练案18 第三章 第3讲 第1课时 导数与不等式的证明-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习练案

练案[18] 第三讲导数的综合应用 第一课时导数与不等式的证明 A组基础巩固身 3.（2026·西安模拟)已知函数f(x)=e+x2-x-1. (1)求f(x)的最小值； 1.(2025·重庆诊断节选)已知函数f(x)=elnx-ex,证 （2)证明：e+xlnx+x2-2x>0. 明：xf(x)-e+2ex≤0. 4.(2026·河北保定期中)已知函数f(x)=e+sinx-2x, g(x)=2-cos x. （1)已知直线x-y+a=0是曲线y=g(x),x∈[0，T]的 2.（2026·新乡模拟)已知函数f八x)=xlnx. 切线，求实数a的值； (1)求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)≥x-1. (3)求证：f(x)≥g(x)恒成立. —316— 3B组能力提升9 的C组拓展应用（选作）习 1.(2026·陕西适应性检测)已知函数f(x)=e-1-x (2026·苏州模拟)已知函数f(x)=lnx+ax+1,aeR. -ax2. (I)讨论f(x)的单调性； (1)当a=0时，求f(x)的单调区间； (2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的 (2)证明：当a≤2时，) 取值范围； (3)若x>0,证明：(e-1)n(x+1)>x2. 2.（2022·北京卷节选)已知函数f(x)=eln(1+x). (1)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0，+∞)上的单 调性； (2)证明：对任意的s,t∈(0，+∞)，有f(s+t)>f八s)+ f). —317—h'(t)单调递增且h'(2)=0,当t>2时，h'(t)>0,当0<t<2时， ()<0,所以4()=h(2)=了h2,即a-m的最小值为 h2 练案[18] A组基础巩固 1[证明]心0只需证f代)≤g-2e, '()=e-0x)在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调 递减， ∴.fx)max=f(1)=-e. i记g(x)=g-2e(D0. x 则g'(x)=x-1)e x2 当0<x<1时，g'(x)<0: 当x>1时，g'(x)>0,故g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+0)上 单调递增， ..g()min=g(1)=-e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x), 即f(x)-e+2ex≤0. 2.[解析](1)因为f(x)=x21nx,x>0, 所以f'(x)=2xlnx+x=x(2lnx+1), 由f'(x)=0,得x=e2. 当xe(0,e立)时，(x<0: 当xe(e专，+)时(>0 故f(x)的单调递减区间为(0，e),单调递增区间为(e7,+0). (2)证明：f(x)≥x1等价于nx-≥ t2≥0 令函数g(a)=nx t20, 则g'(x)= 12-x_x+x-2 xx 3 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增 故g(x)≥g(1)=0,即fx)≥x-1. 3.[解析]（1)由题意可得f'(x)=e*+2x-1, 则函数f'(x)在R上单调递增，且f'(0)=0. 由f'(x)>0,得x>0:由f'(x)<0,得x<0. 则f(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 故f代x)mn=f0)=0. (2)证明：要证e+xnx+x2-2x>0 即证e+x2-x-1>-xlnx+x-1. 由(1)可知当x>0时，f(x)>0恒成立. 设g(x)=-xnx+x-1,x>0, 则g'(x)=-lnx. 由g'(x)>0,得0<x<1; 由g'(x)<0,得x>1. 则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+0)上单调递减，从而 g(x)≤g(1)=0,当且仅当x=1时，等号成立. 因为等号不能同时成立， 51 故f(x)>g(x),即e+xlnx+x2-2x>0. 4.[解析](1)g'(x)=sinx,xe[0,π]， g(x)=mx=l,解得x=7切点为(7,2)， 受-2w=0a=2号 2 (2).f'(x)=e+cosx-2, 当xe（-0,0]时，e≤1，cosx≤1， f'(x)≤0f(x)单调递减， 当xe[0,+o)时，f"(x)=e-sinx,e≥1，sinx≤1， f"(x)≥0，f'(x)单调递增， ∴f'(x)≥f'(0)=0,f(x)单调递增. 综上所述，f(x)在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增. （3)证明：f(x)≥g(x)恒成立台e+sinx-2x+cosx-2≥0， 恒成立台mx+0os-2-2+1≥0恒成立. e (x)=sin xtcos x-2x-2 则h'(x)=（con-2）-(sinx+ousx-2x-2_2(sin 2 令m(x)=x-sinx,则m'(x)=1-cosx≥0， ∴.m(x)单调递增 又.m(0)=0. ∴.当xe(（-∞，0]时，m(x)≤0，即h'(x)≤0，h(x)单调递减： 当x∈[0，+o)时，m(x)≥0，即h'(x)≥0，h(x)单调递增. .h(x)≥h(0)=0,∴.f代x)≥g(x)恒成立 B组能力提升 1.[解析]（1)由题意可知，当a=0时， fx)=e-l-x,x∈R, 则f'(x)=e-1,令f'(x)=0,则x=0,当x>0时， f'(x)>0;当x<0时，f'(x)<0. 所以fx)在(-∞，0]上单调递减，在[0，+∞)上单调递增. （2)由条件得f'(x)=e-1-2ax, 令h(x)=e-1-2ax,则h'(x)=e-2a, ①当2a≤1，即a≤2时，在[0，+)上，hN(x)≥0， 即h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(0),即f'(x)≥f'(0)=0, f代x)在[0，+o)上为增函数，.f代x)≥f(0)=0, 六a≤分时清足来保 ②当21即@>时，令M(x)=0, 解得x=ln(2a),在[0，n(2a)]上，h'(x)<0,h(x)单调递减， ∴.当xe[0,ln(2a)]时，有h(x)<h(0)=0, 即f'(x)<f'(0)=0,则f(x)在[0，n(2a)]上为减函数， ∴f(x)<f0)=0,不合题意. 等上，实数口的取位范国为(x,] (3)证明：由(2)得，当a=方且o0时，>1+号 x2 x2+2x 即e-1>+2=2 要证不等式(e-1)ln(x+1)>x2, x2 只需证明e-1n(x+' 只有注明 (2)证明：当a≤2时，因为x>0, 所以要证)≤产， 只需证ln(x+1)>2+x 2x 2x 只要证明nx+2x+ ≤e2r即可， 设F(x)=n(+1)2 (x>0) 即要证hx+2x+1≤xe2,等价于证e2xa≥lnx+2r+1(*). 14 则F'(x)= .x2 +1(x+2)2(x+1)(x+2)（x>0) 令g(x)=e2-x-1,则g'(x)=e-1, 当xe（-0,0)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 所以当x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0，+0)上单调 当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 递增， 所以g(x)≥g(0)=e°-0-1=0，所以e≥x+1(当且仅当x=0时 又F(0)=0.∴.F(x)>0恒成立，原不等式成立. 等号成立)，所以(*)成立， 2.[解标】()国为)=f(s)=e[a(1+r)+] 当且仅当2x+lnx=0时，等号成立 令h(x)=2x+lnx(x>0),因为h(x)=2x+lnx在(0，+)上单调 21 所以g(x)=e[h(1+)++x(1tx' 莞掩，6（日白）名10,6(=20，所以存在e(日 令h(x)=ln(1+w)+1+x(1+x) 21 使得2axo+lnxo=0成立， 综上所述，原不等式得证 122x2+1 则h(s)=F1++0, 练案[19] .h(x)在[0，+o)上单调递增， A组基础巩固 ∴.h(x)≥h(0)=1>0, .g'(x)>0在[0，+∞)上恒成立， L[解析】f)血h-a(2-1) x+1x+1 ∴g(x)在[0，+∞)上单调递增. 构造函数g(x)=xlnx-a(x2-1)(x≥1)， (2)证明：原不等式等价于f(s+t)fs)>f(t)f0), g'(x)=hx+1-2ax, 令m(x)=fx+t)-fx),(x,>0), 即证m(x)>m(0), F(x)=8(x)=In x+1-2a,F()=1-2az .m(x)=f(x+t)-f(x)=e*"In(1+x+t)-e'ln(1+x), ①若a≤0，则F'(x)>0,g'(x)在[1，+0)上单调递增，g'(x)≥ m'()=e"a(1+x)+6c1(1r)- 1+xg(x+)-g(x), g'(1)=1-2a>0, 1+x+t ∴g(x)在[1，+∞)上单调递增，g(x)≥g(1)=0, 白D年a了e)=e(a1*))在0，+)上单瑞道 从雨≥0，不特合怎意。 增， ∴.g(x+t)>g(x), ②若0分，当e1)时，F(0, .m'(x)>0. ∴.m(x)在(0，+∞)上单调递增，又因为x,t>0, 六g()在1,2品）上单调道浴。 .m(x)>m(0),所以命题得证 从而g'(x)≥g'(1)=1-2a>0, C组拓展应用（选作） g在[2a) 上单调递增， [解析](1)函数f(x)=lnx+ax+1的定义域为(0，+o),且 f(x)=ta. g(x)≥g(1)=0, x 从而f代x) )行0，不特合老 当a≥0时，Vxe(0,+∞）f'(x)= r+a>0恒成立， ③若a≥行则F(e)≤0在[1，+x)上恒成立， 所以f(x)在(0，+0)上单调递增； 当a<0时，令f(x)=+a=1+a=0. .g'(x)在[1，+o)上单调递减 g'(x)≤g'(1)=1-2a≤0. ∴.g(x)在[1，+∞)上单调递减， 从雨6o≤1=0到-≤0， 当e(0,日）时，()>0)在(0，日)上单调递增，当 核上角取位范因关[分+） xe(+m）时f(e)0)在(，+m）上单调漫减， 2.[解析](1)当a=1时f(x)=x-e, 综上所述，当a≥0时f(x)在(0，+)上单调递增； 则f'(x)=1-e, 当<0时)在(0，)上单调淺增，在(+）上学 当x<0时，f'(x)>0,当x>0时，f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 调递减. 所以函数f代x)的极大值为f0)=-1,无极小值. 578