第2章 第1讲 函数的概念及其表示-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第二章 函数 考情清单 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 函数的概念及表示 2024新课标I,8 函数解析式的递推 1考 逻辑推理 2023新课标I,4 数学运算 函数单调性与最值 已知单调性求参数范围 2考 2024新课标I,6 逻辑推理 2023新课标Ⅱ，4 利用奇偶性求参数值 2021新高考I,13 2025全国一卷，5 2023新课标I,11 函数奇偶性、周期性 数学运算 2025全国二卷，9 利用奇偶性求函数值 9考 和对称性 逻辑推理 019 数学抽象 2021新高考Ⅱ，8 2022新高考1,12 2022新高考Ⅱ，8 利用周期性求值 2024新课标I,18(2) 对称性的证明 2022新高考I,7 指数式、对数式的大小比较 指对幂函数 2025全国一卷，8 3考 逻辑推理 对数式的大小比较 直观想象 2021新高考Ⅱ，7 函数的零点与 2024新课标Ⅱ，6 函数的零点 2考 直观想象 方程的根 2024新课标Ⅱ，9 逻辑推理 函数模型及应用 2023新课标I,10 对数函数的应用 1考 数学运算 数学建模 【命题形式】 本章内容一般不会命制单一知识点的考题，常综合函数的单调性、奇偶性、周期性命题，或将函数的性质融 入函数的图象进行考查，函数的零点是考查的热点之一，需要结合导数、不等式等知识进行求解。 针对本专题的知识特点，备考时首先将学习重点放在以下几方面：函数的基本性质、二次函数与幂函数、指 数函数与对数函数、函数的零点与方程的根、函数模型及综合应用.其次对常见的结论或方法要加强记忆与理 解，例如：①基本初等函数的解析式；②常见函数定义域的求法；③函数解析式的求法；④函数图象的变换；⑤周 期函数的常用结论；⑥函数零点的常见求法等.最后，要注重函数知识与不等式、方程、导数知识的综合问题，对 于函数模型及综合应用，则需掌握解题思路与常见的几类函数模型 第一讲 函数的概念及其表示 知识梳理·双基自测 知识梳理 (8)y=+ (a≠0，ad-bc≠0)的值域为 axtb 知识点一 函数的概念 (u(后+ 一般地，设A,B是非空的 ,如果 2.定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间 对于集合A中的 ,按照 表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“U” 概念 某种确定的对应关系∫，在集合B中都有 连接 确定的数y和它对应，那么就称 3.函数f(x)与f(x+a)(a为常数a≠0)的值域相同. f∫：A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 y=f(x),xEA 双基自测 要 定义域 的取值范围 题组一走出误区 素 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)lx∈A 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）》 (1)f(x)=x-3+√2-x是一个函数 () 知识点二 同一个函数 (2)若两个函数的定义域与值域分别相同，则这两 1.前提条件：(1)定义域 ；(2)对应关系 个函数是同一个函数， (3)y=lnx2与y=2lnx表示同一函数. () 2.结论：这两个函数为同一个函数 知识点三函数的表示法 (4)函数y= 定义域为x>1. √x-I1 表示函数的常用方法有 图象法和列 题组二 走进教材 020 表法 2.(必修1习题3.1T2改编)下列函数中与函数y=x 知识点四分段函数 是同一个函数的是 () 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系 A.y=(R)2 B.u= 不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为 C.y= n2 分段函数. D.m=n 2.分段函数表示的是一个函数.分段函数的定义3.（多选题）（必修1P2T1改编）下列所给图象是函数 域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函 图象的是 数的值域的 归纳拓展 1.基本初等函数的值域 （1)y=hx+b(≠0)的值域是R (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 4ac-b2 4a,+∞当a<0时，值域为-o,” (3)y=·(k≠0)的值域是{yly≠0 (4)y=a'(a>0且a≠1)的值域是(0，+0). (5)y=logx(a>0且a≠1)的值域是R 4.（多选题)（必修1习题3.1T11改编）函数y=f(x) [延伸] 的图象如图所示，则以下描述正确的是（） (6)y=x+“(a>0)的值域为(-0，-2a]U [2√a,+0) (7)y=x-0(a>0)的值域为(-0，+). A.函数f(x)的定义域为[-4,4) 题组三走向考场 B.函数f(x)的值域为[0，+∞) 5(202·北京卷)函数)=+个的定义被是 C.此函数在定义域内是增函数 6.(2025·山东潍坊模拟)已知函数∫(x)= D.对于任意的ye(5,+∞)，都有唯一的自变量x与 [x2+x,x<0, 则几f(-1)]= 之对应 le+ln(x+1),x≥0， A.0 B.1 C.2 D.3 考点突破·互动探究 考点 【变式训练】 求函数的定义域 多维探究 角度」求具体函数的定义域 1.(2026·烟台调考)函数y= √/4-x2 3x n(x+1)的定义域为 例(2026·重庆质检)函数(x)= +√2-2的定 4-x ( ) 义域是 A.[-2,2] B.(-1,2] A.[1,4] B.[1,4) C.(-1,0)U(0,2] D.(-1,1)U(1,2] C.[1,+0) D.[2,4) 2已知函数x)的定义域是[-1,1小，则f(?)+x 角度2求抽象函数的定义域 例，已知函数f()的定义域为(-1,0)，则函数 1)的定义域为 3.（2025·四川南充阆中开学考)已知函数y=f(x+1) f(2x+1)的定义域为 B(-1,2) 的定义域为[-2,3]，则y-2x+1) 的定义域为 A.(-1,1) √x-I C.(-1,0) D() A.[-5,5] B.(1,5] 02 2.已知函数y=f(x2-1)的定义域为[-5，√5]，则 c,] D5引 函数y=f(x)的定义域为 A.[0,2] B.[-1,2] 考点口 求函数的解析式一 师生共研 C.[-3,3] D.[-/3,2] 例已知八✉)满足下列条件，分别求x)的解析式 (1)f(1-sin x)=cosx; )(2026·牡丹江月考)若函数f(2x-1)的定义域 是[0,1)，则函数f1-3x)的定义域是( 2-= A.(-2,4 B(2 (3)已知函数f(x)是一次函数，若f[f(x)]=4x +8: c(o t] n6.号] (4x)满足2)+）=3-1 求抽象函数定义域关健是两点：第一定义域 都指x取值集合，第二2x1与1-3x范围相同 名师点拨：函数定义域的求解策略 1.已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等 式（组）求解. 2.实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成 的不等式（组）求解. 3.抽象函数 (1)若已知函数f八x)的定义域为[a,b],其复合函 数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出： (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b],则 f八x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域. 名师点拨：求函数解析式的四种方法 角度2分段函数与方程 由已知条件f[g(x)]=fx),可将 例2025·江西上饶-模)设f(x）= 方法一 f(x)改写成关于g(x)的表达式，然 TVx,0<<1, 若f(m)=f(m+1),则m=（) 配凑法 后以x替代g(x),便得f(x)的解析 3(x-1),x≥1， 式，如本例(2) 1 A.2 1 C. 对于形如y=[g(x)]的函数解析式， 角度3分段函数与不等式 方法二 令t=g(x),从中求出x=p(t),然后代 例(2026·河北部分地区开学考)已知函数f(x) 入表达式求出f(),再将t换成x,得 「x2+2x,x≤0， 换元法 则不等式f(x)≥0的解集为 到f(x)的解析式，要注意新元的取值 ln(x+1),x>0, 范围，如本例(1). A.(-0,-1]U[1,+∞) 先设出含有待定系数的解析式，再利 B.(-0,-2]U[0,+∞) 方法三 用恒等式的性质，或将已知条件代入， C.[1,+∞) 待定系数法 建立方程（组），通过解方程（组）求出 D.[0,+0) 相应的待定系数，如本例(3). 名师点拨：分段函数问题的求解策略 1.分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值 已知关于f(x) 与 或f(-x)的 属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解。 方法四 2.分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根 表达式，可根据已知条件再构造出另 构造法 据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注 外一个等式组成方程组，通过解方程 意检验所求参数值（范围）是否适合相应的分段区间. 组求出f(x),如本例(4). 【变式训练】 【变式训练】 1.(角度1)(2025·湖北武汉武昌区质量检测)已知 若）产则 1 f(x)= [WR,0≤x≤1， 2f(x-1),x>1 则() 022 2.已知一次函数f(x)满足f儿f(x)-2x]=3,则f(x) 3 A.2 2 c D.1 3.已知f(x)+3f(-x)=2x+1,则f(x)= 2.(角度2)(2026·长春模拟)已知函数f(x)= 2,x>0, 考点 分段函数及应用 多维探究 若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于 x+1,x≤0. 角度1 分段函数求值问题 ( 「log3x-2,x>0 A.-3 B.-1 C.1 D.3 例若函数f(x)= Ig(x),x<O 为奇函数，则3.（角度3）(2026·内蒙古包头调研)设函数f(x)= 2+1,x≤1， f[g(-3)]= ( [logsx+3,x>1, 若f[f(1)]>4,则实数a的取值范围 A.-3 B.-2 C.-1 D.0 名师#近·素手提升 温数值域的求法 求函数值域的一般方法：(1)分离常数法；(2)反解法；(3)配方法；(4)不等式法；(5)单调性法；(6)换元 法；(7)数形结合法；(8)导数法. 例求下列函数的值域 (5)y=x+√1-x2; n (6)y=x+11+1x-21. [解析](1)解法一：分离常数法 (2)y=√-2x2+x+3; _1-1xl (3)y=++1 y1+1x 1+2 1+|x1 2 (4)y=x-√1-2x; lx≥01+1≥10<x+≤2 y≤-1或y≥3. -1K-1+1+≤1. 即函数值域为(-∞，-1]U[3,+0). 即函数值域为(-1,1] (4)解法一：换元法 解法二：反解法 由得 1-lxl 1-y 设≥0， 1+y 1-t2,1 ∴.y .2≥0-1<y≤1，即函数值城为 x≥0,1+y 21 11s≥0. 2 (-1,1] 了，引即西数的能该为，引 (2)解法一：配方法 解法二：单调性法 1-2≥0≤2定义城为-m,引 又函数y=,-2在(0，分）上均单调 解法二：复合函数法 y=E,l=-2x2+x+3, (5)三角换元法 由1=-2x+3,解得1 8 又y6有意义0≤1 设x=m8,0e引， 8 ysin com =/in) 5√2 ·0≤y≤41 (3)y=+1 引， 023 解法一：基本不等式法 .mjo). (6)解法一：绝对值不等式法 由y=x+一+1(x≠0)，得y-1=x+ 由于1x+11+1x-2≥1(x+1)-(x-2)1=3, *ea…g-2 所以函数值域为[3，+∞). 解法二：数形结合法 .y-1|≥2，即y≤-1或y≥3.即函数值域为 (-∞，-1]U[3,+∞) 解法二：判别式法 由y=中，得2+(1-y)x+1=0. 1 方程有实根，∴△=(1-y)2-4≥0. -2x+1(x<-1), 即(y-1)2≥4，∴.y-1≤-2或y-1≥2. y=3(-1≤x≤2)， 得y≤-1或y≥3.即函数的值域为(-∞，-1]U 2x-1(x>2). [3,+∞). 画出此分段函数的图象如图，可知值域为 解法三：导数法（单调性法） 3,+0) 令y'=1-1=+1)(x-1 -<0 名师点拨：求函数值域的一般方法 x2 x2 得-1<x<0或0<x<1. 1分离常数法：形如y=+从 a≠0)的函数：如例 ax+b .函数在(0,1)上递减，在(1，+∞)上递增，此时(1) y≥3； 函数在(-1,0)上递减，在(-∞，-1)上递增，此时 2反解法：形如y=9)+ af(x)+ (a≠0，f(x)值域易求) y≤-1. 的函数；如例(1). 3.配方法：形如y=af(x)+bf(x)+c(a≠0)的函 (3)y=ln(-x2+2x); 数；如例(2). x2-x+2 (4)y= 4.不等式法：如例(3). -1(x>1). 5.单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进 而确定值域；如例(4) 6.换元法：形如y=ax+b±√cx+d(a≠0，c≠0)的函 数；如例(4)；形如y=ax+b±√c2-x2(a≠0，c≠0)的函 数采用三角换元法，如例(5)： 7.数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如 例(6). 8.导数法：如例(3) 【变式训练】 求下列函数的值域： (1)y=x-2x; 1 温馨提示：复习至此，请完成练案[6] (2)=2+x+2 第二讲 函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 024 2.单调性与单调区间 知识梳理 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递 知识点一 函数的单调性 减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）》 ,区间D叫做y=f(x)的 1.单调函数的定义 知识点二函数的最值 单调递增 单调递减 前提 设函数y=f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I. Vx1,ED (1)x∈1，都有f(x) (1)Hx∈1，都有f(x) ≤M; ≥M; 条件 (2)3x∈I,使得f(xo) (2)3e1,使得f(x) 定义 当1<x2时，都有f(1) 当<2时，都有f(x)< =M =M >f(x2),那么就称函数 f(x2),那么就称函数fx)在 fx)在区间D上 区间D上 结论 M为函数y=f(x)的 M为函数y=f(x)的 归纳拓展 y=f(x) ↑y fx) y=f(x) (x1)f(x2) 1.Hx1,x2∈1且x1≠x2,有 >0(<0)或(x1 fx) X-x2 图象 x)川x) x2)[f(x)-f(x2)]>0(<0)台f(x)在区间I上单调递 描述 0x1 增（减）. 自左向右看图象是 自左向右看图象是 2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+ 减函数=减函数. 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内 增（减） 当函数f(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我 1 函数 们就称它是增（减）函数 与)=)，不的单调性相反 4.复合函数的单调性：同增异减。(3)由于方程有两个不相等的实根，所以m≠0，令f(x)=mx2+ (m+1)x+m,根据题意画出满足“一个根大于0且小于1，另一 个根大于1”的二次函数的大致图象，如图所示.由图象可知，要 使方程f代x)=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1，则 0I)0,即m(3tl0解得-子m<0 mf1)<0, Lm(3m+1)<0 故m的取值范国为（弓0】 第二章函数 第一讲函数的概念及其表示 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 实数集任意一个数x唯一x 知识点二 1.相同相同 知识点三 解析法 知识点四 2.并集 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2B函数)=()与函数m=和y=x的定义城不同，则不是 同一个函数，函数y=√2=x与y=x的解析式不同，也不是同 一个函数，故选B. 3.CD由函数概念知，题图A、B均不是函数图象，C、D是函数 图象. 4.D由图象得此函数定义域为[-4,0]U[1,4),值域为[0， +∞)，在定义域内不具备单调性，当ye(5,+∞)时都有唯一的 x与之对应.因此，A、C不正确.故选BD. 5.(-0,0)U(0,1】因为f代x)=+/,所以x≠0且1-x≥ 0,解得x∈(-o,0)U(0,1]. 6.B将x=-1代人，得到f-1)=(-1)2+(-1)=0,所以f孔f(-1)]= f0),将x=0代入，得到f(0)=e°+ln1=L.因此，f[f(-1)]= f(0)=1.故选B. 考点突破·互动探究 考点1 角度1 例：B由题意知，函数f()=3:+√2-2有意义，需满足 4-x 「4-x>0, 解得1≤<4，故代x)=3:+√2-2的定义域为 2-2≥0. /4-x [1,4) 角度2 例1：B由函数f代x)的定义域为(-1,0)，则使函数f(2x+1)有意 义，需满足-1<2x+1<0,解得-1<x<-2,即所求函数的定义 域为(1,2） 4 例2：B因为y=f(x2-1)的定义域为[-√5，W5],所以xe[-3 √5]，x2-1∈[-1,2]，所以y=f(x)的定义域为[-1,2].故 选B. 例3：D函数f2x-1)的定义域是[0,1).-1≤2x-1<1,.函 数)的定义竣是[-1，)，则-1e1-3x1,0<x≤号，即函 数1-3的定义流引故选D 变式训练 4-x2≥0， r-2≤x≤2， 1.C由已知可得{x+1>0, 即x>-1, ln(x+1)≠0，Lx≠0， √4- 因此，函数)x+1)的定义域为(-1,0)U(0,2].故选C 2.[0,2]由f(x)的定义域为[-1,1]，得 -1≤之≤1，解得 -1≤x-1≤1， 0≤x≤2，即f(乞)-1)的定义城为[0,21. 3.C由函数y=fx+1)的定义域为[-2,3]得f(x)的定义域为 [-1,41,在两数y2a中，5+14解得1≤子 3 VA-T x-1>0. 故选C. 考点2 例：[解析](1)（换元法）设1-sinx=t,te[0,2], 则sinx=1-t, .f(1-sin x)=cosx=1-sin', ∴ft)=1-(1-t)2=2t-,te[0,2]. 即f(x)=2x-x2(0≤x≤2). 2(配凑法）=日()广2。 又2+2≥2x·=2 x 当且仅当矿京，即1时等号成立 设t=x2+3,则t≥2，f(t)=-2(t≥2)， fx)=x2-2(x≥2). (3)(待定系数法)设f(x)=ax+b(a≠0)， f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b, 又f[fx)]=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8, 即：4：。解得 a=2, lab+b=8, =3 8 所以f(x)=2x+3或x)=-2x-8. (4)(构造法)已知2)(）=3x-1,① 以上代卷①中的xx≠0。 得2()1,2 ①x2-②，得3fx)=6x-￥ 故fx)=2x-11 t3(x0). 变式训练 1 1 1-x0且x≠1)f代) 1-x0且x≠1). 1- 2.2x+1设f(x)=kx+b(k≠0)，则f儿f(x)-2x]=fkx+b-2x)= k(+6-2x)+6=(-26)x+钻+6=3，所以-2=0，解得 b+b=3, k=2所以fx)=2x+1 Lb=1, 1 3.-x+4由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组 +32得0=-+子 f-x)+3f(x)=-2x+1, 考点3 角度1 例：B因为f(x)为奇函数，g(-3)=-g(3)=-(1og3-2)=1, ∴f[g(-3)]=-2.故选B. 角度2 例：C由题意可知m>0,当0<m<1时，m+1>1,所以由f(m)= 1 fm+1)得厅=3m→m=g;当m≥1时，m+1>L,所以由m） =m+1)得3(m-1)=3n,无解综上，m=g放选C 角度3 「x2+2x,x≤0， 例：B因为f(x)= 所以不等式f(x)≥0等价于 ln(x+1),x>0, 22 [x≤0， 解得x≤-2或x=0或x>0.所以不 等式的解集为(-∞，-2]U[0,+∞).故选B. 变式训练 1.D分段函数求值问题.函数f(x)= 【,0≤x≤1，所以 2fx-1),x>1, ()=2)=2行1放选D 1 2.Af1)=2=2,∴fa)+2=0∴f(a)=-2,当a≤0时f(a) =a+1=-2,∴.a=-3,当a>0时，f(a)=2”=-2,方程无解，综上 有a=-3. 3(1,+)因为函数f代x)=2+1,≤1， 所以f(1)=2+1= logx+3°，x>1, 3,所以f[f1)]=f3)=l1og3+3°=1+3“，因为f[f1)]>4,所以 1+3“>4,即3“>3，解得a>1,即实数a的取值范围为(1，+0). 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析](1)令√公=(1≥0)，则y=2t-1(t≥0)，所以y= -1)2子在[0，]上单润递减，在1，+)上单调爱，所以 1 当1=1，即x=子时，函数x)取得最小值，为子故该函爱的值 减为[方+) (2)根据题意得-x2+x+2≠0，解得x≠-1且x≠2 4 且-x2+x+2≠0 所以函数)的值城为(-，0)U[手+) (3)由-x2+2x>0,解得0<x<2, 所以f(x)的定义域是(0,2). 设t=-x2+2x=-(x-1)2+1, 则0<t≤1，所以y=nt,t∈(0,1]， 由对数函数的图象和性质可知y∈(-∞，0]，即函数f(x)的值 域为(-0,0]. (4)令t=x-1,.t>0,x=t+1, 中1）-(t+1)+2_+t+2=t2+1≥22+1， .y= t t 当且仅当=2即=2时取等号， t .函数的值域为[22+1，+0). 第二讲函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.单调递增单调递减上升的下降的 2.单调性单调区间 知识点二 最大值最小值 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上 的任意两个自变量值x1,x2,均有f(x)<f(x2)或f(x)>fx2), 而不是区间上的两个特殊值. (2)单调区间是定义域的子区间，如y=x在(-1，+0)上是增函 数，但它的单调递增区间是R,而不是(-1，+∞) (3)多个单调区间不能用“U”符号连接，而应用“，”或“和” 连接， (4)设f(x)= xe[0,小如图. 1,xe(1,2), 当代x)>f(x2)时都有x>x2,但y=f代x)不是增函数. 2.B由图象知，该函数的单调递增区间为[-1,2]和[4,5]，故 选B. -15 r-2≤a+1≤2， 4.[-1,1)依题意得-2≤2a≤2，得-1≤a<1. la+1>2a, 5.C对于A,f代x)=-nx在(0，+o)上单调递减，不符合题意；对 于Bx)=在(0，+如)上单调递减，不符合题意：对于C, fx)=- -在(0，+∞)上单调递增，符合题意：对于D,f(x)= 3-1,x≥1， c1在(0，+0)上不单澜故选C 3r"=1