第8章 第4讲 圆与的位置关系圆的综合应用-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

3.A由题意知，圆C1的圆心为C(1 2),半径r1=1,圆C2的圆心为C2(3 -4),半径r2=2,作C2(3,-4)关于x轴 的对称点C3(3,4),如图所示，IPNI- IPMI(IPC2 I+r2)-(IPC I-1)= IPC2 I-IPCl+r2+r:=IPC3 I-IPCI+ 2+n1≤1C,C31+r2+r1=√/2+2+2+1= 3+2√2，当P,C1,C3共线时等号成立， 所以IPWI-IPMI的最大值为3+2√2 故选A. 4.B由⊙C:x2+y2-4x+4y+6=0,即(x-2)2 +(y+2)2=2,则圆心C(2,-2),半径为 r=√2，因为A(1,1),0(0,0),则I0A1= 2,10c1=22,又ko:=0=1,koc月 2-0=-1,则k·6c=-1,即0410C. -2-0 要使△OAB面积最大，则B在OC延长线上，且在圆上，如图，此 时10B1=10C1+=3反，则△0AB面积的最大值为×/2×3万 =3.故选B. 名师讲坛·素养提升 变式训练 x+y+3x-12y-4=0设过已知直线和圆的交点的圆系方程为： x2+y2-4x+2y-4+入(x-2y)=0,所求圆过点(1,0)，.-7+入= 0,解得入=7，所以圆的方程为x2+y2-4x+2y-4+7(x-2y）=0,即 x+y+3x-12y-4=0. 第四讲圆与圆的位置关系圆的综合应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 d>r +r 无解d=r1+r2Ir1-r2l<d<r1+r2一组实数解 无解 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V 2.√/10圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=(5)2,又圆心(1,2) 到直线1的能离为11- /5-/0 2 =/0 （)()器 圆C的方程化成(x+1)2+(y-3) =5,得圆心C(-1,3),半径是5，直线CW的方程为x+2y-5=0, 线段MN的中点坐标是(2,2），6m=之，线段MN的垂直平 12 分线的方程是y2=(x-2),即4-6y-5=0,联立x+2-5 0与4-6-5=0，解得所求圆的圆心F(9),又因为 =(9)广+（侣2）°-瓷所以所求圆的方卷是 (9)+(） 4.22,-2,7,之中任意-个皆可以）设点C到直线8的距 离为d,由弦长公式得1AB1=2√4-d,所以S=号×d× 2 50 ,由d=1+山。2 5或小26 2V4F=号，解得15或 √/1+m√/1+m1 高气后9得成方 5.C因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c,c=2b-a,代入直线方 程ax+by+c=0,得ax+by+2b-a=0,即a(x-1)+b(y+2)=0,令 -1=0得=1，故直线恒过(1，-2)，设P(1,-2),圆化为标 y+2=0,y=-2, 准方程得：C:x2+(y+2)2=5,设圆心为C,画出直线与圆的图形， 由图可知，当PC⊥AB时，IAB1最小，IPCI=1,IACI=IrI=J5 此时IAB1=21API=2√/1ACI2-1PCI2=2√5-1=4.故选C. A 0 考点突破·互动探究 考点1 例1：C圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)的圆心M(a,0),半径r1=a,由 直线3x+4+4=0与圆M相切，得13a+4 =a,解得a=2,圆 /32+42 N:(x-1)2+(y-1)2=1的圆心N(1,1),半径r2=1,而1MW1= √(2-1)2+(0-1)2=√2∈(1,3)，所以圆M和圆N相交.故 选C. 例2：ACD由圆M:x2+y2+4x-2y+4=0得.(x+2)2+(y-1)2=1,圆 心M(-2,1),半径为1，则1=2-1<10M1=√5<2+1=3，故两圆 相交，故两圆有两条公切线，故A正确：将两圆的方程作差得 4x-2y=-8即y=2x+4,所以直线AB的方程为y=2x+4,故B 不正确；lEF1mm=10M+2+1=√5+3，故C正确；圆心0(0， 0)到直线+2=0的距离4=2=2，而圆的半径为2，显 然2-2<2，故只有一条与x++2=0平行且距离为2的直 线与圆相交，故圆0上有2个点到直线x+y+2=0的距离为 2,故D正确.故选ACD. 例=子+音或y=好会或=-1（写出其巾一个即可 725 解法一：圆x2+y2=1的圆心为0(0,0)，半径为1，圆(x-3)2+ （y-4)2=16的圆心为0(3,4)，半径为4，两圆圆心距为 √32+4=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线 为1时，图为如=号，所以6=子设方程为y=子（心 4 5 0),由原点O到l的距离d= =1,解得1=子，所以1 9 √1+6 35 的方程为y=子+子；当切线为m时，设直线方程为x+y+ C Ipl 7 =1, √1+3 k=24' p=0,其中p>0,k<0,由题意 解得 13k+4+pl 25 =4, /1+k2 p-241 725 以m的方程为)242：当切线为n时，易知切线n的方 程为x=-1. 0(3.4) 解法二：切线l的求法同解法一；当切线为时，设两切点分 别为A,B,作0C10,B于C,则am∠0,0C= 4..= 3 k014-7 3. =24,设直线m的方程为7x-24+c=0,则1 1+4ko0 /72+24 =1,解得c=-25或25（舍去）..∴.切线m的方程为7x-24y 25=0:又∠0，OC与∠OOx互余，根据图形对称性可知切线 n的倾斜角为牙，显然切线n的方程为x=-1 [引申] 45 5 在圆0：x2+y2=4中，0到公共弦2x-y+4=0的距离d= 41 5 5 变式训练 AC由题意可得，圆O的圆心为O(0,0),半径r,=2,圆C的圆 心C(3,3),半径T2=2,因为两圆圆心距1OC1=3√2>2+2=r1+ r2,所以两圆外离，故A错误；IPQ1的最大值等于IOCI+r1+r2= 3万+4，最小值为10C1-T12=32-4,故B正确；显然直线x-y =2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心 连线平行，由直线OC:y=x,设外公切线为y=x+t,则两平行线间 的距离为2，即=2，=t22,故y=x±2，故C错误：对于 D选项，易知当∠MQN=90°时，四边形OMQN为正方形，故当 1QO1=2√2时，∠MQW=90°，故D正确.故选AC. 考点2 角度1 例1：B因为圆0：x2+y2=9,圆心坐标(0,0)，半径为3.圆心到直 线的距离为d=3×0-50+51-5.弦长L=2V- √/(3)2+(-√2)2 2√/32-(5)2=4.故选B. 例2：Dx2+y2=1与02：x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)两式相减得1： 2x-2y-1-F=0,即公共弦所在直线方程.圆02方程可化为 (x-1)2+(y+1)2=2-F,可得圆心02(1，-1)，02半径r= V2-F.则圆心0，到1的距离为4=12+2-1=13-，半 /4+4 25 安长号婚防广（侣）广-2水得 或F=1(舍)，此时r=5.故选D. 5( 角度2 例：D由于x2+y2-2x-4y+1=0,即为(x- 1)2+(y-2)2=4,故圆C的圆心为C(1, 2),半径为2，设H为AB的中点，则CH ⊥AB,结合IAB1=23,得ICHI= √22-(3)2=1，即点H在以C为圆心， 半径为1的圆上：又0A+0=20立，则 104+0B1=210,而10C1=√2+2= 5,故101的最小值为5-1，则10+01的最小值为2(5- 1),故选D. 变式训练 1.D由题意知圆M的圆心为M(2,2),半径r=√8-a,圆心M到 直线1的距离4=12+2-2-2.所以(2+(2,5)=8-a,即 √+1F 8-a=10,解得a=-2.故选D. 22由垂径定理可知2√-0MT=5,10M1=2M的 轨迹是以0为圆心，2为半径的圆，0到1的距离d=2=1, 六M到直线1距离的最小值为d-- 2-2 考点3 例1：A设点M(x,y),则P(x,yo),P'(x,0),因为M为PP'的中 点，所以yo=2y,即P(x,2y),又P在圆x2+y2=16(y>0)上， 所以2+4=16(>0)，即名+1G>0),即点M的轨逊 方程为后片=1(0放适 例2：x2+y2=56连接AB,PQ,设AB与 PQ交于点M,如图所示.因为四边 形APBQ为矩形，所以M为AB,PQ 的中点，连接OM.则OM⊥AB,设 M(xw,yw）,由此可得1AMI2=1OA12 -10M12=36-(x+y)①.又在 Rt△APB中，有IAMI=IPMI= √(xw-4)+②.由①②得x+ y-4xw-10=0,故点M的轨迹是圆.因为点M是PQ的中 点，设Q).则，空：=子代入点n的锐迹方程中 得，（受）+（告）厂广-4×40=0，整理得点0的氧迹方 程x2+y2=56. 变式训练 1.x2+y2-6x+1=0依题意，设C(x,y),由1AC1=√21BC1,得 √(x+1)2+y=√2×√(x-1)2+y7,即(x+1)2+y2= 2[(x-1)2+y2],整理得点C的轨迹方程为x2+y2-6x+1=0. 2.x2+(y-1)2=1(x≠0)x2+(y-2)2=4(x≠0)由P为AC的中 点知OP⊥AC,点P的轨迹是以OA为直径的圆（去掉A,O两 点)，其方程为x2+(y-1)2=1(x≠0).设 H(x,y),C(x',y'),连接AH,CH,则AH⊥ BC,CH⊥AB,BC是圆O切线，OC⊥BC, ∴.OC∥AH,CH∥OA,OA=OC,∴.四边形 AOCH是菱形.∴.1CHI=IAOI=2,得 =y-2又C(x,y),满足(x)2+(y)2 x'=x, =4,所以x2+(y-2)2=4(x≠0)，即为点H的轨迹方程. 09 考点4 例：[解析](1)设圆C的方程为(x-a)2+y2=4(a>0), 圆心(a,0)到直线x=0的距商4√4( 3 2 即5a-01-3a5 1+3 22a=1, 故圆C的方程为(x-1)2+y2=4. (2)假设存在定点N,使得直线AN与直线BN关于x轴对称， 那么kAN=-kgv, 设N(t,0),>0,A(x1y1),B(x22), 联立[-)+=4，得 ly=k(x-2) (k2+1)x2-(4k2+2)x+(42-3)=0, 4=(4h2+2)2-4(k2+1)(4h2-3)=12k+16>0. 4k2+2 [x+x2+1 4k2-3 yI y2 由w=-m心x好0， (x1-2)k(x2-2) =0, x1-t x2-t ∴.2x1x2-(+2)(x1+x2)+4t=0, .24k2-3)(4k+2)(+2)+4=0. k2+1 k2+1 .2(4h2-3)-(4k2+2)(+2)+4t(k2+1)=0 .∴.2t-10=0,∴.t=5. 故存在，当点N为(5,0)时，直线AW与直线BN关于x轴 对称. 变式训练 [解析](1)由题意，设圆心为C(a,0)(a>0),因为圆C过原 点，所以半径r=a, 又圆C与直线3x+4y-8=0相切， 所以圆心C到直线的距离d=13a-8 5 =a→a=1(负值舍去)， 所以圆C的标准方程为(x-1)2+y2=1. (2)①将直线1代入圆的方程可得(k2+1)x2+(4k-2)x+4=0,因 为有两个交点， 所以A=(4钻-2户-16(1)>06s-子，即的取位范国 31 是-0,4 ②证明：设A(x,y1),B（x2,y2),由根与系数的关 4k-2 「x+x=R+1 系： 4 2+ 4h-2 所以6+h-+上_，+2，，+22(x+)。 -2 k2+1 -+2k= X1 X2 X1 X2 4 k2+1 +2k=1. 即直线OA,OB斜率之和为定值. 名师讲坛·素养提升 变式训练 A由题意，点P(2,t),Q(2,-t)(t>0),可得以PQ为直径的圆 的方程为(x-2)2+y=t,则圆心C(2,0),半径R=t,又由圆C: 5 (x+2)2+(y-3)2=1,可得圆心C(-2,3),半径r=1,两圆的圆心 距为1CC1I=/(2+2)2+(0-3)2=5,要使得圆C:(x+2)2+(y 3)2=1上存在点M,使得∠PMQ=90°，即两圆存在公共点，则满 足+r≥5，即+1≥5解得4≤≤6，所以实数1的取值范围是 ΓlR-r≤5，t-1≤5， [4,6].故选A. 第五讲椭圆 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 距离的和等于常数（大于IFF,)焦点焦距椭圆 线段FF2空集 知识点二 2a 26 2c C c2=a2-b2 a 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)V 22 9+5=1点P在线段AW的垂直平分线上，故1PAI=PNM.又 AM是圆的半径，所以IPMI+IPNI=IPMI+IPAI=IAMI=6> 1MWI.由椭圆的定义知，点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆， 且2a=6,2c=4,所以a=3,c=2,b2=a2-c2=5,故动点P的轨迹 方程片1 为长轴的端点，厕a=3,b=1,椭圆的标准方 :若P为短轴的端点，则6=3，a=9,椭圆的标准方程为 871. 4.AA(-a,0),设P(x1,y),则Q(-x1y)x1≠±a,则kp= x+a y1y异1 +散k加·0 ta srta xita产4。B b(a2-x1) b(a2-x1 =1,则y= a ,所以2 -天，即之二4，所以椭圆 C的离心率e=C /1- ava-2 .故选A. 5.C将直线y=x+m与椭圆联立 [y=x+m, 3ty=1, 消去y可得4x2+6mx+ 3m2-3=0,因为直线与椭圆相交于 A,B点，则△=36m2-4×4(3m2-3)> 0,解得-2<m<2,设F到AB的距离d1,F,到AB的距离d2,易 知F(-2,0),F,(反，0)，则4，=1-5+ml ,4,=2+ml 1-√/2+ml SAF AB √2 =5+m=2,解得m= SAFAB 12+ml 12+ml 3或-32（舍去）， ② 故选C. 0第四讲 圆与圆的位置关系 圆的综合应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 双基自测 知识点 圆与圆的位置关系 题组一 走出误区 设圆0：(x-a1)2+(y-b1)2=r2(r1>0), 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） 圆02：(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0). (1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两 圆相交 () 方法 几何法：圆心距4与 代数法：两圆方程 公切线 (2)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交” 位置 联立组成方程组 r1,r2的关系 条数 () 关系 的解的情况 的必要不充分条件 (3)过圆0：x2+y2=r2外一点P(x0,yo)作圆的两条 外离 4 切线，切点分别为A,B,则O,P,A,B四点共圆且 外切 组实数解 3 直线AB的方程是xx+yoy=r2. () 相交 两组不同的实数解 2 (4)圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y 内切 d=lr1-r2l(r1≠r2) 1 +1=0的公切线有且仅有2条 ( 内含 0≤d<lr1-r21(r1≠r2》 0 题组二走进教材 2.(选择性必修1PT3)直线1：3x-y-6=0与圆x2+y2 归纳拓展 2x-4y=0相交于A,B两点，则1AB1= 3.(选择性必修1PT10)经过点M(3,-1),且与圆C: 1.当两圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+ x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程为 19 E2y+F2=0,相交（切）时，两圆方程相减可得公共弦 (内公切线)所在的直线方程.(D,-D2)x+(E:-E2)y 题组三走向考场 +F1-F2=0: 4.(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l:x-my+1=0与 两圆相交时，两圆连心线垂直平分公共弦：两圆相切 ⊙C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点，写出满足 时，两圆连心线必过切点。 2.(1)直线与圆相交时，弦心距d,半径r,弦长的一半 “AABC的面积为”的m的-个值 满足关系式广=+ 5.(2024·全国甲卷)已知b是a,c的等差中项，直线 ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A,B两点，则 (2)过圆内一点的最长的弦是直径，最短的是垂直这 IAB1的最小值为 ( 点与圆心连线的弦 A.2 B.3 C.4 D.25 考点突破·互动探究 C.点E在圆O上，点F在圆M上，IEFI的最大值 考点 圆与圆的位置关系— 自主练透 为√5+3 例1.(2026·四川绵阳模拟)已知直线3x+4y+4=0 D.圆0上有2个点到直线x+y+2=0的距离为√2 与圆M:x2+y2-2ax=0(a>0)相切，则圆M和圆N: 3.(2022·新高考I卷)写出与圆x2+2=1和(x (x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是 3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程 ( A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 [引申]本例2中两圆的公共弦长为 2.（多选题)(2024·湖北A9高中联盟期中联考) 名师点拨：如何处理两圆的位置关系 已知圆0：x2+y2=4和圆M:x2+y2+4x-2y+4=0,下列 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆 说法正确的是 圆心距与两圆半径和、差之间的关系，一般不采用代数 ( 法.若两圆相交（内切、外切），则两圆公共弦（外公切 A.两圆有两条公切线 线、内公切线)所在直线的方程可由两圆的方程作差消 B.两圆的公共弦所在的直线方程为y=2x+2 去x2,y2项得到.公共弦长问题在一个圆中求解。 【变式训练】 2.（角度2)(2026·山东临沂联考)已知A,B为圆0： (多选题)(2024·广东六校联考)已知圆0：x2+y2= x2+y2=1上的两点，IAB1=√5，M为AB的中点，则 4和圆C:(x-3)2+(y-3)2=4,P,Q分别是圆0，圆C M到直线1：x-√3y+2=0距离的最小值为 上的动点，则下列说法错误的是 ( A.圆0与圆C相交 点5 与圆有关的轨迹问题一师生共研 B.1PQ1的取值范围是[3√2-4,32+4] C.x-y=2是圆0与圆C的一条公切线 例1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:+y=16 D.过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M,N,则 (y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP',P'为 存在点Q,使得∠MQN=90° 垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为() 点0 弦长、弦的中点问题一多维探究 432 164=1(0>0) 角度！弦长问题 例1.(2025·重庆三模)直线：5x-2y+5=0截圆 B. =1(y>0) 168 0:x2+2=9所得的弦长为 A.2 B.4 C. 164=1(>0) C.2/5 D.5 y2x2 D 2.(2026·四川达州中学入学考试)已知圆0： 168=1(0>0) x2+y2=1与圆02：x2+y2-2x+2y+F=0(F<1)相交所得 2.已知点P(4,0),A,B是圆x2+y2=36上两动点， 的公共弦长为2，则圆O2的半径r= 且满足∠APB=90°，则矩形APBQ顶点Q的轨迹方程 A.1 B.3 为 192 C.5或1 D.5 名师点拨：求与圆有关的轨迹问题的常用方法 角度2弦的中点问题 例(2026·湖北部分名校月考)已知A,B是圆C:2+ (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。 y2-2x-4y+1=0上的两点，且1AB1=25,点0为 (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程。 (3)代入法（相关点法）：找到要求点与已知点的 坐标原点，则10A+0B1的最小值为 ( A.2 B.4 关系，代入已知点满足的关系式。 C.5-1 D.25-2 【变式训练】 名师点拨：弦长的求法 1.(2026·青海西宁期中)已知A(-1,0),B(1,0),C (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长1AB|的一半 为平面内的一个动点，且满足IAC1=√2IBC1,则点 构成直角三角形，弦长1AB=2√-. C的轨迹方程为 (2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F =0相交于点M,V,代入，消去y,得关于x的一元二次方 2.如图所示，已知圆0：x2+y2=4与y轴的正方向交 程，则1MN1=√/1+h2·√(N)-4xvxN. 于A点，点B在直线y=2上运动，过点B作圆O 注：①过圆C内定点P的弦中，以P为中点的弦 的切线，切点为C,则AC的中点P的轨迹方程 最短；最长的弦是直径. 为 ;△ABC的垂心H的轨迹方程 ②遇弦的中点，注意垂直关系的应用。 为 【变式训练】 1.（角度1)(2025·青海名校联盟联考)已知直线l:x+ y-2=0与圆M:x2+y2-4x-4y+a=0交于A,B两点， 且IAB1=4√2，则a= A.4 B.-4 C.2 D.-2 考点 【变式训练】 圆的综合应用一师生共研 (2024·辽宁辽东南适应性联考)已知圆C经过坐 例 (2026·重庆名校联盟期中)已知圆心 标原点0，圆心在x轴正半轴上，且与直线3x+4y-8 在x轴的正半轴上，且径为2的C被 =0相切. 线=x截得的炫长为3 (1)求圆C的标准方程： (2)直线l:y=x+2与圆C交于A,B两点. (1)求圆C的方程； ①求k的取值范围； (2)设动血线=(x-2)与岗C交于A、B两点， ②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值. 则在x轴半轴上是否行在定点N,便得直线AW 与直线BN关于x轴对称？若行在，请求出N的 坐标：若不行在，请说明理山。 ③k*十k4二0 分析： →①设圆C:(K-a)2+y=4(a>0) 3 >②圆心（a,0)到直线y=W3x的距离？利用 点到直线的距离求得a即可 >④设A〔1”1），By)将直线方程与圆方 程联立，可用k表示X十x2,X1X ⑤假设存在Mt,0),〔t>0),借助③④求解t即 193 名师讲运·素养提升 “隐形图”问题 伤例平胃员德香格德2 定值入（入≠1）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以(x,y)到原点(0,0)的距离的平方，所以(x2+y2)mx= 他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.若平(2+5)2=7+45，所以[2(x2+y2+1)]m=16+85,即 面内两定点A,B间的距离为2，动点P满足 1PA12+1PB2的最大值为16+85，故选A. IPBI 2.(2024·云南联考)在平面直角坐标系x0y中， 则1PA12+|PBI2的最大值为 点A(0,3),若直线l:y=x+3上存在点M,使得MA1= A.16+8√3 B.8+45 21M01,则k的取值范围为 () C.7+45 D.3+5 A.[-3,5] [答案]A [解析]以AB的中点 B.(-o,-√/3]U[√5，+o) 为原点，AB所在直线为x轴 建立平面直角坐标系，不妨 c( A 取A(-1,0),B(1,0).设 P(x,),则(x+1)+ (,[停 √(x-1)2+y [答案] B √3，整理得(x-2)2+y2=3,所以点P的轨迹方程为 [解析]设M(x,y),由IMA1=2IMO1,可得 /2+(y-3)7=2√x2+y,整理得x2+(y+1)2=4,则直 线1：y=x+3与圆x2+(y+1)2=4有公共点，则 名师点拨： 13-(-1)≤2，即≥3，解得k≤-5或k≥5.故 有些题中没有明确给出圆，而是隐藏在题设中，可 √2+1 通过分析、转化发现圆一一隐形圆，从而利用圆的性质 选B. 3.(2026·江苏南京外国语学校调研)已知M是 求解，以简化运算，常见的“隐形圆”类型： 圆C:x2+y2=1上一个动点，且直线l1:mx-y-3m+n=0 (1)利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点 与直线l2:n+my-3m-n=0(m,n∈R,m2+n2≠0)相交 的轨迹)确定隐形圆； 于点P,则IPMI的取值范围是 ( (2)动点P对两定点A,B张角是90°(k4·ke= A.[5-1,25+1] B.[2-1,32+1] -1)确定隐形圆； C.[V2-1,22+1] D.[2-1,33+1] (3)两定点A,B,动点P满足P·P=入确定隐 [答案]B [解析]依题意，直线l1:m(x-3)-n(y-1)=0恒 形圆； 过定点A(3,1),直线2：n(x-1)+m(y-3)=0恒过定 (4)两定点A,B,动点P满足IPA12+1PB12是定值 点B(1,3),显然直线l1⊥L2,因此，直线L1与l2交点P 确定隐形圆； 的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为(x-2)2+ (5)两定点A,B,动点P满足IPA|=AIPB1(入>0， (y-2)2=2,圆心N(2,2),半径2=√2，而圆C的圆心 入≠1)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）； C(0,0),半径r1=1,如图：INC1=22>r1+r2,两圆外 (6)由圆周角的性质确定隐形圆. 离，由圆的几何性质得1PM1mm=1NC1-r1-r2=2-1 1PMIn=INC1+r1+r2=32+1,所以IPM1的取值范围 【变式训练】 是[2-1,32+1].故选B. (2026·江苏盐城调研)已知点P(2,t),Q(2,-t)(> 0),若圆C:(x+2)2+(y-3)2=1上存在点M,使得 ∠PMQ=90°，则实数t的取值范围是 () 194 A.[4,6] B.(4,6) C.(0,4]U[6,+∞) D.(0,4)U(6,+0) C(O) 温馨提示：复习至此，请完成练案[50] 第五讲 椭圆 知识梳理·双基自测 FAFAAAFFAAFKK1F1A11A11AAA1A1A1A1A1A1A11AAAA1AA1AAAA1FAAAAAF121164151F1AFA6F4F411A/4/11/11A1A1111/A1A11A1111A1/1111A1/11A11RRA1A41114164* 知识梳理 知识点二椭圆的标准方程和几何性质 知识点一 椭圆的定义 标准方程 平面内与两个定点F、F2的 2t=1(a>b>0) a2=1(a>0) 的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭 圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 注：若集合P=M1IMF,I+|MF2I=2a,IF,F2I= 2c,其中a>0,c>0,且a、c为常数，则有如下结论： 图形 (1)若a>c,则集合P为 A F O c F (2)若a=c,则集合P为 (3)若a<c,则集合P为