第2章 第6讲 对数与对数函数-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第六讲 对数与对数函数 知识梳理·双基自测 知识梳理 定义域： 值域： 知识点一 对数与对数运算 当x=1时，y=0,即过定点 1.对数的概念 (1)对数的定义：如果a=N(a>0,且a≠1)，那么 性质 当0<x<1时，y<0: 当0<x<1时，y>0: 当x>1时， 当x>1时， 数x叫做以a为底N的对数，记作 ,其中 叫做对数的底数， 叫做真数。 在(0，+∞)上为 在(0，+∞)上为 (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 2.反函数 般对数 底数为a(a>0,且a≠1) 指数函数y=a(a>0且a≠1)与对数函数 常用对数 底数为 (a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 自然对数 底数为 对称 2.对数的性质与运算法则 a>1 0ka<1 (1)对数的性质 y y=a V=x ①log1= 038 ②log.a= (其中a>0且a≠1)； y=logx ③log,a= (a>0且a≠1，beR). (2)对数恒等式 (其中a>0且a≠1，N>0) y=log x (3)对数的换底公式 log,N= (a,b均大于零且不等于1，N> 归纳拓展 0) 1.换底公式的两个重要结论 (4)对数的运算法则 ①log.b=1og.d 1 如果a>0且a≠1，M>0,N>0,那么 ①log(MW)= M ②log,b°=L1g,b. ②log.N n 其中a>0,且a≠1，b>0,且b≠1，m,n∈R且m≠0. ③log,M= (n∈R) 2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y= 知识点二 对数函数的图象与性质 1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的 1.对数函数的定义、图象和性质 底数.故0<c<d<1<a<b. 定义 函数 叫做对数函数 log x a>1 0<a<1 log.x :x=1 x1 图象 log x y=log x (1,0) 0,0) 0 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右 y=log x 底数逐渐增大 1 双基自测 (2)1og53+log31 题组一走出误区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） （3s+2g2-(分）= (1)若MW>0,则log(MN)=log M-+logN.( (4)(1og29)·(l0g4)= (2)l0g2x2=2l0g2x。 ( 4.(必修1习题4.3第2(1)题变式)在b=l0ga-1(4 (3)2g3≠34g2 ( a)中，实数a的取值范围是 () (4)函数y=ln(1-x2)与y=ln(x+1)+ln(1-x)是同 一函数. ( A.（-0,3 B(兮号)u(后2) 题组二走进教材 2.（多选题)（必修1习题4.3T2改编）下列各式正确 c(兮2) D(?2 的是 ( .3g,2(a>0且a≠1) l0g.6 题组三走向考场 A. 11 B.Ig 2+lg 5=1 5(2024·全国甲卷理)已知a>1且1og0og.42 C.(In x)2=2ln x 则a= Ds-k4 6.(2025·四川宜宾)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调 递减区间是 () 3.(必修1习题4.3T3改编)写出下列各式的值： A.（-0,-2) B.(-∞，1) (1)1og22 C.(1,+o) D.(4,+∞) 考点突破·互动探究 039 点 对数与对数运算 自主练透 考点 对数函数的图象与性质 例1，（多选题）(2026·焦作模拟)下列等式成立的 考向1 对数函数的图象及具应用一师生共研 是 Ag2+g5-g8-1 例(2025·潍坊模拟)若函数f(x)=(k-1)a-(a> 1g50-1g40 0,且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则 B.g 4+lg 5-1 g(x)=log(x+k)的图象是 () 2g05+g82 7 C.lg14-2lg3+g7-lg18=0 D.(Ig 2)2+lg 2.Ig 5+lg 5=2 2.(2026·郑州模拟)已知2”=5,1og3=b,则4-% ( A.25 B.5 3 9 3 3.已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log1gl5 名师点拨： 1.利用对数的运算性质化简对数式主要有以下两 名师点拨：应用对数型函数的图象可求解的 种方法： (1)“正向”利用对数的运算法则，把各对数分成 问题 更为基本的一系列对数的代数和； 1.对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对 (2)“逆向”运用对数运算法则，把同底的各对数 数型函数，在求解其单调性（单调区间）、值域（最值）、 合并成一个对数. 零点时，常利用数形结合思想 2.利用已知对数式表示不同底数的对数式时，可 以将待求式中的底数利用换底公式化为已知对数式的 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的 底数 函数图象问题，利用数形结合法求解 【变式训练】 C.是偶函数，且在 上单调递增 (多选题)(2026·青岛调研)已知a=b,函数y log(-x)与y=b的图象可能是 D.是奇函数，且在 上单调递减 名师点拨： 1.比较对数式的大小的关系：(1)若底数为同一常 数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为 考向2对数函数的性质及耳其应用一暑维探究 同一字母，则需要对底数进行分类讨论；(2)若底数不 角度！比较对数值的大小 同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进 例1(2026·湖南长沙部分学校月考)设a=10g3, 行比较；(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中 b=log3,c=log45,则 间量进行比较， A.aze>b B.b>c>a 2.解决与对数函数有关的函数的单调性问题的 C.c>b>a D.cza>b 步骤 2.(多选题)若实数a,b,c满足log2<log2<log2, 一求H 求出函数的定义域 则下列关系中可能成立的是 ( A.a<b<c B.b<a<c 判断对数函数的底数与1的关系，分a心1与0<a<1两种情况 C.c<b<a 二判 D.a<c<b !判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数 角度2解对数不等式 “同增异减”原则判断函数的单调性 例已知log.(4a+l)cog(4u)<0,则 【变式训练】 1 A.0<a<4 1 1.（角度1)设a=log412,b=log515,c=log618,则 D. 3 2 A.a>b>c B.b>c>a 角度3对数性质的综合应用 C.a>c>b D.c>b>a 040 例(2026：郑州模拟)设函数f(x)三n12x+11 2.(角度2)(2026·重庆模拟)已知a>0且a≠1， g子<1，则实数。的取值范周足 A.是偶函数，且在 2,+∞ 上单调递增 3.（角度3)已知函数f(x)=log.(8-ax)(a>0且a≠ B.是奇函数，且在( 11 22 上单调递减 1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的 取值范围是 名师讲坛·素美提升 有关对数运算的创新五用问题 例(2025，四川成都第二次诊断性检测)在天文学 名师点拨： 中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.以 在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活 织女星的亮度I。为标准，天体的星等m与亮度I满足 运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数 m g方已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为 5 I 的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对 数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和 0.8,则北极星与牛郎星的亮度之比为 数学运算能力. 12 12 【变式训练】 A.10 B.10 C.10 D.10 (2026·北京四中检测)点声源亦称“球面声源”或 [答案]D “简单声源”.已知点声源在空间中传播时，衰减量 [解析]令北极星与牛郎星的亮度分别为I,2, △L(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为 2= 5,1 △L=10·lg(πr2)+k,其中k为常数.当传播距离为 280 依题意，得 5,2 两式相减得-5g。 ,时，衰减量为△L;当传播距离为r2时，衰减量为 2g1,5 △L2.若r2=2r1,则△L2-△L1约为（参考数据：lg2≈ 0.8= 0.3) 2181 () A.6 dB B.4 dB C.3 dB D.2 dB 解得=10片.D, 温馨提示：复习至此，请完成练案[11]第六讲对数与对数函数 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.x=log,N a N log,N 10 lg N e In N 2.01bN log,N log b log,M+log,N log,M-log,N nlog,M 知识点二 1.y=logx(a>0,且a≠1)(0，+∞）(-∞，+0)(1,0)y>0 y<0增函数减函数 2.y=log x y=x 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V [解析](3)设23=M,32=N,则lgM=g23=lg3lg2= lg 3%52=1g N,..M=N. 2.DA选项，由接底公式，可得96g6=1+lg2,故 误；B选项，g2+lg5=lg(2×5)=1,故B正确；C选项，(lnx)2= ≠2nx,故C错误；D选项，lgF=gx5=写gx,故D ÷3 正确. 3.(1)2 (2)0(3)-1(4)4 1 (2)log,3+logsg1=0. (3+2g2-(2)厂=e34(）=g10-2=-1 (4)解法一：原式-9.423·2g2-4 lg2g3lg2·lg3 10g24 解法二：原式=2lg23· =2×2=4. 1og23 3a-1>0, 4.B要使式子b=log-1(4-)有意义，需3a-1≠1，解得了<a< 1 4-a2>0, 弓或号ac2放选R 11 5 5.641ogal0g421og8- g.42,即3g.2 5 2l0g,2 号，设elog2,a>1,>0,3r、 2F2,即62+56-1=0 解得1=或-1（舍），1og2= 6 6,解得a=64 6.A由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4.因此，函数f(x)=ln(x2-2x 8)的定义域是(-0，-2)U(4,+0).注意到函数y=x2-2x-8 在(-o,-2)上单调递减，由复合函数的单调性知f代x)=ln(x2-2 -8)的单调递减区间是(-∞，-2)，选A. 考点突破·互动探究 考点1 列1：c经5.1A度：点出 10 g50-g401g0 2lg0.5+lg8 01+g21,B不成立：g14-2g3 1g0.25+lg81g2 44 1g18=(lg7+lg2)-(2lg7-2lg3)+lg7-(2lg3+lg2)=0,C 成立；(lg2)2+lg2·lg5+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2+ 1g5=1,D不成立. 例2：C由2=5两边取以2为底的对数，得a=log,5.又b=log3= 5 1og231 5 log 3 g83oe,3,所以a-36=le5-log3=log3=g2 21og弓-log,g,所以4r=4号-25 5 25 ,故选C 例3.6+1 2b+a 1g615=g15-g3+lg5 lg 18 lg 2+21g 3 -lg3+1-lg2_b-a+1 lg 2+21g 3 2b+a 考点2 考向1 例：A由于f代x)是R上的奇函数，所以f(0)=k-1-1=0,k=2,因 为x)=a-为减函数，所以0<a<1,所以g(x)=bg.(x+2), x>-2,g(x)为(-2，+∞)上的减函数，g(-1)=0,排除B,C,D, 故选A. 变式训练 AB。=6=(片）广a=石当a>1时，0k1,指数函数 1 y=b在R上单调递减，且过点(0,1)；对数函数y=logx在(0， +∞)上单调递增且过点(1,0)，将y=log。x的图象关于y轴对称 得到y=log（-x)的图象，则y=log(-x)在(-o,0)上单调递减 且过点(-1,0)，故A符合题意：当0<a<1时b>1,同理可得指数 函数y=b在R上单调递增，且过点(0,1)，y=log.(-x)在 (-0,0)上单调递增且过点(-1,0)，故B符合题意，故选AB. 考向2 角度1 例1：D因为a=log43<log44=1,b=logs3<1,c=log45>1,其中a= 能子6-长所以a6-老8号-k350,所以 lg 4 lg 5 lg4×lg5 c>a>b,故选D. 例2：BCD由log2<log2<log2的大小关系，可知a,b,c有如下 四种可能：①1<c<b<a;②0<a<1<c<b:③0<b<a<1<c:④0<c<b <a<1.作出函数的图象（如图所示）. y=logx 一y=lg y=logx 12 y=log x 1<c<b<a 0<a<1<c<b 2) 一=0g1 y=log.x y=logr y=log x 0<b<a<l<c 0<c<b<a<l ④ 由图象可知B,C,D可能成立. 角度2 例：B因为log(4a2+1)<0,4a2+1>1,结合对数函数图象的性质 得02c1,所以4a2+>o>1,所以as子 角度3 例：D由f(x)=ln12x+1I-hI2x-1I,得f(x)的定义域为 {≠±}，关于坐标原点对称，又-)=ln1-21-hl-2 -11=lnl2x-11-nl2x+11=-f(x),∴f代x)为定义域上的奇函 数故排除Ac:当e()时=l2+1-a1 2=h(2+在（分号）上单调送瑞=h(1-2在 (7,分）上单调递减x)在（分7）上单调递增，故 排除B:当xe(-0,2）时x)=h(-2-1)-n(1-2x)归 (2品)12品在(，）上单调 2 减f(w)=lnu在(0，+∞)上单调递增，根据复合函数单调性可 知)在(-，宁)上单泻递减故D正确 变式训练 1.Aa=1+log 3,6=1+logs3,c=1+l0g63,.'log 3>logs3>10g 3, .a>b>c. 2(0,）U(1,+)当a>1时，y=lg在(0，+)上单调递 增则子<0c1恒成立，当0a<1时y=g在(0，+)上 单调递减.由g.子<1，可得1g子<ga,解得0<a<子，综 3 上，使g子<1成立的a的取值范围是0，)U(1,+) 3(1,）当a>1时x)=lg(8-a)在[1,2]上是减函数， 由fx)>1在区间[1,2]上恒成立，得fx)=log(8-2a)>1, 8 解得1<a<兮当0<a<1时，x)在[1,2]上是增函数，由fx)> 1在区间[1,2]上恒成立，得f(x)m=log(8-a)>1,得0<8-a< a,4<a<8,故a不存在.综上可知，实数a的取值范围是 (1)月 名师讲坛·素养提升 变式训练 A依题意，知△L2-△L,=10·1g(r2)+k-10·1g(πr)-k= 20g斤=20g2=20x03=6(dB).放选A 第七讲函数的图象 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点 2.右移左移上移下移 3伸长第短。棉长笔短4 4.-f(x)f(-x)-f(x) 5.f(lxl)If(x)I 44 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)V 2.B由题意知v=f(h)是增函数，其增长率是先慢慢变大，再慢 慢变小.故选B. 3.C由图可知当x≤0时，y=f孔x),故选C. 4.A因为y=9=32,所以将函数y=3”的图象上所有点的横坐 标变成原来的】倍，纵坐标不变，即可得到函数y=9的图象， 故选A. 5.D解法一：由图象可知函数y=f(x)是偶函数，而函数y= -1xyx-是奇函数，故A,B错误；当x>1时，由题图知 fx)>0,且此时x2>1,即x2-1>0,1-x2<0,所以当x>1时，y= Ixl Ixl 京<0，)一0，故C错误，D正确故选D 解法二：当x=2时，由题图知()>0，对于A2)=名<0， 故A错误：对于B2)2品0：对于C2)=己名 2 1-40,故C错 2 误：对于D术2)=4>0当=-2时，由题图知，)>0，对于 -2 2 B,-2)=2-<0,故B错误：对于Df(-2)4>0,故D正确， 故选D. 6.B f(-x)=x+(e *-e*)sin(x)=x+(e*-e *sin x=f(x), 函数定义域为[-2.8,2.8]，故该函数为偶函数，可排除A、C,又 =-(e)m(e）号六 1、1 2。>0,故可排除D.故选B 考点突破·互动探究 考点 考向1 1 例：[解析](1)y= 2作出y图象，商右移动 一个单位后再向上移动丙个单位，即可得到y=2-的图象 x-1 如图所示 -10 234x -2 (2)y=1x2-4x-51的图象可由函数y=x2- y 4x-5的图象保留x轴上方的部分不变，将 9 x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，如图 所示. 1x-11 (3)y=（2 -1,其图象可看作由函数 102