第2章 第2讲 函数的单调性与最值-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

3.配方法：形如y=af(x)+bf(x)+c(a≠0)的函 (3)y=ln(-x2+2x); 数；如例(2). x2-x+2 (4)y= 4.不等式法：如例(3). -1(x>1). 5.单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进 而确定值域；如例(4) 6.换元法：形如y=ax+b±√cx+d(a≠0，c≠0)的函 数；如例(4)；形如y=ax+b±√c2-x2(a≠0，c≠0)的函 数采用三角换元法，如例(5)： 7.数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如 例(6). 8.导数法：如例(3) 【变式训练】 求下列函数的值域： (1)y=x-2x; 1 温馨提示：复习至此，请完成练案[6] (2)=2+x+2 第二讲 函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 024 2.单调性与单调区间 知识梳理 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递 知识点一 函数的单调性 减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）》 ,区间D叫做y=f(x)的 1.单调函数的定义 知识点二函数的最值 单调递增 单调递减 前提 设函数y=f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间D二I. Vx1,ED (1)x∈1，都有f(x) (1)Hx∈1，都有f(x) ≤M; ≥M; 条件 (2)3x∈I,使得f(xo) (2)3e1,使得f(x) 定义 当1<x2时，都有f(1) 当<2时，都有f(x)< =M =M >f(x2),那么就称函数 f(x2),那么就称函数fx)在 fx)在区间D上 区间D上 结论 M为函数y=f(x)的 M为函数y=f(x)的 归纳拓展 y=f(x) ↑y fx) y=f(x) (x1)f(x2) 1.Hx1,x2∈1且x1≠x2,有 >0(<0)或(x1 fx) X-x2 图象 x)川x) x2)[f(x)-f(x2)]>0(<0)台f(x)在区间I上单调递 描述 0x1 增（减）. 自左向右看图象是 自左向右看图象是 2.在公共定义域内，增函数+增函数=增函数，减函数+ 减函数=减函数. 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内 增（减） 当函数f(x)在它的定义域上单调递增（减）时，我 1 函数 们就称它是增（减）函数 与)=)，不的单调性相反 4.复合函数的单调性：同增异减。 双基自测 A.[1,2]U[4,5] B.[-1,2]和[4,5] 题组一走出误区 C.[-3,-1]U[2,4] 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“V”或“×”） D.[-3,-1]和[2,4] (1)若定义在R上的函数f(x)满足f(-1)<f(3),则3.（必修1习题3.2T7改编）已知f(x)=-22+x,x∈ 函数f(x)在R上为增函数， ( [-1,3],则其单调递减区间为 ;f八x）min (2)函数f(x)在(-1，+∞)上单调递增，则函数的单 调递增区间为(-1，+∞). ):4.(必修1习题3.2T2改编)已知函数y=f(x)是定义 (3)函数y=1的单调递减区间是(-0,0)U(0, 在[-2,2]上的减函数，且f(a+1)<f(2a),则实数a 的取值范围是 +∞) ()题组三走向考场 (4)对于任意两个函数值f(x1)f(x2),当f(x)>5.(2023·北京卷)下列函数中，在区间(0，+∞)上单 f(x2)时都有x>x2,则y=f(x)为增函数. 调递增的是 () A.f(x)=-Inx 题组二走进教材 B.f(x)=1 2 2.(必修1习题3.2T1改编)已知函数y=f(x)的图象 C.fx)=-1 D.f(x)=3-山 如图所示，则该函数的单调递增区间为 6.(2026·北京海淀区期末)已知函数f(x)= -,x≥，存在最小值，则a的取值范围是 ax-1,x<a 考点突破·互动探究 025 点 名师点拨：确定函数单调性的四种方法 函数的单调性 1定义法；2.导数法；3.图象法；4.性质法 考向1 函数单调性的判断与证明一自主练透 例1.（多选题）下列说法中，正确的是 专向2函数单调性的应用一暑维探穷 ( A国数y0在(-，0)上单调递减 角度」利用函数的单调性比较大小 例(2023·全国甲卷文)已知函数f(x)=e-.记 B.若f(x),g(x)都是R上的增函数，则h(x)= f(x)+g(x)也是R上的增函数 a=)6=)c=),则 C.函数y=21x+11的单调递减区间是(-o,-1] A.b>c>a B.b>a>c D.函数f(x)=2+2x+3的单调递增区间为 C.c>b>a D.c>a>b [1,+∞) 角度2利用单调性求最值 2已知函数y=x+m+2(m∈R).若函数在区间 例函数八x)=3+l0g(x+2)在区间[-1,2]上的最大 值为 [2,+∞)上单调递增，利用函数单调性的定义，求实数 m的取值范围. 角度3利用单调性解不等式 例(2026·湖北武汉适应考)已知函数f(x) l0g2x,0<x≤2 若f(a+1)-f(2a-1)≥0，则实数a 2x-3,x>2, 的取值范围是 () A.(-0,2] B.[2,+o) C.[2,6] n(2,2] 角度4利用单调性求参数的取值范围 【变式训练】 例1（2024·全国新高考I卷)已知函数 1.(角度1)(2026·湘潭统考)已知函数y=f(x)在R 「-x2-2ax-a,x<0, 在R上单调递增，则a 上是增函数，且a+b>0,则 () f八x)= le+ln(x+1),x≥0 A.f(a)+f(b)zf(-a)+f(-b) 的取值范围是 B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) A.(-,0] B.[-1,0] C.f(a)-f(b)zf(-a)-f(-b) C.[-1,1] D.[0,+∞) D.f(a)+f(b)<f(-a)-f(-b) 2.（角度2)(2026·江苏模拟)已知f(x)是定义在R 已知函数y=l1og1(6-ax+x2)在[1,2]上是增函 上的奇函数，当x≥0时，f(x)=4+3x+b(b为常数)， 数，求实数a的取值范围 则f(x)在[-3，-1]上的最大值为 3.(角度3)(2026·辽宁名校联盟调研)已知函数 函数y=6-a什不仅在[1,2]上单调递减， 而且6-ax什x在[1,2]还少须大于0 f八x)= 0则不等式八)≤1的解集为 A.[0,2] B.[0,1] C.(-0,2] D.(-0,1] 4.(角度4)(2025·河北部分学校联考)已知函数 八x)=a-2,xs0, ln(x+1),x>0 是R上的增函数，且关于x的 名师点拨：函数单调性应用问题的常见类型及 解题策略 不等式f(a+x2)≥f八x)恒成立，则实数a的取值范围 1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个 是 () 单调区间内，然后利用函数的单调性解决 2.利用函数单调性求最值是求函数最值的重要方 A.[.] 026 法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法几乎成为 首选方法 c〔片 片刂 3.解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时， 喜点己 往往是利用函数的单调性将“∫”符号脱掉，使其转化 函数的最值一 自主练透 为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域 ,x≥1， 4,利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知 例1.函数八)= 的值域为 数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区 -x2+2,x<1 间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参 2.已知函数f(x)=-2x2+1,g(x)=-x,x∈R,用 数.求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分 M(x)表示f(x),g(x)中的较小者，记为M(x)= 点处左、右端点函数值的大小关系。 minf(x),g(x)},则M(x)的最大值为 名师#坛·素养提升 抽象盖数的单调性问题 [解析](1)证明：令x=y=0,可得f(0)+f(0)= 抽象函数特值法，计算0)，寻找代x)与代-x) 关系，以及代x)(x)的符号 f(0+0)=f(0),从而f(0)=0. 令y=-x,可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=f(0)=0, 例 已知定义在R上的函数fx)对任意实数x,y, 即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数， 恒有f+f0)=f+),f)=-子，且当 (2)证明：对任意x1,x2∈R,不妨设x1>x2,则x1 x>0时，fx)<0. x2>0,于是f八x1-x2)<0, (1)求证：fx)为奇函数； (2)求证：fx)在R上是减函数； 从而fx1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)= (3)求f(x)在[-3,6]上的最大值与最小值 f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)<0, 所以f八x)在R上是减函数. (3)由(2)知，所求函数在[-3,6]上的最大值为【变式训练】 f八-3)，最小值为f6). f(x)的定义域为(0，+∞)，且对一切x>0,y>0都有 因为f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]= }=)).当1时，有)0 -[2f1)+f1)]=-3f1)=2, (1)求f(1)的值； f(6)=-f八-6)=-[f(-3)+f-3)]=-4. (2)判断f(x)的单调性并证明； 所以f(x)在[-3,6]上的最大值为2，最小值为 (3)若6)=1，解不等式x+5)-)<2 -4. 注：可考虑函数代x)= 3 名师点拨： 对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的 定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1,x2 在所给区间内比较)(x)与0的大小，或) f(x,) 与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形，如x1=x2 运名或七=等，深挖已知条件，是求解此类题 的关键.在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特 温馨提示：复习至此，请完成练案[7 殊化方法 027 第三讲 函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 知识点一 函数的奇偶性 1.奇（偶）函数定义的等价形式 偶函数 奇函数 1-)=-x)x)=00-1 f(x) 如果对于函数(x)的定义域内任意一个x ≠0)f(x)为偶函数； 定义 都有 ,那么函都有 ,那么函数 数f(x)是偶函数 f(x)是奇函数 (2代-x)=f(x)f(-x)+f(x)=0s-x f(x) 图象 -1(f(x)≠0)台f(x)为奇函数. 关于 对称 关于 特征 对称 2.若y=f(x)为奇函数，y=g(x)为奇函数，在公共定义 域内 知识点二 函数的周期性 (1)y=f(x)±g(x)为奇函数； 1.周期函数 对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得 2e(与7留g0)均为锅≤数： 当x取定义域内的任何值时，都有 那么就称 (3)y=f[g(x)]与y=g[f(x)]均为奇函数： 函数y=f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. 同理若y=f(x)与y=g(x)在公共定义域内均为偶函 2.最小正周期 数，则y=f(x)±g(x),y=f(x)g(x),y= 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ,那么这个 就叫做f(x)的最小 (g(x)≠0)，y=f[g(x)]y=g[f(x)]均为偶 g(x) 正周期 函数变式训练 1 1 1-x0且x≠1)f代) 1-x0且x≠1). 1- 2.2x+1设f(x)=kx+b(k≠0)，则f儿f(x)-2x]=fkx+b-2x)= k(+6-2x)+6=(-26)x+钻+6=3，所以-2=0，解得 b+b=3, k=2所以fx)=2x+1 Lb=1, 1 3.-x+4由已知得f(-x)+3f(x)=-2x+1,解方程组 +32得0=-+子 f-x)+3f(x)=-2x+1, 考点3 角度1 例：B因为f(x)为奇函数，g(-3)=-g(3)=-(1og3-2)=1, ∴f[g(-3)]=-2.故选B. 角度2 例：C由题意可知m>0,当0<m<1时，m+1>1,所以由f(m)= 1 fm+1)得厅=3m→m=g;当m≥1时，m+1>L,所以由m） =m+1)得3(m-1)=3n,无解综上，m=g放选C 角度3 「x2+2x,x≤0， 例：B因为f(x)= 所以不等式f(x)≥0等价于 ln(x+1),x>0, 22 [x≤0， 解得x≤-2或x=0或x>0.所以不 等式的解集为(-∞，-2]U[0,+∞).故选B. 变式训练 1.D分段函数求值问题.函数f(x)= 【,0≤x≤1，所以 2fx-1),x>1, ()=2)=2行1放选D 1 2.Af1)=2=2,∴fa)+2=0∴f(a)=-2,当a≤0时f(a) =a+1=-2,∴.a=-3,当a>0时，f(a)=2”=-2,方程无解，综上 有a=-3. 3(1,+)因为函数f代x)=2+1,≤1， 所以f(1)=2+1= logx+3°，x>1, 3,所以f[f1)]=f3)=l1og3+3°=1+3“，因为f[f1)]>4,所以 1+3“>4,即3“>3，解得a>1,即实数a的取值范围为(1，+0). 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析](1)令√公=(1≥0)，则y=2t-1(t≥0)，所以y= -1)2子在[0，]上单润递减，在1，+)上单调爱，所以 1 当1=1，即x=子时，函数x)取得最小值，为子故该函爱的值 减为[方+) (2)根据题意得-x2+x+2≠0，解得x≠-1且x≠2 4 且-x2+x+2≠0 所以函数)的值城为(-，0)U[手+) (3)由-x2+2x>0,解得0<x<2, 所以f(x)的定义域是(0,2). 设t=-x2+2x=-(x-1)2+1, 则0<t≤1，所以y=nt,t∈(0,1]， 由对数函数的图象和性质可知y∈(-∞，0]，即函数f(x)的值 域为(-0,0]. (4)令t=x-1,.t>0,x=t+1, 中1）-(t+1)+2_+t+2=t2+1≥22+1， .y= t t 当且仅当=2即=2时取等号， t .函数的值域为[22+1，+0). 第二讲函数的单调性与最值 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.单调递增单调递减上升的下降的 2.单调性单调区间 知识点二 最大值最小值 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [解析](1)函数的单调性体现了任意性，即对于单调区间上 的任意两个自变量值x1,x2,均有f(x)<f(x2)或f(x)>fx2), 而不是区间上的两个特殊值. (2)单调区间是定义域的子区间，如y=x在(-1，+0)上是增函 数，但它的单调递增区间是R,而不是(-1，+∞) (3)多个单调区间不能用“U”符号连接，而应用“，”或“和” 连接， (4)设f(x)= xe[0,小如图. 1,xe(1,2), 当代x)>f(x2)时都有x>x2,但y=f代x)不是增函数. 2.B由图象知，该函数的单调递增区间为[-1,2]和[4,5]，故 选B. -15 r-2≤a+1≤2， 4.[-1,1)依题意得-2≤2a≤2，得-1≤a<1. la+1>2a, 5.C对于A,f代x)=-nx在(0，+o)上单调递减，不符合题意；对 于Bx)=在(0，+如)上单调递减，不符合题意：对于C, fx)=- -在(0，+∞)上单调递增，符合题意：对于D,f(x)= 3-1,x≥1， c1在(0，+0)上不单澜故选C 3r"=1 6(-,]U10当>0时)=-1在(-，)上单调 递增，且当x→-∞时，f(x)-0,显然f(x)不存在最小值，故舍 去当a=0时)，00则当≥0时八)= ()”≥子所以)的最小值为-1，符合题意：当 a<0时.当≥a时()=-=(x)广，所以x)在 (a,2）上单两递诚，在（分，+如）上单调递增(3） 子，当<a时x)=a-1,则)在(-x,o)上单调递减，要 使函数存在最小值，则 -1≥4'解得a≤-此时) la<0, =(宁分）号综上可得，a的取是(，]U {0}. 考点突破·互动探究 考点1 考向1 例1：ABC在(-∞，0)上函数y=e*与y=-之都单调递减，所以 y=6”在(-，0)上单调递减放A正确：阿猫函数的和 为增函数，故B正确；作出函数 y=21x+11的图象，如图所示，由 图象可知，函数y=21x+11的单调 y=2lx+1l 递减区间是(-∞，-1]，故C正 确：由判断复合函数的单调性的 方法“同增异减”可得f(x)的单 调递增区间为(-∞，1]，故D错误 例2：[解析]任取x1,x2e[2,+0)且x1<x2, 设fx)=x4m+2, 则)-)=(++2小-(++2）=（-） x12-m >0 x22 因为x2-x1>0,x1x2>0, 所以x1x2-m>0,即m<x1x2 因为x2>x1≥2，所以x1x2>4,所以m≤4， 即实数m的取值范围为(-∞，4]. 考向2 角度1 例：Af代x)=e1)是由y=e"和u=-(x-1)2两个函数复合 而成的，fx)在(-，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递 减，又知f2-x)=e2l=e2=e2=x),fx)的图 象关于直线=1对称（气）2-)又号2写 1()s(2)(）,即<a.故选A 角度2 例：11由于y=3在R上是增函数y=log2(ax+2)在[-1,2]上单调递 增，所以f(x)在[-1,2]上单调递增，故f(x)在[-1,2]上的最 大值为f(2)=32+log24=11. 角度3 例：D因为当xe(0,2]时，f(x)=log2x单 调递增，此时f(x)≤f(2)=1,当x∈（2 y=f(x) +o)时，f(x)=2x-3单调递增，此时 l0g2x,0<x≤2， fx)>1,所以f(x)= 是 12x-3,x>2 定义在(0，+∞）上的增函数如图.所以 若f(a+1)-f(2a-1)≥0，即f(a+1)≥ 1 f2a-1),则a+1≥2a-1>0,得2<a≤2，故选D. 角度4 例1：B当x≥0时，f代x)=e+ln(x+1)单调递增，当x<0时，f(x) =-x2-2ax-a,所以要使函数f(x)在R上单调递增，需满足 -a≥0， ,,解得-1≤a≤0.故所求a的取值范围为[-1,0] L-a≤e°+ln1, 例2：[解析]设u=6-ax+x, ·y=log1u为减函数， ∴.函数u在[1,2]上是减函数 =6-ar+2,对称轴为x= a 2≥2，且u>0在[1,2]上恒成立. fa≥4， 解得4≤a<5, 6-2a+4>0, ∴.实数a的取值范围是[4,5). 变式训练 1.A因为a+b>0,所以a>-b,b>-a,又因为y=f孔x)在R上是增 函数，所以f(a)>f代-b),f代b)>f(-a),所以f(a)+f(b)>f(-b)+ f(-a). 2.-6根据f(0)=0求得b,结合函数的单调性、奇偶性求得正确 答案.依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=1+b=0, b=-1,即当x≥0时，f(x)=4+3x-1,f(x)单调递增，所以f(x) 在区间[1,3]上的最小值为f代1)=4+3-1=6，所以f(x)在区间 [-3,-1]上的最大值为-6. 3.C由题意可知当x≤0时，0<2≤1，故f(x)=1-2<1;当x>0 时，令f(x)=log3(x+1)≤1，即0<x+1≤3，解得-1<x≤2，所以 0<x≤2.综上，不等式f(x)≤1的解集为(-0,2].故选C. 4.D因为函数g(x)=a-2与h(x)=ln(x+1)均是增函数，所以 函数y=f代x)是R上的增函数只需满足g(0)≤h(0),即a-1≤0， 解得as1由a)得af≥即0≥-（号）广+号 恒成立，所以当=了时，函数y(）广+子取得最大值 子，所以a≥子，即ae[子，小，所以实数a的取值范围是 [子小故选D 考点2 例1：(-∞，2]解法一（图象法）：作出函数f代x)= ，x≥1，的 -x2+2,x<1 图象（如图所示）f代x)mm=f代0)=2.由函数图象可知，f代x)的 值域为(-0,2] 3-211234 解法二（单调性法）：当×≥1时，函数f)=单调递减，所 以f代x)在x=1处取得最大值，最大值为f代1)=1：当x<1时 易知函数f代x)=-x2+2在x=0处取得最大值，最大值为f(0) =2.综上，函数f代x)的最大值为2，所以函数f(x)的值域为 (-0,2] 例2：2 令-2x2+1>-x,即2x2-x-1<0,解得 2<x<,所以M(x)= 1 -,2<x<1, 作出函数图象 -2+1,x≤2或x≥1， 如图所示，由图象易得函数M(x)的最大值为之 名师讲坛·素养提升 变式训练 [解析] (11)=f=x)x)=0 (2)fx)在(0，+0)上是增函数 证明：设0<，则由f(）=)-y),得)) f()因为宁>1，所以（图）>0所以)-0.即 f(x)在(0，+0)上是增函数. (3)因为6=筒 =f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)= 2,原不等式化为：f(x2+5x)<f(36),又因为f(x)在(0，+∞)上 是增函数， rx+5>0, 所以 1 >0, 解得0<x<4. Lx2+5x<36 所以不等式的解集为{x10<x<4 第三讲函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 f代-x)=f(x)f代-x)=-f(x)y轴原点 知识点二 1.f(x+T)=f(x) 2.最小的正数最小正数 4 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)V(5)V(6)× 〔解析】(5（子）=f(+r）=(5)又f(子) (3)(3)=0 (6)当x=-π时f(x+2π)=f代π)，π(-0,0)无意义，故错误， 2.BC根据奇函数的定义知奇函数满足f代-x)=-f(x),且定义域 关于原点对称，A选项为偶函数；B选项为奇函数；C选项为奇 函数；D选项是偶函数.故选BC 3.B因为f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数，所以 。1 a-1+2a=0,所以a=3.又f-x)=f代x),所以b=0,所以a+b 1 Γ3 4.B函数y=f(x)为奇函数，.f(-a)=f(a).即点(-a, -f(a))一定在函数y=f代x)的图象上. 5.A根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)=f(-1)=-f(1) f(2)=f(0)=0,从而可求f(1)+f(2)+f(3).因为函数以2为周 期，所以f(3)=f(-1),f(2)=f(0),因为函数是定义在R上的奇 函数，所以f代-1)=-f(1)f(0)=0,所以f1)+f(2)+f(3)=f(1) +f(0)-f(1)=0,故选A. 6A由)是定义在R上且周期为2的偶函数得(-子)= f(是）/2+)f()又当2≤≤3时x)5-2x,则 川)4)-5-2x号子故选 7.0.f(x)是奇函数，∴.f代0)=0，即03+a=0,解得a=0. 考点突破·互动探究 考点1 考向1 例：[分析]先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义 域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(-x),再判断f代-x) 与f代x)之间的关系.抽象函数常用赋值法判断. [解析]（1)f(x)的定义域为{-1,1}，关于原点对称. 又f(-1)=f1)=0,f-1)=-f1)=0, 所以f代x)既是奇函数又是偶函数. (2-x)=2-1-2-·21-2 =f代x),∴.f(x)为奇 2*+1(2*+1)·21+2 函数. (3)f(-x)=ln(-x+√x2+1), f(-x)+f(x)=ln[(-x+√x+1)(x+√/x2+1)]=ln(x2+1-x2) =0, ∴.f(x)为奇函数. (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的 图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇 函数 考向2 角度1 例1：C因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x),即f(-x)+x2= f(x)-x2,即f代-x)+f(x)=-2x2.因为f1)=1,所以f(-1)= -3所以(-1)=-3-3写号 例2：-e+2x+1因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x=0时， f(0)=0.当x>0时，-x<0,f(x)=-f(-x)=-(e-2x-1)=-e+ 5