考点5.2 三角函数的图像与性质专项训练-2027届高三数学一轮复习

考点5.2三角函数的图像与性质 专题一三角函数最小正周期练习题 一、正弦函数的最小正周期 公式： 对于y=Asin(ox+0+B(A>0,o>0),其最小正周期为 1调 练1：求函数y-3sn2x+日 的最小正周期。 二、余弦函数的最小正周期 公式： 对于y=ACos(Ox+p)+B(A>0,o>0),其最小正周期为 1 2π 练2：求函数y-20s合×-号}+1的最小周期。 三、正切函数的最小正周期 公式： 对于y=Atan(ox+p)+B(A>0,⊙>0)，其最小正周期为 18 练3：求函数y=tan3x+ 的最小正周期。 4 1 度容2红山宝 专题二三角函数对称轴与对称中心练习题 一、正弦函数的对称轴与对称中心 公式： 对于y=Asin(wx+Q+B（A>0,o>0): ·对称轴：令ox+9=受+(k∈z)，解出x: 。对称中心：令⊙x+p=k(k∈Z),解出X,对称中心为(x,B)。 练1：求函数y-2sn2x++1的对称轴方程和对称中心坐标。 二、余弦函数的对称轴与对称中心 公式： 对于y=ACos(Ox+p+B(A>0,O>0): 。对称轴：令ox+p=k(k∈Z),解出X: 。对称中心：令ox+p=+km(k∈Z),解出x,对称中心为(X,B)。 练2：求函数y=30号×圣-2的对称辅方程和对称中心坐标。 三、正切函数的对称中心 公式： 对于y=Atan(ox+p)+B(A>0,O>0): 、对称中心：令ox+Q三k∈Z)，解出X,对称中心为仪，B ·正切函数没有对称轴。 练3：求函数y=tan2x+-1 的对称中心坐标。 3 参考答案 练1： 对称轴：令2x+=+km(k∈Z)解得2x=+km 3 x=匹+匹(k∈Z) 62 62 对称中心：令2x+=kr(k∈Z)解得2x=-乃+km 6 6 x=是+经kez 对称中心为吾受.kez到 练2：对称轴：令， x景-kez解待x=a x=+2ka(k∈Z) 4 2 对称中心：令分x-晋受+如ke7解得号x=平+a x=3严+21ak∈Z)对称中心为 4 2 3π+2km,-2(k∈Z) 综3：对称中心：令2x+号-受k∈Z解得2x=是+鸟 32 ×台+受kez列 对称巾心为-晋+冬。-1水k后到正切函效没有对称轴： 专题三三角函数单调区间练习题 一、正弦函数的单调区间 公式： 对于y=Asin(ox+p)+B(A>0,o>0): 单调递增区间：令-乃+2≤ox+0≤乃+2kM(k∈Z),解出x: ,单调递减区间：令罗+2≤ox+p≤3+2m(k∈Z),解出X。 2 (若A<0,则增减区间互换。) 练1：求函数y=2sin2x- 的单调递增区间和单调递减区间。 3 二、余弦函数的单调区间 公式： 对于y=ACos(ωx+p+B($A>0$,⊙>0)： 。单调递减区间：令2k≤ωx+p≤π+2k(k∈Z),解出X; 。单调递增区间：令-π+2k≤ox+p≤2k(k∈Z),解出X。 ·(若A<0,则增减区间互换。) ·练2：求网y-3mx+ 的单调递增区间和单调递减区间。 4 ● ·三、正切函数的单调区间 。公式：对于y=Atan(@x+p)+B(A>0,⊙>0)： ·单调递增区间：令-+<ox+p<号+(k∈2)，解出X。 ·正切函数在定义域内只有单调递增区间，没有单调递减区间。 ·练3：求函数y=an2x+ 的单调递增区间。 6】 5 参考答案 练1： 单调递增区间：令-受+2≤2x-召受+2kez)各边加 2 3 +2≤2x≤5”+2除以2：-+ka≤x≤5+km故单调递增区间为 6 6 12 12 晋+a,晋+kkez 单调递减区间：令乃+2a≤2x-gs3亚+2kmk∈Z)各边加 3 若： +2a≤2x≤+2a除以2： 6 5π+≤x≤π+a故单调递减区间为 12 g+a,+akez到 练2： 单调递减区间：令2a≤分x+号≤+2akez各边诚牙是+2≤分x≤3+2a 1 4 乘以2：受+4≤x≤3受+4m放单调选减区间为列受+4，+4keZ到 单调造增区间：令-+2加≤宁x+骨2ke2)各边减学一琴+2a≤x≤-牙+2 4 乘以2-受+4知三受4如故单调造K间为野+4，一受+4如ke2到 2 2 练3： 6 单调递增区间：令了十k杌<2x+片<号+kk∈Z各边减石：-亚+km<2x<召+血 62 3 除以2一晋+受<x名+受故单调逆仅间为 +k如，”+ 32’62 (k∈Z 62 正切函数没有单调递减区间。 7 专题四三角函数最值练习题 一、正弦函数的最值 公式： 对于y=Asin(ox+p)+B(A>0,>0): 。最大值为A+B,最小值为-|A+B: 。当sin(ox+p)=1时取最大值，当sin(ox+p)=-1时取最小值。 然1：求函数y=35n2x+岩-1的最大值和最小值，并指出取最值时$x浴的值， 二、余弦函数的最值 公式： 对于y=ACos(ox+0)+B(A>0,O>0): ·最大值为A+B,最小值为-|A+B: 。当cos(ωx+p=1时取最大值，当cos(ox+p)=-1时取最小值。 练2：求函数y=-2cs2x-+4的最大值和最小值，并指出取最值时×的值。 3 三、正切函数的最值 公式： 正切函数y=Atn(ox+p)+B在定义域内没有最大值和最小值，其值域为R。 若限定X在某个区间内，则可根据正切函数的单调性求最值。 练3：已知x-， 44 求函数y=anx+2的最大值和最小值。 参考答案 练1： 因为sin2x+ 的最大值为1，最小值为-1？ 6 所以 ymgx口=3×1-1=2，ymn口=3×(-1)-1=-4 当取最大值时：2x+乃=+2k(k∈Z解得x=乃+k(k∈Z)】 62 6 当取最小值时：2x+=-乃+2k(k∈Z)解得x=-T+k(k∈Z) 62 3 练2： 因为 COS 的最大值为1，最小值为-1 3 9 所以 ymax口=-2×(-1)+4=6，ymn▣=-2×1+4=2 当取最大值时： x-晋=+2a(kez)解得x=8亚+4k∈z 3 3 当取最小值时：x- x--2ka(k∈Z)解得x=27+4mk∈Z) 3 练3： 因为 y=tanx 在-ππ 上单调递增， 2’2 所以y=tanx 在 _ππ 上单调递增。 4’4 当x=-冬时，yo=tam-4+2=-1+2=1 4 当x=妥时，yn0=tam买+2=1+2=3 故最大值为3，最小值为1。 专题五三角函数在给定区间上的最值练习题 一、正弦函数在给定区间上的最值 方法说明： 10 对于y=Asin(ox+p)+B,先由X的范围求出整体角t=ox+p的范围，再结合正弦函 数y=sint的图象求出sint的最大值和最小值，最后代入求y的最值。 知v0,π，求函数y=2sin2x++1的最大值 二、余弦函数在给定区间上的最值 方法说明： 对于y=Acos(Ox+p)+B,先由X的范围求出整体角t=ox+p的范围，再结合余弦函 数y=cost的图象求出cost的最大值和最小值，最后代入求y的最值。 练2已短xe,}求函故y=m小君2的最人信和本： 三、正切函数在给定区间上的最值 方法说明： 11 对于y=Atn(ox+p)+B,先由x的范围求出整体角t=ox+p的范围，再利用正切函 数y=tnt在该区间上的单调性求最值。注意整体角的范围必须在正切函数的同一个单调区 间内。 练3：已知x∈-，，求函数y=an2x+-1的最大值和最小值。 6'6 参考答案 练1： 令t=2x+ 则t∈ π7π。 6 6’6 结合y=sint的图象： 。 当t号时，sint取最大值1： 当7 。 时，sint取最小值-号。 所以 ygx0-2×1+1=3,ymna=2× 2+1=0 练2： 由x∈0,2， 3 62」 12 结合y=cost的图象： ·当t=0时，cost取最大值1； ·当t=号时，c0st取最小值0： 所以 maxo=3×1-2=1,ymno=3×0-2=-2 练3： 由x后2x+音 令t=2x+， 则t∈ 九7π。 12’12 因为y=tant 在_ππ 上单调递增，且-兀7π 2’2 212c- 所以y=tant 上单调递增。 13 ·当t=召时，y取最小值： 。当沿时y取最大值 yming=tan π -1,y=tan 7亚-1 12 12 其中 7I-tan tan 12 +引 3+1=-2-3 tan π =-tan =-tan 12 引平时28--2 1+V3 所以 ymu-(3-2-1=3-3,ya0=(-2-3)-1=-3-3 14 专题七三角函数求值域练习题 一、正弦函数求值域 方法说明： 对于y=Asin(ox+p)+B,先求出sin(ox+Q)的取值范围[-1,1]，再根据A的正负求出y的 值域： ·若A>0,值域为[B-A,B+A]: 。若A<0,值域为[B+A,IB-A]。 练1：求函数y=3sin2x+-1的值域。 6 二、余弦函数求值域 方法说明： 对于y=Acos(ox+p)+B,先求出cos(ox+p)的取值范围[1,1]，再根据A的正负求出y的 值域： ·若A>0,值域为[B-A,B+A]: ·若A<0,值域为[B+A,B-A]。 练2：求函数y=-2ams分x-引4的值城： 3 三、正切函数求值域 方法说明： 15 对于y=Atan(ox+p)+B,由于tan(ox+p)在定义域内可取遍所有实数，即其值域为R,因 此： ·若A>0,则y=Atan(ox+p)+B的值域为R。 缘3：求A数y=am2x*引-1的值城 参考答案 练1： 因为sin2x+ ∈[-1,1] 所以 y=3sin π 6 -1∈[3×(-1)-1,3×1-1]=[-4,2] 故值域为[-4,2]。 练2： 因为cos号x π x- ∈[-1,1] 所以 y=-2c2x-+4e-2x1+4,-2x-1+4=26 故值域为[2,6。 练3： 因为y=an2x+3 的值域为R' 16 所以 y=tan -1 的值域也为R。 故值域为R。 17 专题八三角函数在给定区间上求值域练习题 一、正弦函数在给定区间上求值域 方法说明： 对于y=Asin(ωx+)+B,先由x的范围求出整体角t=ox+p的范围，再结合正弦函 数y=sint的图象求出sint的取值范围，最后代入求y的值域。 练1：已xe0,号引水面致y=2n2x+治1的值威。 二、余弦函数在给定区间上求值域 方法说明： 对于y=ACos(ωx+p)+B,先由x的范围求出整体角t=ωx+p的范围，再结合余弦函 数y=cost的图象求出cost的取值范围，最后代入求y的值域。 练2：已知x∈0，求函数y=3omsx-君引-2的值城 三、正切函数在给定区间上求值域 方法说明： 18 对于y=Atan(ox+p)+B,先由x的范围求出整体角t=ox+p的范围，再利用正切函 数y=tant在该区间上的单调性求出tant的取值范围，最后代入求y的值域。 缘3已知x吾}夹两藏y=m2x引1 的值域。 参考答案 练1： 由xe0,2 ， 得2x+ 令t=2x+乃则t 「π7π。 6 6’6 结合y=sint的图象： ·当t=号时，sint取最大值1： ·当t=召时，snt取最小值 于光y=2at*1e2×-1,2x1o.副 故值域为[0,3]。 19 练2： 由x∈ 0, 2π， 3 令1则e引 结合y=cost的图象： ·当t=0时，cost取最大值1； ·当t=7时，cost取最小值0。 所以cost∈[0,1] 于是y=3cost-2∈[3×0-2,3×1-2]=[-2,1] 故值域为【2,1]。 练3： 由xe 2x+e 12’12 令2x*则品 因为 y=tant 在 上单调递增， 2’2 且-”，7 12’12 c 所以 y=tant 在 「-7π 上单调递增。 12’12 。当t=-石时，tant取最小值3-2： 12 。当t=登时，amt取最大值-2-3。 20 所以tant∈[V3-2,-2-V3] 于是y=tant-1∈[3-3，-3-V3] 故值域为[3-3，-3-3]。 21