第7章 第4讲 空间直线、平面垂直的判定与性质-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第四讲 空间直线、平 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 直线与平面垂直 1.直线与平面垂直 (1)定义：若直线1与平面内的 条直 线都垂直，则直线l与平面α垂直 (2)判定与性质 判定定理 性质定理 如果一条直线与一个 平面内的两条相交直 文字 线垂直，那么该直线与 垂直于同一平面的两直 语言 此平面垂直 线平行 (线线垂直→线面垂 直) 图形 语言 D bCa, 符号 a⊥a, 台l⊥a 语言 b⊥a 过一点作垂直于已知平面的直线 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段， 叫做这个点到该平面的距离. 条直线与一个平面平行时，这条直线上 ,叫做这条直线到这个平面的 距离。 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意 点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两 个平行平面间的距离. 2.直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的 ,叫做这条斜线和这个平面所成的角. 面垂直的判定与性质 若直线与平面平行或直线在平面内，直线与平面 所成角为 ,若直线与平面垂直，直线与平面所 成角为 (2)线面角0的范围：8e[0,引， 知识点二平面与平面垂直 1.二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的 所 组成的图形叫做二面角， (2)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点 为端点，在两个半平面内分别作与棱 的射线， 则两射线所成的角叫做二面角的平面角， (3)二面角0的范围：0e[0,π]. 2.平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角 是 ,就说这两个平面互相垂直 (2)判定与性质 判定定理 性质定理 如果一个平面经 两个平面垂直，如果一个平面 过另一个平面的 内有一直线垂直于这两个平 文字 垂线，那么这两个 面的交线，那么这条直线与另 语言 平面垂直.（线面 一个平面垂直.（面面垂直→ 垂直→面面垂直) 线面垂直) 图形 语言 a⊥B, 符号 aCa, 语言 a⊥BJ ax∩B=b, 归纳拓展 1.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条 也垂直于这个平面. 2.若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内 图1 图2 的任何一条直线（证明线线垂直的一个重要方法）· A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFG 3.垂直于同一条直线的两个平面平行： C.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEF 4.一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线 与另一个平面也垂直. 3.（必修2Ps2例4)在棱长为1的正方体ABCD AB,C,D中，点M,N分别为AB,BC的中点，则直线 双基自测 MN与平面DCA,所成角的大小为 () 题组一走出误区 B君 c n号 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） 题组三走向考场 (1)直线1与平面α内的无数条直线都垂直，则11 4.(2024·全国甲卷)设x、B是两个平面，m、n是两条 ( 直线，且a∩B=m.下列四个命题： (2)垂直于同一个平面的两平面平行. ①若mn,则n∥a或nB (3)若直线a⊥，b⊥，则a%. ( ②若m1n,则n⊥a,n⊥B (4)若a⊥B,a⊥B,则a∥ax. ③若n∥a,且nB,则mn (5)若直线a1平面，直线b∥a,则直线a与b垂 ④若n与和B所成的角相等，则m⊥n 直 ( 其中所有真命题的编号是 (6)若平面αx内的一条直线垂直于平面B内的无数 A.①③ B.②④ 条直线，则ax⊥B. C.①②③ D.①③④ 题组二走进教材 5.（2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABC-A,B,C,的 SS 2.（必修2P164T15)如图1，正方形SG,G2G,中，E,F分 别是G,G2,G2G3的中点，D是EF的中点，如图2，沿 AB=6.AB,=2,则41A与平面AB SE,SF,EF将正方形折成一个四面体，使G,G2,G 角的正切值为 ( 重合，重合后的点记为G,则在四面体S-EGF中 1 .2 B.1 C.2 D.3 考点突破·互动探究 名师点拨： 考点 空间垂直关系的基本问题一自主练透 解决这类线、面位置关系判定的问题一般是利用 例1.(2026·广东深圳光明区调研)已知α，B是两个正方体模型或画图分析解决，其实最好的办法是笔当 不同的平面，m,n是两条不重合的直线，则下列命线，纸、手掌当面动态演示 题正确的是 )【变式训练】 A.若a⊥B,mCa,则m⊥B 1.(多选题)已知直线l与平面α相交于点P,则（) B.若m⊥，m∥n,则n⊥a A.内不存在直线与l平行 C.若m⊥a,m⊥n,则na B.a内有无数条直线与l垂直 D.若xB,mCa,nCB,则mn C.α内所有直线与l是异面直线 2.（多选题)已知ax,B,y是三个不同的平面，l,m D.至少存在一个过l且与α垂直的平面 是两条不同的直线，则 )2.（多选题)(2024·内蒙古呼伦贝尔模拟改编)已知 A.若a⊥B,l∥a,mB,则l⊥m 1,m是两条不同的直线，ax,B是两个不同的平面，且 B.若a⊥B,B⊥y,则a∥y ∥a,m⊥B,则下列四个结论正确的是 C.若l1a,m/B,且aB,则l⊥m A.若aB,则m⊥x B.若l⊥m,则lB D.若l⊥，m,mCB,则a⊥B C.若1B,则l1m D.若m∥a,则⊥B 老点已 直线与平面垂直的判定与性质一多维探究 角度1 线、面垂直的判定 例 (2024·湘豫名校联考（节选）)1， 分析1： 四棱锥S-ABCD中，△SAD是等边三角形 取AD中点0，连接S0得 S0⊥平面ABCD(化面面 四边形ABCD是矩形，平山SAD⊥平面ABCD, 垂直为线面垂直) LSSA=2AB,E,F分别是BC,SE的中点. 证明：SE⊥平面ADF 连接E、F,则E上D,从 而0⊥平面；进而得到 E⊥A:只需再证E⊥0F 或E上F即可 分析2： 证SE⊥DF,SE⊥F 故只需连AE、DE,证AE=SA 即可（同理E二S的】 156 角度2线、面垂直的性质 角度3直线与平面所成的角 例(206·四川巴中诊断（节选）)如图所示，直三棱 例(2026·福建福州质检)在正三棱柱ABC-A,B,C 柱ABC-A,BC1,∠ABC=90°，AA1=AB. 中，AB=AA,则直线AB,与平面BCC,B,所成角的 正弦值为 ② C.10 D.V15 4 5 [引申]本例中A,B,与平面AB,C所成角的正弦 值为 求证：A,C⊥AB 名师点拨： 1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. 如：直径所对圆周角是直角；菱形对角线互相垂 直；等腰三角形底边上的中线、顶角平分线垂直底边. 等等 (2)若知某些线段长度，常利用勾股定理的逆 定理 (3)利用直线与平面垂直的性质. (4)向量法：a⊥b→a·b=0. 2.证明线面垂直的常用方法 (1)线面垂直的判定定理： l⊥a,l⊥b,aCax,bCa,a∩b=P→l⊥. (2)面面垂直的性质定理： a⊥B,a∩B=l,aCa,a⊥l→a⊥B (3)性质：①a∥b,b⊥a→a⊥a; ②axB,a⊥B→a⊥. 3.求直线与平面所成角的方法 (1)定义法：①作，在直线上选取恰当的点向平面 引垂线，确定垂足的位置是关键； ②证，证明所作的角为直线与平面所成的角； ③求，通过解三角形，求角。 2)公式法：sim6=2(其中h为斜线上除斜足外 的任一点到所给平面的距离，l为该点到斜足的距离，0 为斜线与平面所成的角) (3)向量法，sin0=1cos(AB,n)1= A店·n(其中 1ABIInl AB为平面的斜线，n为平面a的法向量，0为斜线 AB与平面α所成的角). 【变式训练】 1.（角度1、2)如图，D为圆锥的 顶点，O是圆锥底面的圆心， AE为底面直径，AE=AD. △ABC是底面的内接正三角 形，P为D0上一点，P0= oa 证明：PA⊥平面PBC. 2.(角度3)(2025·江苏部分学校联合测评)已知正三 棱锥P-ABC的侧棱与底面边长的比值为√3，则三棱 锥P-ABC的侧棱与底面所成角的正弦值为() 3 n.5 8 4 考点 两个平面垂直的判定与性质一师生共研 例直东程 P-ABCD中，平面PAB1平面 A ABCD,底面ABCD为菱形， ∠ABC=60°，AB=√2PA= √2PB=2,E是CD的中点. 证明：平面PBCL平面PAE. 名师点拨： 1.判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理(a⊥B,aCa→a⊥B). (一般在一个平面内找交线的垂线，证此线与另一面 垂直.) 2.在已知面面垂直时，一般要用性质定理进行转 化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然 157 后进一步转化为线线垂直. 3. 判定 判定 判定 线线垂直 线面垂直 性质 性质 面面垂直 性质 【变式训练】 (2026·辽宁大连滨城高中 联盟期中)如图，在多面体 ABCDE中，平面ACD⊥平面 ABC,BE⊥平面ABC,△ABC 和△ACD均为正三角形，AC =2,BE=√5，点M为线段CD 上一点. 求证：DE⊥AM 名师讲近·素美提升 44K4444444444444444444444444444444444444 直线与平面平行、垂直 例1，（多选题）(2024·云南 大理统测)如图，在正方 体ABCD-AB,CD,中，AM= A √2，P为线段BC1上的动点， D 则下列说法正确的是() A.BD⊥AP B.DP∥平面AB,D C.三棱锥P-ACD,的体积为定值√2 D.AP+PC的最小值为√5+1 [答案]ABD [解析]由正方体性质易 知B,D⊥平面ABC1, 又APC平面A,BC1, .B,D⊥AP,故A正确； 由平面BDC∥平面AB,D, DPC平面BDC, .DP∥平面AB,D,故B 正确； AD∥BC1,ADC平面ACD,BC1￠平面ACD1, 158 BC,∥平面ACD, ·点P到平面ACD,的距离等于点B到平面 ACD,的距离， 11 .Vp-ACD V-AGD=VD-ACB=3X2 ×√2×2×√2= 3,故C错误；将平面A,BC,和平面BCC沿直线BC 展开为一个平面，如图： △ABC1是正三角形， △BCC1是等腰直角三角形， 且BC1=2,BC=2, ∠AC,C=105°， 9 A,C2=A,C+CC-2· AC1·CC1·cos∠A1C,C=4 +2-2x2x/2×2-6 4 4+25, .A1C=√3+1， 即AP+PC的最小值为3+1，故D正确.故 选ABD. 2.(多选题)(2026·福建泉州质监)在直三棱柱 ABC-A'B'C'中，∠ABC=90°，BB=√2AB=√2BC,M为 BB'的中点，则 () A.A'C∥C'M B.'C'平面AMC V44A44K44A44K44464444484424284444244244744444444444444444444444444444444444444444444444444444444446444444444844244244 判定和性质的综合寇用 C.AM LB'C' D.平面AMC⊥平面A'MC [答案]BCD [解析]如图，设AC,A'C B 中点分别为D,D',连接MD, D' MD',BD.因为A'CC平面 AM'C'C,C'MC平面BB'C'C,平 M 面AM'C'C∩平面BB'C'C=CC', A'C∩CC'=C,C'MnCC'=C',所 以A'C,C'M为异面直线，故A错 D 误；在直三棱柱ABC-A'B'C'中， A'C'∥AC,又A'C'平面AMC,ACC平面AMC,所以 A'C'∥平面AMC,故B正确；在直三棱柱ABC-A'B'C 中，BB′1平面A'B'C,则BB′1B′C',又∠ABC=90°， 所以∠A'B'C'=90°，即B'C'⊥A'B′，又BB'∩A'B'=B', BB′，A'B'C平面AM'BB,所以BC'⊥平面AA'B'B,又 AMC平面AM'B'B,所以B'C'⊥AM,故C正确；因为 BB=√2AB=√2BC,不妨设BB'=√2AB=√2BC=2, ACAC2.BDC1 在直三棱柱ABC-A'B'C'中，易知BM⊥BD,则MD= √BD+BM2=√2，同理可得MD'=√2，又DD'=BB'=2, 所以DD2=MD2+MD2,即MD⊥MD',又MA= √AB+MB2=√5=MC,D为AC中点，所以MD⊥AC,又 AC∥A'C',所以MD⊥A'C',又MD'∩A'C'=D',MD', A'C'C平面A'MC',所以MD⊥平面A'MC',又MDC平 面AMC,所以平面AMC1平面A'MC',故D正确.故 选BCD. 名师点拨： 空间两点“路径”最短问题通常“展平”化为两点 间距离问题.注意“垂直”与“平行”的互证. 【变式训练】 (2024·陕西汉中模拟)如图， A D 在正方体ABCD-AB,C,D1中，B, 点M,N分别为AC,A,B的中 N 点，则下列说法中不正确的是 A.MN/∥平面ADDA B.MN⊥AB C.MN与CC,所成角为459 D.MN⊥平面ACD 温馨提示：复习至此，请完成练案[42】角度2 例：[证明]如图所示，连接AC交BD于点O,连接MO, :四边形ABCD是平行四边形！ .O是AC的中点， 又M是PC的中点， ∴.PAM0. 又MOC平面BMD,PA平面BMD, ∴.PA∥平面BMD. ·.平面PAHG∩平面BMD=GH,PAC平面PAHG, .∴.PAGH. 变式训练 1.[证明]证法一：取PB的中点H,连接FH、HA, F为PC的中点， .FBC 又四边形ABCD为平行四边形， BCL0.从而PhL子D, 又E为AD的中点，.FHLEA 四边形AEFH为平行四边形，.EF∥AH, 又EF平面PAB,HAC平面PAB, ∴.EF∥平面PAB. 证法二：取BC的中点H,连接FH,HE, F为PC的中点， .∴.FH∥BP,又FH丈平面PAB,BPC平 面PAB, ∴.FH∥平面PAB,又E为AD的中点，且 四边形ABCD为平行四边形， ∴.HEBA,又HE丈平面PAB, ∴.HE∥平面PAB,又FH∩EH=H, ∴.平面EFH∥平面PAB,∴.EF∥平面PAB 证法三：连CE并延长交BA的延长线于H,连接PH, .·E为平行四边形ABCD的边AD 的中点， ..△CDE≌△HAE CE=EH,又F为PC的中点， ∴.EFPH, 又EF丈平面PAB,PHC平 面PAB, .EF∥平面PAB. 22设ACO BD=-0,连接DF交CE 于G,连接OG,BF,由于BF∥平面 AEC,BFC平面BDF,平面BDF∩平 面AEC=OG,则BF∥0G,由于O是 BD的中点，所以 OB GF =1,过F作 OD GD Pm/CE交Pm于，脚品 PE 3 1,由于02，所以】 E2,所以 PF PH 1 FC HE2 考点3 例：[证明]（1)E,F分别为BC1,AB1的中点， ∴.EFAC1, AC1C平面AC1G,EF丈平面AC1G, .EF∥平面ACG, 又F,G分别为AB,AB的中点， 4 .A F=BG. 又AF∥BG,.四边形A,GBF为平行四边形， .BF∥A,G. ·A,GC平面ACG,BF￠平面AC1G, .BF∥平面A,C,G 又EF∩BF=F,EF,BFC平面BEF ∴.平面AC,G∥平面BEF. (2)平面ABC∥平面A,BC,,平面A,C,G∩平面A,BC =AC1, 平面A,CG与平面ABC有公共点G,经过点G的直线交BC于 H. 则A,C,∥GH,得GH∥AC, ,G为AB的中点，.H为BC的中点. 变式训练 [证明]在△ABD中，E,F分别为AB,AD的中点，则EFBD 而EF丈平面C1BD,BDC平面C,BD,因此EF∥平面C,BD, 又DC/AB,DC=2AB=EB, 而DCDC,D,C=DC, 于是EB∥DC且EB=D,C1,四边形BC,DE为平行四边形，则 DE∥C,B, 又D,Et平面C,BD,C,BC平面C,BD, 因此D,E∥平面C,BD. 而EF,D,E为平面D,EF中两相交直线， 所以平面D,EF∥平面C,BD. 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析] 存在，哈器行 证明如下：过点F作FG∥AB交PB 于点G,连接CG FGL_EC,所以FG=EC 则AB-AB 又FG∥AB∥EC, 所以四边形EFGC为平行四边形， 所以EF∥CG, 又EFd平面PBC,GCC平面PBC, 所以EF∥平面PBC 第四讲空间直线、平面垂直的判定与性质 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.任意l⊥a llb a∩b=Pab有且只有一条垂线段的 长度任意一点到这个平面的距离 2锐角02 知识点二 1.两个半平面垂直 2.直二面角a1Ba⊥baLB 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)×(5)V(6)× 2.A由题意知SG⊥GF,SG⊥GE,GF∩GE=G..SG⊥平面GEF, 故选A 3.A连接AC,AD1,设AD1∩A,D=H,连HC,易知AH⊥平面 ADC,MW∥AC,.∠HCA即为MN与平面DCA,所成的角，且 sin∠HCA=A化子MN与平面DCA,所成角为石故选A D C. 4.A对①，当nC,因为m∥n,mCB, 则nB,当nCB,因为mn,mCa,则 na,当n既不在a也不在B内，因为 m∥n,mCa,mCB,则na且n∥B,故 ①正确；对②，若m⊥n,则n与a,B不 一定垂直，故②错误；对③，过直线n分别作两平面与a,B分别 相交于直线s和直线t,因为n∥α，过直线n的平面与平面a的 交线为直线s,则根据线面平行的性质定理知n∥s,同理可得 n作，则s作，因为s￠平面B,tC平面B,则s∥平面B,因为sC平 面a,x∩B=m,则sm,又因为n小，则mn,故③正确；对④，若 anB=m,n与a和B所成的角相等，如果n/a,nB,则mn,故 ④错误；综上只有①③正确，故选A. 5.B解法一：分别取BC,B,C,的中点D,D1,则AD=35,A,D,= 3,可知5A2×6x6x=9月，S2482×2x/3=万 正三棱台ABC-AB,C的为h,则Vc4e4,=了(95+5+ √x万)h=号解得h5, 3,如图， 分别过A1,D1作底面垂线，垂足为M, N,设AM=x, 期M=a40V25N AD-AM-MN=25-x,可得DD=√DNP+DP= √(25-x)2+16 结合等腰辞形0c,8可得赋=()+ D0,即+6=(25-x)2+16+4,解得x=4 3 3 3 ,所以AA与平 AM 面ABC所成角的正切值为tan∠A,AD= AM 解法二：将正三棱台ABC-A,B,C,补成正三棱锥P-ABC, 则AA与平面ABC所成角即为PA与平 PA A B 1 面ABC所成角，因为P=AB了，则 A- VpAeC1 26. -0 证27可知Vc442分m ，则pc=18,设正三棱锥P-ABC的高为d,则nc= 52 -dx *6x6x3 1 2 2 18,解得d=23,取底面ABC的中心为0，则P0 ⊥底面ABC,且AO=2√3，所以PA与平面ABC所成角的正切值 tam∠PA0=P =1.故选B. AO 48 考点突破·互动探究 考点1 例1：B由a⊥B,mCa,则m与B相交或mCB或mB(m为两个 平面的交线时)，故A错误；由线面垂直的性质知m上，mn 时，n⊥a,故B正确：当m⊥，m⊥n,则n∥a或nCa,故C错 误；若aB,mC,nCB,则m与n无公共点，则mn或m与 n异面，故D错误故选B. 例2：CD若a⊥B,设anB=c,当lc/m,且lda,m4B时，lm, 故A错误；若a⊥B,B⊥y,则ay或，y相交，故B错误；由 l⊥a,aB知lLB,又mB,∴.l⊥m,故C正确；若l⊥a,m儿， 则m⊥，又mCB,所以a⊥B,故D正确.故选CD. 变式训练 L.ABDa内的直线与L相交或异面，A对，C错：直线I与它在平 面a内的射影m所确定的平面B与平面a垂直，D对；平面α 内与射影m垂直的直线也与1垂直，显然这样的直线有无数条， B对.故选ABD. 2.AD若aB,由于mLB,故m1a,A正 确；若l⊥m,则l可能在B内，B错误；若 a⊥B,则l,m可能平行，C错误；若 ma,则设过m的平面y与a交于n, 则mn,由于m⊥B,故n⊥B,而nCa, 故α⊥B,D正确，故选AD. 考点2 角度1 例：[证明]证法一：取AD的中点O,连接S0,OE,OF, 因为四边形ABCD是矩形，O,E分别 是AD,BC的中点， 所以EO⊥AB,所以EO⊥AD 因为△SAD是等边三角形，所以SO D ⊥AD. 因为S0∩OE=O,所以AD1平 面SOE. 因为SEC平面SOE,所以AD⊥SE. 因为5SA=2AB, 所以0S=S1sin∠SMD=54 3SA-x2AB-AB-OE. 2 23 所以△SOE是等腰三角形. 因为F是SE的中点，所以OF⊥SE. 因为0F∩AD=0, 所以SEL平面ADF 证法二：不妨设AB=√5，则SA=AD= SD=2. 如图，连接AE,DE 因为E为BC的中点， 所以AE=DE=2. 所以SD=DE,SA=AE. 又F为SE的中点， 所以DF⊥SE,AF⊥SE. 因为DF∩AF=F, 所以SE⊥平面ADF 证法三：由证法一易得AD, 0E,S0两两互相垂直，建立如 图所示的空间直角坐标系 0-xyz, 不妨设AB=√3， 则AD=2,0S=√/3 3 则S(0,0,3),E(0,3,0), 压-055.5 ,又A(1,0,0), (99 E尽.A7=0,即SE1AF, 同理SE⊥DF,DEOAF=F,.SE⊥平面ADF 角度2 例：[证明]证法一：在直三棱柱ABC- AB,C1中，B,B⊥平面ABC,BCC平 面ABC,则BB⊥BC 又∠ABC=90°，即AB⊥BC, 又BB∩AB=B,BBC平面ABB ABC平面ABB1, 所以BC⊥平面ABB1, 又AB1C平面ABB,所以BC⊥AB,, 在直三棱柱ABC-A,BC中，AA=AB, 则四边形ABB,A1为正方形，连A,B, 所以AB,⊥A,B,又BC∩AB=B,BCC平面ABC,A,BC平 面ABC, 所以AB,⊥平面A,BC, 又ACC平面A,BC,所以A,C⊥AB 证法二：由题意易知BA,BC,BB, 两两垂直，如图建立空间直角坐 标系， 设AA1=AB=a,BC=b, B(O) 则A(a,0,a),C(0,b,0), A(a,0,0),B(0,0,a), A1C=(-a,b,-a),AB=(-a,0,a), ..AC.AB=a2-a2=0,..A CLAB 角度3 例：A解法一：如图，取BC的中点D,连接AD BD,由正三棱柱的性质易知AD⊥BC,从而AD ⊥平面BCC,B,.∠AB,D即为AB1与平面 BCC1B,所成的角，不妨令AB=AA1=2,则AD= 5,AB,=22,:∠AB,D=0-5故 AB,-4 选A. 解法二：设三棱柱的棱长为1，以B为原点， 以过B作BC的垂线为x轴，以BC为y轴， BB,为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则 B(0,0,0),B,(00,1),A5,1 (22,0,所以 丽-（怎宁），易知平面mC么的 一个法向量可取为n=(1,0,0),设直线AB,与平面BCC,B,所 4 成角为0.0e[0,受]，则sm0=1s(n,)1=·C InlIABI 5 _后故选A 24 [引申] T 7 连接A,C,不妨设AB=AA,=2,则Vc-B4d 2√5 =Vc-AM=Vn-AC=3=VA-ACM AB=B C= 22,AC=2,…S△8，c=V7,设A到平面BAC的 7,25 33h= 距离为h,则。h= 2/21 7 .记AB,与平面AB,C所成 h 21 角为0，则sin0= A1B,7 变式训练 1.[证明]证法一：由题设，知△DAE为等边三角形，设AE=1,则 003 AE=2 ,G0=B0=2 所以P0=V50=巨 61 41 PC=PO+0C-6 -PB=PA. 又△ABC为等边三角形，则_BA sin60°=20A, 所以BA= +P=3 5 AB2 4 则∠APB=90°，所以PA⊥PB, 同理PA⊥PC,又PCOPB=P, 所以PA⊥平面PBC. 证法二：因为△ABC是底面圆O的内接正三角形，且AE为底面 直径，所以AE⊥BC. 因为DO(即PO)垂直于底面，BC在底面内， 所以PO⊥BC. 又因为POC平面PAE,AEC平面PAE,PO∩AE=O, 所以BC⊥平面PAE. 又因为PAC平面PAE,所以PA⊥BC 设AE∩BC=F,则F为BC的中点，连接PF. 设D0=a且P0=5D0. 6 则A3 20, 2” 因此PA+P2=AF2,从而PA⊥PF 又因为PEOBC=F,所以PAL平面PBC. 证法三：空间直角坐标系法 不妨设AB=25,则AB=AD=AB sin6004, 由D01平面ABC,所以D0=√JAD2-AO=23, 所以P0=5D0=2.因为0是△ABC的外心， 6 39 因此AE⊥BC.在底面过O作BC的平行线与AB的交点为W,以 0为原点，0币方向为x轴正方向，0正方向为y轴正方向，0心方 向为z轴正方向，建立空间直角坐标系0-x2, z D 、Ey 则A(0,-2,0),B(3,1,0),C(-3,1,0),E(0,2,0),P(0,0, 2), 所以AP=(0,2,2),B2=(-5,-12), c=(5,-1,W2). 故AP·BP=0-2+2=0,AP·CP=0-2+2=0 所以AP⊥BP,AP⊥CP. 又BPOCP=P,故APL平面PBC. 2.B如图，△ABC为等边三角形，D为BC 中点，作PHL面ABC垂足为H,三棱锥 P-ABC的侧棱与底面所成角为∠PAH,设 AB=a(a>0),则PA=√3a,根据正棱锥性 30,Phs26 质，= a,所以(sinLPAM!=A 26 PI 3a2 PA Ba 3放选B 考点3 例：[证明]连接AC.因为底面ABCD为 菱形，∠ABC=60° 所以△ACD是正三角形. 又E为CD的中点，所以AE⊥CD,则 AE⊥AB. 因为平面PAB⊥平面ABCD, 平面PAB∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面PAB. 因为PBC平面PAB 所以AE⊥PB. 因为AB=√2PA=√2PB=2, 所以PA2+PB2=AB,则PA⊥PB. 因为PA∩AE=A,所以PB⊥平面PAE. 又PBC平面PBC,所以平面PBCL平面PAE. 变式训练 [证明]取AC中点O,连接D0、OB, 在正△ACD和正△ABC中，AC=2, 则D0⊥AC,B0⊥AC,D0=B0=√/3， 而平面ACD⊥平面ABC,平面ACD∩平面ABC=AC,DOC平面 ACD,BOC平面ABC, 于是DO⊥平面ABC,BOL平面ACD 又BE⊥平面ABC,即有DO∥EB, 而DO=EB=√3.因此四边形DOBE是平行四边形，则DEOB, 从而DE⊥平面ADC, AMC平面ADC,所以DE⊥AM. 名师讲坛·素养提升 变式训练 D连接BD,AD,则M为BD的中点，又 N为BA,的中点，MN∥A,D,从而MW∥B, 平面ADDA1,A正确；又AB上平面 ADD1A1,.AB⊥AD,从而AB⊥MN,B正 确；∠AAD=45°为MN与CC,所成的角， C正确：故选D.事实上，若D正确，则MW 14C,从而A,D14,G,这与∠CA,D=写矛盾， 第五讲空间向量及其运算 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.大小方向长度模01相同相等平行重合 共线向量平行向量平面 3.(a,b〉0≤〈a,b〉≤T互相垂直1aIb1cos(a,b〉a·b+ a·c 知识点二 ab+azb2+a3b3 a=Ab1,az=Abz,a3=Ab3 ab+azb2+a3b3=0 √Ja+a+a ab+a262+a3b3 √/a+a2ta3·√b+b+b 知识点三 1.无数 2.无数 双基自测 1.(1)V(2)×(3)×(4)×(5)×(6)V 2.D.·在三棱柱ABC-ABC,中，M为AC 的中点威=届+日4矿=ac+d a*c+(B武-)=a*c+2(b-a)=2a+ 1 1 b+c.故选D. 3.A解法一：记AB=a,A元=b,AA=c,由 题意知a,b,c两两夹角均为于，设AB= 1,AB'=a+c,BC=-a+b+c,..IAB =√(a+c)7=3,lBC1=√(-a+b+c) =√2，.cos(AB,BC)= AB·BC IABIIBC 解法二：将三棱柱补成平行六面体（如 图)，连AD1,BD1,则AD1BC, ∴.∠BAD1或其补角即为AB,与BC1所成 的角，设AB=1,则AB1=√5，AD,=BC1= AD B D =3..cs LBAD=B=2 2 6 61