第2章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

考点2 例1：(-∞，2]解法一（图象法）：作出函数f代x)= ，x≥1，的 -x2+2,x<1 图象（如图所示）f代x)mm=f代0)=2.由函数图象可知，f代x)的 值域为(-0,2] 3-211234 解法二（单调性法）：当×≥1时，函数f)=单调递减，所 以f代x)在x=1处取得最大值，最大值为f代1)=1：当x<1时 易知函数f代x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0) =2.综上，函数f代x)的最大值为2，所以函数f(x)的值域为 (-0,2] 例2：2 令-2x2+1>-x,即2x2-x-1<0,解得 2<x<,所以M(x)= 1 -,2<x<1, 作出函数图象 -2+1,x≤2或x≥1， 如图所示，由图象易得函数M(x)的最大值为之 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析] (11)=f=x)x)=0 (2)fx)在(0，+0)上是增函数 证明：设0<，则由f(）=)-y),得)) f()因为宁>1，所以（图）>0所以)-0.即 f(x)在(0，+0)上是增函数. (3)因为6=筒 =f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)= 2,原不等式化为：f(x2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0，+∞)上 是增函数， rx+5>0, 所以 1 >0, 解得0<x<4. Lx2+5x<36 所以不等式的解集为{x10<x<4 第三讲函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 f代-x)=f(x)f代-x)=-f(x)y轴原点 知识点二 1.f(x+T)=f(x) 2.最小的正数最小正数 4 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)V(6)× 〔解析】(5（子）=f(+r）=(5)又f(子) (3)(3)=0 (6)当x=-π时f(x+2π)=f代π)，π(-0,0)无意义，故错误， 2.BC根据奇函数的定义知奇函数满足f代-x)=-f(x),且定义域 关于原点对称，A选项为偶函数；B选项为奇函数；C选项为奇 函数；D选项是偶函数.故选BC 3.B因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，所以 。1 a-1+2a=0,所以a=3.又f-x)=f代x),所以b=0,所以a+b 1 Γ3 4.B函数y=f(x)为奇函数，.f(-a)=f(a).即点(-a, -f(a))一定在函数y=f代x)的图象上. 5.A根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)=f(-1)=-f(1) f(2)=f(0)=0,从而可求f(1)+f(2)+f(3).因为函数以2为周 期，所以f(3)=f(-1),f(2)=f(0),因为函数是定义在R上的奇 函数，所以f代-1)=-f(1)f(0)=0,所以f1)+f(2)+f(3)=f(1) +f(0)-f(1)=0,故选A. 6A由)是定义在R上且周期为2的偶函数得(-子)= f(是）/2+)f()又当2≤≤3时x)5-2x,则 川)4)-5-2x号子故选 7.0.f(x)是奇函数，∴.f代0)=0，即03+a=0,解得a=0. 考点突破·互动探究 考点1 考向1 例：[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义 域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(-x),再判断f代-x) 与f代x)之间的关系.抽象函数常用赋值法判断. [解析]（1)f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称. 又f(-1)=f1)=0,f-1)=-f1)=0, 所以f代x)既是奇函数又是偶函数. (2-x)=2-1-2-·21-2 =f代x),∴.f(x)为奇 2*+1(2*+1)·21+2 函数. (3)f(-x)=ln(-x+√x2+1), f(-x)+f(x)=ln[(-x+√x+1)(x+√/x2+1)]=ln(x2+1-x2) =0, ∴.f(x)为奇函数. (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的 图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇 函数 考向2 角度1 例1：C因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x),即f(-x)+x2= f(x)-x2,即f代-x)+f(x)=-2x2.因为f1)=1,所以f(-1)= -3所以(-1)=-3-3写号 例2：-e+2x+1因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时， f(0)=0.当x>0时，-x<0,f(x)=-f(-x)=-(e-2x-1)=-e+ 5 2x+1,又f(0)=-e°+2×0+1=0，则当x≥0时，f(x)=-e+2x +1 角度2 例：-】1根据题应质数个)=”什是奇质数，其定义拔为R ra+40 20 =0. 则有f(0)=0,f(1)=-f(-1),即 a+4a+46 解得 (2 21, [a=1当a=-1,b=1时，x)=-1+4 =2-2,其定义域为 b=1. 2 R,且f(-x)=2-2=-f(x),即f(x)为奇函数，故a=-1,b=1. 变式训练 1.C根据题意，f(x)-g(x)=e,则f(1)-g(1)=e①，f(-1)- (-1)=1)-g1)=e=是，变形可得1)+g（1)=-12. e e-- e- 1 e+1 联立①2可得1)=2°g1)2°，侧有出 e e 2 g(1) 1 e+ e 2 1-e2 1+e2 2B解法一：0，得心或<号因为)是偶函数， 2x+1 苏以-到=，得oh(ah红即(+ 2x+1 /2x-1 a)n(xa)(-xta)In (2x1 =(x+ an2-则(x-ah2x- 2+1' 2.x+1 =(xta)In 2x-1 ”2x+所以x-a=x+a,得 -a=a,得a=0. 解法二：f代x)为偶函数，则有f(-1)=f1),即(-1+a)ln3=(1+ ah寸期得。-Q 2x-1 解法三：g(x)= 2x+i8(-x)=-g(x),则g(x)为奇函数，若 2x-1 x)=(x+a）·ln2x十为偶函数，则h(x)x+a为奇函数，得 a=0. 考点2 例：[解析](1)证明：f(x+2)=-fx), ∴.fx+4)=-f(x+2)=f(x). ∴.f代x)是周期为4的周期函数 (2)f(2)=f0+2)=-f(0)=0. (3)当x∈（-2,0]时，-x∈[0,2)，由已知得 f-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2. 又f(x)是奇函数，∴f(-x)=-f(x)=-2x-x2 ∴.fx)=x2+2x. 又当x∈(2,4]时，x-4∈(-2,0]， .f代x-4)=(x-4)2+2(x-4). 又f(x)是周期为4的周期函数， .f(x)=fx-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6r+8. 即当x∈(2,4]时，f(x)=x2-6x+8. (4).f0)=0,f1)=1,f2)=0,f3)=-1, 且f(x)是周期为4的周期函数， 4 .∴.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f7)=…= f2020)+f2021)+f(2022)+f2023)=0. f(2024)=f(0)=0,f2025)=f代1)=1，f(2026)=f(2)=0, .∴.f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2021)+f(2022)+f(2023)+ f(2024)+f(2025)+f(2026)=1. 变式训练 C因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(-x)=f(x),故 2+)=-)=),所以)的-个周期为2.故f(?） 33)()2 名师讲坛·素养提升 变式训练 1.D由y=g(x)的图象关于直线x=2对称，可得g(2+x)=g(2-x). 在fx)+g(2-x)=5中，用-x替换x,可得f(-x)+g(2+x)=5,可 得f代-x)=f代x)①，y=f(x)为偶函数.在g(x)-f代x-4)=7中，用 2-x替换x,得g(2-x)=f-x-2)+7,代人f(x)+g(2-x)=5中， 得f(x)+f(-x-2)=-2②，所以y=f(x)的图象关于点(-1，-1) 中心对称，所以f代1)=f(-1)=-1.由①②可得f(x)+f(x+2)= -2,所以f(x+2)+f(x+4)=-2,所以f代x+4)=fx),所以函数 f(x)是以4为周期的周期函数.由f(x)+g(2-x)=5可得f(0)+ g(2)=5,又g(2)=4,所以可得f(0)=1,又f(x)+f(x+2)=-2, 所以f0)+f2)=-2,得f2)=-3,又f(3)=f(-1)=-1,f4)= f0)=1,所以三f()=6f1)+6f(2)+5f(3)+5f(4)=6×(-1)+ 6×(-3)+5×(-1)+5×1=-24.故选D. 2.ACDf代x)的图象关于直线x=-3对称， 则f(-x)=f代x-6), 又f(x+3)=f(x-3),则f(x)的周期T=6, ∴.f(-x)=f(x-6)=fx), .f(x)为偶函数，故A正确； 当xe[0,3]时fx)=2+1单调递增， T=6,故f(x)在[-6，-3]上也单调递增，故B不正确 f(x)关于直线x=-3对称且T=6, f代x)关于直线x=3对称，故C正确； f100)=f16×6+4)=f(4)=f代-2)=f(2)=5,故D正确. 第四讲幂函数与二次函数 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.y=x 3.(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数 知识点二 1.axr2+bx+c(a≠0)(m,n)零点 2 4ac-b'] -,4a] b 4ac-b （2a’4a b=0 双基自测 1.(1)×(2)V(3)V(4)V 2C由题意得=1，又函数)的图象过点（分号）：所以 (分)广-受解得a=分则+a=子 6(3)由(2)知，所求函数在[-3,6]上的最大值为【变式训练】 f八-3)，最小值为f6). f(x)的定义域为(0，+∞)，且对一切x>0,y>0都有 因为f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]= }=)).当1时，有)0 -[2f1)+f1)]=-3f1)=2, (1)求f(1)的值； f(6)=-f八-6)=-[f(-3)+f-3)]=-4. (2)判断f(x)的单调性并证明； 所以f(x)在[-3,6]上的最大值为2，最小值为 (3)若6)=1，解不等式x+5)-)<2 -4. 注：可考虑函数代x)= 3 名师点拨： 对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1,x2 在所给区间内比较)(x)与0的大小，或) f(x,) 与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形，如x1=x2 运名或七=等，深挖已知条件，是求解此类题 的关键.在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特 温馨提示：复习至此，请完成练案[7 殊化方法 027 第三讲 函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 知识点一 函数的奇偶性 1.奇（偶）函数定义的等价形式 偶函数 奇函数 1-)=-x)x)=00-1 f(x) 如果对于函数(x)的定义域内任意一个x ≠0)f(x)为偶函数； 定义 都有 ,那么函都有 ,那么函数 数f(x)是偶函数 f(x)是奇函数 (2代-x)=f(x)f(-x)+f(x)=0s-x f(x) 图象 -1(f(x)≠0)台f(x)为奇函数. 关于 对称 关于 特征 对称 2.若y=f(x)为奇函数，y=g(x)为奇函数，在公共定义 域内 知识点二 函数的周期性 (1)y=f(x)±g(x)为奇函数； 1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得 2e(与7留g0)均为锅≤数： 当x取定义域内的任何值时，都有 那么就称 (3)y=f[g(x)]与y=g[f(x)]均为奇函数： 函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 同理若y=f(x)与y=g(x)在公共定义域内均为偶函 2.最小正周期 数，则y=f(x)±g(x),y=f(x)g(x),y= 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小 (g(x)≠0)，y=f[g(x)]y=g[f(x)]均为偶 g(x) 正周期 函数 若y=f(x)为奇函数，y=g(x)为偶函数，则在公共定 (4)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N)也 义域内=x)g(x)与y=（g()≠0)均为奇函 是函数f(x)的周期 g(x) (5)定义在R上周期为T(T≠0)的奇函数y=f(x) 数，y=f儿g(x)门与y=g[f(x)]均为偶函数. 3.对f(x)的定义域内任一自变量的值x,最小正周期 定有f(仔）)=0 为T (6)2π是函数f(x)=sinx,x∈(-∞，0)的一个周 (1)若f(x+a)=-f(x),则T=2la; 期. 题组二 走进教材 2)若x+0)则12u 2.（多选题)（必修1习题3.2T5改编）下列函数中为 (3)若fx+a)=f(x+b),则T=la-bl. 奇函数的是 () 4.函数图象的对称关系 A.f(x)=x4 B.f(x)=x5 (1)若函数f(x)满足关系f(a+x)=f(b-x),则f(x) C.Rx)=x+1 Df)安 1 的图象关于直线=2对称个 3.（必修1习题3.2T12改编)已知f八x)=ax2+bx是定 (2)若函数f八x)满足关系f(a+x)=-f(b-x),则f八x) 义在[a-1,2a]上的偶函数，那么a+b的值是() 的图象关于点20对称 1 1 A.3 B.3 1 C.2 D.- 2 5.一些重要类型的奇偶函数(a>0,a≠1) 4.(必修1习题3.2T1改编)若函数y=f(x)(x∈R) (1)函数f(x)=a+a为偶函数，函数f(x)=a-a 是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x) 为奇函数(a>0,a≠1)； 图象上的是 (2)函数fx)=a- A.(a,-fa)) B.(-a,-f(a) a'taa2+1 为奇函数(a>0,a≠1)； C.(-a,f(-a)) D.(a,f(-a)) 5.（必修1习题3.2T11改编)定义在R上的奇函数 f(x)以2为周期，则f1)+f(2)+f(3)的值是() 028 （3)函数)=lbg为奇函数(a>0,a≠1，b0): (4)函数f八x)=log(x+/x2+1)为奇函数(a>0,a≠1). A.0 B.1 C.2 D.3 题组三走向考场 双基自测 6.(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期 题组一 走出误区 为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x,则 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） ) () (1)对于函数y=f(x),若f(-2)=-f(2),则函数y= 1 f(x)是奇函数. ( ) A.2 B 4 (2)函数y=x2,x∈(-2,2]是偶函数 7.（2024·上海卷)设a∈R,且f(x)=x3+a是奇函数， (3)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)=0.( 则a= 考点突破·互动探究 「-x2+2x+1,x>0, 考点 函数的奇偶性 (4)f(x)= 1x2+2x-1,x<0. 考问1 判断函数的奇偶性 自主练透 例判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)=√2-1+√1-x; (2)f代x)= 2-1 2+1 (3)f(x)=ln(x+√x+1); 名师点拨：判断函数的奇偶性的方法 2.（角度2)(2026·龙岩模拟)若函数f(x)=(x+ 1.定义法 a)In 2x-1 为偶函数，则a= () 2x+1 确定 判断定义域是否 否 既不是奇函数 定义域 关于原点对称 也不是偶函数 A.-1 B.0 是 1 C.2 D.1 计算f孔-) 确定f)与f-x)的关系 得出 结论 夸点C 函数的周期性一师生共研 2.图象法 关于原点对称 →fx)为奇函数 例设八)是定义在R上的奇函数，且对任意实数， fx)的图象 恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2)时，f(x) 关于y轴对称→f)为偶函数 =2x-x2. 3.性质法：设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2, (1)求证：f(x)是周期函数； 那么在它们的公共定义域上：奇±奇=奇，奇×奇=偶， (2)求f(2)的值； 偶±偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇 (3)当x∈(2,4]时，求f(x)的解析式； 考向2函数奇偶性的综合应用 (4)计算f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2026). 昌维探究 角度」利用性质求解析式（值） 例1，(2026：海南模拟)设函数g(x)=x)+r2是定 义在R上的奇函数，且F(x)=f(x)+3”,若f(1)= 1,则F(-1)三 ( A、4 B. C.、8 1 D. 3 3 3 2.（2025·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的 029 奇函数，且当x<0时，f(x)=e+2x-1,则当x≥0时， f(x)= 角度2利用奇偶性求参数的值或取值范围 例(2025·邯郸二模)已知>0，函数x)=a4 是 奇函数，则a= ,b= 名师点拨： 1.求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化 到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性 构造关于f(x)的方程（组），从而得到(x)的解析式. 名师点拨： 2.求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称 函数周期性的三个常用结论： 的前提下，利用f(x)为奇函数→(-x)=-f(x),f(x)为 1.若f(x+a)=-f(x),则T=2a; 偶函数(x)=f(-x),列式求解，也可利用特殊值法 求解.对于在x=0处有定义的奇函数f(x),可考虑列 2.若f(x+a)= 1 ,则T=2a; 等式f(0)=0求解 【变式训练】 3.若fx+a)= f则T=2a.(a>0) 1.(角度1)(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)为奇 【变式训练】 函数，g(x)为偶函数，且f(x)-g(x)=e,则” (2025·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数， 8(1) ( 且2+)=-)(2）=3则(3)等于 A.e2+1 B.e31 e e A.- 3 D 3 C.I-e2 1+e2 D 1+e2 1-e2 名师#坛·素手提升 函数三大性质的徐合应用 R上的偶函数，所以f(x+6)=f(-x),而f(x)的周期为 例1.(2021·新高考Ⅱ卷)已知函数f的定 6,所以f(x+6)=f代-6+x)f(-x)=f八-x-6),所以f(-6 义域为R,fx+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函 数则 -x)=f八-6+x),所以直线x=-6是函数y=f(x)的图象 f()-0 的一条对称轴，故①正确.②当x1,x2∈[0,3]，且x1≠ 方法1：函数奇偶性定义法 B.f-1)=0 方法2：函数平移法 专时，都有八) 一>0，所以函数y=f(x)在[0,3] x1-x2 C.f2)=0 方法3：特例法，举符合题 D.f4)=0 意的特殊函数 上为增函数，因为f(x)是R上的偶函数，所以函数y= f(x)在[-3,0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函 [答案]B 数y=f(x)在[-9，-6]上为减函数，故②错误，③f3)= [解析]解法一：（定义法）：f(x+2)是偶函数， 0,f(x)的周期为6，所以f(-9)=f(-3)=f(3)=f(9)= 则f(-x+2)=f(x+2).又：f(2x+1)是奇函数，则 0,函数y=f(x)在[-9,9]上有四个零点，故③正确。 f代-2x+1)=-f(2x+1).∴.f(1)=-f(1)可得f(1)=0. 解法二：图象法 ∴f八-1)=f(3)=f(1)=0.故选B. 解法二：（平移法）y=f(x+2)右移两个单位得到 y=f(x),因此y=f(x)关于x=2对称，即f(x)=f(4-x), 又y=f(2x+1)为定义在R上的奇函数，所以f(2×0+ 1)=0,.f1)=0,∴.f(-1)=f[2×(-1)+1]=-f2×1+ 030 名师点拨： 1)=f3)=f(4-3)=-f1)=0,故选B. 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将 解法三：（特例法） 它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇 可构造f(x)=cos 5-2 符合题意，故选B. 偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区 间的转换，再利用单调性解决相关问题， 抽象函数特值法.先令x三-3，求出3)的 【变式训练】 值，再得到函数的周期性 1.（2022·全国乙卷)已知函数f(x),g(x)的定义域均 已知函数y=fx)是R上的偶函数，对于任意 为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y= x∈R,都有fx+6)=fx)+f3)成立，当x1,x2 g(x)的图象关于直线x=2对称，g(2)=4,则 ∈[0,3]， 且x,≠x,时，都有)-f0。 x1-x2 店r () 给出下列命题： A.-21 B.-22 C.-23 D.-24 ①直线x=-6是函数y=fx)的图象的一条对 2.(多选题)已知f八x)的定义域为R,其函数图象关于 称轴； 直线x=-3对称，且f(x+3)=f(x-3),若当x∈ ②函数y=fx)在[-9，-6]上为增函数； [0,3]时，f(x)=2+1,则下列结论正确的是（) ③函数y=fx)在-9,9]上有四个零点。 A.f(x)为偶函数 其中所有正确命题的序号为 B.f(x)在[-6，-3]上单调递减 [答案]①③ C.f(x)关于直线x=3对称 [解析]解法一：①对于任意x∈R,都有f(x+6) D.f(100)=5 =f(x)+f(3)成立，令x=-3,则f(-3+6)=f(-3)+ 温馨提示：复习至此，请完成练案[8] f(3),又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)=0.所 以f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6，又因为f代x)是