第3章 第1讲 导数的概念及运算-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第三章导数及其应用 第一讲导数的概念及运算 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 2.瞬时变化率lim fx+△x)-fx) △x 3.0 n cos x -sin x a'ln a e1 I xln a x 4.f'(x)tg'(x)f'(x)g(x)+f(x)g'(x)Cf'(x) f'()g(x)-f)g'(g(x)≠0) [g(x)]2 5.y'=y'·u' 知识点二 y-f(xo)=f(xo)(x-o) 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× [解析](1)如图所示，直线与曲线只有一 个公共点，但不是切线 (2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=处的导函 数值，而[f(xo)]'是函数值f(xo)的导数，即 [fxo)]'=0. 3(m）-(=0 (4)(2)'=21n2. (5)n(-x)=-×(-1）=x,(hx)'= ,但它们定义域 x 不同. 2.D根据求导公式，结合选项判断即可.对于A,: 1= x 故A错误；对于B,:(sinx)'=cosx,故B错误；对于C, 1 [n(2x)]'=2云×2=￥，故C错误：对于D,:(ae)'=e+e （1+x)e,故D正确.故选D. 3.A因为f(x)=x3+[f'(1)+f'(2)]x,所以f'(x)=3x2+f'(1)+ f'(2),故f'(1)=3+f'(1)+f'(2)f'(2)=12+f(1)+f'(2),则 f(2)=-3,f'(1)=-12,故fx)=x3-15x.故选A. 4.4解法一：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+1,因为直线y= 2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y'=e+1=2,即e=1, 解得x=0,将x=0代人切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5,所 以切点坐标为(0,5)，因为切点(0,5)在曲线y=e+x+a上，所以 5=e°+0+a,即5=1+a,解得a=4. 解法二：对于y=e+x+a,其导数为y'=e+1,假设y=2x+5与y= re0+1=2, e+r+a的切点为(xo,o),则o=2ao+5,解得a=4. Lyo=e0+xo+a, 5.AC令f(x)=x3-x,则f'(x)=3x2-1.设切点坐标为(xo,x后 x),则切线方程为y-(x后-x)=(3x后-1)(x-xo),将(1,0)代入， 整理得2-3x+1=2x-2x行-x号+1=0，即(x0-1)2(2x+1)=0, 解得x0=1或xo=2 当。=1时，切线方程为2x-y-2=0:当 o=-2时，切线方程为x+4y-1=0.故选AC 4 考点突破·互动探究 考点1 例1：AB[(3x+5)3]'=3(3x+5)2(3x+5)'=9(3x+5)2,故A正 确；(x3lnx)'=(x3)nx+x3(hx)'=3xlnx+2,故B正确； /2sinx）=（2sinx)'-2sim(t)'-2 xcos4in,故C 2 错误；(sin2x)'=cos2x·（2x)'=2cos2x,故D错误. 例2：[解析](1)y'=(x2)'sinx+x2(sinx)1 =2xsin x+x'cos x. (2)y'= 1 ·（√1+x2)'=x √/1+x2 1+x2 8y-(g）-e (e*)2 sin x+cosx e (4):y=im(2x+受）o✉(2+受） 1 =xsin(4x+)=-2sin 4x, y'= 1 1 F2sin424cos4r -2 sin 4x-2xcos 4. 7 例3：2由代)=+2f(2)-lhx求导得f(x)=2+2f'(2)- 上当=2时，可得了2=42(2)宁解得了(2)=子 考点2 角度1 例1：C因为f(x)=os+2x,所以f'(x）)=os+si血+2，又 e (0)=1且f0)=1,所以函数f(x)=o5+2x,在x=0处的 切线方程为x-y+1=0.故选C 例2：-ey=0当x≤0时，设切点为4(x1,e)切线6=。-0e -0e, 解得x1=1,不符合题意.当x>0时，设切点为B(x2,山x2),切 5-0,解得=e,切点为(e,1),切线方程为) In x2-0 1 线k= 1 ex即x-ey=0. 角度2 例：A将点(3,1)代入直线y=x+2的方程得3k+2=1,得k= 1 1 ,所以'(3)==3，由于点(3，)在函数y=(x)的图象 上，则f(3)=1,对函数g(x)=f(x)求导得g'(x)=f(x)+ f'(x),∴g'(3)-3f'(3)=f(3)=1,故选A. 角度3 例：C易知=号=1时y1-,所以面线)n兰在点 (1,a)处的切线方程为：y-a=(1-a)(x-1)→y=(1-a)x+2a 1,显然有2a-1=-3,即a=-1.故选C. 6 变式训练 1由r(归知r(）号m牙1所 2 24 以曲线)=f()在点（受（受）处切线的斜率为买-1放 选B 2C因为切线1过点(-2,0)和(0，-2)，所以f'(-1)=-2-0 0+2 -1,所以切线l的方程为y=-x-2,令x=-1,则y=-1,即f(-1) =-1,所以f'(-1)+f-1)=-1-1=-2,故选C. 3.B函数f代x)=lnx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切 线，即f'(x)=2在(0，+)上有解 所以了()+a=2在(0，+)上有解，则a=2子 因为0，所以2-2，所以a的取值范围是(-，2 名师讲坛·素养提升 [引申] y=2x+1-n2=1=2,公切线方程为y=2x+1-n2 变式训练 （)=m+g()=2xm,假设两 1 =g(x) (x 曲线在同一点(x,%)处相切，则 [mt=2。m, 可得1-lno=x,即 mxo+ln xo=xo-mxo; x+nxo-1=0,因为函数y=x2+nx-1单调递增，且x=1时y 0,所以6=1，则m=分，此时两曲线在(1，)处相切，根据曲 1 线的变化趋势，若m>2,则两曲线相交于两点，不存在公切线， 1 如图，所以m的最大值为 第二讲导数在研究函数中的应用 第一课时导数与函数的单调性 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 1.可导> 2.定义域><f'(x)>0f'(x)<0 双基自测 1.(1)×(2)×(3)× [解析](1)有可能f'(x)=0,如f(x)=x3,它在(-0，+∞)上 为增函数，但f'(x)=3x2≥0. (2)因为y=f(x)若为常数函数，则一定有f'(x)=0满足条件， 但不具备单调性， 定义城为(0,1)U(1山，+)，因此它的减区间为 (3)y=1nx1 (0,1)和(1，+0) 2.B由题意，f'(x)=e+(x-3)e=(x-2)e.令f'(x)>0,得x>2, 故函数f(x)=(x-3)e的单调递增区间是(2，+). 3.CD由题意得，当x∈（-∞，c)时，f'(x)>0,所以函数f(x)在 (-o,c)上单调递增，因为a<b<c,所以f(c)>f(b)>f(a),C正 确，A错误；当xe(c,e)时，f'(x)<0,所以函数f(x)在(c,e)上 单调递减，因为c<dke,所以f(c)>f(d)>f(e),D正确；又因为只 知道函数f(x)在(a,c)上单调递增，在(c,e)上单调递减，无法 判断f(a),f(b)与f(e)的大小关系，B不一定正确. 4.B因为f代-x)=-x-sin(-x)=-f(x),且f(x)的定义域为R,所 以fx)=x-sinx为奇函数，所以f(x2+4x)<-f(3)=f代-3)，因为 f'(x)=1-cosx≥0，且不恒等于0，所以函数f(x)=x-sinx在定 义域上为增函数，故x2+4x<-3,故解集为(-3，-1).故选B. 5.Cf(x)在(1,2)内单调递增，.f'(x)≥0在(1,2)内恒成立， 即f'(x)=ae-≥0(1r<2)u≥二(1<<2.令gx)=e xe (1<x<2),则g'(x)=(x+1)e>0,∴.g(x)在(1,2)内单调递增， g()ee2c).亡e(估)即。的限小值为 上故适c 考点突破·互动探究 考点 考向1 1A2e.0{gg8n年 得-ln2<x<0,所以f(x)的单调递减区间为(-n2,0). 例2：（行，1从题图可以看到，当了<x<1时(x)<0,函数 )单调递减，所以函数)的单调递减区间为（兮，小 例3：（子，-1小(7+）函数x)=n(2x+3)+的定 汉越为号+）小因为re品22，令 f()>0,解得xe(号，1)U(+）,所以)归 n(2x+3)+状的单调递增区间为(-，-)-（子+m） 考向2 例：[解析]g(x)的定义域为R, g'(x)=(x-a)e-2(x-a)=(x-a)(e*-2), 令g'(x)=0,得x=a或x=ln2, ①若a>n2, 则当x∈(-o,ln2)U(a,+o)时，g'(x)>0, 当xe(n2,a)时，g'(x)<0, ∴.g(x)在(-∞，ln2),(a,+o)上单调递增， 在(n2,a)上单调递减； ②若a=ln2,则g'(x)≥0恒成立， ∴g(x)在R上单调递增； ③若a<n2, 则当x∈(-o,a)U(ln2,+o)时，g'(x)>0, 当xe(a,ln2)时，g'(x)<0, ∴.g(x)在(-∞，a),(ln2,+∞)上单调递增，在(a,ln2)上单调 递减。 综上，当a>h2时，g(x)在(-∞，n2),(a,+o)上单调递增，在 (ln2,a)上单调递减； 当a=ln2时，g(x)在R上单调递增； 当a<ln2时，g(x)在(-o,a),(n2,+o)上单调递增，在(a, n2)上单调递减.第三章 导数及其应用 考情清单 考点 真题示例 考向 6年考频 2025全国一卷，12 2024新课标Ⅱ，16(1) 求某点处的切线方程 2021新高考Ⅱ，16 导数的概念及运算 2022新高考Ⅱ，14 7考 2022新高考1,15 过某点的切线方程 2021新高考I,7 2024新课标I,13 公切线问题 2022新高考Ⅱ，22(1) 2021新高考Ⅱ，22(1) 不含参函数的单调性 导数与函数的 2021新高考1,22(1) 6考 单调性 2022新高考I,7 利用单调性比较大小 2023新课标I,19(1) 讨论含参函数的单调性 2023新课标Ⅱ，6 已知单调性求参 2024新课标I,10 利用导数研究 2024新课标Ⅱ，11 三次函数的性质 3考 函数的性质 2022新高考I,10 2025全国二卷，13 2024新课标Ⅱ，16(2) 已知极值求参 2023新课标Ⅱ，11 导数与函数的 2023新课标Ⅱ，22(2) 极（最）值 7考 2025全国一卷，19 已知最值求参 2022新高考I,22(1) 2021新高考1,15 求函数最值 2022新高考Ⅱ，22(2) 恒成立问题求参 2024新课标I,18(1)(3) 2023新课标1,19(2) 导数与函数不等式 利用最值证明不等式 6考 2023新课标Ⅱ，22(1) 2022新高考Ⅱ，22(3) 利用放缩法证明不等式 2021新高考I,22(2) 构造函数证明不等式 核心素养 数学运算 直观想象 数学抽象 数学运算 053 逻辑推理 数学运算 数学运算 逻辑推理 数学运算 逻辑推理 2025全国二卷，18 导数与函数零点 2022新高考1,22(2) 3考 数学运算 函数的零点个数问题 逻辑推理 2021新高考Ⅱ，22(2) 【命题形式】 本章知识内容丰富，题目难度跨度较大，出题形式常常是一大一小.重点考查内容有：①利用导数的几何意 义求曲线的切线方程；②利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题；③利用导数解决不等式恒成立问题、不 等式证明问题；④利用导数研究函数零点问题.在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转化 以及有关不等式证明问题的处理方法.重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程思想的应用. 第一讲导数的概念及运算 知识梳理·双基自测 5.复合函数的导数 知识梳理 复合函数y=∫[g(x)]的导数和函数y=f(u),u= 知识点一导数的概念与导数的运算 g(x)的导数间的关系为 即y对x的导 1.函数的平均变化率 数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积 (x2)-f(x1) 一般地，已知函数y=f(x),把式子 称 知识点二导数的几何意义 X2-X1 为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率，还可以表示 函数f(x)在x=x。处的导数就是曲线y=f(x)在点 为A八)) P(xof(xo)处的切线的斜率，即曲线y=f(x)在点 054 △x X2-X1 P(xof(xo)处的切线的斜率k=f'(xo),切线方程 2.导数的概念 (1)f(x)在x=x处的导数就是f(x)在x=x0处的 ,记作：y1。或∫'()，即f'()= 归纳拓展 f(xo+△x)-f(xo） △x 1.奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周 (2)当把上式中的x看作变量x时，∫'(x)即为 期函数的导数还是周期函数， f八x)的导函数，简称导数，即y'=f'(x)= 2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变 化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小 3.基本初等函数的导数公式 f'(x)1反映了变化的快慢，f'(x)越大，曲线在这 (1)C'= (C为常数)； 点处的切线越“陡” (2)(x")'= (nEQ"); (3)(sinx)'= 双基自测 (4)(c0sx)'= (5)(a)'= 题组一 走出误区 (6)(e)'= 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） (7)(log。x)'= (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切 (8)(lnx)'= 线 4.导数的运算法则 (2)f'(xo)=[fx)]' (1)[f(x)±g(x)]'= (2)[f(x)·g(x)]'= (3n写}'=ws号 T 特别地：[C·f(x)]'= (C为常数). (4)(2)'=x·2- (5)[ln(-x)]'=(lnx)' ( 题组二走进教材 题组三走向考场 2.(选择性必修2PsT1改编)下列函数的求导正确的 是 ( 4.(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=e+x+ B.(sin x)'=-cosx a的一条切线，则a= c.[ln(2x)]'=2x D.(xe)'=(1+x)e 5.(多选题)(2026·陕西商洛模拟)过点(1,0)向曲线 3.(选择性必修2Ps1习题T6改编)已知f'(x)是f(x) y=x3-x作切线，则切线方程可能是 () 的导函数，且fx)=x3+[f'(1)+f'(2)]x,则f(x)= A.2x-y-2=0 B.3x-y-3=0 A.x3-15x B.x3+15x C.x+4y-1=0 D.2x+y-2=0 C.x3+9x D.x-9x 考点突破·互动探究 点 导数的基本运算 自主练透 老点口 导数的几何意义一多维探究 例1（多选题）下列求导正确的是 角度！求切线的斜率或切线方程 A.[(3x+5)3]'=9(3x+5)2 B.(xIn x)'=3x2In x+x2 例1.(2026·福州联考)已知函数f(x)=s+2, e 2xcos x+4sin x 则曲线y=(x)在x=0处的切线方程为 x3 A.2x-2y+1=0 B.x+y-1=0 D.sin 2x=cos 2x 2.求下列函数的导数 C.x-y+1=0 D.2x-y+1=0 (1)y=x2sin x; 2.（2025·深圳模拟)已知函数∫(x)= (2)y=lnW1+x2; 「e,x≤0， 过原点O(0,0)作曲线y=f(x)的切线，其切 (3)y=0st, [In x,x>0, 线方程为 (4)y=sim(2x+）os(2x+7）} 名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型 1.在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求 曲线在点P(xo,yo)处的切线方程和求曲线过点P(xo, y)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切 点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不 定是切点。 2.在点P处的切线方程为y-f(x)=∫'(xo)(x x0). 3.求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步：设出切点坐标P'(x1f(x)); 3.(2026·常州质检)函数f(x)的导函数为 第二步：写出过P'(x1,f(x1))的切线方程为y f'(x),若f(x)=x2+2f'(2)-lnx,则f'(2)的值 为 f(x1)=f'(x1)(x-x1); 名师点拨：导数的运算方法 第三步：将点P的坐标(xo,y)代入切线方程，求 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等出x1; 函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导。 第四步：将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x 2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程x1)可得过点P(x0,yo)的切线方程. 思想求解。 3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要 注：也可利用∫'(x)= 孔x)-fxo）=kn求切点坐 x1-x0 进行换元 标(x1,y),有几组解就有几条切线. 角度2导数的几何意义 例如图，y()是可 A. 导函数，直线l:y= =f(x) kx+2是曲线y=f(x)在 y=kx+2 4 x=3处的切线，令g(x) 2.(角度2)曲线y=f(x)在点P(-1f(-1)处的切线1 =f(x),g'(x)是g(x) 如图所示，则f'(-1)+f(-1)= 的导函数，则g'(3) 3f'(3)= A.1 B.0 C.2 D.4 角度3求参数的值（或范围） 例(2026·河北石家庄质检、湖北部分学校期中)已 知曲线y=nx+口在点(1，a)处切线在y轴上的截 A.2 B.1 距为-3，则a的值为 ( A.1 B.0 C.-1 D.-2 C.-2 D.-1 【变式训练】 3.(角度3)(2026·开封市第一次模拟考试)函数 1.（角度1)(2026·天津五区县重点校期中联考)已知 f(x)=nx+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切 函数f(x)= -x2+cosx,则曲线y=f(x)在点 线，则实数a的取值范围是 () A.(-∞，-2] B.(-∞，2) (受（受）)处切线的斜率为 C.(2,+o) D.(0,+o) 名师#坛·素美提升 056 公切线问题的模型求解 曲线的公切线问题是高考的热点题型之一·其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线 问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂.方法更灵活，具体的求解方法如下： 方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； 方法二：设公切线1在曲线y=f(x)上的切点为P(x1f(x1)),在曲线y=g(x)上的切点为P,(x2,g(x2)则 f"(x)=g'(x,)=)-s( ,再解决相关问题 X1一X2 例发江布布防你阳表装 [引申]本例中两曲线公切线方程为 名师点拨： 的切线，则b= 同时和曲线y=f(x)、y=g(x)都相切的直线称为 A.1 B月 两曲线的公共切线.设直线与曲线y=f(x)切于(x1, f(x,)与曲线y=g(x)切于(x2,g(x2),则切线方程为 C.1-In 2 D.1-2ln2 y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x+f(x1) [答案]C f'(x1)x1.同理y=g'(x2)x+g(x2)-g'（x2)x2 [解析]设y=x+b与y=lnx+2和y=ln(x+1)的 f'(x1)=g'(x2), 切点分别为(x1,lnx+2)和(x2,ln(x2+1)).则切线分 解出x1x2,从而 x1)-f'(x1)x1=g(x2)-g'(x2)x2, 别为yln-2=(x-）-ln(x,+1）=1 +7(-七2). 可得切线方程.由此可知两曲线公切线的条数即为上 述方程组解的个数. 1 +灯，+l血（名+1），依 1x2 化简得y=+n+1,y产 【变式训练】 (2026·河北邯郸期中)已知函数f(x)=mx+lnx, 11 g(x)=x2-mx,若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)存在公 题意， x1x2+1 解得 In +1=- +ln(x,+1) 2,从而6 切线，则实数m的最大值为 x2+1 温馨提示：复习至此，请完成练案[15] =nx,+1=1-n2.故选C.