第3章 第2节 导数与函数的单调性(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统覆盖导数与函数单调性核心考点，包括导函数图象与单调性关系、不含参及含参函数单调区间求解，通过知识表格梳理关系、例题分层示范，以问题链引导学生自主构建“导数正负—函数增减”的逻辑网络。 亮点在于自主诊断与思维进阶设计，开篇设置导函数图象识别诊断题（练1），通过“求导—定零点—划区间—判符号”四步模板指导不含参函数单调区间求解，含参问题分类讨论步骤培养逻辑推理素养。每个模块配反思记录区，学生可自主归因错题，教师依学情精准指导，提升复习实效。

第2节　导数与函数的单调性 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. 　　 利用导函数图象研究函数单调性 函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导 f'（x）＞0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　 f'（x）＜0 f（x）在区间（a，b）内　　　　　 f'（x）＝0 f（x）在区间（a，b）内是　　　　　 （1）已知二次函数f（x）的图象如图所示，则其导函数f'（x）的图象大致形状是（　　） （2）〔多选〕已知函数y＝f'（x）的图象如图所示，那么下列关于函数y＝f（x）的判断正确的是（　　） A.在区间（0，a）上，f（x）为定值 B.函数y＝f（x）在区间（a，b）内单调递增 C.函数y＝f（x）在区间（c，e）内单调递增 D.函数y＝f（x）在区间（b，d）内单调递减 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.由原函数图象识别导函数图象的依据：若f（x）单调递增，则f'（x）的图象一定在x轴的上方；若f（x）单调递减，则f'（x）的图象一定在x轴的下方；若f（x）是常函数，则f'（x）＝0. 2.由导函数图象识别原函数图象的依据：若f'（x）＞0，则f（x）单调递增，f'（x）＜0，则f（x）单调递减. 练1 已知f'（x）是f（x）的导函数，若f'（x）的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　） 不含参函数的单调性 （1）若函数f（x）＝－2ln x＋x＋，则f（x）的单调递增区间为（　　） A.（0，＋∞） B.（0，3） C.（－1，3） D.（3，＋∞） （2）若函数f（x）＝，则函数f（x）的单调递减区间为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求出导数f'（x）的零点； （3）用f'（x）的零点将f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各区间上的正负，由此得出函数y＝f（x）在定义域内的单调性. 2.求函数单调区间的方法 （1）解不等式f'（x）＞0（f'（x）＜0）求单调递增（减）区间； （2）令f'（x）＝0解出方程的实根，再将定义域划分为若干个区间，确定各区间上f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”或“和”隔开. 练2 （1）函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的单调递增区间是（　　） A.（0，1） B.（，1） C.（，） D.（，） （2）已知函数f（x）＝x＋2cos x，试判断f（x）在（0，π）上的单调性. 含参函数的单调性 （2023·新高考Ⅰ卷19题节选）已知函数f（x）＝a（ex＋a）－x，讨论f（x）的单调性. 解决含参函数单调性问题的注意点 （1）研究含参数的函数的单调性时，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论； （2）注意观察f'（x）的表达式（或其中的某一部分、某个因式等）的取值是否恒为正（或恒为负），这往往是分类讨论的出发点； （3）划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点. 提醒　分类讨论要做到不重不漏，同时还要注意对结果进行综述. 练3 讨论函数f（x）＝x3－x2＋ax＋1的单调性. 提示：完成课后作业　第三章　第2节 答案 第2节　导数与函数的单调性 考点一 单调递增　单调递减　常数函数 【例1】　（1）B　（2）BD　解析：（1）从题图上可以看出：二次函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，故f'（x）＞0；f（x）在（0，＋∞）上单调递减，故f'（x）＜0. （2）由题图知，当0＜x＜a时，f'（x）＞0且为定值；当a＜x＜c时，f'（x）单调递减，且当x∈（a，b）时，f'（x）＞0，当x∈（b，c）时，f'（x）＜0；当c＜x＜e时，f'（x）单调递增，且当x∈（c，d）时，f'（x）＜0，当x∈（d，e）时，f'（x）＞0，所以当0＜x＜a时，f（x）单调递增且为斜率大于0的直线，当a＜x＜b时，f（x）单调递增，当b＜x＜c时，f（x）单调递减，当c＜x＜d时，f（x）单调递减，当d＜x＜e时，f（x）单调递增，其大致图象如图. 练1　C　由f'（x）的图象知，当x∈（－∞，0）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增；当x∈（0，x1）时，f'（x）＜0，∴f（x）单调递减；当x∈（x1，＋∞）时，f'（x）＞0，∴f（x）单调递增.故选C. 考点二 【例2】　（1）D　（2）（1，＋∞）　解析：（1）由函数f（x）＝－2ln x＋x＋，可得其定义域为（0，＋∞），且f'（x）＝－＋1－＝＝，x＞0，令f'（x）＝0，可得x＝3，当x∈（0，3）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，3）内单调递减；当x∈（3，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（3，＋∞）上单调递增. （2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝，令φ（x）＝－ln x－1（x＞0），则φ'（x）＝－－＜0，∴φ（x）在（0，＋∞）上单调递减，且φ（1）＝0，∴当x∈（0，1）时，φ（x）＞0，f'（x）＞0，当x∈（1，＋∞）时，φ（x）＜0，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，∴f（x）的单调递减区间为（1，＋∞）. 练2　（1）D　函数f（x）＝ln（2x－1）－x2＋x的定义域为（，＋∞），且f'（x）＝－2x＋1＝＝，令f'（x）＞0，解得＜x＜，所以f（x）的单调递增区间为（，）. （2）解：f'（x）＝1－2sin x，x∈（0，π）. 令f'（x）＝0，得x＝或x＝， 当0＜x＜或＜x＜π时，f'（x）＞0， 当＜x＜时，f'（x）＜0， 所以f（x）在（0，）和（，π）上单调递增，在（，）内单调递减. 提能点 【例3】　解：由题意知，f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝aex－1. 当a≤0时，易知f'（x）＜0，则f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数. 当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝ln. 当x∈（ －∞，ln）时，f'（x）＜0；当x∈（ ln，＋∞）时，f'（x）＞0. 所以f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. 综上可知，当a≤0时，f（x）在（－∞，＋∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（ －∞，ln）上单调递减，在（ ln，＋∞）上单调递增. 练3　解：由题意知f（x）的定义域为R，f'（x）＝3x2－2x＋a，令f'（x）＝0，Δ＝（－2）2－4×3×a＝4（1－3a）. ①当a≥时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增； ②当a＜时，令f'（x）＝0，即3x2－2x＋a＝0，解得x1＝， x2＝， 令f'（x）＞0，得x＜x1或x＞x2； 令f'（x）＜0，得x1＜x＜x2， 所以f（x）在（－∞，x1）上单调递增，在（x1，x2）内单调递减，在（x2，＋∞）上单调递增. 综上，当a≥时，f（x）在R上单调递增； 当a＜时，f（x）在（－∞，），（，＋∞）上单调递增，在（，）内单调递减. 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $