第1章 第4讲 基本不等式-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

名师#坛·素养提升 “糖水不等式”的应用 例ag糖水中含有6g糖，若再添加mg糟（其中a>b【变式训练】 >0,m>0),生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解1.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占 后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个 比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常 不等式吗？试给出证明. 在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机 [解析]因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变 面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外 大，所以提坡出的不华式为帽治关中a>6>0,m 观，则该手机“屏占比”和升级前比 () A.不变 B.变小 0.下面用作差比较法给出证明，+m-么 C.变大 D.变化不确定 atm a 2.依据糖水不等式可得出log,2 log1s10(用 a(b+m)-b(atm)_m(a-b) “<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖 因为a,b,m都是正数，且 a(a+m) a(a+m) 水不等式 >b,所以a+m>0,a-b>0.所以m(a-b >0,即+m6 a+m a 温馨提示：复习至此，请完成练案[3 a(a+m 第四讲 基本不等式 知识梳理·双基自测 0 知识梳理 归纳拓展 知识点一 基本不等式a瓜≤ 一（均值定 常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2√ab(a>0,b>0).(当且仅当a=b时取等 理) 1.基本不等式成立的条件： 号) 2.等号成立的条件：当且仅当 时等号 a+b (2)ab≤ 2 (a,beR).(当且仅当a=b时取等 成立； 3.其中+ 号) 叫做正数a,b的 ,√ab叫 2 a2+b2 做正数a,b的 2(a,b∈R).(当且仅当a=b时取 知识点二 利用基本不等式求最大、最小 等号) 值问题 (4)b+ -≥2(a,b同号).（当且仅当a=b时取等 1.如果x,y∈(0，+o),且xy=P(定值)， a b 那么当 时，x+y有最小值2√P.(简记： 号) “积定和最小”) a2+b2 (5) 2 2 (a,b>0当且仅当 2.如果x,y∈(0，+o),且x+y=S(定值)， a b 那么当)时，可有最大值子（简记：“和定积最 a=b时取等号). 大”) 双基自测 3.(必修1PT5改编)已知>0，则2+3x+4的最小值 题组一走出误区 等于 () 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） A.46 B.2+23 1)不等式。+6≥2a6与生≥瓜有相同的成立 C.2+43 D.2√6 4.(必修1习题2.2T1(1)改编)若函数f代x)=x+ 1 条件 ( -2 (2)y=x+一的最小值是2. ( (x>2)在x=a处取最小值，则a等于 () A.1+2 B.1+/3 (3)函数f八x)=sinx+ 4 的最小值等于4. C.3 D.4 sin2 x 题组三 走向考场 ( ) 1 (4)“x>0且>0”是“亡+工≥2”的充要条件 5(2025·上海卷)设a,6>0,a+6=1,则6+。的最小 值为 ( 题组二走进教材 6.(多选题)(2020·新高考I卷)已知a>0,b>0,且a+ b=1,则 () 2.(必修1习题2.2T1(2)改编)若m>0,n>0,mn=81, 1 则m+n的最小值是 ( A.2+6≥2 B26 2 A.4 B.45 C.9 D.18 C.log2a+log2b≥-2 D.√a+b≤√2 考点突破·互动探究 AAAAAFAAFARRAAA2A22A22R22222222/27A4271/4/A7//4/4/77A7AA/77A/4/1/7//21111121//1/111111/11AA/AA7ARRAA7ARA4R2RA2RRA2R222A2222722472 音点 名师点拨：配凑法求最值的技巧 利用基本不等式求最值一多维探究 012 1.用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二 角度！直接法 定、三相等.“一正”不满足时，需提负号或加以讨论， 例(2025·天津模拟)若a>0,>0,则上++6的最 “二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用 a b2 函数单调性 小值为 2.求乘积的最值.同样要检验“一正、二定、三相 名师点拨： 等”，如本例中的2题的关键是变形，凑出和为常数. 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的 角度3常数代换法 三个条件：“一正二定三相等” 1.“一正”就是各项必须为正数， 例1.(2026·四川成都石室中学开学考)若a>0,6> 0,lga+lgb=lg(a+3b),则a+b的最小值为 2.“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的 二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 A.45 B.4+2√3 积的因式的和转化成定值. C.6 D.3+35 3.“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验 证等号成立的条件，若不能取等号，则这个定值就不是 2已知正数a,b满足a+2b=3恒成立，则1+2 a+l b 所求的最值， 的最小值为 () 角度2配凑法 例1.若号则)=3+1*3 B.9 C.2 D.3 3有 名师点拨：用常数代换法求最值的步骤 A.最大值0 B.最小值9 1.根据已知条件或其变形确定定值（常数） C.最大值-3 D.最小值-3 2.把确定的定值（常数）变形为1. 1 2.(2026·沈阳模拟)若0<x<2则y=√1-47 3.把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相 的最大值为 除，进而构造和或积为定值的形式 4.利用基本不等式求解最值. 角度4消元法 例已知>0，>0，x+3y+=9,则x+3y的最小值为 考点 利用基本不等式解决实际问题一师生共研 例(2025：江西部分学校一模)某市对新建住宅的屋 [引申]本例条件不变，求xy的最大值. 顶和外墙都要求建造隔热层，某建筑物准备建造 可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的 隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研 究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单 位：万元)与隔热层的厚度h(单位：厘米)满足关系： (A)=40≤A≤10).经测算知道，如果不建造隔 名师点拨： 热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设 要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数 F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用 的形式，然后再利用基本不等式， 的总和，那么使F(h)达到最小值的隔热层的厚度h= 【变式训练】 厘米 1.(角度1)(2025·沧州七校联考)下列函数中最小值 名师点拨：利用基本不等式解决实际问题的 为4的是 策略 4 1.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基 A.y=x2+2x+4 B.y=I sinx+ Isin xl 本不等式求得函数的最值。 4 2.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其 C.y=2+22-x D.y=ln x+- In x 取值范围。 2(角度2)(2026·许昌模拟)已知x>1,则+3 t了的最 3.在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不 到，可利用函数的单调性求解。 小值为 【变式训练】 013 A.6 B.8 C.10 D.12 (2025·广西适应性考试)现使用一架两臂不等长的 3.(角度3)(2025·山东日照一模)点A(2,1)在直线l: 天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在 mc+y=1上，且m>0.则上+2的最小值为( 天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天 m n 平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出 A.4 B.6 C.8 D.10 一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实 4.(角度4)(2026·聊城一中月考)已知正数x,y满足 际称得的药品总质量 () x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是 ( A.等于200g B.大于200g A.1 B.3 C.6 D.12 C.小于200g D.以上都有可能 名师讲坛·素养提升 柯西不等式 柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还 常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果。 1.柯西不等式的代数形式 设a,b,c,d均为实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立. 推广：设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn∈R,则(a+a+…+a)(b+b+…+b)≥(ab+a2b2+…+anbn)2,当且仅 当b,=0(i=1,2,…,n)或存在一个实数k,使得a,=b,(i=1,2,…,n)时，等号成立. 2.柯西不等式的向量形式 设&，B为平面上的两个向量，则IaxB1≥|ax·B1,当且仅当B是零向量，或存在实数k,使心=B时，等号 成立 3.柯西不等式的三角不等式 设x1y1,x2,2x3y3为任意实数，则(x,x2)2+(y2)2+√(x2x3)2+(2y3)2≥√/(x13)2+(yy3)2. 利用柯西不等式求最值 [解析]由柯西不等式可知，(2√5-x+√x-4)2≤ 例1.若实数x+2+3z=1,则x2+y2+:2的最小值为 (22+12)[(5x)2+(√x-4)2]=5,所以2/5x+x-4≤ ( 1 5,当目仅当264=V5,期=号时取等号，故丽 A.14 B.14 C.1 0.2 数f(x)=2√5-x+x-4的最大值及取得最大值时x的 [答案]B 重分别方5，号 [解析]根据柯西不等式：(x2+y2+z2)(1+4+9)》 名师点拔：柯西不等式求解最值的策略 1 (x+2+32)2=山，即2+y2+8≥4当且仅当x=4 关键是构建条件与结论之间的联系，通过合理的 恒等变形与配凑转化，使之符合柯西不等式的结构，利 y宁音时等号民立或连以 用柯西不等式来转化所求的代数关系式，联系条件来 确定对应的最值问题 2.函数f(x)=2√5-x+√x-4的最大值及取得最 【变式训练】 大值时x的值分别为 ( 1.已知x>0,y>0,4+y=1,则2 店 B店 2x+2y的最大值 是 c/Bm D.V29. 2.函数y=2√/2-x+/2x-3的最大值为 13 [答案]A 温馨提示：复习至此，请完成练案[4】 第五讲 一元二次不等式及其解法 014 知识梳理·双基自测 知识梳理 ax2+bx+c>O (a>0)的解集 知识点一 一元二次不等式 ax2+bx+c<0 只含有 个未知数，并且未知数的最高次 (a>0)的解集 数是 的不等式，称为一元二次不等式，一元二 次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a, 归纳拓展 b,c均为常数，a≠0). 1.ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且 知识点二 三个二次之间的关系 b2-4ac<0(x∈R). 2.ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且 判别式 4>0 4=0 △<0 b2-4ac<0(x∈R). △=b2-4ac 3.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再 y y 用穿根法，依据：从右至左，从上至下，依次穿根，奇 二次函数 过偶不过，注意x系数为正 y=ax2+bx+c 如(x-1)2(x-2)(x-3)>0在数轴上标根穿线，点1 (a>0)的图象 处的线过而不穿 偶不过 奇过穿线方向 元二次方程 有 实 有 ax2+bx+c=0 根x1,x2 实根x1=X2 b 实数根 (a>0)的根 （x1<x2) 大于0 大于0 小于0 大于0 2a 的区间 的区间 的区间 的区间[引申] [解析]设3x+2y=入(x-y)+u(x+y), 即3x+2y=(λ+u)x+(u-入)y, 1 [入22' 于是A+u=3:解得5】 -λ=2， .3x+2y= 2(xy)+ .-1<x-y<4,2<x+y<3, 11 15 22(x-y)2,5<2(+y)< 91 5 19 22(x-y)+2(x+y)2 故3x+2的取值范围是(？，？) 变式训练 1.AB因为a<bc0,所以L1 a6,所以a+1 <6+，放A正确：因 为a<b0,所以2a+6-4=(2a+b)6-a(a+2b)。6尽-a2 a+2b b (a+2b)b (a+2b)60,故 B正确；当a=-2,b=-1,c=1时， -1a=1, 时，3h-cTa-e方c,放C 错误；因为a<b,c>0,所以ac<bc,故D错误，故选AB. 2B由+2+4=0，得子子，因为3且+3=0 所以<0,0，所以由=-412>0，得-2，所以兰> 11 11 2,由=4 2y,得 6,所以上、- 6,由y,得 之<1综上，。子1，即子e(合放选以 名师讲坛·素养提升 变式训练 b 1.C设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,则屏占比为2(a> b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为 m(m>0),升级后屏占比为+m a*m,'a>6>0,6+m-6 a+m a ab+am-ab-bm_（a-b)m>0,即该手机“屏占比”和升级前比 a(a+m) a(a+m） 变大. In 2+ln 5 In 2 2.<n3tln53 ①因为0<1lg,2<1,所以可得1og2=ng3 logs2 logs2+1 logs10 1og6l0:②①可得log2<logs10→1n3in15 In 2 In 10 logs3+1 logs 15 品3哈器 In 2+ln 5 第四讲基本不等式 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.a>0,b>0 2.a=b 3.算术平均数几何平均数 42 知识点二 1.x=y 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D.m>0,n>0,∴.m+n≥2/mn=18.故选D. 30003+子≥2V3=45,因此243+的最小 x 值为2+43.故选C. 4C当2时，x-2>0x)=(x-2)+1+2≥2，/x-2)·+ x-2 x-2 1 2=4,当且仅当x-2=x一2>2)，即x=3时，取等号，即当) 取得最小值时x=3,即a=3. 54易知日(+日)(+）=22y +2 ab ,6=2时取得最小值故答案为4 1 =4,当且仅当ab=1,即a= &AD由6>0,60，a+6=1,得岁≥当-行，即公+6≥ 2 7,当且仅当a=6=)时取等号，故A正确；由a>0,6>0,a+b2 1 1,得a-b=2a-1>-l,故2>2，故B正确：bg,a+log,b= logz(ab)≤log 2的)=e(分)'=-2.当且仅当a=6=之时. 等号成立，故C错误；(Wa+6)2=a+b+2√ad=1+2√ad≤1+a+ 6=2,得后+6≤反，当且仅当a=b=2时，等号成立，放D 正确. 考点突破·互动探究 考点1 角度1 例：22因为>0，>0，所以1+0+h≥2， 2。二·2+b=+b≥ a b 1a /2 ·b=22.当且仅当) a b2, 即a=b=√2时等号成立， 2 =b, b 收二+“，+b的最小值为2√2.」 故一+ 角度2 例1：cx<号3-2<0e)=3x-2+3”23=-[2-3)+ 2 23]+3-22-30293=-3.当且仅当2- 22即=方时取放到=3+1”有最大值-3 9 故选C. 0<<,y=x4探=-4 例2：4 1 君r1-红当且仅当柱 2 1-4,即=时取等号，则y=x个-4的最大值为子 4 角度3 例1：Blga+lgb=lg(a+3b)→lg(ab)=lg(a+3b)→ab=a+3b,两 边同除以ab,得 3=l,(构造常数“1)a+6=(a+b)· a 3b +4=23 a b a ΓVba +4当且仅当二=3弘，即a=56时，取“=”，放4+b的最小值 为4+2/3. 例2，B由+2必=3得a++2必=4，于是2-（由） 2.1+4+2",÷]≥5 4 b 2V2]号当且仅当-品且>0， 6>0,即a=写6=音时，等号成立所以。 1 名的小值 角度4 例：6解法一：（换元消元法） 肥知得-3号亦时(， 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号.即(x+3y)2+12(x+3y) -108≥0，令x+3y=t,则t>0且2+12t-108≥0，得t≥6，即x+3y 的最小值为6. 解法二：（代入消元法） 由x+3y+xy=9,得x 9-3y,所以x+3y 1+y 9-3y+3y= 1+y 9-3y43(1+2-9+3y2_3(1+y)-61+y）+12=3(1+y）+ 12 1+y 1+y 1+y +y -6≥231)·6=12-6=6，当且仅当1+)产1两 12 12 即y=1,x=3时取等号，所以x+3y的最小值为6. [引申] [解析]解法一：9-y=x+3y≥2√3xy, .9-xy≥23x, 令√y=t,∴.t>0, .9-≥23t,即2+23t-9≤0， 解得0<t≤3， .≤5，.y≤3， 当且仅当x=3y,即x=3,y=1时取等号， .y的最大值为3. 法三产 ,9-3y,9y-3y2 .x·y=1+y ·y= 1+y =-3(y+1)2+15(y+1)-12 y+1 =-3(y+1)-12 +15 y+1 ≤-2√3(+1).12 +15=3. y+1 音且仅当3(0=片即y=1=3时原等安 .y的最大值为3. 4 变式训练 1.Cy=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3，A不符合题意；y=1 sinx+ 4 4 1sn,令t=sim,则y=+,te(0,1小.由于y=+在区 间(0,1]上单调递减，因此y≥1+4=5，最小值是5，B不符合题 意-242产-2分，2e0+).质以y=22·子-4 当且仅当2=2，即x=1时取等号，C符合题意；当x∈(0,1)时， 4 lnx<0,y=lnx+,一<0，D不符合题意.故选C. 2.A因为21，所以x-1>0.+3--1)+2x-)+4=x-1+2+ x-1 x-1 ≥22V高=6，当且仅当1=月即=3时。 4 等号成立 3.C由点A(2,1)在直线lmx+ny=1上，得2m+n=1.mn>0, m n m n 2√合誓2=8，当且仅当片智即a 1 m n 4,n=2时 等号成立故2的最小值为8.故选C m n 3-x2 4B+2y3=0,y=2x2x+y=2x+ -x23x2+33x 2x2x 2 3 3x3 .3x3 2≥2√2·23，当且仅当2=2元即=1时取等号.故 选B. 考点2 16 例： 由题意及N(a)=4可得N0)=公=10，即m=40, .N(h)= +4隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用 40 的总和F(h)=30N(h)+9%=200+9h=200+3(3h+4)-12≥ 3h+4 3h+4 /20·33h+4-12=108(万元)，当且仅当203(3h+ 23h*4 3h+4 4),即A=厘米时F)达到最小值 变式训练 B设天平左臂长为m,右臂长为n.m,n>0且m≠n,左盘放的 药品质量为x克，右盘放的药品质量为x2克，则 10=72”解得-10，-10m, mx1=100n, m 2—,x1+x2=1002+1002s m n 2,00m。100m三200，当且仅当m二，即m=n时取等7 m n 号，而m≠n,故等号无法取得，所以x1+x2>200.故选B. 名师讲坛·素养提升 变式训练 1.2由柯西不等式得(y）+1)≥（之1+x1)=(行 ）广，所以1x2(径+y)广当且仅当号.即=反y-号 时等号成立，所以之+≤万，即+y的最大值是2 9 2.5因为y=2√2-x+√2x-3=√2-x+√/2-x+√/2x-3≤ √1+1+I·√(2-x)+(2-x)+(2x-3)=√5，当且仅当√2-x= 23,即x=3时等号成立，所以函数y的最大值为 第五讲一元二次不等式及其解法 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 2 知识点二 两相异两相等没有{xx>x2或x<x,}{xIxER且x≠ xR {xlx1<x<x2}00 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× 2.DA={xlx>3},B={xlx>4或x<1},A∩B=xlx>4},故选D. 「-6=1,1 23 3.-14依题意知 解得as-12, ( 6=-2,a+6=-14 4.[0,4) 当m=0时，显然成立；当m≠0时，由已知得 fm>0, 4=m2-4m<0, 解得0<m<4.综上，实数m的取值范围是 [0,4). 5c2.得子≥0即兴≤0，所以120》0解 Lx-1≠0. 得-2≤x<1,所以原不等式的解集为xI-2≤x<1}.故选C. 考点突破·互动探究 考点1 角度1 例：[解析](1)：4=49>0， .方程2x2+5x-3=0有两个不等的实数根， 解得x1=-3,x2=2: 画出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①所示 由图可得原不等式的解集为{-3<<2} 11 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0. .∵4=12>0， ∴.方程3x2-6x+2=0有两个不等的实数根，解得 3-√33+√/3 x1=3= 3,画出函数y=32-6r+2的图 象，如图②所示，由图可得原不等式的解集为 3-5成≥3+到 3 (3)△=0，.方程9x2-6x+1=0有两个相等的实 数根，解得=名=3画出函数y=9-6x+1的图 象如图③所示.由图可得原不等式的解集 为{xx≠3} 11 (4)原不等式可化为x2-6x+10<0,.4=-4<0,∴.方 程x2-6x+10=0无实数根，画出函数y=x2-6x+10 的图象如图④所示，由图象可得原不等式的解集 为0. 角度2 例：[分析](1)根据a<0,注意两根二与1的大小： (2)由于系数中含有字母，故需考虑对应的方程有无实根，以 及有根时根的大小关系. [解析] (1)因为a<0,则原不等式等价于 (-)e-10,解零<或>上所以解美为 a (,)u1,+) (2)对于方程x2-2ax+2=0,因为4=4a2-8,所以当4<0，即 -√2<a<2时，x2-2ax+2=0无实根.又二次函数y=x2-2ax+2 的图象开口向上，所以原不等式的解集为⑦； 当△=0，即a=±2时，x2-2ax+2=0有两个相等的实根， 当a=√2时，原不等式的解集为{xlx=√2}， 当a=-2时，原不等式的解集为{xlx=-√2}； 当4>0，即a>2或a<-2时，x2-2ax+2=0有两个不相等的实 根，分别为x1=a-a2-2,:2=a+√a2-2,且x1<x2,所以原不 等式的解集为{xla-√a2-2≤x≤a+√a2-2} 综上，当a>√2或a<-√2时，解集为{xla-√a-2≤x≤a+ √a2-2};当a=√2时，解集为xlx=√2}；当a=-√2时，解集 为{xlx=-√2}；当-2<a<2时，解集为0. [引申1] [解桥】因为a>0,原不等式等价于(：)(x-1)<0 ①当a=1时，=1，()-1)<0无： ③当01时，1，解（日）-10得1<分 所以当0cac1时，解集为{lk}: 当a=1时，解集为☑； [引申2] [解析]若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1 除上所法：当0时，解集为亡发D小：多a=0时好年 为x1:当0a<1时，解集为{<}：当a=1时，解集 11 为：当>1时，解为 变式训练 1.A由-x2+3x+10>0,得x2-3x-10<0,得(x-5)(x+2)<0,解得 -2<x<5.故选A. 2.[解析]原不等式可化为12x2-ax-a2>0, 即(4x+a)(3x-a)>0,令(4x+a)(3x-a)=0, a a 解得x1=-4x2=3 当a0时，不等式的解集为(-0，母U(学+0)： 当a=0时，不等式的解集为(-∞，0)U(0,+∞)； 30