第2章 第5讲 指数与指数函数-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

综上可得，实数a的取值范围是[-3,1] 【变式训练】 (3)x∈[-1,1]，f(x)≥0成立，则f(x)mx≥0， (2025·北京一零一中学模拟)已知函数f(x)=x2 x∈[-1,1].函数f八x)图象的对称轴方程为x=-a. x+1,在区间[-1,1]上不等式f(x)>2x+m恒成立， 当-a≤0，即a≥0时，f(x)mx=f(1)=a+3. 求实数m的取值范围. 解a+3≥0，得a≥-3，所以a≥0. 当-a>0,即a<0时，f(x)max=f(-1)=3-3a.解 3-3a≥0，得a≤1，所以a<0. 综上可得，实数a的取值范围是R (4)因为对于Ha∈[-1,1]，f(x)>0,令g(a)= (2x-1)a+x2+2,则g(a)>0在[-1,1]上恒成立，所以 「g(-1)=x2-2x+3>0, 1g(1)=x2+2x+1>0, 解得x≠-1，故实数x的取值范 围是{xlx≠-1}. [探究]本题的几个小题表面形式非常相似，究 其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练， 准确使用其成立的充要条件 名师点拨：恒成立问题的解法 1.解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是 参数.一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范 围，谁就是参数.(1)(2)(3)x是变量，(4)a是变量. 2.对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两 种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒 成立. 034 对第一种情况恒大于0就是相应的二次函数的图 象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相 应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴 下方； 对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨 温馨提示：复习至此，请完成练案[9] 论（也可采用分离参数的方法） 第五讲 指数与指数函数 知识梳理·双基自测 知识梳理 当n为偶数时，正数的n次方 根有 它们互为 负数没有偶次 ±9a 知识点一 指数与指数运算 方根 1.根式 (1)根式的概念 (2)两个重要公式 根式的概念 符号表示 备注 n为奇数， ①a (a≥0) 如果 那么x叫做a lal n为偶数. 的n次方根 n>l且neN (a<0), ②(a)"= (注意a必须使a有意义). 当n为奇数时，正数的n次方 零的n次方根 2.分数指数幂 根是一个 ,负数的n a 次方根是一个 是零 (1)正数的正分数指数幂是a”= (a>0. m,nEN",n>1). (2)正数的负分数指数幂是4兰 (a>0,m, a" 双基自测 nEN",n>1). 题组一 走出误区 (3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） 意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)-4)=-4 () (a>0,r、s∈Q); (2)2·2=2 (1)a·a= (2)(a)'= (a>0,r、s∈Q); (3)a2兰-a(n,meN). (3)(ab)'= (a>0,b>0,reQ). (4)若am<a”(a>0,且a≠1)，则m<n. ( ) 知识点二 题组二 指数函数的图象与性质 走进教材 2.（必修1习题4.1T1改编)下列根式与分数指数幂 指数函数的概念、图象和性质 的互化正确的是 () 定义 函数f代x)=a(a>0且a≠1)叫指数函数 A.-R=(-x) 底数 a>1 0<a<1 (x>0) y= 图象 y= C.y 0 D.[9-)]=x2(x<0) 函数的定义域为R,值域为(0，+∞) 3.（必修1习题4.1T4改编)化简16xy(x<0,y<0) 035 函数图象过定点(0,1)，即x=0时，y=1 得 当x>0时，恒有y>1; 当x>0时，恒有0<y<1; A.2x'y B.2xy 性质 当x<0时，恒有0<y<1 当x<0时，恒有y>1 C.4x2y D.-2x2y 函数在定义域R上为 函数在定义域R上为 4.（必修1P1n表4.2-3变式)设aeR,若函数f(x)= 增函数 减函数 (a-1)为指数函数，且f(2)>f(3),则a的取值范 围是 () 归纳拓展 A.1<a<2 B.2<a<3 C.a<2 D.a<2且a≠1 1.画指数函数y=a(a>0且a≠1)的图象时注意三个 题组三走向考场 关键点：1，a),(0,1),(1,） 5.（多选题)(2026·云南昆明模拟)已知10°=2,102 =5,则下列结论正确的是 () 2.底数a的大小决定了图象相对位置的高低，不论是 B.ab8 1 a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大，函数图象 A.a+2b=1 越高，即“底大图高” C.10+>4 D.a>b 6.(2023·天津卷)设a=1.0105,b=1.0106,c=0.65, 则a,b,c的大小关系为 () =b A.c>a>b B.c>b>a C.a>b>c D.b>a>c 0<a<b<l<c<d 考点突破·互动探究 考点十 【变式训练】 指数与指数运算一自主练透 (多选题)已知函数f(x)=a-b(a>0,且a≠1，b≠0) 例求值与化简 的图象不经过第三象限，则a,b的取值范围可能为 ω(3)×)°82-()于： () A.0<a<1,b<0 B.0<a<1,0<b≤1 C.a>1,b<0 D.a>1,0<b≤1 《2)ab÷4√b1)言(a,b>o)F 考向2指数函数的性质及耳应用—暑维探究 a.6 角度！比较指数幂的大小 (3)已知a>0,a2+n宁-3，求4+n ata-+ 一的值 例(2026·四川阶段检测)已知a- 分)产c,则 A.a<b<c B.b<c<a C.b<a<c D.c<b<a 角度2解简单的指数方程或不等式 例1，已知函数《x)=g(>0,且a≠).若-3)< f(4),则不等式f(x2-2x)≤f(3)的解集为（) A.(-1,3) B.[-1,3] C.(-0,-1)U(3,+o) D.[-1,0)U(0,2)U(2,3] 036 名师点拨：指数幂运算的一般原则 2.已知实数a≠1，函数f(x)= 4,x≥0， 若 2-,x<0, 1.有括号的先算括号里的，无括号的先做指数f(1-a)=f(a-l),则a的值为 运算. 角度3指数函数性质的综合应用 2.先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. 3.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成 例已知圆故-5子(a为布数，Ra0a店 分数，底数是带分数的，先化成假分数. R)是奇函数 4.若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形 (1)求a的值； 式表示，运用指数幂的运算性质来解答。 (2)若Hx∈[1,2]，都有f(2x)-mf(x)≥0成立， 5.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不 求实数m的取值范围. 能既有分母又含有负指数，形式力求统一 考点 指数函数的图象与性质 考向1 指数函数的图象及应用师生共研 例1，（多选题）已知实数a,b满足等式3”=6，则下 列可能成立的关系式为 () A.a=b B.0<b<a C.a<b<0 D.0<a<b 2.若函数f(x)=12-21-b有两个零点，则实数b 的取值范围是 名师点拨：对于有关指数型函数的图象问题， 般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸 缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系 不确定时应注意分类讨论 名师点拨： 2,x<1 1.利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等2.（角度2）设函数(x)= 则使得f(x)≤2 式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中 x2,x≥1， 间量. 成立的x的取值范围是 2.求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确3.（角度3）（多选题）(2026·临沂模拟)已知函数 复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时， 2 要借助“同增异减”这一性质分析判断. f(x)= 2一ta(aeR),则下列结论正确的是() 【变式训练】 1.(角度1)(2024·海口模拟)已知a=1.36,b= A.f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+0) ()c-(则 03 B.f(x)的值域为R C.当a=1时f(x)为奇函数 A.c<b<a B.a<b<c D.当a=2时，f(-x)+f(x)=2 C.c<a<b D.b<e<a 名师#坛·素养提升 指数菡数中的分美与整合思想 名师点拨： 例 已知函数fx)=a2+2x+b(a,b是常数且a>0, 分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时， ≠1)在区间[ 可-子0上有最大3和最小值名 要分类研究，再整合得到的结论.指数函数的单调性与 底数的取值有关，如果底数是字母时，常分情况讨论 试求a,b的值 解指数函数综合问题的两个注意点： 求复合函数值域，先观察它是怎样复合而成 1.指数函数的底数不确定时，应分a>1和0<a<1 037 的y=a+b,t=x+2x,xe 可≤后求出= 两种情况讨论 2.解决和指数函数有关的值域或最值问题时，要 牛2x,x7,0的值域，再求=+6的值场 熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利 用换元法求解时要注意新元的取值范围. 注意要对底数a进行分类讨论 【变式训练】 设a>0且a≠1，函数y=a2+2a-1在[-1,1]上的最 [解析] 大值是14，求实数a的值. 由图象得t∈[-1,0]. ①当a>1时，g(t)=a+b在[-1,0]上为增函数， 信城为[日6,1+， b= a 2解得=2， 1+b=3, b=2. ②当0<a<1时，g(t)=d+b在[-1,0]上为减函 数，值城为16， 1+b= 2, 3 a= 解得 +b=3 3 b= a 2 ,63 综上所述，a=2,6=2或4=2 温馨提示：复习至此，请完成练案[10 2所以f(x)mn=f(-1)=t. rt,t≤-2， 综上，g(t)= 4,-2<<4, 3-2t,t≥4. [引申] [解析]f(-1)=t,f2)=3-2tf2)-f-1)=3-3t, 当t≥1时，f2)-f-1)≤0， ∴.f2)≤f-1),∴f(x)mr=f(-1)=t; 当t<1时f(2)-f(-1)>0, f2)>f-1), f（x)mm=f2)=3-2t, 综上有G)=,≥1， 3-2t,t<1. 变式训练 1.A由f(0)=f(4),得f(x)=ax2+bx+c的图象的对称轴为直线 =24a+h=0,又0)>1)4)>1)，f(x)先减后 x=-20 增，∴.a>0,故选A 2.AD函数f代x)的图象的对称轴为直线x=-)当-2和-1】 2≤1， 1 即a≥2时)m=f(3)=6a+3,所以6a+3=1,即a=3 满足题意：当221，即a<时到-1)=-2a-1,所 1 以-2a-1=1,即a=-1,满足题意.综上可知，a=-了或-1.故 选AD. 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析]解法一：f(x)>2x+m等价于x2-x+1>2x+m, 即x2-3x+1-m>0, 令g(x)=x2-3x+1-m,要使g(x)=x2-3x+1-m>0在[-1,1]上 恒成立， 只需使函数g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上的最小值大于0 即可， :g(x)=x2-3x+1-m在[-1,1]上单调递减， .g(x)mm=g(1)=-m-1. 由-m-1>0,得m<-1.因此满足条件的实数m的取值范围是 (-0,-1) 解法二：f(x)>2x+m等价于m<x2-3x+1,令g(x)=x2-3x+1,其 3 图象的对称轴x=2>1, 所以g(x)在区间[-1,1]上单调递减， 则g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(x)=g(1)=-1,所以 m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是(-，-1). 第五讲指数与指数函数 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.x”=a正数负数两个相反数aa-aa 2.Wa" 3.a"a"a'b' 4 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](1)由于(-4)了=4=4，故(1)错误：(2)2·2= 2,成(2》号头(3)号误，0-三：(4)当a>1时，y=0是特 a" 函数，则m<n,当0<a<1时，y=a是减函数，则m>n,故(4) 错误 2.B根据指数幂的运算法则化简判断即可.-E=-x,故A不成 文ee0故政万=放e不成 [-x)7]下=[(-x)]F=(-x),x<0,故D不成立.故选B. 3.D因为x<0,y<0,所以/16x7=(16x3·y)=(16). (x).(0)=2x21y1=-2x2x故选D. 4.A由函数f(x)=（a-1)"为指数函数，知a>1且a≠2.当a>2 时，函数f代x)=(a-1)单调递增，有f(2)<f(3),不符合题意， 舍去；当1<a<2时，函数fx)=(a-1)产单调递减，有f(2)> f代3)，符合题意.故选A. 5.ABC因为10°·10=10+=10，所以a+2b=1,A正确：易知a >0.6s0,由基木不等式得a+26≥2d,所以0≤名，当且仅 当a=2h=时取等号，又10≠1心，即a≠26，所以6安，B 正确；由102=5得10=5,10"=25>4，C正确；10=2<√5= 10,.a<b,D错误. 6.Df(x)=1.01单调递增，f0.5)<f0.6),即a<b.g(x) =xa5单调递增，g(1.01)>g(0.6),即a>c,.b>a>c,故选D. 考点突破·互动探究 考点1 例：[解（)式-（）产1+2-（）广-2 (2)原式= a3.b2.1a1.b1号 a 2 .3 b·a1 (。6) =a3·b2 =a6h=a316中=n6 71 (3)将a2+a2=3两边平方，得atal+2=9, 所以a+a=7. 将a+a1=7两边平方，得a2+a2+2=49, 所以a2+a2=47, 所以0+和2+147+1 a+a1+17+1=6. 考点2 考向1 例1：ABC由题意，在同一平面直角坐标系内分别画出函数y=3 和y=6的图象，如图所示，由图象知，当a=b=0时，3=6°= 1,故选项A正确；作出直线y=k,当k>1时，若3=6=k,则 0<b<a,故选项B正确；作出直线y=m,当0<m<1时，若3”= 6=m,则a<b<0,故选项C正确；当0<a<b时，易得2>1，则 3“<3<2·3=6,故选项D错误 y=m -2-101234 例2：(0,2)在同一平面直角坐标系中 -2 画出y=12-21与y=b的图象，如图 所示.∴.当0<b<2时，两函数图象有 两个交点，从而函数f(x)=12-21- b有两个零点.∴.实数b的取值范围 是(0,2) 变式训练 ABC若0<a<1,则函数y=a的图象如图所 示，要想f(x)=a-b的图象不经过第三象限， 则需要向上平移，或向下平移不超过1个单 位长度，故-b>0或-1≤-b<0,解得b<0或0< b≤1，故A、B正确；若a>1,则函数y=a的图 象如图所示，要想f(x)=a-b的图象不经过 第三象限，则需要向上平移，故-b>0,解得b< 0,即C正确，D错误 考向2 角度1 例：C令)=x-(3) ,易知f(x)在R上单调递增，由f1)> 0时(2)<0，得3xe(行，1)）使得)=0，故ae(分 )因为6=（兮）》厂a=(兮)且a<石所以由声数两数y =(分)广在R上单满速减，可得a>6,又由指数函数y=。在 R上单调递减，可得a>a,所以c=a“>a,故b<a<c.故选C. 角度2 例1：B因为函数f(x)=a的定义域为R,且f代-x)=a= fx),所以函数f代x)为偶函数，则f1x1)=f(x),因为f代-3) <f(4),则f代I-31)<f(4),即f(3)<f(4),所以a>1,f(x)在 [0,+∞)上单调递增，所以f(x2-2x)≤f(3)可以转化为 f代lx2-2xl)≤f代3)，则Ix2-2x|≤3，解得-1≤x≤3.故选B. 例2：2①当a<1时，由1-a)=a-1)得4=2，即 2=2,所以2-2a=1,解得a=2;2当a>1时，由1-a）= f代a-1)得2-1-)=4-1，即22-l=24-2,所以2a-1=2a-2,无 解综上可知，a= 1 角度3 12+ 例：[解析](1))= 2 因为f代x)是奇函数，所以f(-x)=f(x), 所以（日+）(2+2)）=0即2+1=0，解得a=-1 4 (2)由(1)知a=-1, 所以=-2，t[1,2]. 2* 所以产n(分， 1 所以m≥2+2，xe[1,2]. 令t=2*,t∈[2,4]， 设2，则 1 te[2,4], 由于y=4在[2,4]上单调递增， t 所以m≥4+1=7 44 所以实数m的取值范国是[好，+如）片 变式训练 1D=11=1,6=(告)”-（经）e-(） 因为指数函数y=（ 是减函数所以()“<（子） (2）广-1所以6c1,所以bca 2.(-0,4]当x<1时，由2-1≤2，得x<1;当x≥1时，由x2≤2， 得1≤x≤4.所以使得f(x)≤2成立的x的取值范围为(-∞，4]. 3ACD对于函数x)=2 +a(aeR),令2-1≠0，解得x≠0， 2-1 所以f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，故A正确：因为2>0， 则211.当2-1>0时220.所以品0a:当-121 <0时名-2，所以名0<-2u,签上可得八的值城为 2 2+1 (-0,-2+a)U(a,+o),放B错误；当a=1时x)F2 期动所以21为 2-11 2-12-1 奇两数故C正确：当=2时代e)22?=1,则0 2 -x)=2+1+1++1=2,放D正确 2*-12*-1 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析]设a=t,则a2=子， ①当a>1时e[后y=+2-1,在[后网上为增函数， 当t=a时，取得最大值，a2+2a-1, 所以a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍)； ②当0<a<1时4e[a,引，=f+2-1,在[a,上为播 函数， 当=。时，取得最大值，( 1 a 综上所述，a=3或3