专题3.2 整式的加减 培优讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

专题3.2 整式的加减 知识点1：同类项 　　1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。 　　2.特例：几个常数项也是同类项。 　　3.判断：与系数大小、字母顺序无关。 知识点2：合并同类项 　　1.定义：把多项式中的同类项合并成一项叫合并同类项。 　　2.法则：合并后系数是各同类项系数之和，字母及字母的指数不变。 　　3.步骤：①找同类项；②把同类项系数相加（系数含符号）；③字母连同指数照抄。 知识点3：去括号与添括号 　　1.去括号：括号前是正号，去括号后各项符号不变；括号前是负号，去括号后各项符号相反。 　　2.添括号：括号前是正号，括到括号内各项符号不变；括号前是负号，括到括号内各项符号相反。 　　3.多层括号：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 知识点4：整式的加减 　　1.法则：几个整式相加减，有括号先去括号，再合并同类项。 　　2.化简求值：先去括号、合并同类项，再代入字母的值计算，即“一化、二代、三计算”。 比较项 去括号 添括号 前为“＋” 各项符号不变 各项符号不变 前为“－” 各项符号都变 各项符号都变 依据 乘法分配律 加法结合律 作用 去掉括号 括成整体 【基础必考题型】 【题型1】同类项的识别 1.核心知识点 　　同类项的定义与判断。 2.解题方法技巧 　　①看所含字母是否相同； 　　②看相同字母指数是否相同； ③常数项都是同类项，与系数无关。 【例题1】.（2026九年级·上海·专题练习）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义：所含字母相同，且相同字母的指数分别相同的单项式为同类项，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与所含字母种类不同，不是同类项，故选项不符合题意； B、符合同类项的定义，故选项符合题意； C、与中字母的指数不相同，不是同类项，故选项不符合题意； D、与中字母的指数对应不相同，不是同类项，故选项不符合题意． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各组中的两项，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．1和 【答案】B 【分析】同类项与系数大小、字母排列顺序无关，只需比对所含字母及相同字母的指数是否一致． 【详解】解：A、与所含字母相同且相同字母指数一致，是同类项，不符合题意； B、与相同字母的指数不同，不是同类项，符合题意； C、与所含字母相同且相同字母指数一致，是同类项，不符合题意； D、与都是常数项，是同类项，不符合题意． 【变式题1-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x 【答案】C 【分析】所含字母相同、并且相同字母的指数也相同的项是同类项，据此分析即可． 【详解】解：A、与中 x、y 的指数不同，A 错； B、与所含字母不同，B 错； C、与所含字母相同（n 的指数都是 1，m 的指数都是 2），是同类项，C 正确； D、5是常数项，与x不是同类项，D 错． 【变式题1-3】.（2026七年级上·黑龙江·专题练习）下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项． 【详解】解：A选项，与中相同字母的指数不同，不是同类项； B选项，与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项； C选项，与中所含字母的指数不同，不是同类项； D选项，与中所含字母不同，不是同类项． 【题型2】由同类项求指数中字母的值 1.核心知识点 　　由同类项条件建立关于指数的方程。 2.解题方法技巧 　　①由同类项得相同字母指数相等； 　　②列方程求指数中的字母； ③代入求代数式的值。 【例题2】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）关于的单项式与的和是一个单项式，那么___________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明两个单项式是同类项，根据同类项相同字母指数相等列等式求解即可． 【详解】解：∵两个单项式与的和是单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，， 将代入， 得， 解得， ∴． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知和是同类项，那么__________． 【答案】 【分析】根据同类项定义，相同字母的指数相等，列方程求出，再代入计算目标式即可． 【详解】解：∵和是同类项，同类项要求相同字母的指数相等， ∴的指数满足， 移项计算得，即， 把代入得： ． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若单项式与合并后的结果还是单项式，则________． 【答案】6 【分析】由题意可知单项式与为同类项，进而可求出，，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：单项式与合并后的结果还是单项式， ∴，， ∴， ∴． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）如果单项式与是同类项，那么的值是________． 【答案】3 【分析】先根据同类项定义：相同字母的指数相等，可求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵ 单项式与是同类项， ∴ 相同字母的指数相等，即，， ∴ ． 【题型3】去括号与添括号 1.核心知识点 　　1.去括号：括号前是"+"，括号内各项不变号；括号前是"-"，括号内各项都变号。 　　2.添括号：括号前是"+"，括进括号的项不变号；括号前是"-"，括进括号的项都变号。 　　3.依据：乘法分配律；去括号、添括号互为逆运算。 2.解题方法技巧 　　1.去括号：负号去括号，每项都变号；括号外有系数，要乘遍括号内每一项。 　　2.添括号：负号添括号，移入括号的全部变号。 　　3.检验：添括号后，用去括号展开验证结果是否和原式一致。 【例题3】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列去括号中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据去括号时，括号前是“−”，去括号时括号里各项都要变号法则进行解答即可． 【详解】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C正确； D、，故选项D错误． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山西运城·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的加减运算，根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断各选项是否正确． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A错误． B．，故B错误． C．，故C错误． D．，与右边相等，故D正确． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·重庆北碚·期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查去括号和添括号的规则．根据规则：括号前是正号, 去括号或添括号时括号内各项不变号；括号前是负号, 则括号内各项变号． 逐一验证各选项即可． 【详解】解：，故A选项变形错误，不合题意； ，故B选项变形正确，符合题意； ，故C选项变形错误，不合题意； ，故D选项变形错误，不合题意； 故选：B． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【题型4】整式的加减运算 1.核心知识点 　　整式加减法则：去括号、合并同类项。 2.解题方法技巧 　　①先去括号； 　　②合并同类项； ③结果按某字母降幂排列。 【例题4】.（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得这个多项式为 . 【变式题4-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，． (1)化简 (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【培优高频题型】 【题型5】合并同类项及化简求值 1.核心知识点 　　先化简再代入求值。 2.解题方法技巧 　　①先去括号合并同类项； 　　②整体代入或条件变形代入； ③注意符号与运算顺序。 【例题5】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中 ，． 【答案】， 【分析】先去括号，合并同类项，再把，代入化简后的式子计算即可． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 【答案】，. 【分析】利用合并同类项法则计算，然后把代入求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，2 【详解】（1）解：原式 ． 当时， 原式． （2）解：原式 ． 当时， 原式． 【题型6】整式加减中的误看问题 1.核心知识点 　　由误看的结果反求原式。 2.解题方法技巧 　　①由误算式子反解出被误看的整式； 　　②再按正确运算重新计算； ③区分加、减的方向。 【例题6】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）有一道数学题“已知两个多项式A、B，且，求．”小华在做这道题时，误把“”看成了“”，结果得到，则A的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据误算得到的的结果和已知B，通过直接计算A的表达式． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 故A的表达式为， 故选：C． 【变式题6-1】.（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．原式正确计算结果为95，而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错，据此分析即可． 【详解】解：， 而算错结果为89，看错符号的两个数差3且减小数和加大数看错， 则看错的情况可能共有：①看成，看成； ②看成，看成； ③看成，看成． 所以，看错的情况可能共有3种． 故选：C． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东德州·期中）有这样一道题“当，时，求多项式的值”，嘉嘉做题时把抄成，淇淇没有抄错题，但他们得到的结果却是一样的，你知道这是怎么回事吗？请说明理由． 【答案】因为化简得，不含字母，所以多项式的值与的取值无关，无论还是结果都一样 【分析】本题考查了整式加减运算中无关型问题，先利用整式的加减混合运算法则进行化简，根据该多项式化简的结果中不含有字母a，进而可得该多项式的值与a的值无关，进而可求解，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】 ， ∵该多项式化简的结果中不含有字母a， ∴该多项式的值与a的值无关，故两人做出的结果却都一样． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）小明在计算时，把算式抄成，这样计算的结果与原来的正确答案相差（   ） A．50 B．48 C．25 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 设方框中的数为，把两个算式相减即可求解． 【详解】解：设方框中的数为， 正确结果：， 错误结果：， 差值． 故相差48， 故选：B． 【题型7】整式加减中的遮挡问题 1.核心知识点 　　由已知结果与部分条件求被遮挡多项式。 2.解题方法技巧 　　①把被遮挡部分设为未知整式； 　　②根据运算关系列式求解； ③代入数值求值。 【例题7】.（25-26七年级上·山西·阶段检测）某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． (1)小组成员甲根据二次项的系数关系，猜测C卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的差，请求出C卡片上部分被遮挡的代数式 (2)小组成员乙提出D卡片上的代数式是关于x的二次三项式，请求出这个二次三项式，并求当时，D卡片上的代数式的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了整式加减的应用，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）根据题意计算，即可求出C卡片上部分被遮挡的代数式； （2）由题意得，D卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的和，计算得到D卡片上的代数式，再代入即可求值． 【详解】（1）解： 卡片上部分被遮挡的代数式为． （2）解：由题意得，D卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的和， ， 卡片上的代数式为， 当时，． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （2）把代入（1）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式 ． （2）解：当时， ． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·北京通州·期末）某数学兴趣小组利用五张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的整式，两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是三张卡片其中两张上的多项式的和或差． 请通过计算分别求出卡片上的整式． 【答案】卡片上的整式为，卡片上的整式为 【分析】本题考查了整式的加减的化简求值，掌握相关运算法则是解题关键． 根据整式的加减运算，计算出与即可． 【详解】解：观察整式，中有，B中有，C中有， ∵中含有， ∴故为， ∴ ， ∴， ∵中含有， ∴故为， ∴， ∴， 综上，可得卡片上的整式为，卡片上的整式为． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项的方法是解答本题的关键． 先列式，然后去括号，再合并同类项，即可得到被墨水遮住的一项． 【详解】解：依题意， ， ∴被墨水遮住的一项应是， 故选：C． 【题型8】整式加减中的“不含某项”与“无关性”问题 1.核心知识点 　　1.不含某项：整式化简后不含某一项，即该项的系数为0。 　　2.无关性问题：整式的值与某字母无关，即含该字母所有项的系数之和为0。 　　3.本质：二者本质相同，都是令相关项合并后的系数为0，从而求出待定字母的值。 2.解题方法技巧 　　1.先按去括号、合并同类项的步骤，将整式化为最简形式。 　　2.找准含目标字母的项，令其系数或系数之和为0，列出关于待定字母的方程。 3.解方程求出待定字母的值，再代入相关式子求值；注意系数要含括号外数字因数的 【例题8】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）关于、的多项式合并后不含二次项，求的值． 【答案】的值为 【分析】先对多项式进行合并同类项，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】解： ， ∵关于、的多项式合并后不含二次项， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将，代入，的表达式，合并同类项化简； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出，后代入代数式计算，即可解答． 【详解】（1）解：当，时， ，， ∴ ． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，， 解得，， ∴． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·全国·期中）已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 【答案】的值与的取值无关．理由如下： 当，时， ， 所以的值与的取值无关． 【分析】当，时，化简得出结果为，即可得出结论． 【详解】略 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求、的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【答案】(1)，1，8 (2)①，；②不改变，恒为13 【分析】（1）根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，再结合数轴可得答案； （2）①根据题意得，，再代入即可求解； ②根据，，表示出，再根据整式加减求解即可． 【详解】（1）解：多项式的二次项系数是，则， 数轴上最小的正整数是1，则， 单项式的次数为8，则． （2）解：①∵，， ∴当时，，； ②不改变，理由如下： ∵，， ∴． ∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【压轴素养题型】 【题型9】整式加减中的新定义问题 1.核心知识点 　　按新定义规则进行整式运算。 2.解题方法技巧 　　①理解新定义运算规则； 　　②把具体整式代入规则； ③化简并结合条件求解。 【例题9】.（25-26七年级上·河南商丘·期末）定义一种新运算：．例如：，则化简后的结果是___________． 【答案】 【分析】本题考查整式的运算．根据新运算的定义，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）定义一种新运算：． (1)计算：的值； (2)若，且，互为倒数，求． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查有理数的混合运算，整式的加减运算，以及倒数的性质．关键是准确理解新运算“”的规则，并将其转化为常规的代数运算来求解． （1）直接将、代入新运算的定义式，按照有理数的运算顺序计算出结果； （2）先把、代入新运算的定义式，通过去括号、合并同类项化简整式，再结合“，互为倒数则”的性质代入化简后的式子求值． 【详解】（1）解：； （2）解： ． ∵，互为倒数， ∴，原式． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】(1)是，理由如下： 是“和谐数” (2)猜想正确，理由如下： ，， ， ， 由可得， 因此是的倍数。 又因为， 是9的倍数 ，且 【分析】（1）根据题意验证四位数3846是否满足“和谐数”的定义即可； （2）根据得到，再变形成，得到是9的倍数，再根据a与d的取值范围得到，从而得到． 【详解】（1）略 （2）略 【变式题9-3】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③ (2)①；②（答案不唯一） (3)，不是对称式 【分析】（1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及单项式的定义即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是对称式； ∵， ∴不是对称式； ∵， ∴是对称式； 即其中是对称式的是①③； （2）解：①根据题意得：该单项式是； ②根据题意得：该多项式可以为； （3）解：∵， ， ∴ ， ∵， ∴所得结果不是对称式． 【题型10】整式加减的应用 1.核心知识点 　　用整式加减解决几何、实际情境问题。 2.解题方法技巧 　　①用字母表示相关量； 　　②由周长、面积等关系列整式； ③化简并代入求值。 【例题10】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． （结果保留） (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积． (2)当米，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少？ (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相等），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？ 【答案】(1)平方米 (2)平方米 (3)平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去两个四分之一圆的面积即可得窗户能射进阳光的面积； （2）把的值代入（1）得出的式子即可求出； （3）用长方形的面积减去一个半圆和两个等腰直角三角形面积列代数式表示此时窗户能射进阳光的面积，再用作差法和（1）比较大小即可． 【详解】（1）解：平方米， ∴图1窗户能射进阳光的面积为平方米； （2）解：当米，米时，， ∴图1窗户能射进阳光的面积是平方米； （3）解：由题意得，图2窗户能射进阳光的面积为平方米， ， ∵， ∴， ∴此时窗户能射进阳光的面积更大，大平方米． 【变式题10-1】.（26-27七年级上·吉林·期中）如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）数形结合列代数式表示即可得到答案； （2）由图可知长方形的长与宽，再由长方形周长公式及整式加法运算法则化简即可得到答案； （3）由（2）中可知， ，将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：由图可知， ， 长方形的周长为： ； （3）解：由（2）知， ， 当时， ． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）某市为鼓励市民节约用水，水价实行阶梯计费制，其收费标准如下： 每月用水量 单价（元/） 不超过的部分 超过而未超过的部分 超过的部分 (1)某用户上月用水，则应缴水费______元（用含的代数式表示）． (2)某用户上月用水为，上缴水费元． ①若该用户本月用水为，求出上缴的水费； ②若该用户本月用水为，请直接用含的代数式表示本月支出的水费． 【答案】(1) (2)①元；②（）；（）；（） 【分析】（1）根据收费分段，找到需要的收费段以及对应单价，列式即可得到答案． （2）①根据用水的水费位于第一段单价收费，得到单价的值，进而根据用水的水费分三档：分别计算费用后相加即可． ②根据处于不同费用段列出关于的代数式即可． 【详解】（1）解：分为两部分：，单价元，超出部分：，单价元， ∴应缴水费为：元， 故答案为：； （2）解：用水，水费元， ∴（元/），第三档单价为：（元/）， ①用水的水费分三档： 水费：（元）， 水费：（元）， 水费：（元）， 总水费为：（元）， ②分三档水费列代数式： 当时，为元/，即元， 当时，前水费：元，超出部分元， 水费为：元， 当时：前水费：元，超出部分元/， 水费为：元， ∴用含的代数式表示本月支出的水费为：（）；（）；（）． 【变式题10-3】.（2026·山东青岛·二模）我国公民18位身份证号码是按照第位是区域码，第位是出生日期码，第位是顺序码（对同年同月同日出生的人编的顺序号），第17位是性别码（男性用奇数1、3、5、7、9表示，女性用偶数0、2、4、6、8表示），第18位是校验码构成的．例如小明的身份证号码是． 注：最后一个X不是英文字母，而是罗马数字，表示10，这个数字是根据前面十七位数字码，按照校验码系统计算出来的校验码． 计算方法： 第一步：将身份证号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如表1所示： 身份证位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对应系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再把这个和除以11，看余数是多少．每个余数分别对应一个号码（如表2），确定最后一位身份证号码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后一位身份证号 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 例如：小明身份证最后一位是这样确定的： 前17位数字分别乘以对应的系数（见表1）： 余数是2，对应身份证最后一位对应就是X（见表2）． (1)某人填写的身份证号码为370203201205021005，判断这个身份证号码是不是合法的号码．请说明理由． (2)青岛市市北区某户人家2026年5月2日喜得一对“龙凤胎”，哥哥和妹妹的顺序码分别是09、10，请按照身份证号码制定规则将他们缺失的身份证号码补全． 哥哥： 妹妹： 【答案】(1)该身份证不合法 (2)2；8 【分析】（1）根据规律计算验证即可； （2）根据规律计算即可． 【详解】（1）解 ：根 据 表 中 对 应 关 系 和 计 算 规 则 得：，， ∴余数为9，对照表格，余数9对应校验码为3，与题目给出的最后一位5不符，因此该身份证不合法； （2）解：青岛市市北区区域码为370203，出生日期2026年5月2日，出生日期码为20260502， 哥哥（男性，顺序码09，第17位为奇数5）： 前17位为37020320260502095， 计算乘积和得， ，余数10对应校验码为2， 因此哥哥完整身份证号为： 370203202605020952； 妹妹（女性，顺序码10，第17位为偶数0）： 前16位为3702032026050210， 最后一位为2，校验码为2对应余数10， 设第17位数字为a（的整数）， 计算乘积和得， 则余数为10， ∴， 因此妹妹完整身份证号为： 370203202605021082． 易错点 1、同类项判断错误，忽略相同字母指数相同。 2、合并同类项时系数相加丢符号。 3、去括号时括号前为负号忘变号。 4、添括号符号判断错误。 5、化简求值先代入后化简，增加出错。 6、误看、无关性问题运算方向搞反。 重点 1、掌握同类项定义与合并同类项法则。 2、熟练去括号、添括号。 3、会整式加减运算与化简求值。 4、能解决不含某项、无关性问题。 难点 1、误看、遮挡问题的反向求解。 2、新定义、多结论综合问题。 3、整式加减的实际应用。 4、整体思想在化简求值中的运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，运算错误． B．，运算错误． C．，运算正确． D．与不是同类项，不能合并，运算错误． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 3．下列叙述正确的是（     ） A．是单项式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 【答案】D 【详解】解：A、是多项式，该说法错误； B、合并同类项得，是三次三项式，该说法错误； C、，各项系数为和，该说法错误； D、的常数项是，该说法正确． 二、填空题 4．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先利用整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，求出a，b的值代入计算即可． 【详解】解： ∵关于的代数式的值与的取值无关 ∴， ∴， ∴． 5．已知，且，那么_____． 【答案】或/或 【分析】先求出m、n的值，再分情况讨论进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，或，， ∴①当，时，； ②当，时，． 综上可知，或． 6．小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是_____． 【答案】 【分析】根据题目的条件，先求出原式，再按照题目给的正确做法求出正确结果． 【详解】解：原多项式为 ， 则正确的答案是． 三、解答题 7．已知、互为相反数且，、互为倒数，的绝对值是最小的正整数，求的值． 【答案】 或 【分析】先根据相反数与倒数的意义表示出、与，再求出的值，代入目标代数式即可． 【详解】解：∵、互为相反数，且， ∴，， ∵、互为倒数， ∴， ∵的绝对值是最小的正整数， ∴， ∴， ①当时， ； ②当时， ； 综上，的值为或． 8．小明在计算“一个整式减去”时，误将“减去”看成了“加上”，得到的结果是． (1)求这个整式； (2)求原题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用“和”减去加上的整式即可求出要求的整式； （2）根据正确运算方法计算求出结果． 【详解】（1）解：设这个整式为， 则有， ； （2）解：正确结果为． 9．已知，． (1)若，求的值 (2)若，求的值． 【答案】(1)12或 (2)或35 【分析】先根据题意，由，得出，． （1）根据，由有理数的乘法运算法则，可知，异号，得出符合条件的，的值，然后再代入计算即可； （2）根据绝对值的非负性质，由可得，即，得出符合条件的，的值，然后再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ，． ， ，异号， ，或，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是12或； （2）解：∵， ，即， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值是或35． 10．小王家新买的一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：）， (1)厕所与卧室的面积和为______平方米；（用含a，b的式子表示） (2)若，，地面装修市场价：客厅和卧室每平方米200元，厨房和厕所每平方米250元．小王爸爸计划用3万元完成全屋地面装修，预算是否足够？ 【答案】(1) (2)预算足够 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用； （1）由图可知厕所面积为 ，卧室的面积为 ，即可求解； （2）求出客厅的面积为 ，厨房的面积为 ，再由（1）中的面积，求出总费用进行比较，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知，厕所面积为： ，卧室的面积为： ， ∴厕所与卧室的面积和为 ， 故答案为； （2）解：预算足够； 理由如下：由图形可知： 客厅的面积为（）， 厨房的面积为（）， 当，，厕所面积 ，卧室面积 ． 客厅和卧室地面装修费用元， 厨房和厕所地面装修费用元， ∵元万元， ∴预算足够． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 整式的加减 知识点1：同类项 　　1.定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项。 　　2.特例：几个常数项也是同类项。 　　3.判断：与系数大小、字母顺序无关。 知识点2：合并同类项 　　1.定义：把多项式中的同类项合并成一项叫合并同类项。 　　2.法则：合并后系数是各同类项系数之和，字母及字母的指数不变。 　　3.步骤：①找同类项；②把同类项系数相加（系数含符号）；③字母连同指数照抄。 知识点3：去括号与添括号 　　1.去括号：括号前是正号，去括号后各项符号不变；括号前是负号，去括号后各项符号相反。 　　2.添括号：括号前是正号，括到括号内各项符号不变；括号前是负号，括到括号内各项符号相反。 　　3.多层括号：一般由内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号。 知识点4：整式的加减 　　1.法则：几个整式相加减，有括号先去括号，再合并同类项。 　　2.化简求值：先去括号、合并同类项，再代入字母的值计算，即“一化、二代、三计算”。 比较项 去括号 添括号 前为“＋” 各项符号不变 各项符号不变 前为“－” 各项符号都变 各项符号都变 依据 乘法分配律 加法结合律 作用 去掉括号 括成整体 【基础必考题型】 【题型1】同类项的识别 1.核心知识点 　　同类项的定义与判断。 2.解题方法技巧 　　①看所含字母是否相同； 　　②看相同字母指数是否相同； ③常数项都是同类项，与系数无关。 【例题1】.（2026九年级·上海·专题练习）下列选项中，与是同类项的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）下列各组中的两项，不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．1和 【变式题1-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列各组单项式中，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．5 与 x 【变式题1-3】.（2026七年级上·黑龙江·专题练习）下列各组式子中，是同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型2】由同类项求指数中字母的值 1.核心知识点 　　由同类项条件建立关于指数的方程。 2.解题方法技巧 　　①由同类项得相同字母指数相等； 　　②列方程求指数中的字母； ③代入求代数式的值。 【例题2】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）关于的单项式与的和是一个单项式，那么___________． 【变式题2-1】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）已知和是同类项，那么__________． 【变式题2-2】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）若单项式与合并后的结果还是单项式，则________． 【变式题2-3】.（26-27七年级上·全国·单元测试）如果单项式与是同类项，那么的值是________． 【题型3】去括号与添括号 1.核心知识点 　　1.去括号：括号前是"+"，括号内各项不变号；括号前是"-"，括号内各项都变号。 　　2.添括号：括号前是"+"，括进括号的项不变号；括号前是"-"，括进括号的项都变号。 　　3.依据：乘法分配律；去括号、添括号互为逆运算。 2.解题方法技巧 　　1.去括号：负号去括号，每项都变号；括号外有系数，要乘遍括号内每一项。 　　2.添括号：负号添括号，移入括号的全部变号。 　　3.检验：添括号后，用去括号展开验证结果是否和原式一致。 【例题3】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）下列去括号中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级上·山西运城·期末）下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26七年级上·重庆北碚·期末）下列去括号（或添括号）变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-3】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1)； (2)． 【题型4】整式的加减运算 1.核心知识点 　　整式加减法则：去括号、合并同类项。 2.解题方法技巧 　　①先去括号； 　　②合并同类项； ③结果按某字母降幂排列。 【例题4】.（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（     ） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知，． (1)化简 (2)当时，求的值． 【变式题4-2】.（26-27七年级上·江苏宿迁·阶段检测）有理数，，在数轴上的对应点位置如图所示，且． (1)用“”或“”填空：_______，_______； (2)化简：． 【变式题4-3】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）化简： (1) (2) 【培优高频题型】 【题型5】合并同类项及化简求值 1.核心知识点 　　先化简再代入求值。 2.解题方法技巧 　　①先去括号合并同类项； 　　②整体代入或条件变形代入； ③注意符号与运算顺序。 【例题5】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值：，其中 ，． 【变式题5-1】.（26-27七年级上·上海杨浦·阶段检测）先合并同类项，再求代数式的值：，其中． 【变式题5-2】.（26-27七年级上·江苏宿迁·期中）先化简，再求值：，其中，． 【变式题5-3】.（26-27七年级上·黑龙江大庆·阶段检测）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【题型6】整式加减中的误看问题 1.核心知识点 　　由误看的结果反求原式。 2.解题方法技巧 　　①由误算式子反解出被误看的整式； 　　②再按正确运算重新计算； ③区分加、减的方向。 【例题6】.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）有一道数学题“已知两个多项式A、B，且，求．”小华在做这道题时，误把“”看成了“”，结果得到，则A的表达式为（　　） A． B． C． D． 【变式题6-1】.（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇计算时看错了两个运算符号（看成了，或看成了），得出结果为89，淇淇看错的情况可能共有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式题6-2】.（25-26七年级上·山东德州·期中）有这样一道题“当，时，求多项式的值”，嘉嘉做题时把抄成，淇淇没有抄错题，但他们得到的结果却是一样的，你知道这是怎么回事吗？请说明理由． 【变式题6-3】.（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）小明在计算时，把算式抄成，这样计算的结果与原来的正确答案相差（   ） A．50 B．48 C．25 D．23 【题型7】整式加减中的遮挡问题 1.核心知识点 　　由已知结果与部分条件求被遮挡多项式。 2.解题方法技巧 　　①把被遮挡部分设为未知整式； 　　②根据运算关系列式求解； ③代入数值求值。 【例题7】.（25-26七年级上·山西·阶段检测）某数学兴趣小组利用A，B，C，D四张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的代数式，C，D两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是A，B两张卡片上代数式的和或差． (1)小组成员甲根据二次项的系数关系，猜测C卡片上的代数式是A卡片上的代数式与B卡片上的代数式的差，请求出C卡片上部分被遮挡的代数式 (2)小组成员乙提出D卡片上的代数式是关于x的二次三项式，请求出这个二次三项式，并求当时，D卡片上的代数式的值． 【变式题7-1】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【变式题7-2】.（25-26七年级上·北京通州·期末）某数学兴趣小组利用五张卡片做游戏，卡片上分别写有已经化为最简的整式，两张卡片上有部分内容被遮挡住了，但知道它们是三张卡片其中两张上的多项式的和或差． 请通过计算分别求出卡片上的整式． 【变式题7-3】.（25-26七年级上·宁夏固原·阶段检测）下面是小芳做的一道运算题，但她不小心把一滴墨水滴在了上面． ，阴影部分即为被墨迹弄污的部分．那么被墨汁遮住的一项应是（   ） A． B． C． D． 【题型8】整式加减中的“不含某项”与“无关性”问题 1.核心知识点 　　1.不含某项：整式化简后不含某一项，即该项的系数为0。 　　2.无关性问题：整式的值与某字母无关，即含该字母所有项的系数之和为0。 　　3.本质：二者本质相同，都是令相关项合并后的系数为0，从而求出待定字母的值。 2.解题方法技巧 　　1.先按去括号、合并同类项的步骤，将整式化为最简形式。 　　2.找准含目标字母的项，令其系数或系数之和为0，列出关于待定字母的方程。 3.解方程求出待定字母的值，再代入相关式子求值；注意系数要含括号外数字因数的 【例题8】.（26-27七年级上·上海·阶段检测）关于、的多项式合并后不含二次项，求的值． 【变式题8-1】.（26-27七年级上·上海嘉定·阶段检测）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【变式题8-2】.（26-27七年级上·全国·期中）已知，是关于，的多项式，当，时，试判断的值与的取值有无关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26七年级上·广东茂名·期中）如图，在数轴上点A表示a，点B表示b，点C表示c，并且a是多项式的二次项系数，b是数轴上最小的正整数，单项式的次数为c． (1)由题意可得：______，______，______． (2)点A、B、C在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点B和点C分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度沿数轴向右运动，设点A、B、C同时运动，运动时间为t秒． ①当时，分别求、的长度． ②在点A、B、C同时运动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，说明理由；若不变，求出的值． 【压轴素养题型】 【题型9】整式加减中的新定义问题 1.核心知识点 　　按新定义规则进行整式运算。 2.解题方法技巧 　　①理解新定义运算规则； 　　②把具体整式代入规则； ③化简并结合条件求解。 【例题9】.（25-26七年级上·河南商丘·期末）定义一种新运算：．例如：，则化简后的结果是___________． 【变式题9-1】.（25-26七年级上·河北石家庄·期末）定义一种新运算：． (1)计算：的值； (2)若，且，互为倒数，求． 【变式题9-2】.（25-26九年级下·浙江温州·期中）【阅读材料】 定义：如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，并且满足，那么称这个四位数为“和谐数”． 注： 举例①：四位数1538． 因为，所以1538是“和谐数”． 举例②：四位数2637． 因为，所以2637是“和谐数”． (1)【类比推理】请判断四位数3846是否为“和谐数”，并说明理由； (2)【探究性质】小明经观察发现“和谐数”1538中，；“和谐数”2637中，．于是猜想：对于任意一个“和谐数”，都有．请你判断小明的猜想是否正确，并说明理由． 【变式题9-3】.（25-26六年级下·黑龙江绥化·期中）【新视角 新定义题】阅读下面方框内的材料，解答下面问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值都不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中任意两个字母交换位置，可得到式子，因为，所以是对称式．而式子中的字母a，b交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)下列式子：①；②；③，其中是对称式的是 （填序号）． (2)①写出一个系数为，只含有字母a，b且次数为8的单项式，使该单项式是对称式； ②写出一个只含有字母a，b的三次三项式，使该多项式是对称式； (3)已知 ， ，求，并判断所得结果是否是对称式． 【题型10】整式加减的应用 1.核心知识点 　　用整式加减解决几何、实际情境问题。 2.解题方法技巧 　　①用字母表示相关量； 　　②由周长、面积等关系列整式； ③化简并代入求值。 【例题10】.（26-27七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小亮房间窗户的窗帘如图1所示，它是由两个四分之一圆组成（半径相同）． （结果保留） (1)用代数式表示图1窗户能射进阳光的面积． (2)当米，米时，求图1窗户能射进阳光的面积是多少？ (3)小亮又设计了如图2的窗帘（由一个半圆和两个等腰直角三角形组成，直角边与半径相等），请你帮他算一算此时窗户能射进阳光的面积是否更大？如果更大，那么大多少？ 【变式题10-1】.（26-27七年级上·吉林·期中）如图，用三种大小不同的六个正方形和三个长方形（阴影部分）拼成大长方形，其中，最小的正方形的边长为． (1)用含的代数式表示：线段_____，线段_____； (2)求长方形的周长；（用含的代数式表示） (3)当时，求长方形的周长的值． 【变式题10-2】.（26-27七年级上·江苏连云港·阶段检测）某市为鼓励市民节约用水，水价实行阶梯计费制，其收费标准如下： 每月用水量 单价（元/） 不超过的部分 超过而未超过的部分 超过的部分 (1)某用户上月用水，则应缴水费______元（用含的代数式表示）． (2)某用户上月用水为，上缴水费元． ①若该用户本月用水为，求出上缴的水费； ②若该用户本月用水为，请直接用含的代数式表示本月支出的水费． 【变式题10-3】.（2026·山东青岛·二模）我国公民18位身份证号码是按照第位是区域码，第位是出生日期码，第位是顺序码（对同年同月同日出生的人编的顺序号），第17位是性别码（男性用奇数1、3、5、7、9表示，女性用偶数0、2、4、6、8表示），第18位是校验码构成的．例如小明的身份证号码是． 注：最后一个X不是英文字母，而是罗马数字，表示10，这个数字是根据前面十七位数字码，按照校验码系统计算出来的校验码． 计算方法： 第一步：将身份证号码的前17位数字分别乘以各自对应的系数，如表1所示： 身份证位数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对应系数 7 9 10 5 8 4 2 1 6 3 7 9 10 5 8 4 2 第二步：将这17位数字和系数相乘的结果相加，再把这个和除以11，看余数是多少．每个余数分别对应一个号码（如表2），确定最后一位身份证号码． 余数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最后一位身份证号 1 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 例如：小明身份证最后一位是这样确定的： 前17位数字分别乘以对应的系数（见表1）： 余数是2，对应身份证最后一位对应就是X（见表2）． (1)某人填写的身份证号码为370203201205021005，判断这个身份证号码是不是合法的号码．请说明理由． (2)青岛市市北区某户人家2026年5月2日喜得一对“龙凤胎”，哥哥和妹妹的顺序码分别是09、10，请按照身份证号码制定规则将他们缺失的身份证号码补全． 哥哥： 妹妹： 易错点 1、同类项判断错误，忽略相同字母指数相同。 2、合并同类项时系数相加丢符号。 3、去括号时括号前为负号忘变号。 4、添括号符号判断错误。 5、化简求值先代入后化简，增加出错。 6、误看、无关性问题运算方向搞反。 重点 1、掌握同类项定义与合并同类项法则。 2、熟练去括号、添括号。 3、会整式加减运算与化简求值。 4、能解决不含某项、无关性问题。 难点 1、误看、遮挡问题的反向求解。 2、新定义、多结论综合问题。 3、整式加减的实际应用。 4、整体思想在化简求值中的运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列运算中，正确的是（） A． B． C． D． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．下列叙述正确的是（     ） A．是单项式 B．是三次四项式 C．的各项系数都是 D．的常数项是 二、填空题 4．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 5．已知，且，那么_____． 6．小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是_____． 三、解答题 7．已知、互为相反数且，、互为倒数，的绝对值是最小的正整数，求的值． 8．小明在计算“一个整式减去”时，误将“减去”看成了“加上”，得到的结果是． (1)求这个整式； (2)求原题的正确结果． 9．已知，． (1)若，求的值 (2)若，求的值． 10．小王家新买的一所住宅的建筑平面图如图所示（图中长度单位：）， (1)厕所与卧室的面积和为______平方米；（用含a，b的式子表示） (2)若，，地面装修市场价：客厅和卧室每平方米200元，厨房和厕所每平方米250元．小王爸爸计划用3万元完成全屋地面装修，预算是否足够？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $