第2章 第9讲 函数模型及其应用-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第九讲函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 2.递增递增快慢y轴x轴 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](3)当ae(0,1)时存在，使a°<x6<log o 2.D根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快. 3.B由题图可知，函数在(0，+∞)上单调递减，且散点分布在一 条曲线附近，函数y=ū·(4)+b的图象为一条曲线，且当 a>0时，该函数在(0，+∞)上单调递减，符合题意 4c6e=-+1520=-5(）'1空4e-h(） 5.ACD对于C,由题意知20×1g户=40，即1g=2,所以P Po Po 10po,故C正确：对于A,由题意知L,≥L,所以20x1gP≥ Do 20x1g严，所以p,≥2，故A正确：对于B,L,=20x1g2∈[50， 601,所以了≤1g ≤3，所以2e[02,10p],即p≤0 =10p,故B错误：对于D,L,=20x1g∈[60,90]，所以3≤ Po g2≤)，所以4e[10,102b].因为10p,e[10 10po],所以P1≤100p2,故D正确.故选ACD. 考点突破·互动探究 考点 考向1 例：ABC从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟 后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物 1单位约1小时后的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两 次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确：服药 5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓 度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确：第一次服用该药 物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药 浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D 错误 考向2 TR 例：B由题意知，W(T)=103W。,即e-103,等号两边同时取 TR 自然对数得he=n103,即 =-3n10,所以TR=r× 3ln10=r×3×(ln2+ln5)≈3r×(0.7+1.6)=6.9r.故选B. 变式训练 C当1=10时.，=10e8=0,当1=10时.， 10%g10 =60,故轻柔音乐的声强级范围是40~60dB.故选C 考向3 角度1 例：[解析](1)由题意知，当0≤x≤8时， 1 2.214 =0.6x+0.214-20:20+5x+57 当8<x≤14时， y=0.6x+0.2(14-x)3x+81 1010+2, 1,214 20 + 5,0≤xs8, 即y= 10+2,8<x≤14. 1 5 18 所以当x=4时，yma= 5 1 当8<x≤14时，y=10+2, 17 所以当x=14时，y=5 ,1817 18 因为5>了，所以当x=4时，y=兮 所以当精加工蔬菜4吨时，总利润最大，最大利润为3.6万元. 角度2 外B角短套可尚8。两式有可-2 则ln(3+a)=2ln(1+a),3+a=(1+a)2,.a>0,∴.a=1,设t天后 金针菇失去的新鲜度为60%，则mln(t+1)=0.6,又mln(1+1) ln(t+1)3 =04n2=22h(+1)=3h2,(+1)=2'=8,+1= 2√2≈2×1.41=2.82，则t=2.82-1=1.82≈1.8，故选B. 变式训练 2令1=瓜（≥0）.则A=,所以D=m-=-）+ 所以当：=之，即A=子0时，D取得最大值 4 2D由题意得L=05xD,依题意Q4=05xD片，则D=号，则 L=05x(告)户由L-=05x(告)产<02.得到（专）户号 218×g5-g2_18×(1-2g2）≈73.9，所以 所以6>181gg51g5-21g2 1-31g2 所需要的训练迭代轮数至少为74.故选D, 名师讲坛·素养提升 变式训练 C 设矩形场地的长为x米，则宽为1000米，W=(x+ 4)/10000 40000 .40000 4=4x+ +10016≥2√4· +10016= 4000 10816,当且仅当4x= ，即x=100时，等号成立.所以平整 这块场地所需的最少费用为1×10816=10816元.故选C. 15第九讲 函数模型及其应用 知识梳理·双基自测 以上过程用框图表示如下： 知识梳理 实际问题 分析、联想、 →健立函数模型 知识点 函数模型及其应用 抽象、转化 答 数学推演 1.几类常见的函数模型 实际结果· 还原 数学结果☐ 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f代x)=ax+b(a,b为常数，a≠0) 归纳拓展 反比例函数模型x)= +b(k,b为常数且k≠0) 二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0) 1.函数f(x)=x+(a>0,x>0)在区间(0，√a]内单调 指数函数模型 fx)=ba+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且 递减，在区间[√a,+∞)内单调递增. a≠1) 2.直线上升、对数增长、指数爆炸， fx)=blog+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0 对数函数模型 且a≠1) 双基自测 幂函数模型 f(x)=ax"+b(a,b为常数，a≠0) 题组一走出误区 2.三种函数模型的性质 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） 049 函数 (1)函数y=2的函数值比y=x2的函数值大 y=a'(a>1) y=log x(a>1) y=x"(n>0) 性质 在(0，+∞) (2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了 单调 单调 单调递增 上的增减性 10%,第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔 ( 增长速度 越来越 越来越 相对平稳 (3)不存在xo,使a°<x0<logx ( ) 随x的增大 随x的增大 (4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有 逐渐表现为 随n值变化 图象的变化 逐渐表现为 的数据完全符合该函数模型， ( 与 而各有不同 平行 题组二走进教材 平行 2.（必修1PT6改编)当x非常大时，下列函数中，增 值的比较 存在一个xo,当x>x时，有logx<x<a 长速度最快的应该是 () 3.解函数应用问题的步骤 A.y=100x B.y=logioox (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 C.y=x00 D.y=100 关系，初步选择数学模型； 3.(必修1P12例6改编)某校拟用一种喷雾对宿舍进 (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 行消毒，需对消毒完毕后空气中每立方米药物残留 言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学 量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研 模型； 究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图所 (3)解模：求解数学模型，得出数学结论； 示的散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个 (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 估计y与x的关系，则应选用的函数模型是() y/毫克个 题组三走向考场 5.（多选题)(2023·新课标I卷)噪声污染问题越来 越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压 x/时 A.y=ax+b 级L,=20×1g卫，其中常数P,(P>0)是听觉下限阈 Po B.y=a· +b(a>0) 值，P是实际声压.下表为不同声源的声压级： C.y=x“+b(a>0) 声源 与声源的距离/m 声压级/dB D.y=a+(a>0,6>0】 燃油汽车 10 60-90 混合动力汽车 10 50-60 4.(必修1P6T8改编)我国的烟花名目繁多，其中“菊 电动汽车 10 40 花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在 它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)=-52 10m处测得实际声压分别为P1P2P,则() +15t+20,那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面 A.P1≥P2 B.P2>10p3 高度约为 A.26米 B.28米 C.31米 D.33米 C.P3=100po D.p1≤100p2 考点突破·互动探究 050 考点 函数模型及应用 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物 考句1利用函数图象刻画实际问题的变比过程 持续发挥治疗作用 自主练透 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该 例（多选题）血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总 药物1单位，不会发生药物中毒 浓度药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓 名师点拨： 度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成 1.用函数图象刻画实际间题的解题思路 人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信 将实际问题中两个变量间变化的规律（如增长的 息如图所示： 快慢、最大、最小等)与函数的性质（如单调性、最值 个血药浓度(mgmL) 最低中毒浓度(MTC) 等)、图象（增加、减少的缓急等）相吻合即可 ---峰浓度 安全范围 2.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两 T- 最低有效浓度MEC 0店广56890节五际谢 种方法 持续期 →残留期 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物 型时，先建立函数模型，再结合模型选图象 的说法中，正确的是 ( A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥 (2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则 治疗作用 根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情 小时，一定会产生药物中毒 况，选择出符合实际情况的答案。 考向2已知函数膜型的实际问题一师生共研 (1)写出y关于x的函数解析式； 例(2026·辽宁沈阳市郊联体开学考)通常用声强来 (2)当精加工蔬菜多少吨时，总利润最大，并求出 度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为 最大利润. W,则经过1秒后这段声音的声强变为W()=W,e宁， 其中？是一个常数.定义声音的声强衰减到原来的 103所需的时间为T,则T约为 附：ln2≈0.7，ln5≈1.6. A.1487 B.6.9r C.13.87 D.6.72r 名师点拨：求解已给函数模型解决实际问题的 关注点 1.认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数 名师点拨： 2.根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定 1,分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规 系数 律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律 3.利用该模型求解实际问题， 分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范 【变式训练】 围，特别是端点值。 2构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段 (2025·广东广州二模)声强级L,(单位：dB)由公式 05 合理不重不漏. 4=10g0给出，其中1为声强（单位：W/m).轻 角度2指数函数与对数函数模型 柔音乐的声强一般在108~106W/m2之间，则轻柔 例(2026·广东江门调研)金针菇被采摘后会很快失 去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要 音乐的声强级范围是 采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度h与 A.0~20dB B.20~40dB 其被采摘后时间t(天)满足的函数解析式为h= C.40~60dB D.60-80dB mln(t+a)(a>0).若被采摘后1天，金针菇失去的新鲜 考向3物建函数膜型解决实际问题一名维探究 度为40%；若被采摘后3天，金针菇失去的新鲜度为 角度「一次函数、二次函数与分段函数模型 80%.现在金针菇失去的新鲜度为60%，则被采摘后的 例某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨，如果天数为（结果保留一位小数，万≈1,41） () A.1.5B.1.8 C.2.0 D.2.1 在市场上直接销售，每吨可获利0.2万元；如果进行精 名师点拨：指数函数与对数函数模型的应用 加工后销售，每吨可获利0.6万元，但需另外支付一定 技巧 的加工费，总的加工费P(单位：万元)与精加工的蔬菜 1.与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实 量x(单位：吨)有如下关系： 际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模 2,0≤x≤8， 型中，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于 /20 设该农业合作社将x(单位：吨)蔬 1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都 3x+ ,8<x≤14 属于指数函数模型， 10 2在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先 菜进行精加工后销售，其余在市场上直接销售，所得总 需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的 利润（扣除加工费）为y(单位：万元) 图象求解最值问题， 【变式训练】 LD°，其中，L表示每一轮优化时使用的学习率，Lo 1.（角度1)“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过 表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代 广告宣传进人消费者视线的.已知某品牌商品靠广 轮数，G。表示衰减速度，已知，某个指数衰减的学习 告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=aA 率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18.经过18 (a为常数)，广告效应为D=a√A-A.那么精明的商 轮迭代学习时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到 人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为 0.2以下所需要的训练迭代轮数至少为（参考数据： (用常数a表示). 1g2=0.3010) () 2.（角度2)(2026·北京人大附中质检)深度学习的神 A.71 B.72 C.73 D.74 经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：L= 名师讲近·素养提升 品数y=x+一(a>0)模型及在用 例(2026·青海名校联盟期中)某校计划利用其一侧 恒成立，即(x+10)+20a1对任毫的e[6,12] 原有墙体，建造高为1米，底面积为100平方米 且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面 恒成立 无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体 所以x+10)a(1+),可得x+10) 前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新 x+1>a, 建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价 r(x+10)21 即a< 共计6400元，设劳动基地的左、右两面墙的长度均为 52 x(6≤x≤12)米，原有墙体足够长. (x+10)2 x+1 +1 81 +18≥2 x+1 /(x+1).8 +18 x+1 (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报 =36, 价最低？ 当且仅当+1= 1即=8时，+102 81 (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞 +1取最小值 标，其给出的整体报价为320a1+x)(a>0)元，若无论 36 则0<a<36,即a的取值范围是(0,36). 左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定 名师点拨： 整体报价更低的工程队竞标成功)，求α的取值范围. 1.解决此类问题时一定要关注函数的定义域. [解析](1)设甲工程队的总报价为y元，依题 2利用模型f(x)=x+”(a>0)求解最值时，注意 意，左、右两面墙的长度均为x(6≤x≤12)米， 则长方你前面新建持体的长度为100米。 取得最值时等号成立的条件. 【变式训练】 所以y=160x2xx1+320x100 1+6400, (2025·广东韶关二模)在工程中估算平整一块矩形 场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W= 1001 100 即y=320x+ +6400≥320×2 · (长+4)×（宽+4），在不测量长和宽的情况下，若只 知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方 10 6400=12800,当且仅当x= ，即x=10时，等号 米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费 用（单位：元）是 成立， A.10000 B.10480 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最 C.10816 D.10818 低，且最低报价为12800元. 100 (2)由题意可知，320x+ +6400>320a(1+x) 温馨提示：复习至此，请完成练案[14]