精品解析：北京市第二中学朝阳学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

北京市第二中学朝阳学校2026-2027学年 第一学期高一年级数学学科10月考试卷 命题人高一数学备课组 审核人高一数学备课组 考查目标 1.知识：考查集合与常用逻辑、一元二次函数、方程和不等式等基础知识，检测学生对核心概念、公式、定理的理解和基本题型的掌握. 2.能力：重点考查数学运算、逻辑推理、直观想象、抽象概括和综合应用能力. 考生须知 1.本试卷分为试题卷和答题纸，共8页：其中试题卷4页，答题纸4页.全卷共三大题，21道小题. 2.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 3.在试卷和答题纸的指定位置准确填涂班级、姓名、考号、座号. 一、单选题（每题5分，共50分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】命题“，”为全称量词命题， 因此该命题的否定为：，. 2. 下列图形可以表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数概念一个只能对应一个，逐项判断即可. 【详解】由图象可知C符合，ABD都出现一个对应多个的情况， 所以C对，ABD错误. 故选：C 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 又，故. 4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知命题“，”为真命题，可得出，可得出实数的取值范围. 【详解】因为命题“，使”是假命题， 则命题“，”为真命题，则，解得， 故实数的取值范围是. 故选：D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，，满足，但. 若，因为，所以成立. 所以是必要不充分条件. 6. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由于，故，即，故A错误； 对于B、C，取，，，， 此时，，，， 所以，，故B、C错误； 对于D，因为，，故， 所以，故D正确． 7. 现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【详解】设截去的小正方形边长为米， 则长方体形的无盖容器的容积， 当且仅当，即时取等号，所以截去的小正方形边长应为米. 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间是区间的真子集， 则有且等号不能同时成立，解得. 故实数的取值范围是. 9. 已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 10. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 二、填空题（每题5分，共30分；其中16题少选得3分，多选、错选不得分） 11. 函数定义域是______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由集合， 因为，则或，解得或， 当时，集合，满足； 当时，集合，满足， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 13. 函数(）的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【详解】，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 14. 设a，，若集合，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据集合相等的定义，结合集合元素的互异性，推导出、的值后代入所求式子计算. 【详解】因为右侧集合中有​，分母不能为0，故， 两个集合相等，左侧集合必须含元素0，结合，得：，即 ，因此， 此时左侧集合为，右侧集合为，集合元素对应相等，可得，， 此时，符合条件. 所以. 15. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分、和三种情况分析解不等式即可求解. 【详解】不等式， 解方程得或， 所以当时，原不等式解集为， 解集中恰有3个整数，则该3个整数为，所以； 当时，原不等式解集为，不符合； 当时，原不等式解集为，解集中恰有3个整数，则该3个整数为， 所以. 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 16. 若集合，其中为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分．例如：集合，，均为集合的一个划分．设为有理数集的一个划分，且满足对任意，任意，都有．则对于有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】通过举特例即可判断①②③，利用反证法即可判断④ 【详解】对于①，，，①可能成立； 对于②，，，②可能成立； 对于③，，，③可能成立； 对于④，假设④成立，不妨设中的元素的最大值为，中的元素的最小值为， 由题可知，所以， 因为为中的元素的最大值，所以， 因为为中的元素的最小值，所以， 又因为，所以，与矛盾， 所以假设不成立，即④不可能成立． 三、解答题（17、18题13分，19题14分，20、21题15分，共70分） 17. 求解下列关于的不等式： （1）； （2）； 【答案】（1） . （2） . 【解析】 【小问1详解】 由得，通分得，即， 不等式等价于，解得. 【小问2详解】 令，则，得，即，解得. 18. 已知集合． （1）若，求； （2）已知，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）代入可得，进而根据集合间的交、并、补集运算求解； （2）分析可知，分类讨论集合是否为空集，结合包含关系运算求解. 【小问1详解】 若，则，且， 可得， 所以，； 【小问2详解】 若，则， 当A是空集，则，解得，符合题意； 当A不是空集，则，解得； 综上所述：的取值范围为. 19. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 【答案】（1） （2）这批无人机使用4年后更新年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元。 【解析】 【分析】（1）由题意可得，进而解不等式即可求解； （2）由题意可得，进而结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，，， 令，得，即， 则，解得， 因此，要保证配送站每日利润不为负数，每单配送费的取值范围为. 【小问2详解】 由题意，年平均总费用为， 当且仅当，即时等号成立， 则这批无人机使用4年后更新，可以使年平均总费用最低，最低年平均总费用为24万元. 20. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，分别求的值； （2）若且不等式的解集为，求取值范围 （3）若，，讨论此不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理即可求解； （2）根据一元二次不等式恒成立的条件即可求解； （3）分、、三种情况进行讨论即可求解； 【小问1详解】 由题意可知和4是方程的两个根，且， 所以，， 解得； 【小问2详解】 若，则不等式为， 当，不等式即为，不合题意； 当，则有，解得， 所以的取值范围是； 【小问3详解】 若，则不等式为，即， 当时，，则不等式的解集为； 当时，不等式即为，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 21. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 【答案】（1）、 （2） 当时，． 所以或． 假设数对和中的两数均奇偶性不同，则和均为奇数． 因为，为偶数，所以，且． 又，故，，，， 所以不具有性质． 又，所以一定具有性质． 结合，，，， ，． 所以，与已知矛盾． 所以数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同． （3）16 【解析】 【分析】（1）直接计算，枚举法 （2）利用进行奇偶数分析，利用反证法证明. （3）通过条件，对下标进行约束.，用组合极值思想组合构造. 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设． 若具有性质，则． 不妨设，则，所以． 故，． 对任意的，有，． 所以确定时，满足条件的的个数至多为． 所以． 当时，． 所以的最大值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二中学朝阳学校2026-2027学年 第一学期高一年级数学学科10月考试卷 命题人高一数学备课组 审核人高一数学备课组 考查目标 1.知识：考查集合与常用逻辑、一元二次函数、方程和不等式等基础知识，检测学生对核心概念、公式、定理的理解和基本题型的掌握. 2.能力：重点考查数学运算、逻辑推理、直观想象、抽象概括和综合应用能力. 考生须知 1.本试卷分为试题卷和答题纸，共8页：其中试题卷4页，答题纸4页.全卷共三大题，21道小题. 2.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 3.在试卷和答题纸的指定位置准确填涂班级、姓名、考号、座号. 一、单选题（每题5分，共50分） 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形可以表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 设，，，为实数，且，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 现有一块边长为1.5米的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，为了使容器的容积最大，则截去的小正方形边长应为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 已知不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 9. 已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（ ） A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 二、填空题（每题5分，共30分；其中16题少选得3分，多选、错选不得分） 11. 函数定义域是______. 12. 已知集合，若 ，则实数的值为_____. 13. 函数(）的最大值为______． 14. 设a，，若集合，则______． 15. 若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为______． 16. 若集合，其中为非空集合，，，则称集合为集合的一个划分．例如：集合，，均为集合的一个划分．设为有理数集的一个划分，且满足对任意，任意，都有．则对于有： ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值； 对于以上四种情况，可能成立的序号有______． 三、解答题（17、18题13分，19题14分，20、21题15分，共70分） 17. 求解下列关于的不等式： （1）； （2）； 18. 已知集合． （1）若，求； （2）已知，求的取值范围． 19. 2026年，某市低空经济蓬勃发展，一家物流企业开通“无人机即时配送”服务，并设立配送站.经市场调研，该站每日配送单量（单位：单）与每单配送费（单位：元）满足关系式（其中）.已知配送站每日的固定成本为19200元，每完成一单配送，需支付电费、耗材费、设备保养费等可变成本，每单可变成本为4元. （1）若要保证配送站每日利润（单位：元）不为负数，求每单配送费的取值范围；（每日利润每日配送总收入每日可变总成本每日固定成本） （2）为提升运力，该站购进一批新型无人机，购机费用为32万元.投入使用后，这批无人机使用年的累计维保总费用为万元.请问：这批无人机使用多少年后更新，可以使年平均总费用最低？请求出最低年平均总费用.（年平均总费用（购机费用维保总费用）使用年数） 20. 已知关于的不等式． （1）若不等式的解集是，分别求的值； （2）若且不等式的解集为，求取值范围 （3）若，，讨论此不等式的解集． 21. 已知集合，其中．若的子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的子集的个数记为． （1）当时，写出的所有具有性质的子集； （2）当时，若，且，证明：数对和中至少有一对中的两数奇偶性相同； （3）当时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $