精品解析：北京市通州区潞河中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

2025-2026学年第一学期高一数学十二月月考试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用诱导公式，结合特殊角的余弦值求解即可. 【详解】， 故选：C 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到为第二象限角，求得，进而得到答案. 【详解】因为角的终边过点，所以为第二象限角，所以， 所以位于第四象限. 故选：D. 3. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出，再利用奇偶性及在的单调性判断即得. 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 4. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析函数的单调性，再利用零点存在定理分析判断选项． 【详解】在上单调递增，在内单调递增， 在定义域上单调递增， ，， 根据零点存在定理可知，存在使得，故A正确； ，函数在定义域上单调递增， ，故BCD错误． 故选：A． 5. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的性质即可判断A，利用特值法即可判断BCD. 【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，当时，，所以，故B错误； 对于C，当时，所以，故C错误； 对于D，当时，，所以，故D错误， 故选：A. 6. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式及的性质，由得到，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】由，得到， 则，当时，， 所以可以推出，但推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A. 7. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及指数函数的单调性，分别判断的大致范围，即可比较大小. 【详解】因为， ，， 所以. 故选：B 8. 某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中是正常数．经检测，当时，，则当稳定性系数降为时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参考数据：，) A. 10年 B. 11年 C. 12年 D. 13年 【答案】D 【解析】 【分析】根据，当时，，得即可解决. 【详解】由，得， 令，得， 两边取常用对数，得 ， 所以． 故选:D. 9. 设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（ ） A. 点是函数图象的一个对称中心 B. 函数的最小正周期为 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数的一个零点是 【答案】B 【解析】 【分析】根据在区间上的单调性以及，求得图象的对称中心、对称轴、函数的最小正周期，即可判断各选项. 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 10. 设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据聚点的含义，一一判断各集合是否满足聚点定义，即可判断答案. 【详解】对于①，对任意，都存在， 使得，故0是集合的聚点； 对于②，取，此时对于任意， 都有，即不可能成立，故0不是集合的聚点； 对于③，对任意，都存在，即， 使得，故0是集合的聚点； 对于④，，即随n的增大而增大， 故的最小值为，故当时，不存在x，使得， 故0不是集合的聚点； 故选：B 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是理解聚点的含义，判断所给集合是否满足聚点定义. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 函数的定义域为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可求函数的定义域. 【详解】由，得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 12. 满足的α、β的一组值是______．（写出一组即可） 【答案】，(答案不唯一) 【解析】 【分析】取特殊值即可求解. 【详解】取，则，， 所以，则，所以，可取， 则满足的α、β的一组值是，， 故答案为：，(答案不唯一) 13. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的图象的特征求得，再代入化简整理并解不等式即可. 【详解】解：由二次函数图象可知， 二次函数的图象与轴的交点为和，开口向下，与轴的交点为， 所以，，解得， 所以化简整理得：，解得或， 所以不等式的解集为 故答案为： 14. 已知函数，则的单调递增区间为______；满足的非负整数解的个数为______． 【答案】 ①. 和 ②. 17 【解析】 【分析】根据对数函数与二次函数的单调性求解即可. 【详解】当时，，则其单调增区间为， 函数的对称轴为， 则当时，，其单调增区间为， 综上所述，的单调递增区间为和， 由， 得或， 解得或， 所以满足的非负整数解有个. 故答案为：和；. 15. 已知函数，则下列所有正确命题的序号是_______________. ①函数图象关于直线对称；②在上有4个零点； ③在上单调递减；④的值域是 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值检验可判定①，根据的图象交点个数可判定②，分函数判定结合奇偶性的性质可判定③，利用三角函数的有界性结合二倍角公式化二次函数求值域即可. 【详解】显然，即函数为偶函数. 对于①，易知， 即，所以不关于对称，①错误； 对于②，作出的图象， 则函数的零点问题化为该两函数交点个数问题， 由图象可知在上有4个零点，故②正确； 对于③，易知时，单调递增，单调递减， 则单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减，故③正确； 对于④，由偶函数的性质，我们只研究时函数的值域. 易知，，则， 且时可以取得等号； 下面分析值域下限，， 显然时，，故④错误. 故答案为：②③ 四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各式的值 （1）已知，求的值； （2）； （3）化简：． 【答案】（1）7 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）利用平方法，结合指数幂的运算性质进行求解即可； （2）根据对数的运算性质，结合指数幂的运算性质进行求解即可； （3）利用诱导公式进行求解即可. 【小问1详解】 ， 则两边同时平方可得，， 故； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 17. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若，解关于x的不等式的解集． 【答案】（1）； （2） 当时，的解集为； 当时，的解集为空集； 当时，的解集为． 【解析】 【分析】（1）利用幂函数的性质建立方程求解参数，再利用偶函数性质取舍即可. （2）将不等式转化为一元二次不等式，进而对参数分类讨论得到解集即可. 【小问1详解】 因为是幂函数， 所以，解得或， 因为为偶函数，所以，可得． 【小问2详解】 由题意得， 所以不等式即为， 令，则，，且是开口向上的二次函数，根据其性质得： 当时，的解集为；当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 综上，不等式的解集如下， 当时，的解集为；当时，的解集为空集；当时，的解集为． 18. 某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 －1 0 （1）根据上表中数据，求出ω，φ及，，的值； （2）求函数的单调递减区间． （3）求函数在区间内的最值． 【答案】（1），，，，； （2） （3）最小值，最大值． 【解析】 【分析】（1）由表格数据可得最小正周期，据此可得，由可得，然后可将表格补充完整； （2）由（1）可得，解该不等式即可得解； （3）因，则，然后结合正弦函数单调性可得答案. 【小问1详解】 由表格数据知： 的最小正周期，∴， ∴，∴由题意，解得， 又，∴； 则由题，解得；，解得；，解得； 【小问2详解】 由（1）知，令，解得， ∴的单调递减区间为； 【小问3详解】 因，则. 又在上单调递减，在上单调递增， 则，， 即的最大值为，最小值为. 19. 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式． （1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本） （2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合利润=销售收入－成本，分，两种情况讨论，即可求解． （2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解． 【小问1详解】 当时，， 当时，， 故． 【小问2详解】 当时，， 故当时，取得最大值，且最大值为128， 当时， ， 当且仅当，即（负值舍去）时，等号成立，此时取得最大值，且最大值为136， 由于， 所以销售量为15万盒时，该村的获利最大，此时的最大利润为136万元． 20. 已知且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）令，写出的单调区间（只需写出结论）； （3）在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） 为奇函数.证明如下： 由，得或， 即函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以为奇函数. （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的增区间为，无减区间. （3） 【解析】 【分析】（1）利用定义法即可证明函数的奇偶性； （2）根据对数复合函数的单调性的应用即可求解； （3）由函数的单调性可知且，进而，则是方程在的两个不同的根，解不等式组即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意知，由，解得或， 即的定义域为， 又函数在上单调递增， 当时，在上单调递减， 此时的减区间为，无增区间； 当时，在上单调递增， 此时的增区间为，无减区间. 【小问3详解】 由，，得， 又，得，所以. 所以在上单调递减，则在上的值域为， 得，即， 所以是方程即在的两个不同的根， 则，解得. 所以存在满足题意的，此时a的取值范围为. 21. 设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 【答案】（1） （2） 不存在，理由如下： 假设存在使得. 不妨设，设， ，，，. 由①②可知，a,b,c,d,e,f,g,h,l互不相同. 由③可知，存在集合与的交集不为， 且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素， 不妨设集合为，且，故. 由②可知，的元素个数均为， 且均不为或， 所以集合或，或，或. 由于b,d,e,f,g,h,l互不相同，集合至少包含个元素，与①矛盾. 所以不存在使得. （3）13 【解析】 【分析】（1）假设，根据条件②来进行排除，同理排除，最终得出； （2）用反证法证明，根据三个条件寻找矛盾即可； （3）结合（2）先证明，最多属于中的4个集合，再列举出时符合题意，反证不符合题意即可. 【小问1详解】 由题意可得集合A中有3个不同的元素， 若，要使与满足条件②，则均不属于，所以， 同理可判断均不属于， 则符合题意，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设集合具有性质. 在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合， 否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合， 则与②或③矛盾. 不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合， 除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为， 设集合包含元素. 当时，若，则，与②矛盾， 所以互不相同，且均不为. 因为的元素个数为，且已经包含一个元素，所以. 所以除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 同理可得，除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个， 除了集合之外，包含元素的集合至多有个. 所以. 当时，集合具有性质，其中： ，，，， ，，，， ，，，， . 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高一数学十二月月考试题 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知角的终边过点，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若函数的图象过点，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的零点所在的区间可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. “”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 某种汽车安全行驶的稳定性系数随使用年数的变化规律是，其中是正常数．经检测，当时，，则当稳定性系数降为时，该种汽车已使用的年数为（ ）(结果精确到1，参考数据：，) A. 10年 B. 11年 C. 12年 D. 13年 9. 设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（ ） A. 点是函数图象的一个对称中心 B. 函数的最小正周期为 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 函数的一个零点是 10. 设集合是实数集的子集，如果满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①③④ 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 函数的定义域为_____________． 12. 满足的α、β的一组值是______．（写出一组即可） 13. 二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______． 14. 已知函数，则的单调递增区间为______；满足的非负整数解的个数为______． 15. 已知函数，则下列所有正确命题的序号是_______________. ①函数图象关于直线对称；②在上有4个零点； ③在上单调递减；④的值域是 四、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各式的值 （1）已知，求的值； （2）； （3）化简：． 17. 已知幂函数为偶函数． （1）求的解析式； （2）若，解关于x的不等式的解集． 18. 某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下： x 0 π 2π 0 1 0 －1 0 （1）根据上表中数据，求出ω，φ及，，的值； （2）求函数的单调递减区间． （3）求函数在区间内的最值． 19. 党的十八大以来，精准扶贫取得了历史性成就，其中产业扶贫是扶贫工作的一项重要举措，长沙某驻村扶贫小组在湘西某贫困村实施产业扶贫，计划帮助该村进行猕猴桃的种植与销售，为了迎合大众需求，提高销售量，将以装盒售卖的方式销售．经市场调研，若要提高销售量，则猕猴桃的售价需要相应的降低，已知猕猴桃的种植与包装成本为24元/盒，且每万盒猕猴桃的销售收入（单位：万元）与售价量x（单位：万盒）之间满足关系式． （1）写出利润（单位：万元）关于销售量x（单位：万盒）的关系式；（利润=销售收入－成本） （2）当销售量为多少万盒时，该村能够获得最大利润？此时最大利润是多少？ 20. 已知且. （1）判断并证明函数的奇偶性； （2）令，写出的单调区间（只需写出结论）； （3）在（2）的条件下，问：是否存在实数，且，使得函数在区间上的值域为？若存在，求实数的取值范围；若不存在，说明理由. 21. 设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质： ①都是元素个数为的数集； ②对任意，集合的元素个数均为1； ③. （1）若集合具有性质，写出集合； （2）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由； （3）若集合具有性质，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $