第1章 第3讲 等式性质与不等式性质-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

2.[3,+∞)因为不等式1x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,设 不等式的解集为A,所以(0,4)二A,当a≤0时，A=⑦，不满足要 r1-a≤0， 求；当a>0时，A=(1-a,1+a),所以 解得a≥3，故实数 L1+a≥4， a的取值范围是[3，+∞）. 名师讲坛·素养提升 一、抽象命题间充要条件的判定 变式训练 必要不充分由题意可知q→r军P,p是q的必要不充分 条件 二、突破双变量“存在性或任意性”问题 [引申1] [分+）当xe[0,3]时)a=0)=0, 当xe山，2]时，g)=)=2-m 由x)n≥g(x)m得0≥ 2m,所以m≥ 2 [引申2] [子h10+x）当e[0,3]时=3)=n10, 当xe[1,2]时，g(x)a=g(2)=4m, 1 1 由f代x)s≥g(x)m得1h10≥4m, 所以m≥4-h10 [引申3] [分h02）当e0.3]时s31=h10. 当e1.21时.ea1分m 由f(x）mm≥g(x)mx, 得血10≥2m, 所以a≥子bla 变式训练 D不妨设f(x1)=g(x2)=a,.e1-e=lnx2+1=a,x1=n(a+ e),%2=e,-2=In(a+e)-e"(a>-e).h(a)=In(a+e) t,则(ae,易知a在(-上是说两数 且h'(0)=0,故h(a)在a=0处有最大值，即x1-x2的最大值为 11 e 第三讲等式性质与不等式性质 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 >=< 知识点二 b=aa=c 知识点三 b<aa>c a+c>b+c ac>be ac<be a+c>b+d ac>bd a">b" 41 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)×(5)V(6)× 2.M>NM-N=ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1),:a,b∈ (0,1),∴.(a-1)(b-1)>0,∴.M>W. 3.(-5,-1)由b∈(2,3)得-6<-2b<-4,又1<a<3,故-5<a-2b< -1. 4.B如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,故A错误；a+c> b+c>b+d,故B正确；如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此时ad<be, 故C错误；如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此时ac<bd,故D错 误.故选B s告告可化为1片>1+台即台由a0.得 ac,即(a-b)c<0,即c<0,故选AB. 考点突破·互动探究 考点1 例1：ADx2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，.x2-2x>-3,故A正确； a+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+ b).(a-b)2≥0，a+b的符号不确定，a3+b与a2b+ab2的 大小不确定，故B错误；a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2 20,0+W≥2(a-6,放C错误：用作差法比较：226 a2026(b-a） bb(b+2026) 6002小分 a+2026 6+2026,故D正确， 例2：A因为实数m,,p满足m=4e,n=5ep=8,则m>0, 0,p>0,所以了：e1所以m”5】 n p18 e 2el,所以m>p所以Kmm 9 考点2 角度1 例1：B通解：当b>c≥0时，b2>c2,当c<b≤0时，b2<c2,所以a+b2 >a+c2不一定成立，故A错误；因为b>c,a≥0，所以a2+b>a1 +c成立，故B正确；当a>0,c<b≤0时，ab2<ac2,当a<0,b>c ≥0时，ab2<ac2,当a=0时，ab2=ac2,这三种情况下ab>ac 都不成立，故C错误；当a=0时，a2b>a2c不成立，故D错误. 光速解：令a=0,b=-1,c=-2,分别代人选项A,B,C,D可知 只有a2+b>a2+c成立. 例2：AD因为a>b>0>c,所以ac<bc,故A正确：令a=2,b=1, c=-1,d=-2,此时a-b=c-d,ad<be,故B、C错误；因为a>b>0 20.所以分>0-6>0，可得-名>后>0.所以 a6>0,故D正确 c d 角度2 例：AC因为1≤x≤2,3≤y≤5，所以4≤x+y≤7，-2≤-x≤-1， 1≤y-x≤4，所以x+y的取值范围为[4,7]，y-x的取值范围为 [1,4],故A正确，B错误；因为1≤x≤2,3≤y≤5，所以3≤ ≤10,5≤≤3,5≤≤号所以y的取值范围为 11 11x2 [3,10,产的取值范围为[5号]，放C正确，D错误 7 [引申] [解析]设3x+2y=入(x-y)+u(x+y), 即3x+2y=(λ+u)x+(u-入)y, 1 [入22' 于是A+u=3:解得5】 -λ=2， .3x+2y= 2(xy)+ .-1<x-y<4,2<x+y<3, 11 15 22(x-y)2,5<2(+y)< 91 5 19 22(x-y)+2(x+y)2 故3x+2的取值范围是(？，？) 变式训练 1.AB因为a<bc0,所以L1 a6,所以a+1 <6+，放A正确：因 为a<b0,所以2a+6-4=(2a+b)6-a(a+2b)。6尽-a2 a+2b b (a+2b)b (a+2b)60,故 B正确；当a=-2,b=-1,c=1时， -1a=1, 时，3h-cTa-e方c,放C 错误；因为a<b,c>0,所以ac<bc,故D错误，故选AB. 2B由+2+4=0，得子子，因为3且+3=0 所以<0,0，所以由=-412>0，得-2，所以兰> 11 11 2,由=4 2y,得 6,所以上、- 6,由y,得 之<1综上，。子1，即子e(合放选以 名师讲坛·素养提升 变式训练 b 1.C设原来手机屏幕面积为b,整机面积为a,则屏占比为2(a> b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为 m(m>0),升级后屏占比为+m a*m,'a>6>0,6+m-6 a+m a ab+am-ab-bm_（a-b)m>0,即该手机“屏占比”和升级前比 a(a+m) a(a+m） 变大. In 2+ln 5 In 2 2.<n3tln53 ①因为0<1lg,2<1,所以可得1og2=ng3 logs2 logs2+1 logs10 1og6l0:②①可得log2<logs10→1n3in15 In 2 In 10 logs3+1 logs 15 品3哈器 In 2+ln 5 第四讲基本不等式 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.a>0,b>0 2.a=b 3.算术平均数几何平均数 42 知识点二 1.x=y 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.D.m>0,n>0,∴.m+n≥2/mn=18.故选D. 30003+子≥2V3=45,因此243+的最小 x 值为2+43.故选C. 4C当2时，x-2>0x)=(x-2)+1+2≥2，/x-2)·+ x-2 x-2 1 2=4,当且仅当x-2=x一2>2)，即x=3时，取等号，即当) 取得最小值时x=3,即a=3. 54易知日(+日)(+）=22y +2 ab ,6=2时取得最小值故答案为4 1 =4,当且仅当ab=1,即a= &AD由6>0,60，a+6=1,得岁≥当-行，即公+6≥ 2 7,当且仅当a=6=)时取等号，故A正确；由a>0,6>0,a+b2 1 1,得a-b=2a-1>-l,故2>2，故B正确：bg,a+log,b= logz(ab)≤log 2的)=e(分)'=-2.当且仅当a=6=之时. 等号成立，故C错误；(Wa+6)2=a+b+2√ad=1+2√ad≤1+a+ 6=2,得后+6≤反，当且仅当a=b=2时，等号成立，放D 正确. 考点突破·互动探究 考点1 角度1 例：22因为>0，>0，所以1+0+h≥2， 2。二·2+b=+b≥ a b 1a /2 ·b=22.当且仅当) a b2, 即a=b=√2时等号成立， 2 =b, b 收二+“，+b的最小值为2√2.」 故一+ 角度2 例1：cx<号3-2<0e)=3x-2+3”23=-[2-3)+ 2 23]+3-22-30293=-3.当且仅当2- 22即=方时取放到=3+1”有最大值-3 9 故选C. 0<<,y=x4探=-4 例2：4 1 君r1-红当且仅当柱 2 1-4,即=时取等号，则y=x个-4的最大值为子 4第三讲等式性质与不等式性质 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 11 知识点一 两个实数比较大小的方法 1.a>b,ab>0→ 「a-b>0台a b 11 作差法{a-b=0-a b,(a,b∈R) 2.a<0<b→a6 a-b<Oa b, 3.a>b>0,d>c>0=06 知识点二 等式的性质 4.若a>b>0,m>0,则 bbim b b-m(b-m20). 性质1对称性：如果a=b,那么 a atm'a a-m 性质2传递性：如果a=b,b=c,那么 双基自测 性质3可加（减）性：如果a=b,那么a±c=b±c; 题组一 走出误区 性质4可乘性：如果a=b,那么ac=bc; 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） 性质5 可除性：如果a=b,c≠0，那么口=6 （1)若会1，则> 009 知识点三不等式的基本性质 (2)若a>b,则ac2>bc2, ( (3)若ac2>bc2,则a>b. ( 性质 性质内容 特别提醒 (4)若a>b则am2>b2 ( 对称性 a>be 台 (5)若a>b则a3>b3 传递性 a>b.b>c 台 《国者6则分 可加性 a>be 台 题组二走进教材 a>by 2.（必修1习题2.1T3改编)已知a,b∈(0,1)，记M= c>0 注意c 可乘性 ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是 a>b 的符号 3.（必修1习题2.1T5改编)已知a∈(1,3)，b∈(2， c<0 3),则a-2b的取值范围是 a>b 题组三走向考场 同向可加性 4.(2022·上海卷)已知实数a,b,c,d满足：a>b>c>d, C>d 则下列选项中正确的是 () 同向同正 a>b>01 A.a+d>b+c B.a+c>b+d 可乘性 c>d>0] C.ad>be D.aczbd a>b>0 a,b同 5.（多选题)(2025·河南名校联考)已知a>b>0,则使 可乘方性 (n∈N,n≥1) 为正数 得+g6+c 成立的一个充分条件可以是 () a b a>b>O-Ja>/B A.c=-2 B.c=-1 可开方性 a,b同为正数 (neN,n≥2) C.c=1 D.c=2 考点突破·互动探究 考点 比较代数式的大小一自主练透 [引申]在本例中把条件改为-1<x-y<4,2< 例1.（多选题）下列不等式中正确的是 x+y<3,求3x+2y的取值范围 A.x2-2x>-3(x∈R) 本题易犯以下错误，先求出x、y的范围，再求 B.a3+b3≥a2b+ab2(a,b∈R) 3什2y的范围，由于多次用不等式性质扩大了 C.a2+b2>2(a-b-1) 变量的取值范围，正确的解法是把xy和十y看 作一个整体，用它们来表示3+2y,再求出它的 D.0a+2026 b>a>0) 范围. bb+2026 2 18 2.若实数m,np满足m=4e5,n=5e,p-。,则 A.p<m<n B.p<n<m C.m<p<n D.n<p<m 名师点拨：比较两实数大小的方法 名师点拨： 1.作差（商）法：作差（商）→变形曰判断. 利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围， 2.构造函数法：利用函数的单调性比较大小如 In 3,In 4 In 5 但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是 a= ,6= 010 3 4,c= 5此较大小. 在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值 3.中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选 范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范 取“0”或“1”作为中间量， 围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的 运算求解范围。 考点 不等式的性质及应用 多维探究 【变式训练】 角度！不等式的性质 1.（角度1)（多选题）(2026·安徽合肥一六八中学考 例1.(2024·上海春季高考)已知a,b,ceR,b>c,则 试)已知实数a,b,c满足a<b<0<c,则下列不等式中 下列不等式恒成立的是 成立的是 () A.a+b2>a+c2 B.a2+b>a2+c 1 1 A.a+- B.2atb a C.ab2>ac2 D.a2b>a2c a+2b b 2.（多选题)设a,b,c,d为实数，且a>b>0>c>d,则 C 0<6 b-c a-c D.ac>be 下列不等式正确的是 ( A.ac<be B.a-b<c-d 2.(角度2)(2025·海南省琼海市嘉积中学考试)已知 C.ad>be D.c d 实数x<y<z且x+2y+4z=0,则之的取值范围是 a6>0 ( 角度2利用不等式的性质求范围问题 例（多选题）已知1≤≤2,3≤y≤5，则 B(名) A.x+y∈[4,7] B.y-xe[2,3] C.xy∈[3,10] e片引 c(1,6) n(后2 名师#坛·素养提升 “糖水不等式”的应用 例ag糖水中含有6g糖，若再添加mg糟（其中a>b【变式训练】 >0,m>0),生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解1.手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占 后，糖水会更甜.根据这个生活常识，你能提炼出一个 比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常 不等式吗？试给出证明. 在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机 [解析]因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变 面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外 大，所以提坡出的不华式为帽治关中a>6>0,m 观，则该手机“屏占比”和升级前比 () A.不变 B.变小 0.下面用作差比较法给出证明，+m-么 C.变大 D.变化不确定 atm a 2.依据糖水不等式可得出log,2 log1s10(用 a(b+m)-b(atm)_m(a-b) “<”或“>”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖 因为a,b,m都是正数，且 a(a+m) a(a+m) 水不等式 >b,所以a+m>0,a-b>0.所以m(a-b >0,即+m6 a+m a 温馨提示：复习至此，请完成练案[3 a(a+m 第四讲 基本不等式 知识梳理·双基自测 0 知识梳理 归纳拓展 知识点一 基本不等式a瓜≤ 一（均值定 常用的几个重要不等式 (1)a+b≥2√ab(a>0,b>0).(当且仅当a=b时取等 理) 1.基本不等式成立的条件： 号) 2.等号成立的条件：当且仅当 时等号 a+b (2)ab≤ 2 (a,beR).(当且仅当a=b时取等 成立； 3.其中+ 号) 叫做正数a,b的 ,√ab叫 2 a2+b2 做正数a,b的 2(a,b∈R).(当且仅当a=b时取 知识点二 利用基本不等式求最大、最小 等号) 值问题 (4)b+ -≥2(a,b同号).（当且仅当a=b时取等 1.如果x,y∈(0，+o),且xy=P(定值)， a b 那么当 时，x+y有最小值2√P.(简记： 号) “积定和最小”) a2+b2 (5) 2 2 (a,b>0当且仅当 2.如果x,y∈(0，+o),且x+y=S(定值)， a b 那么当)时，可有最大值子（简记：“和定积最 a=b时取等号). 大”)