第2章 第8讲 函数与方程-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第八讲 函数与方程 知识梳理·双基自测 2.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则 知识梳理 八x)至多有一个零点， 知识点一函数的零点 3.定义在R上的周期函数如果有零点，则必有无穷多 1.函数零点的定义 个零点 对于函数y=f(x)(x∈D),把使 成立的 双基自测 实数x叫做函数y=f八x)(x∈D)的零点. 注：函数的零点不是点，是函数(x)与x轴交点的题组一 走出误区 横坐标，而不是y=f(x)与x轴的交点。 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） 2.几个等价关系 (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. 方程f(x)=0有实数根台函数y=f(x)的图象与 ( 有交点台函数y=f(x)有 (2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根. 3.函数零点的判定（零点存在性定理） 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不 (3)函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点（函数图象 断的一条曲线，并且有 ,那么函数y= 连续不断)，则f(a)·f(b)<0. () f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得 (4)求函数零点的近似值都可以用二分法.( ,这个c也就是方程f(x)=0的根 (5)函数y=2-x2只有两个零点. ( 045 知识点二二分法 题组二走进教材 1.对于在区间[a,b]上连续不断且 的函：2.（必修1PsT1改编）下列函数中，不能用二分法求 数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 零点的是 ,使区间的两个端点逐步逼近 进而 A.y=2x B.y=(x-2)2 得到零点近似值的方法叫做二分法。 1 C.y=x+-3 D.y=Inx 2.给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似 值的步骤如下： 3.(必修1P1s5T2改编)函数y=f(x)的图象是一条连续 (1)确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精 不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零 确度e; 点个数至少为 (2)求区间(a,b)的中点c; 1 2 4 5 6 (3)计算f(c) 126.115.15 -3.9216.78 -45.6 -232.64 ①若f(c)=0,则c就是函数的零点； A.2 B.3 ②若fa)·fc)<0,则令b=c C.4 D.5 (此时零点xo∈(a,c); (ln x,x>0. ③若f(c)·fb)<0,则令a=c 4.（必修1P4T2改编)函数f(x)= 的 -x(x+2),x≤0 (此时零点xo∈(c,b) 零点有 个 (4)判断是否达到精确度e,即：若Ia-b1<e,则得 题组三 走向考场 到零点近似值a(或b);否则重复(2)(3)(4) 5.（2025·天津卷)函数f(x)=0.3-x的零点所在区 归纳拓展 间是 () A.(0,0.3) B.(0.3,0.5) 1.f(a)f(b)<0是连续函数y=f(x)在闭区间[a,b]上 C.(0.5,1) D.(1,2) 有零点的充分不必要条件. 考点突破·互动探究 点 【变式训练】 函数的零点 1.函数f(x)=e"IIn xl-1的零点个数是 ( 考向1 确定团函数零点所在区间一自主练透 A.0 B.1 C.2 D.3 例1(2026·宣城模拟)方程nx_e+1=0的根所在 2.函数f(x)=sin2x-cosx在[0,3π]上的零点个数为 的区间是（参考数据：n2≈0.69，ln3≈1.10）（ ) A.(1,2) B.(2,e) 喜问3函数零点的应用—暑维探究 C.(e,3) D.(3,4) 角度引与零点有关的比较大小 2.（多选题)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+ 例已知函数fx)=2+,8()=x-gt,h(x)=lbg (x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的零点所在区间为（ √的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系为 A.(-∞，a) B.(a,b) () C.(b,c) D.(c,+o) A.x1>x2>x3 B.x2>x1>x3 名师点拨：确定函数零点所在区间的方法 C.x1>x3>x2 D.x3>x2>X1 1.解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解 角度2已知函数的零点或方程的根求参数 方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上 2.利用函数零点的存在性定理：首先看函数y= 例12025· 北京卷)已知函数f（x)= f代x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有 r0g(x+1),-1<x<0 若关于x的方程f(x)= f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必 -x2+2x,x≥0， 有零点. m(meR)恰有三个不同的实数根a,b,c,则a+b+c的 3.数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴 取值范围是 ( 046 在给定区间上是否有交点来判断： 考向2函数零点个数的确定—师生共研 a(分 B(径) 「x2+x-2,x≤0， 例1.函数(x) 的零点个数为 -1+lnx,x>0 c(任2 n(32 ( 名师点拨： A.3 B.2 C.7 D.0 1.比较零点大小常用方法 2.(2026·河南二模)已知函数f(x)是偶函数，对 (1)确定零点取值范围，进而比较大小. 任意x∈R,均有f(x)=f(x+2),当x∈[0,1]时，f(x)= (2)数形结合法， 1-x,则函数g(x)=f(x)-log(x+1)的零点有 2.已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的 个 方法和思路 名师点拨：函数零点个数的判定有下列几种 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过 方法 解不等式确定参数范围 1.直接求零点：令f(x)=0,如果能求出解，那么有 (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值 几个解就有几个零点. 域问题加以解决. 2.零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在 (3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角 [a,b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0,还必须结合 函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少 坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解， 个零点. 【变式训练】 3.数形结合法：利用函数y=f(x)的图象与x轴的 1.（角度1)(2026·安徽蚌埠月考)已知函数f代x)=3 交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数 +x,g(x)=log3x+x,h(x)=x3+x的零点依次为a,b, 图象交点个数问题.画两个函数图象，看其交点的个数 c,则a,b,c的大小关系为 () 有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个 A.a<b<c B.a<c<b 不同的零点 C.a>b>c D.c>a>b 2.(角度2)(2026·河北保定期中)设函数f(x)= 考点 二分法及其应用一自主练透 [l2x+31-1-m,x≤0， 若函数f(x)恰有3个零点，则 [In x-m,x>0. 例1.(2025·广东梅州二模)用二分法求方程1og 1 实数m的取值范围为 =0近似解时，所取的第一个区间可以是 2x [引申1]本题中函数f(x)变为“∫(x)= r2-1-m(x>0),”,问题不变 A.(0,1) B.(1,2) -x2-2x-m(x≤0) C.(2,3) D.(3,4) 2.在用二分法求方程x3-2x-1=0的一个近似解 时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可判 定该根所在的区间为 3.用二分法求方程血”+1=0在区间(2,3)内 的根的近似值，至少经过 次二分后精确度达 到0.1 () [引申2]本题条件变为“若f(x)恰好有2个零 A.2 B.3 C.4 D.5 点”，求实数m的取值范围. 名师点拨： 1.用二分法求函数零点的方法：定区间，找中点， 中值计算两边看，同号去，异号算，零点落在异号间周 而复始怎么办？精确度上来判断。 2.利用二分法求近似解需注意的问题 (1)在第一步中：①区间长度尽量小；②f(a)f(b) 的值比较容易计算且f(a)·f(b)<0. 047 (2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函 数的零点与相应方程的根是等价的. 名师#坛·素美提升 一、嵌套函数的零点问题 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设 中间函数为，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解 例1.已知f(x)= lg,>0,则函数y=2f(x)- 2.(2025·山东省实验中学诊断)已知函数f(x) l2m,x≤0， 1 In x- 3f(x)+1的零点个数为 t>0, 则函数y=f[f(x)+1]的零点个数是 [答案]5 x2+2x,x≤0， [解析]令22(x)-3f(x)+1=0,解得f(x)=1或 () 1 A.2 B.3 x)=2,作出八x)的简图： C.4 D.5 [答案]D [解析] 令=)+1=血10当0 (x+1)2,x≤0. 时，f(t)=lh-,则函数f(t)在(0，+∞)上单调递增， 由图象可得当代x)=1或f八x)=2时，分别有3个 因为1)=-1<0,2)=h2-2>0,所以由函数零点 和2个交点，则关于x的函数y=2f(x)-3f(x)+1的零存在定理可知，存在41∈(1,2)，使得f(t1)=0;当t≤0 点的个数为5. 时，ft)=2+2,由f(t)=2+2=0,解得t2=-2,b3=0. 作出函数t=f(x)+1的图象，直线t=t1,t=-2,t=0如根.设1=f(x),则方程化为2-2(m+2)t+4m=0,易知 图所示， 此方程有两个不等的实根t1,2,结合f(x)的图象可 知，41∈(0,1]，l2∈(1，+∞)，令h(t)=2-2(m+2)t+ 4m,则由二次函数的零点的分布情况得： 4=4(m+2)2-16m>0, 3-2-10 1234 h(0)>0, t=-2 得03m≤子载造B lh(1)≤0， 由图象可知，直线t=1与函数t=f(x)+1的图象 有两个交点；直线t=0与函数=f(x)+1的图象有两 个交点；直线=-2与函数t=f(x)+1的图象有且只有 一个交点.综上，函数y=∫[f(x)+1]的零点个数为5. 3.(2026·江西萍乡期中)已知函数f(x)= -2-10123 llogx1,x>0, 若函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m 【变式训练】 3,x≤0， 1.已知函数f(x)= 恰有5个零点，则实数m的取值范围是 [+1,x≤0则函数y=几f(x)]-1 [logzx,x>0, 的零点个数为 A.(0,1] R(o,引 A.3 B.2 C.[1,+) n(房+】 C.0 D.4 2.(2026·河南名校联考)函数f(x)= [答案]B 「lgx1,x>0, [解析]作出函数f(x)的大致图象，如图所示. 则函数g(x)=3[fx)]?-8f(x)+4 l-x2-2x+3,x≤0， 因为函数g(x)=[f(x)]2-2(m+2)f(x)+4m恰有5个 的零点个数是 () 048 零点，所以方程[f代x)]2-2(m+2)f(x)+4m=0有5个 A.5 B.4 C.3 D.6 二、晶数零点的棕合问题 例已知定义域为R的偶函数满足f(2-x)=(x),当 1 1 x)=x-在区间[-3,5]上所有解的和为4x2=8, 0≤x≤1时，f(x)=e-1,则方程f(x)= 故选A. 区间[-3,5]上所有解的和为 名师点拨： A.8 B.7 C.6 D.5 以函数图象、图象的变换方法及函数的零点等相 [答案]A 关知识为基础，通过作图、想象，发现该问题的相关数 [解析]因为函数f(x)满足f(2-x)=f(x),所以 学知识及其联系，快速解决该问题， 函数f代x)的图象关于直线x=1对称，又函数八x)为偶【变式训练】 函数，所以f八2-x)=f(x)=f(-x),所以函数f(x)是周 (2026·山西五校联考)已知函数f(x)= 期为2的函数，又g(x)=x一的图象也关子直线行 1 「-2x,x≤0， -x2+x,x>0 若函数g(x)=f(x)-a恰有三个互不 1对称，作出函数f(x)与g(x)在区间[-3,5]上的图 相同的零点x1,x2,x,则x1x2x3的取值范围是 象，如图所示： ( B.() c(o.) . 3-2-10 1234 温馨提示：复习至此，请完成练案[13] 由图可知，函数f(x)与g(x)的图象在区间[-3， 5]上有8个交点，且关于直线x=1对称，所以方程3.(1,+∞)因为存在x∈R且x≠0，使得f(1+ =1 x)=f(1-x)成立，所以f代x)的图象上存在两 2 个关于直线x=1对称的点（两点均不在直线 x=1上）.作出y=x,y=-x2+2x的图象，如图 所示，由图可知a>1,即实数a的取值范围为 (1,+0). 名师讲坛·素养提升 变式训练 B由图象变换的法则可知，y=nx的 图象关于y轴对称后的图象和原来的 一起构成y=ln1xl的图象，向右平移1 个单位长度得到y=lnlx-1I的图象； 2-】 y=-2 COS TIX的周期T=2.如图所示，两 函数的图象都关于直线x=1对称，且 有3对交点，每对交点关于直线x=1对 称，故所有交点的横坐标之和为2×3=6. 第八讲函数与方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.f(x)=0 2.x轴零点 3.fa)fb)<0f(c)=0 知识点二 1.f代a)f(b)<0一分为二零点 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)× [解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根. (3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f代b)>0. (4)函数y=x2求零点不可用二分法. (5)y=x与y=2在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如 在x=2和x=4处都有交点. 2.B对于B,y=(x-2)2有唯一零点x=2,但函数值在零点两侧 同号，则不可用二分法求零点， 3.B由表可知，f2)f(3)<0,f3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,以函数 f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 4.3当x>0时，令f(x)=0,可得x=1:当x≤0时，令f(x)=0,可 得x=-2或x=0,因此函数f(x)的零点个数为3. 5.B由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3在R上单调递 减，y=在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)=0.3-√在定义域 上单调递减，显然f0)=1>0,f(0.3)=0.303-0.305>0,f0.5) =0.3a5-0.5a5<0,所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点 位于(0.3,0.5).故选B. 考点突破·互动探究 考点1 考向1 例1：B对于方程n”-。+1=0,有x>0,可得x+lnx-e=0,令 f(x)=x+nx-e,其中x>0,因为函数y=x-e,y=lnx均在(0，+o) 上单调递增，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(1) =1-e<0,f2)=2+ln2-e<0,fe)=1>0,所以f(2)f(e)<0,由 函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内， 则方程n”-。+1=0的根所在的区间是(2，e). 例2：BC易知fa)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),fc)= (c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,fb)<0,f(c)>0,又该函 数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区 间(a,b)和(b,c)内，故选BC. 考向2 例1：B解法一：（直接法）由f(x)=0得 ≤0，或>0 Lx2+x-2=01-1+lnx=0, 解得x=-2或x=e 因此函数f(x)共有2个零点 解法二：（图象法）函数f(x)的图象如 y=f(x) 图所示，由图象知函数f(x)共有2个 方34 零点. 例2：4函数f(x)是偶函数，说明函数f(x) 的图象关于y轴对称，fx)=f(x+2)说明f(x)的周期是2，在 同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=log(x +1)的图象，如图所示： y=logs(x+1) ) 2=0 如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=f(x)-log(x+1) 有4个零点 变式训练 1.C由f代x)=0可得IIn x=e",作出函数y=IIn xl与y=e"的 图象，如图所示，由图可知，函数y=nxl与y=e图象的交点 个数为2，故函数f(x)的零点个数为2. y=lIn x 2.7f(x)=sin 2x-cos x=2sin xcos x-cos x=2cos sin x- ）,令x)=0,可得csx=0或imx=分，且xe[0,3a],若 w0则受经者m了则12 综上所述，函数f(x)在[0,3π]上的零点个数为7. 考向3 角度1 例：D由fx)=2+x=0,g(x)=x-log1x=0,h(x)=log2x-E=0, 得2=-x,x=log1x,logx=,在平面直角坐标系中分别作出 y=2与y=-x的图象；y=x与y=lg1x的图象；y=log2x与 y=x的图象，由图可知：-1<x1<0,0<x2<1,x3>1.所以x3>x2>x1 3 53A 2-1 人123x-2- 23 x-3-2-10h23x 3 角度2 例：D由图象得，0<m<1,不妨设a<b<c,则由对称性得b+c=2, 0clg(a+1)<1,解得a<0.放a6+c<2.选D 变式训练 2 1.B解法一：f-1)=31-1=- 3f0)= 2 1)=1,6e(兮，显然c=0, .a<c<b,故选B. 解法二：（数形结合法)在同一坐标系中分别作出y=3、 y=logx、y=-x的图象，结合图象及c=0可知a<c<b,故选B. 解法三：由概念知b>0,a<0,c=0,∴.b最大，选B. 2.(-1,2]由题意，设函数x)=2x+31-1,r≤0， [In x.x>0. 令f代x)=0,即g(x)=m,所以问题转化为函数y=g(x)与y=m 的图象有3个交点，在平面直角坐标系内，作出函数(x)的图 象如图所示，结合图象可知，当-1<m≤2时，函数g(x)与y=m 的图象有3个交点，故实数m的取值范围为(-1,2]. y [引申1] r2-1,x>0, [解析]作出g(x)= 1-x2-2x,x≤ 的图象如图所示. =x 由于函数f代x)=g(x)-m有3个零点，结合图象得0<m<1,即 m∈(0,1) [引申2] [解析]由例题知m=-1或m>2时，f(x)恰好有2个零点.即 实数m的取值范围是-1}U(2,+∞). 考点2 例1：B令x)=lgx2元 因为函数y=l0gx,y=2在(0，+)上都是增函数， 所以函数)=g在(0，+)止是增函数， 1令02=2-g分-0， 4 所以函数f八)=gx2云在区间(1,2)上有唯一零点， 所以用二分法求方程1og,x20近似解时， 所取的第一个区间可以是(1,2).故选B. 例2-(3习区同1,2)的中点=号令f0)=2-2-1, f)-402)=841>0,则根所在区间为，习 例3：C开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长 度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度变为2，放有 20.1,解得n≥4，“至少经过4次二分后精确度达到0.1. 名师讲坛·素养提升 一、嵌套函数的零点问题 变式训练 L.Ay=f孔fx)]-1=0,即f[f(x)]=1. 当f(x)≤0时f(x)+1=1,即f(x)=0时，此时logx=0,计算得 出x=1,或者x+1=0,计算得出x=-1. 当f(x)>0时，log2f(x)=1,即f代x)=2时，若x+1=2,计算得出 x=1(舍去)，若log2x=2,计算得出x=4.综上所述，函数y= f几f(x)]-1的图象与x轴的交点个数为3.故选A. 2.D函数g(x)=3[f(x)]2-8f(x)+4=[3fx)-2][fx)-2]的零 点，即方程f(x)三名和x)=2的根.函数f(x)正 [lg xl,x>0, 的图象如图所示， L-x2-2x+3,x≤0 2 由图可得方程代x)=3和x)=2共有6个根，即函数g(x)= 3[f(x)]2-8fx)+4有6个零点。 二、函数零点的综合问题 变式训练 A解法一：显然x≤0时，-2x=a,有一根不妨记为x1,则x1= 受(a≥0)，当0时-2+=a即2-+a=0有两个不等正根， 不妨记为，则4=1-40>0，即<牙，从而-(G,0且 =a=号e(0)放选入 解法二：作出y=x)及y=a的图象，显然0<a<4,不妨设x< x2<x显然x1<0,x2>0,x3>0,.x1x2x<0排除C、D;又当x2趋近 与时5趋近子出趋近日故趋近2故选A -y=d 44