第2章 第7讲 函数的图象-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第七讲 函数的图象 知识梳理·双基自测 知识梳理 (4)函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直 知识点函数的图象 线对称 1.利用描点法作函数图象的流程 (5)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称 确定函数的定义域 (6)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点 化简 化简函数解析式 (a,b)中心对称. 讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性） 2.函数图象平移变换八字方针 除考虑点的一般性外，尤其要注意特殊点，如： (1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量： 、列表 与坐标轴的交点、顶点、端点、最（极）值点、 对称点等 (2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值. 描点 画出直角坐标系，准确描出表中点 双基自测 (连线)— 用光滑的曲线连接所描点 题组一 走出误区 2.平移变换 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） r=f(x)a>0. a个单位 1a1个单位y=x-a); (1)函数y=f(2x+1)由y=f八2x)左移1个单位得到. a<0, () b>0 b个单位 y=f(x)b0. 1b1个单位y=八x)+h. (2)当x∈(0，+∞)时，函数y=f(x)|与y=f(Ix) 的图象相同. ( 3.伸缩变换 (3)函数y=f(x)I是偶函数 ( 041 0<o<1,图象上所有点的纵坐标不变 横坐标 为原米的。倍 (4)若函数y=f(x+2)是偶函数，则有f(x+2)= y=f八x) y=f(wx); f八-x-2). ( ) o>1,图象上所有点的纵坐标不变， 横坐标 为原来的 (5)若函数y=f(x)满足f(x+1)=f(1-x),则函数y= A>1,图象上所有点的横坐标不变 f(x)的图象关于直线x=1对称. 纵坐标 为原来的A倍 y=f(x)- 0<A<1,图象上所有点的横坐标不变」 y=4f(x). 题组二走进教材 纵坐标 为原来的 倍 2.(必修1习题4.4第6题变式)如图是一鱼缸的轴截 4.对称变换 面，已知该鱼缸装满水时储水量为V,缸高为H,若鱼 yx)关于轴对称 Y= 缸水深为h时水的体积为v,则函数v=f(h)的大致 y=代x)关于y轴对称 图象是 () y= y=代x)关于原点对称 y= 5.翻折变换 yx)去掉y轴左边图象，保留y轴右边图象 将y轴右边的图象翻折到左边 y= 留下x轴上方图象 y八x)将轴下方图象翻折上去y 0H方 B C D 归纳拓展 3.(必修1PsT1改编)已知图甲中的图象对应的函数 1.函数对称的重要结论 y=f(x),则图乙中的图象对应的函数在下列给出的 (1)若f(m+x)=f(m-x)恒成立，则y=f(x)的图象关 四式中只可能是 () 于直线x=m对称 (2)设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x m)与y=f(m-x)(m>0)的图象关于直线x=m对称. (3)若f(a+x)=f(b-x),对任意x∈R恒成立，则 y)的图象关于直线=对标称 A.y=f(lxl) B.y=lf(x)I C.y=f(-lxl) D.y=-f(Ixl) 题组三走向考场 4.(2025·北京卷)为了得到函数y=9的图象，只需 1)i /)1 把函数y=3的图象上所有点的 IxI A横坐标变为原来的】倍（纵坐标不变） C.f)= B.横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） 6.（2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(e-e)sinx在区 C纵坐标变为原来的？倍（横坐标不变） 间[-2.8,2.8]的图象大致为 () D.纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 5.(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如图所示， 则f八x)的解析式可能为 考点突破·互动探究 喜点 函数的图象 易错提醒：1.画函数的图象一定要注意定义域 2.利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直 042 专问1利用图象变换作图一 自主练透 例作出下列各函数的图象： 接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变 换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响。 (1)y= 2x-1 x-1 考向2识图与辨图一师生共研 角度丨知式选图 (2)y=1x2-4x-51; 例(2026，湖南长沙雅礼中学测试)函数)归c· (3y=(分)“-1 ln(2+2)在区间[-3π，3π]上的图象可能是 名师点拔：函数图象的画法 角度2知图选式 1.直接法：当函数解析式（或变形后的解析式）是 熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图 例(2025·湖南长沙联考)已知 函数f(x)的大致图象如图所 象的关键点直接作出. 示，则其解析式可能为（) 2转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值 符号，转化为分段函数来画图象 A.f(x)=- *te B.)='te 2 3图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的 图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图 C.f(x)= 2 e*-e D./(a)=e-e 2 象变换作出。 角度3知图选图 2x2 例(2026：四川成都石室中学月考)若函数y=x) A.f(x)=-1x1-1 2x2 B.f(x)=1x1+1 的图象如图1所示，则如图2对应的函数可能是 2x ( Cf(x)=1x-1 D./(x)=-2lxl x2-1 3.（角度3)(2025·荆州质检)若函数y=f(x)的曲线 如图所示，则函数y=f(2-x)的曲线是 () y 2x 图2 A.y=f八1-2x) C.y=-f(1-2x) Df12】 12 名师点拨：函数图象的识辨可从以下几方面 B 入手 1.从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数 的值域，判断图象的上下位置 012八 -101x 2.从函数的单调性，判断图象的变化趋势。 D 3.从函数的奇偶性，判断图象的对称性， 喜问3函数图象的应用一一昌维探究 4.从函数的周期性，判断图象的循环往复 角度！利用图象探究函数性质 5.从函数的特征点，排除不合要求的图象. 例（多选题）设函数(x)是定义在R上的偶函数，且 【变式训练】 对任意的x∈R恒有f八x+1)=f(x-1),已知当x∈ 043 1.（角度1)(2026·河南林州一中月考)函数f(x)= ,则下列结论正确的是( e(2x-1D的大致图象是 [0,1]时x)=（2】 ( x-1 A.2是函数f(x)的周期 B.函数f八x)在(1,2)上单调递减，在(2,3)上单调 递增 C.函数f(x)的最大值是1，最小值是0 D.当x∈(3,4)时，f(x)= B 名师点拨：根据图象判断函数性质的基本方法 y 首先根据函数解析式画出函数图象，然后借助图 象分析函数的性质： 0 (1)从图象的最高点、最低点分析函数的极值、 最值； D (2)从图象的对称性分析函数的奇偶性； 2.（角度2)(2026·四川宜宾月考)已知函数f(x)的 (3)从图象的走向趋势分析函数的单调性、周 部分图象如图所示，则函数f代x)的解析式可能为 期性. ( )角度2：利用图象解不等式 例已知定义在R上的奇函数 fx)在[0，+o)上的图象如图 所示，则不等式x2f(x)>2f(x)的解 集为 A.(-√2,0)U(√2,2) B.(-∞，-2)U(2,+0) C.(-0,-2)U(-√2,0)U(2,2) 【变式训练】 1.（角度2)已知函数fx)是周期为4的偶函数，当x∈ D.(-2,-2)U(0,√2)U(2,+0) [0,2]时，f(x)=x-1,则不等式f(x)>0在(-1,3) 名师点拨：利用函数图象解不等式的基本思路 上的解集为 () 当不等式问题不能用代数法求解但与函数有关 A.(1,3) B.(-1,1) 时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问 C.(-1,0)U(1,3) D.(-1,0)U(0,1) 题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数 2.(角度1)（多选题）定义一种运算：a⑧b= 形结合法求解. [,a≥6设x)=(5+2x-2)⑧1x-1,则下列结论 1b.a<b. 角度3利用图象求参数 例(2026·北京模拟)已知函数f(x）)= 中正确的是 A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称 [+4.x≤引，若对任意的x都有(x)1≥a恒 B.函数f(x)的图象与直线y=5有三个公共点 (In(x-1),x>1. C.函数f(x)的单调递减区间是(-∞，-1]和[1,3] 成立，则实数a的取值范围是 D.函数代x)的最小值是2 名师点拨： 利用函数图象解决参数的取值范围问题时，一般3.（角度3）设函数f(x)=心，≥， 若存在x∈R -x2+2x,x<a. 先准确地作出函数图象，再利用函数图象的直观性，结 且x≠0，使得f(1+x)=f(1-x)成立，则实数a的取 合其性质，求解参数的取值范围， 值范围为 名师#坛·素美提升 利用数形结合思想解题 044 解法二：特例：令f(x)=x+1,则m=2,又y,+y2=2, 函教=生=+1由=文上树 选B 一个单位得到，关于(0,1)点对称 名师点拨： 函数y=(x)关于点(0,1)对称 求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结 例已知函数fx∈R)满足f=2-闭，若 合思想解题，其思维流程一般是： 函数y=士与y=f)图象的交点为xy, 通过作图法或函数图象变换法画出有关 一画图 函数的图象 y,,(化nn,则c+y)= 准确分析函数图象的特征，定性分析、定 二分析 A.0 B.m C.2m D.4m 量分析 分析出函数y=)和y=的图象都关 借助函数图象，把原问题转化为数量关系 于点(0,1)对称，进而得两函数图象的交 三转化 比较明确的问题 点成对出现，且每一对交点都关于点(0， 1)对称，从而得出结论 解决问题，并回归题目的要求，得出正确 四结论 结论 [答案]B 【变式训练】 [解析]解法一：由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的 函数y=lnlx-11的图象与函数y=-2 COS TX(-2≤x 图象关于点(0,1)对称，又易知y=+1=1+的图象 1 ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于() 关于点(0,1)对称，所以两函数图象的交点成对出现， A.3 B.6 C.4 且每一对交点都关于点(0,1)对称，“.含(x+y)=0× D.2 空+2×空=m放造B 温馨提示：复习至此，请完成练案[12] 2角度3 例：D由f(x)=ln12x+1I-hI2x-1I,得f(x)的定义域为 {≠±}，关于坐标原点对称，又-)=ln1-21-hl-2 -11=lnl2x-11-nl2x+11=-f(x),∴f代x)为定义域上的奇函 数故排除Ac:当e()时=l2+1-a1 2=h(2+在（分号）上单调送瑞=h(1-2在 (7,分）上单调递减x)在（分7）上单调递增，故 排除B:当xe(-0,2）时x)=h(-2-1)-n(1-2x)归 (2品)12品在(，）上单调 2 减f(w)=lnu在(0，+∞)上单调递增，根据复合函数单调性可 知)在(-，宁)上单泻递减故D正确 变式训练 1.Aa=1+log 3,6=1+logs3,c=1+l0g63,.'log 3>logs3>10g 3, .a>b>c. 2(0,）U(1,+)当a>1时，y=lg在(0，+)上单调递 增则子<0c1恒成立，当0a<1时y=g在(0，+)上 单调递减.由g.子<1，可得1g子<ga,解得0<a<子，综 3 上，使g子<1成立的a的取值范围是0，)U(1,+) 3(1,）当a>1时x)=lg(8-a)在[1,2]上是减函数， 由fx)>1在区间[1,2]上恒成立，得fx)=log(8-2a)>1, 8 解得1<a<兮当0<a<1时，x)在[1,2]上是增函数，由fx)> 1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)m=log(8-a)>1,得0<8-a< a,4<a<8,故a不存在.综上可知，实数a的取值范围是 (1)月 名师讲坛·素养提升 变式训练 A依题意，知△L2-△L,=10·1g(r2)+k-10·1g(πr)-k= 20g斤=20g2=20x03=6(dB).放选A 第七讲函数的图象 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 2.右移左移上移下移 3伸长第短。棉长笔短4 4.-f(x)f(-x)-f(x) 5.f(lxl)If(x)I 44 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)V 2.B由题意知v=f(h)是增函数，其增长率是先慢慢变大，再慢 慢变小.故选B. 3.C由图可知当x≤0时，y=f孔x),故选C. 4.A因为y=9=32,所以将函数y=3”的图象上所有点的横坐 标变成原来的】倍，纵坐标不变，即可得到函数y=9的图象， 故选A. 5.D解法一：由图象可知函数y=f(x)是偶函数，而函数y= -1xyx-是奇函数，故A,B错误；当x>1时，由题图知 fx)>0,且此时x2>1,即x2-1>0,1-x2<0,所以当x>1时，y= Ixl Ixl 京<0，)一0，故C错误，D正确故选D 解法二：当x=2时，由题图知()>0，对于A2)=名<0， 故A错误：对于B2)2品0：对于C2)=己名 2 1-40,故C错 2 误：对于D术2)=4>0当=-2时，由题图知，)>0，对于 -2 2 B,-2)=2-<0,故B错误：对于Df(-2)4>0,故D正确， 故选D. 6.B f(-x)=x+(e *-e*)sin(x)=x+(e*-e *sin x=f(x), 函数定义域为[-2.8,2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C,又 =-(e)m(e）号六 1、1 2。>0,故可排除D.故选B 考点突破·互动探究 考点 考向1 1 例：[解析](1)y= 2作出y图象，商右移动 一个单位后再向上移动丙个单位，即可得到y=2-的图象 x-1 如图所示 -10 234x -2 (2)y=1x2-4x-51的图象可由函数y=x2- y 4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将 9 x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图 所示. 1x-11 (3)y=（2 -1,其图象可看作由函数 102 y=(宁）的图象向右平移1个单位长度，再向下平移1个 单位长度得到，而y= (3) (片)广≥0图象可由y=(分) 2,x<0, 的图象保留x≥0时的图象，然后将该 1x-11 部分关于y轴对称得到，则y=（2》 1 -1的图象如图所示 考向2 角度1 例：D因为f(x)的定义域为R,关于原点对称，且f代-x)=cos(-x)· h(2+2*)=cosx·ln(2*+2)=f(x),所以f(x)为偶函数，其 函数图象关于y轴对称，故排除A,C;因为f(0)=ln2>0,故排 除B.故选D. 角度2 例：A由图象关于y轴对称可知，函数f(x)为偶函数.因为f(x) =。与)=2为奇函数，所以排除C.D:又八) e-e 后。-1，当日仅当=0时，等号成立，所以到 空在=0时取得最小值1，由题周可知儿在4=0时取 得最大值，故排除B.故选A. 角度3 例：A由y=f(x)的定义城为(-1，+a)知y=f(1子）中 11 -1,<4,不符合图2，放排除B,D:对于C,当x=2时， y=-f(0)>0,不满足图2，故C错误：将函数y=f(x)的图象关 于y轴对称变换，得到y=f-x)的图象，向右平移1个单位得 到y=f1-x)的图象，最后纵坐标不变，横坐标变为原来的一 半，得到函数y=f1-2x)的图象可能为图2.故选A 变式训练 1.D解法一x)=定义域为xx≠1，f”(x) -1）+2e](x-1)-c(2r-l）_e(2x-30,令f(x)>0,1 (x-1)2 xe(,0u(+）令fx)<0,得xe(0,1)u(1,）, 所以)在(-，0)和(+=）上菲调递增，在(0,1)，(1， 子)上单阁递减排除A.C:当x<0时.2-1<0，-1<0，e>0,所 以f(x)>0,排除B,只有D中图象符合题意.故选D. 解法二：特值法：当x=0时0)=1；当x=-1时f-1)=2 3 <1 =f代0)，故排除A、C;排除B选项的方法同上.故选D. 2.A由题图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C;由题 图可知，函数的定义域不是实数集，排除B:由题图可知，当x→ +∞时，y→-∞，而对于D选项，当x→+∞时，y0,排除D.故 选A. 3.C解法一：先关于y轴对称，得到y=f代-x)的图象，再向右平移两 个单位，即可得到y=f[-(x-2)]=f代2-x)的图象.所以答案为 C.(注意，左右平移是针对字母x变化，上下平移是针对整个式 子变化). 44 解法二：由f(0)=0知y=f(2-x)的图象过点(2,0)，排除B、D. 又f代1)=f代2-1)>0即y=f(2-x)在x=1处的函数值大于0，排 除A,故选C 考向3 角度1 例：ABD由已知条件得f(x+2)=f(x),则y=f(x)是以2为周期 的周期函数，A正确：当-1≤x≤0时，0≤-x≤1，f(x)=f(-x)= )）画出函数y)的部分图象如图所示由图象知B 正确，C不正确；当3<x<4时，-1<x-4<0,f(x)=f(x-4)= /113 2 ,D正确 -10 5 x 角度2 例：C根据奇函数的图象特征，作出f代x)在 (-0,0)上的图象，如图所示，由xf(x)> 2),得(x-2)x)>0,则-20， f(x)>0 或 「x2-2<0, 解得x<-2或2<x<2或-√2<x fx)<0. <0,故不等式的解集为(-∞，-2)U(-√J2,0)U(2,2) 角度3 例：[-4,0]因为f（x)= 2+4,x≤1，令g()=xl, ln(x-1),x>1, =-4 作出y=g(x)的图象，如图所示，令 =g(x) h(x)=ax,由图知，要使对任意的x 12 都有f代x)1≥ax恒成立，则必有a ≤0，当x≤0时，y=-4x,由4，消y得到x2-(4+a)x ly=ax, =0,由△=0，得到(4+a)2=0,即a=-4,由图可知-4≤a≤0. 变式训练 1.C作出函数f(x)的图象如图所示， 2入方 当xe(-1,0)时，由fx)>0得x∈（-1,0)：当xe[0,3)时，由 f(x)>0得x∈(1,3)，所以x∈(-1,0)U(1,3). 2.ACD 由题意，f(x)=（5+2x-x2)⑧1x-11= 5+2x-2,-1≤x≤3作出函数的图象如图所示， Ix-11,x<-1或x>3, 71 9↑ :1 -54-3-2-10234567 由图象可知，函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故A正确： 函数f(x)的图象与直线y=5有四个公共点，故B错误；函数 f(x)的单调递减区间是(-∞，-1]和[1,3]，故C正确；函数 f(x)的最小值是2，故D正确. 3.(1,+∞)因为存在x∈R且x≠0，使得f(1+ =1 x)=f(1-x)成立，所以f代x)的图象上存在两 2 个关于直线x=1对称的点（两点均不在直线 x=1上）.作出y=x,y=-x2+2x的图象，如图 所示，由图可知a>1,即实数a的取值范围为 (1,+0). 名师讲坛·素养提升 变式训练 B由图象变换的法则可知，y=nx的 图象关于y轴对称后的图象和原来的 一起构成y=ln1xl的图象，向右平移1 个单位长度得到y=lnlx-1I的图象； 2-】 y=-2 COS TIX的周期T=2.如图所示，两 函数的图象都关于直线x=1对称，且 有3对交点，每对交点关于直线x=1对 称，故所有交点的横坐标之和为2×3=6. 第八讲函数与方程 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.f(x)=0 2.x轴零点 3.fa)fb)<0f(c)=0 知识点二 1.f代a)f(b)<0一分为二零点 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)×(5)× [解析](1)函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标. (2)函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实根. (3)函数图象若没有穿过x轴，则f(a)·f代b)>0. (4)函数y=x2求零点不可用二分法. (5)y=x与y=2在y轴左侧一个交点，y轴右侧两个交点，如 在x=2和x=4处都有交点. 2.B对于B,y=(x-2)2有唯一零点x=2,但函数值在零点两侧 同号，则不可用二分法求零点， 3.B由表可知，f2)f(3)<0,f3)f(4)<0,f(4)f(5)<0,以函数 f(x)在区间[1,6]上至少有3个零点. 4.3当x>0时，令f(x)=0,可得x=1:当x≤0时，令f(x)=0,可 得x=-2或x=0,因此函数f(x)的零点个数为3. 5.B由指数函数、幂函数的单调性可知y=0.3在R上单调递 减，y=在[0，+∞)上单调递增，所以f(x)=0.3-√在定义域 上单调递减，显然f0)=1>0,f(0.3)=0.303-0.305>0,f0.5) =0.3a5-0.5a5<0,所以根据零点存在性定理可知f(x)的零点 位于(0.3,0.5).故选B. 考点突破·互动探究 考点1 考向1 例1：B对于方程n”-。+1=0,有x>0,可得x+lnx-e=0,令 f(x)=x+nx-e,其中x>0,因为函数y=x-e,y=lnx均在(0，+o) 上单调递增，故函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，因为f(1) =1-e<0,f2)=2+ln2-e<0,fe)=1>0,所以f(2)f(e)<0,由 函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点在区间(2，e)内， 则方程n”-。+1=0的根所在的区间是(2，e). 例2：BC易知fa)=(a-b)(a-c),f(b)=(b-c)(b-a),fc)= (c-a)(c-b).又a<b<c,则f(a)>0,fb)<0,f(c)>0,又该函 数是二次函数，且图象开口向上，可知两个零点分别位于区 间(a,b)和(b,c)内，故选BC. 考向2 例1：B解法一：（直接法）由f(x)=0得 ≤0，或>0 Lx2+x-2=01-1+lnx=0, 解得x=-2或x=e 因此函数f(x)共有2个零点 解法二：（图象法）函数f(x)的图象如 y=f(x) 图所示，由图象知函数f(x)共有2个 方34 零点. 例2：4函数f(x)是偶函数，说明函数f(x) 的图象关于y轴对称，fx)=f(x+2)说明f(x)的周期是2，在 同一平面直角坐标系中画出函数y=f(x)的图象与y=log(x +1)的图象，如图所示： y=logs(x+1) ) 2=0 如图所示，共有4个不同的交点，即g(x)=f(x)-log(x+1) 有4个零点 变式训练 1.C由f代x)=0可得IIn x=e",作出函数y=IIn xl与y=e"的 图象，如图所示，由图可知，函数y=nxl与y=e图象的交点 个数为2，故函数f(x)的零点个数为2. y=lIn x 2.7f(x)=sin 2x-cos x=2sin xcos x-cos x=2cos sin x- ）,令x)=0,可得csx=0或imx=分，且xe[0,3a],若 w0则受经者m了则12 综上所述，函数f(x)在[0,3π]上的零点个数为7. 考向3 角度1 例：D由fx)=2+x=0,g(x)=x-log1x=0,h(x)=log2x-E=0, 得2=-x,x=log1x,logx=,在平面直角坐标系中分别作出 y=2与y=-x的图象；y=x与y=lg1x的图象；y=log2x与 y=x的图象，由图可知：-1<x1<0,0<x2<1,x3>1.所以x3>x2>x1 3 53A 2-1 人123x-2- 23 x-3-2-10h23x 3