分母不为零：，解得. 取两个解集的交集，可得函数的定义域为. 12. 若集合，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解集为空集可得判别式小于等于零，从而可求实数的取值范围. 【详解】因为，故无解， 所以即. 故答案为：. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解，注意解的形式与判别式的正负之间的关系，本题属于容易题. 13. 已知，则的最小值为_________，此时实数的取值为_________. 【答案】 ①. 25 ②. ##0.4 【解析】 【详解】， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 14. 已知集合，且有个子集，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据有个子集判断出元素的个数，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】，． 由于有个子集，所以有个元素， 所以，解得且． 所以的取值范围是 故答案为： 15. 设，下列不等式恒成立的是：__________. ①； ②； ③； ④； ⑤若，则 【答案】①②③ 【解析】 【分析】对于选项①，利用作差法，再配方即可判断不等式恒成立； 对于选项②，③，④，⑤,利用均值不等式即可判断不等式是否恒成立； 对于选项④，取特殊值即可判断不等式不恒成立. 【详解】对于选项①，由于，，故①恒成立； 对于选项②，由于，，，当且仅当时，等号成立，故②恒成立； 对于选项③，由于，，，当且仅当时，等号成立，故③恒成立； 对于选项④，当时，，故④不恒成立； 对于选项⑤，，，，当且仅当时，等号成立.故⑤不恒成立， 即不等式恒成立的是①②③. 三､解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知集合. （1）当时，求集合 （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式求出集合，代入可求得集合，再由集合运算法则求解即可； （2）由可得集合是集合的子集，再由集合间的包含关系得出不等式，即可求得结果. 【小问1详解】 易知； 所以或； 当时可得集合. 所以； 【小问2详解】 因为，所以是的子集， 当时，由，可得； 当时，，即， 又，解得， 又，故. 综上，实数的取值范围为. 17. 已知集合. （1）求集合； （2）若是成立的_________条件，判断实数是否存在？若实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. [请在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在问题（2）中，并作答.] 【答案】（1），． （2）选择①时，实数存在，；选择②时，实数存在，；选择③时，实数不存在． 【解析】 【分析】（1）分别解两个一元二次不等式，写出集合． （2）将“充分不必要、必要不充分、充要”分别转化为集合的真包含或相等关系，再比较两个闭区间的端点求． 【小问1详解】 由得 又 因为，所以 【小问2详解】 设命题为“”，命题为“”． 选择①“充分不必要条件”时， 且，即 ． 因此 解得． 当时， 确实成立，所以 选择②“必要不充分条件”时，且，即 ． 因此 结合，解得 此时 ，所以 选择③“充要条件”时，应有． 若两个闭区间相等，则端点分别相等，即 前式得，后式得，矛盾． 因此不存在满足条件的实数． 18. 已知函数，． （1）若的解集是，求函数的零点； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）1和3； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意确定是的一个根，从而求出，进而求解即可； （2）先讨论当时求解不等式，在时求得方程的两根为，再比较两根大小，分类讨论求解不等式即可. 【小问1详解】 因为的解集是，所以是的一个根， 所以，解得，所以. 令，解得， 所以的零点为1和3. 【小问2详解】 因为，即，所以， 当时，，解得； 当时，方程的两根为， 当时，开口向下，且，解得； 当时，开口向上，且，解得或； 当时，开口向上，且，解得； 当时，开口向上，且，解得或； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 二次函数满足且. （1）求的解析式； （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设，根据且，利用待定系数法可得的解析式； （2）分离参数，转化为求解二次函数的最小值问题可得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意，设， 则. 从而，， 又， ，解得， 又， . 【小问2详解】 由（1）及， 令，， 则当时，为减函数， 当时，， 从而要使不等式恒成立，则. 故实数的取值范围是. 20. 已知函数． （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若关于x的方程有两个不相等的实数根，，求的取值范围； （3）若当时，恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）1 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得和3为方程的两根，且，进而结合韦达定理求解即可； （2）结合一元二次方程的根的判别式和韦达定理求解即可； （3）将问题转化为对于恒成立，令，进而结合二次函数的性质可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意，和3为方程的两根，且， 则，解得. 【小问2详解】 由题意方程有两个不相等的实数根，， 则，即且， 又， 则当时，； 当时，， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 由，，即， 即对于恒成立， 令， 则， 因为函数在上单调递增， 所以当时，，即， 所以，即a的取值范围为． 21. 李明自主创业开发生产一种产品，生产这种产品的年固定成本为2500元，每生产件，需另投入成本（单位：元），当产品的年产量不足30件时，；当产品的年产量不小于30件时，；若每件产品的售价为500元，通过市场分析，所生产的产品能全部销售完.（利润=总收入-成本） （1）求年利润（元）关于年产量（件）的函数关系式； （2）求产品的年产量为多少件时，李明在这一产品的生产中获利最大？ 【答案】（1） （2）年产量为100件时获利最大 【解析】 【分析】（1）根据“利润总收入成本”求得关于的函数关系式. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得获利最大时对应的年产量. 【小问1详解】 依题意， . 【小问2详解】 当时，当时， 取得最大值为元. 当时，元， 当且仅当件时等号成立. 综上所述，当年产量为件时，获利最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $