第3章 第2讲 第1课时 导数与函数的单调性-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

变式训练 1由r(归知r(）号m牙1所 2 24 以曲线)=f()在点（受（受）处切线的斜率为买-1放 选B 2C因为切线1过点(-2,0)和(0，-2)，所以f'(-1)=-2-0 0+2 -1,所以切线l的方程为y=-x-2,令x=-1,则y=-1,即f(-1) =-1,所以f'(-1)+f-1)=-1-1=-2,故选C. 3.B函数f代x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切 线，即f'(x)=2在(0，+)上有解 所以了()+a=2在(0，+)上有解，则a=2子 因为0，所以2-2，所以a的取值范围是(-，2 名师讲坛·素养提升 [引申] y=2x+1-n2=1=2,公切线方程为y=2x+1-n2 变式训练 （)=m+g()=2xm,假设两 1 =g(x) (x 曲线在同一点(x,%)处相切，则 [mt=2。m, 可得1-lno=x,即 mxo+ln xo=xo-mxo; x+nxo-1=0,因为函数y=x2+nx-1单调递增，且x=1时y 0,所以6=1，则m=分，此时两曲线在(1，)处相切，根据曲 1 线的变化趋势，若m>2,则两曲线相交于两点，不存在公切线， 1 如图，所以m的最大值为 第二讲导数在研究函数中的应用 第一课时导数与函数的单调性 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 1.可导> 2.定义域><f'(x)>0f'(x)<0 双基自测 1.(1)×(2)×(3)× [解析](1)有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-0，+∞)上 为增函数，但f'(x)=3x2≥0. (2)因为y=f(x)若为常数函数，则一定有f'(x)=0满足条件， 但不具备单调性， 定义城为(0,1)U(1山，+)，因此它的减区间为 (3)y=1nx1 (0,1)和(1，+0) 2.B由题意，f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e.令f'(x)>0,得x>2, 故函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是(2，+). 3.CD由题意得，当x∈（-∞，c)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在 (-o,c)上单调递增，因为a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),C正 确，A错误；当xe(c,e)时，f'(x)<0,所以函数f(x)在(c,e)上 单调递减，因为c<dke,所以f(c)>f(d)>f(e),D正确；又因为只 知道函数f(x)在(a,c)上单调递增，在(c,e)上单调递减，无法 判断f(a),f(b)与f(e)的大小关系，B不一定正确. 4.B因为f代-x)=-x-sin(-x)=-f(x),且f(x)的定义域为R,所 以fx)=x-sinx为奇函数，所以f(x2+4x)<-f(3)=f代-3)，因为 f'(x)=1-cosx≥0，且不恒等于0，所以函数f(x)=x-sinx在定 义域上为增函数，故x2+4x<-3,故解集为(-3，-1).故选B. 5.Cf(x)在(1,2)内单调递增，.f'(x)≥0在(1,2)内恒成立， 即f'(x)=ae-≥0(1r<2)u≥二(1<<2.令gx)=e xe (1<x<2),则g'(x)=(x+1)e>0,∴.g(x)在(1,2)内单调递增， g()ee2c).亡e(估)即。的限小值为 上故适c 考点突破·互动探究 考点 考向1 1A2e.0{gg8n年 得-ln2<x<0,所以f(x)的单调递减区间为(-n2,0). 例2：（行，1从题图可以看到，当了<x<1时(x)<0,函数 )单调递减，所以函数)的单调递减区间为（兮，小 例3：（子，-1小(7+）函数x)=n(2x+3)+的定 汉越为号+）小因为re品22，令 f()>0,解得xe(号，1)U(+）,所以)归 n(2x+3)+状的单调递增区间为(-，-)-（子+m） 考向2 例：[解析]g(x)的定义域为R, g'(x)=(x-a)e-2(x-a)=(x-a)(e*-2), 令g'(x)=0,得x=a或x=ln2, ①若a>n2, 则当x∈(-o,ln2)U(a,+o)时，g'(x)>0, 当xe(n2,a)时，g'(x)<0, ∴.g(x)在(-∞，ln2),(a,+o)上单调递增， 在(n2,a)上单调递减； ②若a=ln2,则g'(x)≥0恒成立， ∴g(x)在R上单调递增； ③若a<n2, 则当x∈(-o,a)U(ln2,+o)时，g'(x)>0, 当xe(a,ln2)时，g'(x)<0, ∴.g(x)在(-∞，a),(ln2,+∞)上单调递增，在(a,ln2)上单调 递减。 综上，当a>h2时，g(x)在(-∞，n2),(a,+o)上单调递增，在 (ln2,a)上单调递减； 当a=ln2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln2时，g(x)在(-o,a),(n2,+o)上单调递增，在(a, n2)上单调递减. 变式训练 [解析]由题意得f(x)的定义域为(0，+∞). 当a=0时，f代x)=x,则函数f(x)的单调递增区间为(0，+0)，无 单调递减区间； 当>0时，f(x)=2m+(1-2a)x-a_2ar+1)(x-a） 因为a>0,x>0,所以2ax+1>0, 令f'(x)>0,解得x>a, 令f'(x)<0,解得0<x<a, 所以函数f(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增区间为(a,+o), 综上可知，当a=0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，+0)，无 单调递减区间； 当a>0时，函数f(x)的单调递减区间为(0，a),单调递增区间为 (a,+o) 考向3 角度1 例：C易知fr(x)=2x ,又x∈(0，+0) xe xe" 时，e>1,(）,所以(>0,即)在0， +)上单满递增放f(子）>2)>含)，即c>0a 角度2 例：B由题意可知f(x)的定义域为(0，+∞).因为f'(x)= 21 -1=一（士）广0框成立，当且仅当x=1时，等号成立，所以 fx)在(0，+∞)上单调递减.由f(2x-1)<f(1-x),可得 r2x-1>0, 0,解得号<1，即原不等式的解集为（仔） 2x-1>1-x, 角度3 例：D[分析]利用函数f代x)=kx-nx在区间(1，+∞)上单调 递增等价于f'(x)≥0在(1，+∞)恒成立求解.或利用区间(1， +)是f代x)的增区间的子集求解. [解析]解法一：因为f(x)在(1，+0)上单调递增， 所以f'(x)≥0在(1，+∞)上恒成立， 因为f(x)=kx-lnx, 所以f'()=k≥0，即≥子 因为D1,所以0<1， 所以k≥1.所以k∈[1，+∞).故选D. 解法二f()=k-(x>0), x 当k≤0时，f'(x)=k-<0,f(x)在其定义城内递减，不合 题意， 当0时：电f()>0知>任（行+）是的增区 间.由题意可知≤1，即≥1，放造D [引申] (1)1(2)(-0,0](3)(0,1)(4)(-0,1) (5,u[1,*) 4 [解析]（1)由解法二知=1，k=1. 1 (2)由题意知f'(x)= -1≤0在(1，+如)上恒成立即k≤文，又 x>1,∴.0<一<1，∴.k≤0，即k的取值范围是(-0,0]. (3)由本例及引申(2)知，f(x)在(1，+∞)上单调，则k≤0或 k≥1，.f代x)在(1，+∞)上不单调，则0<k<1.即k的取值范围是 (0,1). (4)由题意可如f'(x)=:≤0在(1，+m)内有解即k≤ 1 x x∈(1，+∞)有解，由0<一<1可知k<1,即k的取值范围是 (-∞，1). (5)xe(1,2),.<<1,若fx)在(1,2)上单调增，则 '(x)=c-≥0恒成立，即k≥，k≥1若(x)在(1,2)上 单调减，则x)≤0恒成立，即≤士≤了八) 在(1,2)上单调，则长的取值笼国是(-引]U[1,+w) 变式训练 1.D由题意，得f'(x)=3-2sinx.因为-1≤simx≤1，所以f'(x)> 0恒成立，所以f代x)是增函数.因为2>1，所以3√2>3.又l0g4< log27<log28,即2<log27<3,所以2<og27<3√2，所以f(2)< f(log27)<f(32),b<c<a 2.C f(x)=sin x+e'-e*-x,..f(-x)=-sin x+e-e"+x=-f(x), ∴.f(x)为R上的奇函数，又f'(x)=cosx+e+e-1≥cosx+2-1 =1+cosx≥0，则f(x)在R上单调递增，又f(x)+f(3-2x)<0, ∴.f(x)<-f(3-2x),又f(x)为R上的奇函数，.f(x)<f(2x-3), 又f代x)在R上单调递增，∴.x<2x-3,∴.x>3,故满足f(x)+ f代3-2x)<0的x的取值范围是(3，+∞). 3.(0.)函数)归-72-3x+4nx(>0),f”()=-x-3+ 子两致 之-3+4在+)上不单调f(✉ =-x-3+4在(，+1)上有变号零点， .+3-4=0在(，+1) 上有解，.x2+3x-4=0在(t,t+1)上有解，由x2+3x-4=0得x=1 或x=-4(舍去)..1∈(t,t+1),∴.t∈(0,1)，故实数t的取值范 围是(0,1). 名师讲坛·素养提升 一、构造法在导数中的应用 题型一 变式训练 1.(0,+o)令p(x)=fx)-sinx,所以当x≥0时，p'(x)=f'(x) -cosx<0,所以(x)在[0，+∞)上单调递减，又f(x)为R上的 奇函数，以p(x)为R上的奇函数，所以p(x)在(-∞，0]上单 调递减，故p(x)在R上单调递减且p(0)=0,不等式f(x)< sinx可化为fx)-sinx<0,即p(x)<0,即p(x)<p(0),故x>0, 所以原不等式的解集为(0，+∞). 2cab构造函数g(x)=(>0),得g()='(x)-)= x2 ()当0时，g(>0放g)在0，+a)止单 2 1 1 即f2>2)>4(2）,即 2 c<a<b. 3.a<b<c构造函数F(x)=f(x)·cosx,x≠T,k∈Z,则x∈(0，T) 时，F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sinx>0.所以函数F(x)在(0，T)上 单调递增，于是)<)<F(),即5f()< ））,所以abce 题型二 变式训练 A原已知条件等价于2-3<2'-3，设函数f(x)=2-3.因 为函数y=2与y=-3在R上均单调递增，所以f(x)在R上 单调递增，即f(x)<f(y),所以x<y,即y-x>0,所以A正确，B不 正确：因为lx-yI与1的大小不能确定，所以C,D不正确. 题型三 变式训练 cg”设兰则f(到-1，当e时a x2 0,所以)在(e,+)上单调递减，所以3)>m),即n3 > m,所以lh3>3nm,所以n3>n元3，即3>m.因为y=t T 在(0，+o)上单调递增，e<,所以e3<3,所以e3<π3<3 二、泰勒展开式 变式训练 B易知a=ln√1-0.010<ln1=0,而b>0,c>0.当x-0时，由 泰勒公式展开，得6=0.02sin001=0.02(0.01-(001) +…= 3! 2x10了×10*+，6=00sma2=Q01Q2-002+ 2x10手x10+可知×10*<号×102，所以bc故6xa 第二课时 导数与函数的极值、最值 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.<>><<> 2.求导数f'(x)求方程f'(x)=0的根根左右的值极大值 极小值 知识点二 1.[a,b](a,b) 3.求f(x)在(a,b)内的极值将f(x)的各极值与f(a),f(b)比 较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 双基自测 1.(1)V(2)×(3)×(4)V 2.A由题意知只有在x=-1处f'(-1)=0,且其两侧导数符号为 左负右正 3.B因为f'(x)=1-1=1,当xe(0,1)时，”()>0：当xe (1,e]时，f'(x)<0,所以当x=1时，f(x)取得最大值ln1-1=-1. 故选B. 42e21n2易求P(x)=2e,0,所以f(e)=2(e）- 21 ,则Fo三因此)=2nx(归。，由/PC >0得0<x<2e,由f'(x)<0得x>2e.所以函数f(x)在(0,2e)上 单调递增，在(2e,+∞)上单调递减.因此f代x)的极大值点为2e, 极大值为f(2e)=2n(2e)-2=2ln2. 5.ABD对A,因为f(x)是定义在R上奇函数，则fO)=0,故A 正确；对B,当x<0时，-x>0,则f(x)=f-x)=-{[(-x)2-3] e*+2}=-(x2-3)e-2,故B正确；对C,f(-1)=-(1-3)e-2= 2(e-1)>2,故C错误；对D,当x<0时，f(x)=(3-x2)e-2,则 f'(x)=-(3-x2)e*-2xe=(x2-2x-3)e,令f'(x)=0,解得 x=-1或3（舍去），当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0,此时f代x)单调 递增，当xe(-1,0)时，f'(x)<0,此时f(x)单调递减，则x=-1 是f代x)的极大值点，故D正确.故选ABD 6B由题套知=血1b=-之求导袋=兰兰（ 0),因为f(x)的定义域为(0，+∞)，所以易得f'(1)=a-b=0,所 以a=-2,所以了2)=号冬子放选B 考点突破·互动探究 考点1 角度1 例1：BC根据g(x)=xf'(x)的图象，可得当x<-2时，g(x)= f'(x)>0,可得f'(x)<0,即f(x)单调递减，当-2<x<0时， g(x)=f'(x)<0,可得f'(x)>0,即f(x)单调递增，当0<x<1 时，g(x)=f'(x)<0,可得f(x)<0,即fx)单调递减，当x>1 时，g(x)=f'(x)>0,可得f'(x)>0,即fx)单调递增，因此 f代x)在x=-2和x=1处取得极小值，在x=0处取得极大值， 共3个极值点，A错误，C正确：f(0)为f(x)的极大值，B正 确：f代-1)不是f代x)的极小值，D错误 角度2 例：[分析]求导，研究函数的单调性从而确定极值. [解析](1)函数f(x)的定义域为(-1，+0)， 则f(x)=21n(1+)+1+x 令F(x)=2m(l+)+x-, 21 则F(x)= 1+x(1+x)2, 可得F'(x)>0在(-1，+0)上恒成立，则F(x)在(-1，+∞)上 单调递增， 又F(0)=0,所以当-1<x<0时，F(x)<0 即f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>0时，F(x)>0,即f'(x)>0, f(x)单调递增， 所以f(x)在x=0处取得极小值，f(x)战小信=f(0)=0.无极 大值. (2)f'(x)=(2x+a)e+(x2+a.x+a)e =(x+2)(x+a)e, 当a=2时，f'(x)≥0， 所以函数(x)在R上是增函数，无极值； 当a≠2时，令f'(x)=0, 解得x=-2或x=-a, 9第二讲导数在研究函数中的应用 第一课时导数与函数的单调性 知识梳理·双基自测 知识梳理 (3)因为y的导函数为y t(nx)2,因为x>0, 知识点 函数的单调性 所以y<0,因此y=的藏区间为0.DU 1.设函数y=f(x)在某个区间内 (1,+∞). () f'(x) 0,则f(x)在这个区间为增函数，若 题组二走进教材 f'(x) 0,则f(x)在这个区间为减函数. 2.(选择性必修2P,T1改编)函数f(x)=(x-3)e的 2.求可导函数f(x)单调区间的步骤： 单调递增区间是 () (1)确定f(x)的 A.（-∞，-2) B.(2,+0) (2)求导数f'(x); C.(1,4) D.(0,3) (3)令f'(x) 0(或f'(x) 0),解3.（多选题）（选择性必修2PT3改编）已知定义在R 出相应的x的范围； 上的函数f(x),其导函数∫'(x)的大致图象如图所 (4)当 时，f(x)在相应区间上是增函数， 示，则下列叙述一定正确的是 057 当 时，f(x)在相应区间上是减函数. 归纳拓展 =f'(x) 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增，则x∈(a,b)时， f'(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a,b)上单调递减， A.f(b)zf(c)zf(d) B.f(b)zf(a)zf(e) 则x∈(a,b)时，f'(x)≤0恒成立. C.f(c)zf(b)zf(a) D.f(c)zf(d)=f(e) 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间，则x∈ 题组三走向考场 (a,b)时，f'(x)>0有解；若函数f(x)在(a,b)上存 4.(2026·广东深圳期未)已知函数f(x)=x-sinx,则 在单调递减区间，则x∈(a,b)时，f'(x)<0有解。 不等式f(x2+4x)+f(3)<0的解集为 () 双基自测 A.(-0,-3)U(-1,+0) B.(-3,-1) 题组一走出误区 C.(-2-/7,-2+√7) 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） D.(-∞，-2-√7)U(-2+W7,+∞) (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增，那么一定有5.(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数fx)=ae-lnx在区 f'(x)>0. ( 间(1,2)单调递增，则a的最小值为 () (2)若函数y=f(x)在(a,b)内恒有f'(x)≥0，则 A.e2 B.e C.e-1 D.e-2 y=f(x)在(a,b)上一定为增函数. 考点突破·互动探究 44444444K44KKK44444444444444444444444444444444444444444444444444454424424444244444444444444444444444444444442444444424444444444444444444444444444444444444244444 考点 函数的单调性 【变式训练】 (2026·郑州质检)已知函数f(x)=a(x2-nx)+(1- 考向1 爪含叁数的函数的单调性一自主练速 例1.函数(x)=(x+1)e+2-1的单调递减区间为 2a2)x(a≥0)，求函数y=f八x)的单调区间. ( A.(-ln2,0) B.(-∞，-ln2) C.（-ln2,to) D.(0,+0) 2.已知函数f(x)=ax3+bx2+x+c,其导函数y= '(x)的图象如图所示，则函数f八x)的单调递减区间为 "(x 0 考向3利用导数解决函数的单调性的应用问题一 昌维探究 3.函数f(x)=ln(2x+3)+x2的单调递增区间 角度1 比较大小 为 名师点拨： 例已知函数)=nx设a=f(）,6=(2), 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单 c=好)则 ( 调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数 058 的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗 A.a>b>c B.b>a>c 号”或“和”隔开. C.c>b>a D.cza>b 考向2含荟数的函数的单调性一师生共研 名师点拨： 例已知函数g(x)=(x-a-1)e-(x-a)户，讨论函数 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件判 g(x)的单调性. 断已知（或构造后的）函数的单调性，利用其单调性比 较大小. 角度2解不等式 例已知函数)=2n+-x,则不等式2x-1)< f八1-x)的解集为 () 4(o,) B(仔， c(2) D哈) 名师点拨：利用导数解不等式的方法 利用导数解不等式，其关键是构造函数，把解不等 式问题转化为利用导数判断函数单调性问题，解不等 式时，还要注意将常数巧妙地转化为函数值，再根据单 调性去掉函数符号“∫” 角度3已知函数的单调性求参数取值范围 名师点拨： 1,研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不 例若函数f)=kc-lh在区间(1，+如)上单调递 增，则k的取值范围是 () 等式解集的影响进行分类讨论。 A.(-0,-2] B.(-∞，-1] 2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨 C.[2,+∞) D.1,+0) 论，还要确定导数为零的点和函数的间断点。 [引申](1)本例中若f(x)的增区间为(1，+∞)， 提醒：(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈ 则k= (a,b)都有f'(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间 (2)若f(x)在(1，+∞)上递减，则k的取值范围是 上∫'(x)不恒等于0.应注意此时式子中的等号不能省 略，否则漏解 (3)若f(x)在(1，+∞)上不单调，则k的取值范围 【变式训练】 是 1.(角度1)已知函数fx)=3x+2cosx若a=f(32), (4)若f(x)在(1，+∞)上存在减区间，则k的取值 b=f(2),c=flog27),则a,b,c的大小关系是() 范围是 A.a<b<c B.c<b<a (5)若f(x)在(1,2)上单调，则k的取值范围 C.b<a<e D.b<c<a 是 2.（角度2)(2025·南充模拟)设函数f八x)=sinx+e- e-x,则满足f(x)+f(3-2x)<0的x的取值范围是 名师点拨：已知函数单调性，求参数取值范围的 两个方法 A.(-∞，1) B.(1,+∞) 1.利用集合间的包含关系处理：y=f(x)在(a,b) C.(3,+0) D.(-0,3) 上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集. 3.(角度3)(2025·安徽毛坦厂中学模拟)已知函数 2.转化为不等式的恒成立问题：利用“若函数单调 1 递增，则∫'(x)≥0；若函数f(x)单调递减，则∫'(x)≤ 八x)=2-3x+4x在(1，+1)上不单调，则实数1 0”来求解. 的取值范围是 名师讲坛·素美提升 一、构造法在导数中的立用 在导数应用的客观题中，有一类考查热点，不给出具体的函数解析式，大多涉及(x)与∫'(x)的一些关系 059 式，利用构造法构造新函数，确定其单调性，然后解决问题，下面重点突破两类问题 题型一利用导数的运算去贝则购造函数 [答案](-1,0)U(0,1) 角度I利用f(x)与e构造 例已知代x)是定义在(-∞，+∞)上的函数，导函数 [解析] 梅造F()=.则P”() f'(x)满足f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立，则 ( f"(x)·x-2x,当>0时，”(x)-2f(x)<0,可以推 A.f(2)>e2f0),f(2025)>e22f0) 出当x>0时，F'(x)<0,F(x)在(0，+∞)上单调递减. B.f2)<ef0),f2025)>e2f0) 因为f(x)为偶函数，x2为偶函数，所以F(x)为偶函 C.f(2)>e2f(0),f2025)<e2f(0) 数，所以F(x)在(-∞，0)上单调递增.根据f(-1)=0 D.f2)<e2f0),f2025)<e2f(0) 可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得函数 [答案]D 图象（图略），根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0) [解析]构造P()=,则F,() U(0,1). 角度3利用f(x)与sinX,cosx构造 e'(x)-e-f()f,导函数f'(x)满足 e 例（多选题）已知定义在(0，)上的函数f(x), f'(x)<f(x),则F'(x)<0,F(x)在R上单调递减，根据∫'(x)是f(x)的导函数，且恒有f'(x)sinx-f(x)cosx< 单调性可知选D. 0成立则 [感悟提升]遇到f'(x)-f(x)的形式，构造函数 F(x)-K(x) A)>财 &财)） ;遇到f'(x)+f(x)的形式构造函数F(x)= f八x)e. c） D 角度2利用f(x与×构造 [答案] CD 例已知偶函数(x)(x≠0)的导函数为f'(x),且满 [解析] e0》,则关学数 令g(x)=八 足f(-1)=0,当x>0时，2f(x)>f'(x),则使得 f(x)>0成立的x的取值范围是 g(0)m④o,又由xeo,引，且恒有 sin'x f'(x)sinx-f(x)cosx<0,则有g(x)<0,即函数g(x)为2.（角度2)(2026·湘豫名校联考)已知定义在R上 的函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时，f'(x) 减数，由<则有)>( 即 T 0,若a=21),b=2),c=4(3),则a,bc sin 6 的大小关系为 3.（角度3)(2026·绍兴调研)已知定义在R上的函 可得>）：汉由石<则有) 数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈(0，π)都有 f'(x)cos)smx,设a=5/(周），b=2f田）. , 可得2) ,则a,b,c的大小关系为 sim sin 6 4 题型二 通过变量构造具体函数 名师点拨：利用导数关系构造函数的一些常见 结构 例1（多选题）(2026·广东深圳模拟)若0<，<， 1,则 () 1,对于不等式f'(x)+g'(x)>0,构造函数F(x)= A.e-e">In x2+1 f(x)+g(x). x1+1 2.对于不等式f'(x)-g'(x)>0,构造函数F(x)= x2+1 f(x)-g(x). B.e2-e<In x1+1 特别地，对于不等式∫'(x)>k,构造函数F(x)= C.xee f八x)-hx. D.xe<xe 3.对于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,构造函 [答案]AC 数F(x)=f(x)·g(x). [解析]令f(x)=e-ln(x+1)且xe(0,1),则 4.对于不等式f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,构造函 060 数F(x)= x中>0，故f八x)在区问(0,1)上单调递增， f'(x)=e- g(x) 因为0<x<x2<1,所以fx1)<f(x2),即e1-n(x+1)< 5.对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数 F(x)=x”·f八x). c产n无+1，放e-e>h所以A正染，B年 6.对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数F(x)= e·f(x). 误；令x)=C且∈(0,1)，则了()=x<0,故 x2 7.对于不等式f'(x)+f(x)>0,构造函数F(x)= f(x)在区间(0,1)上单调递减，因为0<x1<x2<1,所以 e·f(x) 8.出现f'(x)sinx+f(x)cosx构造函数F(x)= )>),即。，散e>e,所以C正确，D f(x)sin x. 错误 g.出现'()sinx)cos构造函数F(x) 11 sin'x 2若n-血axn(x>1,>1),则（） =x) A.e>1 B.e<1 sinx C.ex>1 D.ex--1<1 10.出现f'(x)cosx-f(x)sinx构造函数F(x)= [答案]A f八x)cosx. 1 1 1,出现f()0sx)in构造函数F(x) [解析] 依题意，hxn nyh令f()= cos'x 1 f(x) (≠0)，则f”(0=1+F>0,所以()在(-，0)， (0,+)上单调递增；又x>1,y>1,得lnx>0,ny>0,则 【变式训练】 flnx)<flny),则nx<lny,∴.1<x<y,即y-x>0,所以 1.(角度1)设f(x)为R上的奇函数，当x≥0时f'(x) e>e°=1，A正确，B不正确；又y-x-1无法确定与0 -cosx<0,则不等式f(x)<sinx的解集为 的大小关系，故C,D不正确. 名师点拨： [答案]b<c<a 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使 [解析]b-c=n1.02-√1.04+1，设f(x)= 两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数， 并且利用函数的单调性求解. n(x+1)-√1+2+1，则6-c=f0.02),f'(x)= x+1 【变式训练】 (2020·全国Ⅱ卷)若2-2'<3-3y,则 ) 2-+2=(x+山，当x≥0时，x+1=x+1 2√/1+2x(x+1)√1+2x A.In(y-x+1)>0 B.In(y-x+1)<0 C.Inlx-yl>0 D.Inlx-yl<0 ≥√1+2xf'(x)≤0，f(x)在[0，+∞)上单调递减，所以 题型三通过数值构造具体函数 f八0.02)<f0)=0,即b<c.a-c=2ln1.01-√/1.04+1，设 例1.已知a=26 12ln3 2,6=。,c= ，则a,b,c的大小关 g(x)=2h(x+1)-√1+4x+1,则a-c=g(0.01),g'(x) e 9 系为 24=2[1+4x-(x+1)】,当0≤x<2时， x+12√/1+4x (x+1)W√1+4x [答案]c<a<b √4x+1=√/2x+2x+1≥√x2+2x+1=√(x+1)2=x+1,故 [解折1令x)=,则f'(x)=2—,当x∈ x21 当0≤x<2时，g'(x)≥0，所以g(x)在[0,2)上单调递增， (0,e)时f'(x)>0,f(x)单调递增；当xe(e,+∞)时，所以g(0.01)>g(0)=0,故c<a,从而有b<c<a. ∫”(x)<0f(x)单调递减。a==1=4=f4),b 名师点拨： 2 4 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细 -=fe.e=2为3-g9-9e4> 观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要 ee 比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调 f(9),即c<a<b. 2.（2021·全国乙卷改编)设a=2ln1.01,b= 性比较大小 06 ln1.02,c=√1.04-1，则a,b,c,的大小关系为 【变式训练】 实数e,3m,π3的大小关系为 二、泰勒展开式 1.泰勒公式 若函数f(x)在含有x。的开区间(a,b)内有n+1阶导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x-x。 的多项式和-个余项的和)=o)()(0).(.（-户+. 2！ 31 n！ (x-x0)”+Rn(x): 2.常见的泰勒展开式 在泰勒公式中，令x。=0,即可得到如下泰勒展开式： 2！3！n +… x2x3 (2)n(x+1)=x 2t3+…+(-1)1t 十… (3)m=x351+(-1, x2-1 (2n-1)1+.; (4)c0sx=1 214+(-1)1. x2-2 (2n-2)1+… 3.泰勒公式的价值 泰勒公式将各种类型的函数（指数函数、对数函数、正弦与余弦函数）与多项式函数联系了起来，这样在局 部可以用多项式函数近似替代其他函数，我们主要用其证明不等式及比较大小，下面我们主要介绍如何比较 大小 例(2022·全国甲卷)已知a= 1 sinx,则f'(x)=1-cosx≥0，所以函数f(x)在R上单 4,c= 调递增，所以当x>0时f(x)>f(0)=0,即有x>sinx(x 4in子则 0立，所n日 1 8,所以b>a.因为 A.c>b>a B.bzazc 1 C.a>b>c D.azc>b 4sin 4 1 [答案]A 1 =4am年，所以令g(x)=anx=,则g'(x) [解析]解法一：根据题意，构造函数f(x)=1 cos 4 8()=os,4(e=2则a(日6=g cos2r+simx-1=1-cos≥0，所以函数g(x)在定义域 cos'x cosx e=)由秦勒展开式()=1 2,8(x)=1- 内单调递增，所以当x>0时，g(x)>g(0)=0,即有anx 2 4t…h(x)=1- >(>0)底之，所以m年m子1，所以子 1,又b>0,所以c>b.综上，c>b>a. 256 【变式训练】 95,11 256*6120×56*…,所以4）<44) 1, 若a=ln√-0.010，b=0.02sin0.01,c= 0.01sin0.02,则 即a<b<c A.a<b<c B.a<c<b 解法二：因为b=cos =1-2sin2 8,所以b-a=1 C.b<c<a 4 D.c<a<b 温馨提示：复习至此，请完成练案[16] 062 第二课时导数与函数的极值、最值 知识梳理·双基自测 (3)检验f'(x)在方程f'(x)=0的 知识梳理 的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那 知识点一函数的极值 么函数y=f(x)在这个根处取得 ;如果在根的 1.函数的极值 左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y=f(x)在这 (1)设函数f(x)在点x附近有定义，如果对x附 个根处取得 近的所有的点，都有f(x) f(xo),那么f(x) 知识点二函数的最值 是函数f(x)的一个极大值，记作f(x)极大值=f(xo);如 1.函数的最值的概念 果对x附近的所有的点，都有f(x) f(x),那 设函数y=f(x)在 上连续，在 内 么f(x)是函数f(x)的一个极小值，记作f(x)极小值= 可导，函数f(x)在[a,b]上一切函数值中的最大（最 f代x).极大值与极小值统称为极值， 小)值，叫做函数y=f(x)的最大（最小）值 (2)当函数f(x)在x。处连续时，判别f(x)是极大 2.连续函数在闭区间[a,b]上一定有最大值和最 (小)值的方法： 小值 3.求函数最值的步骤 如果x<xo有f'(x) 0,x>x有f'(x) 0,那么f(x)是极大值. 设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导， 求f(x)在[a,b]上的最值，可分两步进行： 如果x<x有f'(x) 0,x>xo有f'(x) (1) 0,那么f(x)是极小值， (2) 2.求可导函数f八x)极值的步骤 (1) (2)