第6章 第4讲 数列求和-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

[答案]C [解析]由题意知，由天心石开始向外的每环的 扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an},易知其 首项a1=9,公差d=9,所以an=a1+(n-1)d=9n.设数 列{an}的前n项和为Sn,由等差数列的性质知Sn,S2n Sn,Sn-S2n也成等差数列，所以2(S2n-Sn)=Sn+Sn 5,所以(S.-5)-(5-S,)=5-25-2n(9+18m） 2 2xa(949m）=9m2=729,得n=9,所以三层共有扇面形 2 石板的块数为S=3n(9+27m）_3x9x(9+27x9 2 2 3402,故选C. 2.(2026·北京房山一模)中国古代数学著作《算 法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步 健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见 次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人 走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天 走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.” 则该人第三天走的路程为 A.12里 B.24里 C.48里 D.96里 [答案] [解析]由题意可得，此人6天中每天走的路程 是公比为)的等比数列，设这个数列为口，，前n项利 134 a 1- 6 为Sn,则S6= 201=378,解得a1=192,所 1- 以a3=192 2=48,即该人第三天走的路程为48里. 故选C. 第四讲 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一公式法求和 1.如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和 时直接利用等差、等比数列的前n项和公式。 2.等差数列的前n项和公式：Sn=- n(artan) 2 3.等比数列的前n项和公式： rna1,9=1, S,=a1-a,9 [1-q ,9≠1. 注意等比数列公比q的取值情况，要分q=1,9≠1. 名师点拨： 以数学文化为背景的等差（比）数列问题的求解 关键是：①会脱去数学文化的背景，读懂题意；②构建 模型，即由题意构建等差（比）数列的模型；③解模，即 把文字语言转化为求等差（比）数列的相关问题，如求 指定项、公差或项数、通项公式或前n项和等， 【变式训练】 1.(2026·北京阶段练习)集合论是德国数学家康托 尔于十九世纪末创立的，希尔伯特赞誉其为“数学思 想的惊人产物，在纯粹理性范畴中人类活动的最美 表现之一”.取一条长度为1的线段，将它三等分，去 掉中间一段，留下的两段分割三等分，各去掉中间一 段，留下更短的四段，…，将这种操作一直继续下 去，直至无穷.由于在不断分割舍弃过程中，所形成 的线段的数日越来越多，长度越来越小，在极限情况 下，得到一个离散的点集，称为康托尔三分集.若在 前0次操作中共去掉的线段长度之和不小于动侧则： 的最小值为（参考数据：lg2=0.3010,lg3=0.4771) () A.9 B.8 C.7 D.6 2.(2026·北京西城期中)《九章算术》是中国古代张 苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学 史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六 “均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上 四节容量三升，问中间二节欲均容各多少？”其意思 为：“今有竹9节，下3节容量4升，上4节容量3升 使中间两节也均匀变化，每节容量是多少？”这一问 题中从下部算起第5节容量是 升.（结果保 留分数) 温馨提示：复习至此，请完成练案[36 数列求和 AARAARRARRAARA4R4RX1AA7A77A2777/7///7///////////////77// 知识点二分组求和法 一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求 和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后 相加减.如若一个数列的奇数项成等差数列，偶数项成 等比数列，则可用分组求和法求其前n项和. 知识点三倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中与首末两端等“距 离”的两项的和相等且等于同一个常数，那么求这个数 列的前n项和可用倒序相加法，如等差数列的前n项 和公式即是用此法推导的， 知识点四错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等 比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项 和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是 用此法推导的. 知识点五裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的 些项可以相互抵消，从而求得其和 知识点六并项求和法 在一个数列的前项和中，可两两合并求解，则称 之为并项求和.如{an}是等差数列，求数列{(-l)”an} 的前n项和，可用并项求和法求解. 形如an=(-1)"f(n)类型，可考虑采用两项合并 求解. 归纳拓展 常见的裂项公式 (1)1 1 1 n(n+1)nn+li (2),111 n(ntk)kn ntk 81: 1 1/11 (402n-)(2n+1D22n-12n+ (5) =√ntI-n; √n+n+I 1 元+m+左（n+k-n 1「1 1 (6) n(n+1)(n+2)2Ln(n+1)(n+1)(n+2)J 2” 1 1 (7) 2+1)(2*+1)2”+12*+1 双基自测 题组一 走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） (1)如果数列{an为等比数列，且公比不等于1，则 a1-an+1 其前n项和为Sn= () 1-q (2)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+ sin89°可用倒序相加求和. (3)求Sn=a+2a2+3a3+…+na”时只要把上式等号两 边同时乘以α即可根据错位相减法求得. 4当a2时(l (5)求数列 +2n+3的前n项和可用分组求和， 2 () 题组二 走进教材 2.（选择性必修2PT2改编)在数列{an中，an= 1 2025 n(m+）若a.的前n项和为2026 则项数n= A.2023 B.2024 C.2025 D.2026 1+1+3 3(选择性必修2P3改编)S,27十8十+二等一 2n 于 () A2“-1 2*1-n-2 B. 2 2"-n+1 C D.21-n+2 2 2 题组三走向考场 4.（2024·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，且 4Sn=3an+4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn=(-1)"-nan,求数列{bn}的前n项和 为Tn 135 考点突破·互动探究 名师点拨：用错位相减法解决数列求和的模板 点 分组求和与并项求和一自主练透 第一步：（判断结构）若数列{an·bn}是由等差数 例设a.是递增的等差数列，6，是等比数列，已知 列{an}与等比数列{bn}(公比g)的对应项之积构成 a1=1,b1=4,b2=2a4,b3=8a2 的，则可用此法求和. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 第二步：（乘公比）设{an·bn}的前n项和为Tn, (2)设dn=(-1)"(an+3"),求数列{dn}的前2n项 然后两边同乘以4 和S2n 第三步：（错位相减）乘以公比9后，向后错开一 位，使含有g(k∈N)的项对齐，然后两边同时作差. 第四步：（求和）将作差后的结果求和化简，从而 表示出Tn 用错位相减法求和应注意的问题 1.如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个 等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相 减法 2.在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将 两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn一qSn”的表 达式. 3.“Sn-gSn”化简的关键是化为等比数列求和， 名师点拨：分组求和法与并项求和法的应用 定要明确求和的是n项还是(n-1)项，一般是(n 策略 1)项. 一般地，如果{an{是等差数列，{bn{是等比数列， 4.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比 36 「an,n为奇数， 为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况讨论 求数列{an±bn}或cn= 的前n项和Sn bn,n为偶数 求解 时，可采用分组求和法求解.如果cn=(-I)”an,求{cn} 【变式训练】 的前n项和时，可采用并项求和法求解】 (2025·湖北模拟预测)在公差不为0的等差数列 {an}中，a1=1,且a5是a2与a14的等比中项 耆点C 错位相减法一 师生共研 (1)求{an}的通项公式； 例记S,为数列a,的前n项和，已知a,=1,2S。 (2)若bn=2,cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Sm (1)求{an}的通项公式； (2)求数列 n+1 2n 的前n项和Tn 名师点拨： 考点5 裂项相消法一师生共研 裂项相消法求和在历年高考中曾多次出现，命题 例2026，江苏泰州期初调研)已知等差数列1a, 角度凸显灵活多变.在解题中，要善于利用裂项相消的 和等比数列{bn}满足a,=b,=1,a,+a2=b3,15a1+ 基本思想，变换数列{an的通项公式，达到求解的 ao=b6. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 目的. 1.直接考查裂项相消法求和.解决此类问题应注 (2)记c=g4,求数列{C} 前n项意以下两点： 和Sn (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项， 也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使 裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：若{an} 是等差数列，则1 =11 1一= d an am anan+2 111 2.与不等式相结合考查裂项相消法求和.解决此 类问题应分两步：第一步，求和；第二步，利用作差法、 放缩法、单调性等证明不等式， 【变式训练】 （2025·山西阳泉三模)已知数列{an}的前n项和 为Sn,且Sn=2an-2,则数列 n 的前 137 (an+1)(an+2) 100项和T10= 名师讲坛·素养提升 数列的求和 倒序相加法 例(2025·浙江开学考试)已知函数x)满足x) 2023x2 1 ①②两式相加可得：a1+a2+a3+…+a223= f(1-x)f'(x)为f(x)的导函数，g(x)=f'(x)+ 2023 xeR若a.=8(2024) ,则数列{an}的前2023项和 3 为 名师点拨：倒序相加法应用的条件 [答案] 2023 与首未两项等距离的两项之和等于首末两项之 3 和，可采用把正着写与倒着写的两个和相加的方法 [解析]由题意知f(x)=f(1-x),所以f'(x)= 求解. f'(1-x),即f'(x)+f'(1-x)=0,又因为g(x)=∫'(x)【变式训练】 22 +3,所以g(x)+g1-)="()f"(1-)+行弓，所 设f(x)= +…+f(1)+ 以a+a+a+…+ae=g(2302)+g224)+ f(2)+…+f(2022)= 温馨提示：复习至此，请完成练案[37] ①，a1+a2+a3+…+a2 器))（器）+（） /2022 ②，将4.[解析](1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4, ,所以1- 解得a1=4. 1-3 当n≥2时，4Sm-1=3am1+4, 所以4S。-4Sn1=4an=3an-3a-1即an=-3a-1, (号)广≥8（号）广≤0他号<-0，≥ 1g30 lg 3-1g 2 而4，=4≠0，故4，≠0，故%=-3， an-1 1+lg3 1+0.4771 ≈8.4，所以n的最小值是9.故 数列{an}是以4为首项，-3为公比的等比数列， 1g3-1g20.4771-0.3010 选A 所以a.=4·(-3)1 (2)bn=(-1)m-·n·4·(-3)-=4n·3-, 记从下部算起第n节的容量为a,由题意可知：数列{a.} 所以Tn=b1+b2+b3+…+b, 为等差数列，设其公差为d,则+a,+a,=3a+3d=4, =4·3°+8·3+12·32+…+4n·3-1 解得 la6+a7+ag+ag=4a1+26d=3. 故3T.=4·3+8·32+12·33+…+4n·3" 95 所以-2T=4+4·3+4·32++4·31-4·3 a 66 > a,=a,+4d=6 ,即从下部算起第5节容量是6升】 =4+4.3(1-3)-4n·3 6 1-3 d= 66 =4+2·3·(3m--1)-4n·3" 第四讲数列求和 =(2-4n)·3-2, ∴.Tn=(2n-1)·3"+1. 知识梳理·双基自测 考点突破·互动探究 知识梳理 考点1 知识点一 例：[解析](1)设{a.}的公差为d(d>0), 2m台 {bn}的公比为q(q≠0)， 由a1=1,b1=4,b2=2a4得b19=2(a1+3d),即4g=6d+2, 301-g) 又因为b3=8a2,所以b192=8(a+d), 1-g 双基自测 即4g=8d+8,联立=61+2， 4g2=8d+8 1.(1)V(2)V(3)×(4)×(5)V 2 [解析]（1)因为数列{a.}为等比数列，且公比不等于1.则其 = 3 前m项和为S=(1-g）_4-a90-0 解得 7 (舍去)或92， ld=1, d=- 1-91-91-9 9 (2)因为sin21°+sin289°=sin22°+sin288°=sin23°+sin287°= 所以an=a1+(n-1)d=n,bn=b9-l=2l. sin44°+sin246°=2sin245°=1，所以sim21°+sin22°+sin23°+…+ (2)由(1)可得d,=(-1)"(n+3"), sin287°+sin288°+sin289°可用倒序相加求和. 所以S2n=d+d2+d3+d4++d-+d (3)要分a=0或a=1或a≠0且a≠1讨论求解. =-(1+3)+(2+32)-(3+33)+(4+3)--(2n-1+32-)+(2n 用秀亡宁品女 +32) =(1+32-3)+(1+34-33)+…+(1+32m-32-1) 2.C a,= 111 =(1+2×3)+(1+2×33)+…+(1+2×32m1) n(n+1)nn+1' =n+2×(3+32+…+32-1) =n+2x3(1-9) 1-9 =1-1=n=2025 3 n+1n+12026 =4(9-1)+n. ∴.n=2025.故选C. 考点2 1.2,3 3B解法一：由8=分子++ ①例：[解析](1)因为2S.=na, 当n=1时，2a1=a1,即a1=0: 得子 12 +2”t2 ② 当n=3时，2(1+a3)=3a3,即a3=2, ①-②得， 当n≥2时，2S.1=(n-1)an-1, 所以2S。-2Sn-1=na.-(n-1)an-1=2a., 1 化简得(n-2)a.=(n-1)ar1, 则当n≥3时， (] 23=21-n-2 a-- 2,2则…·=12 an-1 an-2 a2n-2n-3 ·… 广，即 =n-1, 解法二：此类问题可先考虑排除法，令n=1即得B正确.故 因为a2=1,所以an=n-1, 选B. 当n=1,2时都满足上式，所以a.=n-1,neN -479- （2令6学分 名师讲坛·素养提升 变式训练 则Tm=b1+b2+…+bm-1+b 4043 :f(x)= …))=1 x 2 22 ① 1 1.2 ,n-1.n ② 令s=f202(202+0n2)+…2022.0 22+ 111 .1n 则s=202)202*…1)(分）+-20)② 22 .2S=4043,S= 4043 () 2 1 2*1 第七章立体几何 -1-2+n 21, 第一讲空间几何体的结构及其表面积和体积 即T=2-2+n 2 知识梳理·双基自测 变式训练 知识梳理 [解析]（1)设{a,}的公差为d(d≠0)， 知识点一 因为a5是a2与a4的等比中项， 平行且全等平行四边形平行多边形三角形截面 所以a5=a2a4,即(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d), 底面平行且相等一点一点平行四边形三角形 整理得d=2a1d. 梯形 又a1=1,d≠0，所以d=2, 知识点二 则a.=a1+(n-1)d=2n-1. 垂直一点一点矩形等腰三角形等腰梯形圆矩 (2)由(1)可得bn=2=221,c.=ab=(2n-1)·2r-1， 形扇形扇环 则Sn=1×2+3×2+5×2+…+(2n-1)·22m①， 知识点三 4Sn=1×23+3×2+5×2+…+(2n-1)·22+1②， 2url Trl (r +r2)l ①-②得-3Sn=2+2×(2+25++221-)-(2n-1)·22 知识点四 2*2x22 1-4-(2n-1)·24=-106n-5 .22m+1 S底h 33 3S底·h4mR 则s.=6m-5.2+0 知识点五 9 45°或135°垂直平行于坐标轴不变原来的一半 考点3 双基自测 例：[解析](1)设{a.}公差为d,{b.}公比为q, 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)V(6)× 则t1+dg,解得g=2.4=2: Tl+πr2=12m, 115+1+8d=g, 2.B由条件得 .3r2=12,.r=2 .a.=1+2(n-1)=2n-1,bm=2-1 (2).cn=log22"=n, 3.ACD设正方体的棱长为2a,则6×(2a)2+ 1 n 4(4n2-1)+ 4 8x3 (2a)=12+45,a=1,4B=2a a.a+1(2n-1)(2n+1) 4n2-1 =√2，A正确；显然该半正多面体外接球的球 4+8（2n-12n+11 心为对应正方体的中心，外接球半径R=√2，S球=8π，B错 111 1 1 ∴.Sn= 4+8(3352 十… 2n-12n+1 误：显然AB与平面BCD所成角为∠HBA=平，C正确；与AB成 1。,1 nn n'tn 角是的有BC,AC,EN,FD,FM,EM,AN,BD,CT,CP,DP,DR, 变式训练 MS,MR,NT,SN共16条，D正确.故选ACD. 11 因为Sn=2an-2,所以Sm1=2an-1-2,n≥2，故n≥2 76 22100+1 4. 6 解法一：如图，过A作AM1 时，两式相减得，a=2an-2ar1,即an=2a-1,n≥2，因为S,= AC,垂足为M,易知AM为四棱台 2a1-2,即a1=2,所以数列{an}是以2为首项，以2为公比的等 ABCD-A,B,C,D1的高， 比数列，所以a.=2,(1+a)(2+)(1+2)(2+2) a 2” 因为AB=2,AB,=1,A41=√2，则A10 M-ǒ 2×2" =2、111 1 2,A0= (2+2)(2+2") 2222）=2(23* c=宁Ea反，故4w=子c-AG- 1 11 之，则A,M= 480