第4章 第4讲 三角函数的图象与性质-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

【变式训练】 2.（2026·宁夏平罗中学期中)在△ABC中，角A,B,C 1.在△ABC中，若sin(2m-A)=-√2sin(m-B),W5cosA 所对的边分别为a,b,c,且满足sinA=2 sin Bcos C,则 =-√2c0s(T-B),则C= △ABC一定是 () ( A.等腰三角形 B.直角三角形 .4 6 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 7π 0.2 温馨提示：复习至此，请完成练案[25 第四讲 三角函数的图象与性质 知识梳理·双基自测 知识梳理 在 在 知识点一周期函数的定义及周期的概念 k∈Z上递增： k∈Z上递增： 单调性 1对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得 在 衣 ,受如)小 当x取定义域内的每一个值时，都有f八x+T)=f八x),那 k∈Z上递增 k∈Z上递减 k∈Z上递减 么函数f(x)就叫做 ·非零常数T叫做这个函 数的 如果在周期函数f(x)的所有周期中存 x= x= 在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做(x)的 时，ya.=1;x= 时，yms=1;x= 最值 无最值 093 最小 2.正弦函数、余弦函数都是周期函数， 时，yn=-l 时，ym=-1 都是它们的周期，最小正周期是 奇偶性 知识点二正弦、余弦、正切函数的图象与 归纳拓展 性质 1.关于周期性 函数 y=sin x y=cos x y=tan x (1)y=Asin(wx+p)或y=Acos(wx+p)的最小正周期 性质 72m lwl 图象 2元 y=Aan(owx+)的最小正周期T= (2)y=Alsin(a+)I+By=AIcos(a+o)1+B 对称 对 中心 或y=AIa(or*o)I+B的最小正周期T=高 称 (3)正弦曲线、余弦曲线相邻两个对称中心、相邻两 对称 无对称轴 条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心 轴 最小 与对称轴之间的距离是！个周期 正周期 (4)正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个 xxeR,且x≠ 周期 定义域 |xlx∈R xlx∈R 2.关于奇偶性 2 +kT,k EZ （山)若)=Asin(a+p)为偶函数，则p=km+受(ke 值域 Z);若为奇函数，则p=kr(k∈Z) (2)若y=Acos(wx+p)为偶函数，则p=kπ(k∈Z);题组二走进教材 若为奇函数，则e=+受keZ). 2(必修1PT1改编)函数y=31am2+）的定义城 3.谨防两个易误点 是 () (1)要注意求函数y=Asin(wx+p)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的情况，避免出现增减 区间的混淆。 B.xx≠ 2π 8,hezl (2)对于y=tanx不能认为在其定义域上为增函数， k 而是在每个区间(m受km+号)(k=Z)内为增 函数 双基自测 3.(必修1Pm例5改编)函数y=2血(-号) [-π，0]的单调递增区间是 ()》 题组一走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） A[,] B[] (1)函数y=sinx,x∈[0,2π]，y=cosx,x∈[0,2T] cI号 n 的五个关键点是零点和极值点. ( ) (2)函数y=cosx在第一、二象限内单调递减. 题组三走向考场 ( 4(2025·上海卷)函数)=ms在[受牙]上的值 (3)函数y=sinx图象的对称轴方程为x=2kπ+ (6 域为 5.(2025·全国一卷)已知点(a,0)(a>0)是函数y= EZ). ( ) 094 (4)y=cos(-x)与y=cosx的图象相同. 2am(x-牙)的图象的-个对称中心，则a的最小值 (5)y=|sinx与y=sin|x|都是周期为π的偶函数. 为 ( ( A.T B.T 6 考点突破·互动探究 考点 三角函数的定义域、值域一自主练透 3.函数y=cos2x+sinx 的最大值与最小 例1.函数) 3 cos x- 的定义域为 值分别为 1/ 2 名师点拨：三角函数定义域、值域的求解策略 1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不 等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解。 c[2m石2m]kez 2.求解三角函数的值域（最值）常见到以下几种 D.R 类型的题目： 2如果函数f八x)=s血(e+牙)+5+a在区间 (1)形如y=asin wx+bcos wx+c的三角函数化为 [号]上的最小值为，3则a的值为 )y=Asin(ωx+p)+c的形式，再求值域（最值）； 43*1 3 (2)形如y=asin'x+bsin x+c的三角函数，可先设 2 sinx=t,化为关于t的二次函数求值域（最值） C.2+/3 D.3-1 2 2 点已 三角函数的单调性一师生共研 点3 三角函数的周期性、奇偶性、对称性一多维探究 例1.(2026·赣州模拟)已知函数代x)=20s 角度1周期性 4 例求下列函数的最小正周期： 2 3)xe[受，牙]，则x)的单调递增区间是 (1)y=2sin 2y=32 A (3)y=Itan xl; [,4],[5 (4ysin+sin os c1. c 【别 2.（2026·洛阳模拟)若f(x)=2 sin wx(w>0)在 K间到 上是增函数，则ω的取值范围 是 名师点拨：三角函数单调性问题的解题策略 角度2奇偶性 1.求三角函数单调区间的两种方法 例已知函数)=5sm(2te)s(2rtw)(0≤e (1)代换法：求函数的单调区间应遵循简单化原 m)是定义在R上的奇函数，则∫(-8) 则，将解析式进行化简.化为y=Asin(wx+p)或y= 095 Acos(wx+p)的形式.求形如y=Asin(wx+p)或y= 角度3对称性 Acos(ox+p)(其中w>0)的单调区间时，要视“wx+p' 为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一 例(2026·陕西模拟)已知函数fx)=2sx·cs( 定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错. 牙），则y=)的图象 ( (2)图解法：若函数的图象能够容易画出，可利用 图象直观迅速求解.如某些含绝对值的三角函数 A关于直线：行对称 注：正、余弦型单调区间长度为半周期， 2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数 B.关于直线x= 你 的单调区间，然后利用集合间的关系求解 【变式训练】 C关于（后）中心对称 1.(2022·北京卷)已知函数f(x)=cos2x-sin2x,则 ( D关于（臣0）中心对称 名师点拨： A)在（受，石）上单湖递减 1.奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可 化为y=Asin wx或y=Atan wx的形式，而偶函数一般可 B)在(4 ）上单调递增 化为y=Acos wx的形式. 2.周期的计算方法：利用函数y=Asin(wx+p),y= C)在(0，？)上单调递减 T Acos(ax+o)(o>0)的周期为2π，函数y=Atan(urtp） DN)在（年， 4’12 上单调递增 (w>0)的周期为严求解. 2.若f(x)=cosx-sinx在[0，a]上是减函数，则实数a 3.对称轴、对称中心的求法：对于可化为f(x)= 的最大值是 ( )Asin(or+p)(或f(x)=Acos(wx+p)形式的函数，令 A平 R罗 c D.T or+o=T+hm或ox+p=km(k∈Z). 2 【变式训练】 3.(角度3)（多选题）(2026·黄山模拟)已知函数 1.(角度1)（多选题）(2025·苏州调研)下列函数中， f(x)=√3 sin wx-cos wx(w>0)图象上相邻两条对称 最小正周期为π的是 A.y=cos12xI B.y=lcos xl 轴之间的距离为5则 () cy=m=2x+看》 Dy=1am(2x年） A.0=2 B.函数f(x)为奇函数 2(角度2引若函数)=22号+p是偶函数，则 φ的值可以是 C西数)的图象关于点（语0）对称 R罗 c D. D两数爪)的图象关于直线-对称 名师讲坛·素美提升 三角菡数的值域与最值 例1.函数y=2sim+ sin x-2 的值域为 [解析]解法一：由y= +sin得sinx-ycos= 3+cosx [答案] [3 3y-1,∴.sin(x+p）= ,英中sine之 3y-1 5 [解析] 解法一：y= 2sin x+1 =2+ 3y-1 sin x-2 sint2,由于 /1+y /1+y☒ ≤1，解得0≤)≤4 5 5 -1≤imx≤1，所以-5≤m-2≤分函数的值城 1+sinx 解法二：3+cos 可理解为点P(-cosx,-sinx)与 096 为引 点C(3,1)连线的斜率，点P(-cosx,-sinx)在单位圆 sint-2,解得snx=2y+1 2sin x+1 上，如图所示 解法二：由y= y-2,·-1 sinx≤1，.-1≤ y+1 1 y-2 ≤1，解得-3≤)y≤3“函数的 位城为[3，引 2函数x)=2nsim+君）当x=0引时。 故t= 3+满足k≤≤k,设过点C(3,)的 函数f(x)的值域为 直线方程为y-1=k(x-3),即x-y+1-3k=0.由原点到 [答案] 直线的距离不大于半径1，得1-31≤1，解得0≤6≤ √2+1 [解析]f(x)=2sinx 3 【s以x、csx=√s2x昌 .从而值域为 0, +sin xcos x= 029}月 2 2 21 若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+ p引2 cosx-sin xcosx的最小值是 () A.1 小，24 C.1 D.2 3时数y的值装为 联想sinx十cosx与sin xco0sx的关系，(sinx+ c0sX)2=1+2 sin x c0sX,从而设sinx+c0sx=t [答案] o,剖 换元求最小值 [答案]A 用数形结合方法求解，或化为sin(x+p)= yd-b 利 [解析]由条件知0<≤写，令1=sinx+oasx= va+(yc) 用三角函数的有界性求解。 又0s牙+s +4≤12 得1<t≤ 5.y=f(sinx±cosx,sinx·cosx)常用换元法，令t 4 √2；又t2=1+2 sin xcosx,得sin xcos x= 2-1 2,得y=t 2 生宁)31，周子反1，清以意发的据 或2 可化为关于t的二次函数在某区间上的值域 或最值 小值为子+2.故造 【变式训练】 名师点拨：求三角函数值域或最值的方法 1.(2026·黑龙江宜春二中月考)函数y= L.y=asin x+b(或y=acos x+b)的值域为[-|al+b, 1 的最大值是 () 2+sin x+cos x lal+6]. 2.y=asin2x+bcosx+c可转化为关于cosx的二次 A51 2 2 函数，求在给定区间上的值域（或最值）即可 3.y=asin'x+bsin xcos x+ccosx 利用二倍角公式 C.1② D1 y=d 2 降幂整理 辅助角 +Asin 2x+Bcos 2x- 息y=v个4F血(2x+p)6,再2函数)-smi+5k引e,引》的鼓大值 是 097 利用sin(2x+p)的有界性求解，注意2x+p的取值 范围 3.(2026·云南调研)函数y=sinx-cosx+-sin xcosx的 4.y=asin x+b 或y=a0sx+b 值域是 可反解出sinx= csin x+d ccos x+d f(y)(或cosx=∫(y)由正、余弦函数的有界性 温馨提示：复习至此，请完成练案[26 asin x+b (lf(y)I≤1)求解；y= 可根据式子的几何意义 ccos x+d 第五讲 函数y=Asin(ox+p)的图象及应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点二函数y=sinx的图象经变换得 到y=Asin(ox+p)的图象的步骤如下 知识点一 用五点法画y=Asin(wx+p） 方法一 方法二 个周期内的简图 画出y=sinx的图象 步 画出y=sinx的图象 用五点法画y=Asin(wx+p),A>0,一个周期内的 向左（有）平移个单位 横坐标变为原来的。倍 简图时，要找五个关键点，如下表所示。 得到y=sin(x+p)的图象 步骤2 得到y=sin ox的图象 横坐标变为原米的。倍 向左右平移‖号个单位 得到y=sin(wx+o）的图象 步骤3 得到y=sin(ax+p）的图象 x+9 纵坐标变为原来的A倍 纵坐标变为原来的A倍 y=Asin(ax+o -A 得到y=Asin(ox+p)的图象 得到y=Asin(ox+p)的图象 4考点2 角度1 例：1 sin210°+sim280° cos40°(1+√/3tan10°) sinm210°+c0s210 osin 1 c0s10°/ cs40es104/3sm10 cos10° 1 cos10°c0s10° 2sin40es4095m800-os10-1 c0s10° 角度2 号 由题知an(a+B)=ana+anB。4 =-2√2，即 1--tan otan B1-√/2-1 sim(a+B)=-22cos(a+B),又sin'(a+B)+cos2(a+B)=1,可得 a(o*g=29南2r<a2+号，24reZ,2na+g 2mt,meZ.2(k+m)a+m<a+B<2(k+m)n+2m.k+m Z.又tan(a+B)<0,所以a+B是第四象限角，故sin(a+B)= 2√2 3 角度3 例：7号因为wm-29,所以s2a=2-1=号又因 为aB均为锐角，simB=3 4,所以sm=② 此血2a=2 n=45,所以n(2a-B1=n2aB c0s 2asin B=43x13 7X147x14=2因为a为锐角，所以0<2a <,又cas2a0,所以02a号又B为锐角，所以-受<2a8 牙，又sm(2a8)=分，所以2aB=号 变式训练 原式=sin20°cs400 √5+tan20o =sin20°c0s40c0s20°= 2sin40°cos400 coscos20 co20sin 0 V3+n20 1 4 sin 80 1 =2sin(20°+60°）8 2.A令a+石=.则a=4-石m4=石，所以m(号-a)+ n(2a石）=sm(号+君）+sim(2号君）=os1oas2a =1-2a7-石18-号故达 3C因为cosa=5si 5.sin(B-a)=1 10 <0,a,B均为锐角，所以 血a=个ma-2g-ae(号0，可得omg- 4 V个g-a-3s如g=sml(B-a+al=in(B-w) +cos(B-a)sin a=- 5302则®=号故 10510 选C 名师讲坛·素养提升 变式训练 1.D由已知得 -inA=-2imB①，+22，得2s2A=1,即 V5cosA=√2cosB②， 当mA-竖时，mB-又A,B是三角形的内 2 √2 角，所以A=AB=无，所以C=T-(MA+B)户2 6 7开当c0sA= 2 时，0sB=又A,B是三角形的内角，所以4二了 5 4T,B= 不符合题意，合去综上可得C=日放选D 2.A由题意知sin(B+C)=2 sin Bcos C,整理化简得sin Bcos C- cos Bsin C=0即sin(B-C)=0,又-T<B-C<m,∴.B-C=0,即B= C,故选A. 第四讲 三角函数的图象与性质 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.周期函数周期正周期 2.2km(k∈Z,k≠0)2m 知识点二 (m,0),kez(+受0，ez(0),kez sskmt?kez 2n 2n a lyl-lsysl yl-1≤y≤1} R[+2,7+2 [7+2km,72n[(2-I0,2m][2m,(2+1] 2(keZ)-2+2kn(keZ)2(ke7) 2 T+2kπ(k∈Z)奇函数偶函数奇函数 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)× [解析](1)零点和极值点不是点. (2)y=cosx在(2kr,2T+T),k∈Z这个区间内单调递减，但不 能说在第一、二象限内单调递减. (3)y=sinx对称轴方程为x=km+T,keZ. 2 (4)yr=cos(-x)=c0sx,而y=-cosIx1=0sx(x≥0) =c0sx.因 cos(x)(x<0) 此y=cos(-x)与y=coslxI图象相同. (5)y=sinlxl是偶函数，但不是周期函数. 2C要使函数有意义，则2x+≠6如+巧keZ,即x≠今+ 2 ke乙，所以函数的定义域为x≠，π+，keZ 3D令受2m≤号≤号+2m,eZ.得-石+2m≤≤ 6 2km,keZ.因为x∈[-π，0]，所以所求函数的单调递增区间为 [6] 4[0,】由函数y=sx在[受.0]上单调递增，在[0，牙] 单道减，且/(-号）=00)=1）=只放函录， sx在[受]上的值续为[0，， 5B根据正切函数的性质，)=2an(x-于)的对称中心横坐标 满足x牙-贺keZ,即y=2m(-号）的对称中心是（行 经0eZ,即e号受keZ.叉o0,则k-0时a最小最外 值是于即a=号故选B 考点突破·互动探究 考点1 例1.6由ca-号≥0，得m92n名≤：≤2如*名 ∈Z) 例2：A因为当e【于]时+号e[0,石]，所以m(: 号)【子小当x=时m(+于)有最小值月 可得R(+号）如的最小值为a=5。 解得a=尽+1 2 倒3音空令血，图为1号所ue[咨引 所以y=1=)子所以当时a-子 当1号时1所以商数=m 引的最大值为最小价为 考点2 例1：Dx)=2o(牙-3x）=2us(3x-4),则2km-m≤3x- 子2e7,解0牙s日e又e [受]，放令6=0，则-牙≤x≤5：令=1，则设≤≤ 5π 平所以)的单调递增区间是[牙，哥引，[B受] 例2引解法-e[号引(o>0. . 2a在号引上是增丽数。 4 2m@π故0<w≤4 3≤2， (w>0, 解法二：画出函数f(x)=2 sin x(w>0)的图象如图所示. 要使代在号引 上是增函数， 20 3 需{2ππ 3≤20 即0<0≤4 w>0, 解法三：由7+2m≤≤+2m(kez)得-死+2≤： 2 2o0 C+kz),放/)的单调递增区同是 [元2km.年42(keZ), 20 w'20 w 由题引s品2六24eo0. w>0, 从面有品≤号即0we子 3 T、2m 20≥3， 变式训练 1.C依题意可知f(x)=cos2x-sim2x=cos2x.对于A选项，因为 xe(号，君)，所以2xe(-,号），函数)=as2x在 (三，石）上单调递增，所以A选项不正确：对于B选项，因 为xe(）,所以2xe(受石），函数)=s2x在 (,)上不单调，所以B选项不正确：对于C选项，因为 e(0,）,所以2xe(0,2),函数=os2x在(0，) 上单调递减，所以C选项正确：对于D选项，因为e(子 得)，断以2e(行7）函数=os2x在(）上 不单调，所以D选项不正确.故选C 2.C本题主要考查三角函数的图象及性质.f(x)=cosx-sinx= 万(+)因为f()在[0，a]上是减函数，所以 ra>0, a+4≤π 解得0a≤平放a的最大值是乎放选C 考点3 角度1 例：[解析](1)：y=2in3+3)】 2 T 2x+\ r23m,即y=23+3 的最小正周期为3π 3 (2)画图知y=Icos x|的最小正周期是y=c0sx的周期的一半， )=3(2x)的最小正周期是y=3cs(2x-日)的最 小正周装的中，申7宁行号 (3)画出y=ItanxI的图象. 如图所示 由图象易知T=π ∴.y=Itanx的最小正周期与y=tanx的最小正周期相同， (4)y=-J2sin2x·cos 万us2x·sim年+3sin2-w2x= 2加2么-22x20m2-）,所以y的派本E周装7- =T. 角度2 例：-万R到=5n(2+p）-eos(2xtp)=2an(2x+p石），由 九)为R上的奇函数，得g石=m,keZ,即e=m+石ke Z,因为0≤p<,所以当k=0时，9=石，即f(x)=2sin2x,则 f(-8)=2sim(-4)=-2. 角度3 nlg2a9a2-）片 2 ）=m中了子函数关于直线-子对称，A正 确)=子分0，顾数)关于直线后不对称。 B错误(）=(-)+分≠行，函数)关于(5 2)不成中心对称，C错误/(）=6（受）+分=分 函数x)关于（亚？）中心对称，D错误故选A 变式训练 1.ABCA中，y=cos|2x|=cos2x,最小正周期为π；B中，由图象 知y=1easx的最小正周期为；C中，y=es(2x+石)的最小 正周期T-行=m;D中，y=m(2-子)的最小正周期T:受 2A因为当号+g=m+受keZ时)为偶函数。 即e=+名当=0时e=。故选 5 3.AC f(x)=3 sin 0x-cos wx=23 -sin ox- 2 cos w）= 2m(石）.因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距高为 4 牙所以=受，则T=m,所以7=石=m,解得w=2,所以 x)归2sn(2石），放A正确：显然，函数)为非奇非偶函 数，放B错误：()=2m[2×(-设)-石] 2n(-)=0,所以函数)的图象关于点(-受0对称，故C 正确时(）-2(2子君）=2（传）=-1，所以两数 )的图象不关于直线=对称，故D错误 名师讲坛·素养提升 变式训练 1.D y=- 24+4） 2-万≤2+5m+母)≤2+万. ∴.y≤ -√2 2,放选D 2.1依题意，f(x)=sin2x+√5cosx- 3 4 =-cos+3c0x+1 3 cos ,所以cos E[0,1],因此当 2 +1,因为xe[0, 2时f代x)na=1. 设t=sinx-cosx,则t2=1-2 sin xcosx,sin xcosx +22 时=1，当1=-2时=号反.函数=血m中 血s的值城为[.小 第五讲函数y=Asin(wx+o)的图象及应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 知识点三 wx+ 双基自测 1.(1)×(2)×(3)× 20由题意知4-2=7号行初相为号故选C A令君贺铅=侣所以该点坐标为（否0）故 12 选A. 4.B 5.C函数x)=sin+os=2sin(wx+牙)(o>0),设函数 f代(x)的最小正周期为T,由f(x+π)=f(x)可得T=π，(k∈ N"),所以T=2石，(eN).即a=2,（eN):又函数 )在[0，]上存在零点，且当xe[0,]时，am+牙e