第3章 第2节 导数与函数的单调性(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统梳理了导数与函数的单调性专题，将导数与单调性的关系、判断步骤及应用（比较大小、解不等式、求参数）等核心考点按逻辑层次构建知识网络，通过诊断自测问题链和考向任务驱动，引导学生自主推导规律，形成完整认知框架。 亮点在于诊断性自测和分层考向设计，开篇设置5道涵盖基础判断与选择的诊断题，学生可自主定位薄弱点，结合考向中一题多解和方法指导培养数学思维与模型意识。每个模块配训练题和反思记录，助力个性化知识体系构建，教师能通过学情数据精准教学，实现因材施教。

第2节　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 3.会利用函数的单调性判断大小，求参数的取值范围等. 知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是　　　　　 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的　　　　； 第2步，求出导数f'（x）的　　　　； 第3步，用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 提醒：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. 1.若函数f（x）在（a，b）内单调递增，则x∈（a，b）时，f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在（a，b）内单调递减，则x∈（a，b）时，f'（x）≤0恒成立. 2.若函数f（x）在（a，b）内存在单调递增区间，则x∈（a，b）时，f'（x）＞0有解；若函数f（x）在（a，b）内存在单调递减区间，则x∈（a，b）时，f'（x）＜0有解. 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0.（　　） （2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性.（　　） （3）若在（a，b）内f'（x）≤0且f'（x）＝0的根有有限个，则f（x）在（a，b）内单调递减.（　　） （4）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定是增函数.（　　） 2.函数y＝f（x）的导函数f'（x）的图象如图，则下列判断正确的是（　　） A.f（x）在（－3，1）内单调递增 B.f（x）在（1，3）内单调递减 C.f（x）在（2，4）内单调递减 D.f（x）在（3，＋∞）上单调递增 3.函数f（x）＝cos x－x在（0，π）内的单调性为（　　） A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 4.函数f（x）＝xln x的单调递减区间为（　　） A.（ 0，） B.（ ，＋∞） C.（1，＋∞） D.（0，1） 5.若函数f（x）＝x3＋ax2－ax在R上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　. 函数的单调性 （定向精析突破） 考向1　不含参函数的单调性 （1）已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图，则f（x）的图象可能是（　　） （2）若函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递减区间为　　　　. 听课记录 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解导函数不等式，求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开. 考向2　含参函数的单调性 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 研究含参函数单调性的思路 （1）研究含参函数的单调性，要根据参数对不等式解集的影响进行分类讨论，如：开口方向、是否有解、解是否在定义域的取值范围内、解之间的大小关系等； （2）划分函数的单调区间时，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 训练1 （1）设f（x）＝2x2－x3，则f（x）的单调递减区间是（　　） A.（ 0，）　　　 　B.（ ，＋∞） C.（－∞，0） D.（－∞，0）和（ ，＋∞） （2）（2026·广东湛江模拟节选）已知函数f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，若a≥－，试讨论f（x）的单调性. 函数单调性的简单应用 （定向精析突破） 考向1　比较大小 （1）已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f（ ），f（1），f（ －）的大小关系为（　　） A.f（ －）＞f（1）＞f（ ） B.f（1）＞f（ －）＞f（ ） C.f（ ）＞f（1）＞f（ －） D.f（ －）＞f（ ）＞f（1） （2）已知a＝，b＝，c＝e，则下列大小关系正确的是（　　） A.a＜b＜c　　　　　B.a＜c＜b C.c＜b＜a D.c＜a＜b 听课记录 由函数的单调性比较大小的方法 （1）若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，然后根据单调性比较大小； （2）若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. 考向2　解不等式 （1）已知函数f（x）＝2ln x＋－x，则不等式f（2x－1）＜f（1－x）的解集为（　　） A.（ 0，） B.（ ，1） C.（ ，1） D.（ ，） （2）（2026·山东齐鲁名校大联考）已知y＝exf（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，则满足ex－2f（2x－3）＞f（x－1）的x的取值范围是　　　　. 听课记录 利用函数的单调性解不等式的关键 （1）会构造函数，能根据所给的不等式的特征，结合已知函数的特征，合理地构造新函数； （2）会判断函数的性质，即借用奇偶函数的定义，判断函数的奇偶性，借用导数，判断函数的单调性； （3）会转化，利用函数的单调性，得未知数所满足的不等式（组），通过解不等式（组），得到未知数的取值范围. 考向3　已知函数单调性求参数 （1）（2026·广东佛山模拟）若函数f（x）＝ex＋ax－x2存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（　　） A.（－1，＋∞） B.（0，＋∞） C.（－∞，－1） D.（－∞，0） （2）〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（　　） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 听课记录 根据函数单调性求参数的一般思路 （1）由函数f（x）在区间[a，b]上单调递增（减）可知f'（x）≥0（f'（x）≤0）在区间[a，b]上恒成立，列出不等式； （2）利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题； （3）对等号单独检验，检验参数的取值能否使f'（x）在整个区间恒等于0.若f'（x）恒等于0，则参数的这个值应舍去；若只有在个别点处有f'（x）＝0，则参数可取这个值. 提醒：当已知函数在某区间上不单调时，则转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题. 训练2 （1）若函数y＝f（x）满足xf'（x）＞－f（x）在R上恒成立，且a＞b，则（　　） A.af（b）＞bf（a） B.af（a）＞bf（b） C.af（a）＜bf（b） D.af（b）＜bf（a） （2）设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　） A.（－∞，1） B.（ －∞，） C.（ ，＋∞） D.（1，＋∞） （3）（2026·四川模拟预测）已知函数f（x）＝x2＋（x－2）ex－2x＋5在区间（3m－1，m＋2）上不单调，则m的取值范围是　　　　. 常见组合函数的图象 　　在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图象对解题有事半功倍的效果. 〔多选〕下列函数中，在区间（0，＋∞）上是先减后增函数的有（　　） A.y＝xln x　　　　　　B.y＝ C.y＝xex D.y＝ 听课记录 提示：完成课后作业　第三章　第2节 答案 第2节　导数与函数的单调性 【夯实必备知识】 知识梳理 1.单调递增　单调递减　常数函数　 2.定义域　零点　 诊断自测 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）× 2.C　3.D　4.A　5.[－3，0] 【研透核心考点】 考点1 【例1】　（1）C　（2）（1，＋∞）　解析：（1）由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C. （2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，令φ（x）＝－ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－－＜0，∴φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减. 【例2】　解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（ －∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. 训练1　（1）D　由f（x）＝2x2－x3，得f'（x）＝4x－3x2＝x（4－3x），令f'（x）＝0，得x＝0或x＝，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示. x （－∞， 0） 0 （ 0，） （ ，＋∞） f'（x） － 0 ＋ 0 － f（x） 单调 递减 0 单调 递增 单调 递减 所以f（x）的单调递减区间是（－∞，0）和（ ，＋∞）. （2）解：由f（x）＝－x2＋（a2＋a）ln x＋（1－a）x，x＞0，得f'（x）＝－2x＋＋1－a＝＝. 令（x＋a）（2x－a－1）＝0， 得x＝－a或x＝. 若a≥0，则－a≤0，＞0， 当x∈（ 0，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减. 若－＜a＜0，则＞－a＞0，当x∈（0，－a）和（ ，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ －a，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 若a＝－，则＝－a＝，f'（x）≤0在x∈（0，＋∞）上恒成立，f（x）单调递减. 综上所述，当a≥0时，f（x）的单调递增区间为（ 0，），单调递减区间为（ ，＋∞）； 当－＜a＜0时，f（x）的单调递增区间为（ －a，），单调递减区间为（0，－a）和（ ，＋∞）； 当a＝－时，f（x）的单调递减区间为（0，＋∞），无单调递增区间. 考点2 【例3】　（1）A　（2）C　解析：（1）由题知f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），则函数f（x）是偶函数，故f（ －）＝f（ ）.又当x∈（ 0，）时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在（ 0，）上单调递增，所以f（ ）＜f（1）＜f（ ），即f（ －）＞f（1）＞f（ ）.　 （2）由题，c＝.令f（x）＝（x≥e），则f'（x）＝，因为x≥e，所以f'（x）≥0，所以f（x）＝在[e，＋∞）上单调递增，又a＝f（4），b＝f（3），c＝f（e），e＜3＜4，故c＜b＜a.故选C. 【例4】　（1）B　（2）（ －∞，）∪（2，＋∞） 解析：（1）由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞）.因为f'（x）＝－－1＝－（ －1）2≤0恒成立，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减.由f（2x－1）＜f（1－x），可得解得＜x＜1，即原不等式的解集为（ ，1）. （2）设g（x）＝exf（x），则g'（x）＝ex（f（x）＋f'（x））.由当x＞0时，f（x）＋f'（x）＞0，得ex（f（x）＋f'（x））＞0，即g'（x）＞0，故g（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.又ex－2f（2x－3）＞f（x－1），所以e2x－3f（2x－3）＞ex－1f（x－1），即g（2x－3）＞g（x－1），因为g（x）为R上的偶函数，所以g（｜2x－3｜）＞g（｜x－1｜），即｜2x－3｜＞｜x－1｜，即（2x－3）2＞（x－1）2，所以（3x－4）（x－2）＞0，解得x＞2或x＜. 【例5】　（1）C　（2）C　解析：（1）函数f（x）的定义域是R，f'（x）＝ex＋a－x.若f（x）存在单调递减区间，则a＜（x－ex）max.令g（x）＝x－ex，则g'（x）＝1－ex，令g'（x）＞0，解得x＜0，令g'（x）＜0，解得x＞0，故g（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故g（x）max＝g（0）＝－1，故a＜－1.故选C. （2）法一 由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）上单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. 训练2　（1）B　（2）D　（3）（ －1，） 解析：（1）由xf'（x）＞－f（x），设g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又a＞b，所以g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），故选B. （2）根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上单调递增，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）. （3）由题意知f'（x）＝（x－1）ex＋2x－2＝（ex＋2）·（x－1），因为f（x）在区间（3m－1，m＋2）上不单调，即y＝f'（x）在区间（3m－1，m＋2）上有变号零点，又ex＋2＞0，所以f'（x）＝0⇒x＝1，f'（x）＞0⇒x＞1，f'（x）＜0⇒x＜1，所以x＝1在区间（3m－1，m＋2）内，所以解得－1＜m＜，即m的取值范围是（ －1，）. 衔接教材 【例】　AD　对于A，y'＝1＋ln x，当0＜x＜时，y'＜0，当x＞时，y'＞0，因此函数y＝xln x在（ 0，）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，A符合；对于B，y'＝，当0＜x＜e时，y'＞0，当x＞e时，y'＜0，因此函数y＝在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，B不符合；对于C，当x＞0时，y'＝（x＋1）ex＞0，函数y＝xex在（0，＋∞）上单调递增，C不符合；对于D，y'＝，当0＜x＜1时，y'＜0，当x＞1时，y'＞0，因此函数y＝在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，D符合.故选A、D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $