第1章 第1讲 集合-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

第一章集合、常用逻辑用语与爪等式 考情清单 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 集合及其关系 2023新课标Ⅱ，2 已知集合间关系求参数 1考 逻辑推理 数学运算 2025全国一卷，2 集合的补集运算 2024全国二卷，3 2024新课标，1 2023新课标I,1 集合的交集运算 集合的基本运算 2022新高考I,1 9考 数学运算 2022新高考Ⅱ，1 001 2021新高考I,1 2020新高考I,1 集合的综合运算 2021新高考Ⅱ，2 2023新课标I,7 充分、必要条件的判断 常用逻辑用语 2考 逻辑推理 2024新课标Ⅱ，2 命题的否定及真假判断 2025全国二卷，4 分式不等式 2024新课标I,1 三次不等式 不等式的解法 2023新课标I,1 一元二次不等式 5考 数学运算 2022新高考I,1 根式不等式 2022新高考Ⅱ，1 绝对值不等式 基本不等式 2022新高考Ⅱ，12 重要不等式 1考 逻辑推理 数学运算 【命题形式】 本章内容较为简单，高考中多作为载体与其他知识结合考查，集合多与方程、不等式的求解结合，设问有求 交集、并集、补集、元素个数及元素与集合间的关系等；常用逻辑用语可与各类知识结合，需深刻理解知识内涵， 设问通常是充分、必要条件的判断及全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断；不等式多与函数、三角 函数、数列等知识综合考查. 第一讲集合 知识梳理·双基自测 知识梳理 双基自测 知识点一 元素与集合 题组一 走出误区 1.集合中元素的三个特征： 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”） (1)若1ex2,x,则x=-1或1. () 2.元素与集合的关系：(1)属于，记为 (2)集合{x∈NIx3=x}用列举法表示为{1，-1,0. (2)不属于，记为 () 3.集合的表示方法： Venn (3){xly=x2-1}={yly=x2-1}={(x,y)ly=x2-1}. 图法 () 4.常见数集的记法 (4)若A∩B=A∩C,则B=C. () 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 (5)设U=R,A={x1lgx<1},则CA={xllgx≥1}= 符号 xlx≥10} () 知识点二 集合之间的基本关系 题组二走进教材 关系 定义 表示 2.(多选题)（必修1习题T1改编）已知集合P={x∈ 集合A与集合B中的所有元素都 N1x2=4,则 相等 A B 002 A.2∈P B.P={-2,2} 子集 A中的任意一个元素都是 C.{⑦}cP D.PSN A是B的子集，且B中至少有一个元 3.(必修1复习参考题1T9改编)已知集合A={1,3, 真子集 4 B a2},B={1,a+2},若A∩B=B,则实数a= 注意：空集用 表示，空集是任何集合的子 集，是任何 的真子集， 4.(必修1P4T1改编)若集合A={x|-1<x<5},B= 知识点三 集合的基本运算 {xlx≤1或x≥4}，则AUB= ,C(AOB)= 符号 交集AnB 并集AUB 补集C,A 语言 题组三走向考场 图形 5.（2025·全国高考一卷)设全集U={xlx是小于9的 B 语言 正整数}，集合A={1,3,5},则CA中元素个数为 () A∩B={xlx∈A AUB={x|x∈A CA={xlx∈U 意义 A.0 B.3 C.5 D.8 且x∈B 或x∈B 且x年A 6.（2025·全国高考二卷)已知集合A={-4,0,1,2, 归纳拓展 8,B={xx3=x},则A∩B= A.{0,1,2 B.{1,2,8} 1.若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2”，真 C.{2,8 D.{0,1 子集的个数为2”-1，非空真子集的个数为2”-2. 7.（2024·北京卷)已知集合M={x1-3<x<1},N= 2.ACBA∩B=AMUB=BCA2CB曰An(CB) {xl-1≤x<4},则MUN= () =0. A.{xl-1≤x<1} B.{xlx>-3} 3.C(AnB)=(CA)U(CB),C(AUB)=(CA) C.{xl-3<x<4} D.xlx<4 (CB). 考点突破·互动探究 点十 名师点拨：判断集合间关系的3种方法 集合的基本概念 自主练透 例1.(2026· 南通质检)已知集合A=x|2x-a>0} 根据题中限定条件把集合元素表示出来，然后比 列举法 且1主A,2∈A,则 较集合元素的异同，从而找出集合之间的关系 A.a>4 B.a≤2 从元素的结构特点入手，结合通分、化简、变形等 C.2<a≤4 D.2≤a<4 描述法 技巧，从元素结构上找差异进行判断. 2.(2026·乐山模拟)已知集合A={(x,y)1x2+y2 ≤10，x∈N,y∈N},则集合A的元素个数为( 在同一个数轴上表示出两个集合，比较端点之间 数轴法 A.9 B.8 C.6 D.5 的大小关系，从而确定集合与集合之间的关系. 3.（2026·莆田模拟)设集合A={xx≥-1}，则下 【变式训练】 列四个关系中正确的是 ( 1.(2023·新高考Ⅱ卷）设集合A={0,-a,B= A.1∈A B.1生A {1,a-2,2a-2},若ACB,则a= () C.11}∈A D.1CA A.2 B.1 4若含有3个实数的集合既可表示成{口，么，1}， 2 C.3 D.-1 又可表示成{a2,a+b,0,则a2四+b228= 2.(2026·北京人大附中检测)设集合A={x-1≤x< 名师点拨： 3},集合B={xlx>a,若ACB,则a的取值范围为 1.用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表 ( 003 元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型， A.{ala≤-1} B.{al-1≤a<3} 是数集、点集还是其他类型的集合 C.{ala≥3} D.{ala<-1{ 2.集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含 考点 集合的基本运算一多维探究 有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中 角度！集合的运算 元素是否满足互异性.分类讨论的思想方法常用于解 决集合问题。 例1.(2025·天津卷)已知集合U=1,2,3,4,51 A={1,3,B={2,3,5,则C(AUB)=() 考点工 集合之间的基本关系一师生共研 A.{1,2,3,4} B.{2,3,4 C.{2,4 D.4 例1.(2025·江门联考)设M=(xx=46-3 2.(2026·全国T8数学联考)已知集合A={xx2- ∈Z,N={xx=2-1,k∈Z),则 ( 2x-3≥01，B= {h≥}，则4UB () A.MCN B.NCM A.[3,+∞) C.M-N D.M∩N=⑦ B.(-∞，-1]U[√e,+∞)》 C.(-0,-1]U[3,+0) 描述法要从代表元素具有的性质入手，可用列 举元素法和统一形式法解决问题 D.[-1,we] 角度2：利用集合的运算求参数 2.（2025·南宁适应性测试)已知集合A={x1ax 例1.（多选题）已知A=x12+x-6=01,B= 1,aeR},B={-1,1},且A二B,则a的取值集合为 {xmx+1=0},且AUB=A,则m的值可能为 ( A.{-1 B.{-1,1} B. C.0 C.{0,1 D.{-1,0,1 A.- 3 0.2 2.(2025·本溪模拟)设集合A={xlx<a2},B=【变式训练】 {xlx>a,若A∩(CB)=A,则实数a的取值范围为 1.(角度1)(2024·全国甲卷文)若集合A={1,2,3,4, ( 5,9},B={xlx+1∈A},则A∩B= () A.{1,3,4} B.2,3,4} A.[0,1] C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4,9 B.[0,1) 2.(角度1)（多选题）已知集合A={xlx2-2x>0,B= C.(0,1) {x1<<3},则 () D.(-o,0]U[1,+∞) A.(CRA)UB=x0≤x<3 名师点拨：集合的基本运算的关注点 B.(CRA)∩B={x1<x<2 1.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构 C.A∩B=xl2<x<3 成入手是解决集合运算问题的前提. D.A∩B是xI2<x<5}的真子集 3.（角度2)若集合A={xlx2+ax+b=0,B=xlx2+cx+ 2.有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系 6=0},A∩B={2},AUB=B,则abc= 并进行运算，可使问题简单明了，易于解决. 4.(角度2)(2025·南昌模拟)已知集合A={x12a<x< 3.注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形 a+1{,B={xl-2≤x<3,若A∩B≠☑，则实数a的 式有数轴、坐标系和Venn图. 取值范围是 () 4.根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成 A.(-3,1) B.[-3,1) 文字语言，然后应用数形结合求解 C.(-1,0) D.(-1,1) 名师讲坛·素美提升 004 集合中的新定义问题 例（多选题）(2026·江苏常州模拟)对于集合M,N, 名师点拨：集合新定义问题的“3定” 我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成 1.定元素：确定已知集合中所含的元素，利用列举 的集合叫做集合M与N的“差集”，记作M-N,即M-W ={xlx∈M,且x生N{;把集合M与N中所有不属于 法写出所有元素。 M∩N的元素组成的集合叫做集合M与N的“对称差 2.定运算：根据要求及新定义运算，将所求解集合 集”，记作M△N,即M△N={xIxeMUN,且xMn 的运算问题转化为集合的交集、并集与补集的基本运 .下列四个选项中，正确的有 算问题，或转化为数的有关运算问题。 A.若M-N=M,则M∩N= B.若M-V=☑，则M=V 3.定结果：根据定义的运算进行求解，利用列举法 C.M△N=(MUW)-(MnN) 或描述法写出所求集合中的所有元素。 D.M△N=(M-N)U(N-M) 【变式训练】 [答案]ACD （多选题)(2025·湖北黄冈模拟)对于集合A、B,定 [解析]若M-N=M,则M∩N=☑，A正确；当 MCN时，M-N=☑，B错误；M△N={xIx∈MUN,且 义运算：A/B={xIx∈A且x主B},A①B=(A/B)U xMnN}=(MUN)-(M∩N),C正确；M△N和 (B/A).若A={1,2,3,4},B={3,4,5,6,则(） (M-W)U(N-M)均表示集合中阴影部分，D正确.故 A.B/A={5,6 B.A④B={1,2,5,6} 选ACD C.A④B=AUB D.A④B≠A∩B 温馨提示：复习至此，请完成练案[1]参考答案 〔学案 第一章集合、常用逻辑用语与不等式 第一讲集合 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 1.确定性互异性无序性 2.∈ 3.列举法描述法 4.NN(或N)ZQR 知识点二 相同=B中的元素C不属于A手☑非空集合 双基自测 1.(1)×(2)×(3)×(4)×(5)× [解析](5)中A=xI0<x<10},CA={x1x≤0或x≥10}，故 (5)错. 2.ADP=x∈NIx2=4}=2},故2eP,故A正确，B错误：☑不 是P中的元素，故C错误：因为2eN,故PN正确，故D正确， 3.2因为AnB=B,所以BCA,所以a+2∈A.当a+2=3,即a=1 时，A=1,3,1},不满足集合中元素的互异性，不符合题意.当 a+2=a2时，即a=2或a=-1,当a=-1时，A=1,3,1},不满足 集合中元素的互异性，不符合题意，故a=2. 4.R{xlx≤-1或1<x<4或x≥5}借助数轴如图1，所以AUB =R,如图2，所以A∩B={x1-1<x≤1或4≤x<5}.C(A∩B)= {xlx≤-1或1<x<4或x≥5}. -10145x -10145x 图1 图2 5.CU={1,2,3,4,5,6,7,8},CA={2,4,6,7,8},故选C 6.DB={xlx(x-1)(x+1)=0}={0,-1,1},A∩B={0,1},故 选D. 7.C直接根据并集含义即可得到答案.由题意得MUN=xI-3< x<4}.故选C. 考点突破·互动探究 考点1 例1：D因为1A,所以2×1-a≤0，解得a≥2，又因为2eA,所以 2×2-a>0,解得a<4,所以2≤a<4.故选D. 例2：CA={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)},共6 个元素. 例3：A由题意知，集合A={xIx≥-1}表示所有不小于-1的实 数组成的集合，所以1是集合中的元素，故1∈A. 例4：-1由题意知a≠0，所以之=0，即6=0，且a≠0，a≠1，则有 {a,0,1}={a2,a,0},所以a2=1,解得a=-1,所以a27+b202 =-1. 考点2 例1：A解法一（列举法）： M={…,-7,-3,1,5,9,…},N=…,-7,-5,-3,-1,1,3,5, 7,9,…},显然M二N,故选A. 4 全解全析 部分〕 解法二（描述法）： x=4h-3=2(2k-1)-1,k∈Z,2k-1能取遍所有奇数.x=2k- 1,k∈Z,k能取遍所有整数.因此MCN,故选A 例2：D当a-0时，4=0，满是ACB:当a≠0时，4={日}又 1 ACB,所以一=1或一=-1，所以a=1或a=-1.故满足题意 的a的所有取值组成的集合是{-1,0,1}. 变式训练 1.B依题意，有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2,此 时A={0,-2},B=1,0,2},不满足ACB:当2a-2=0时，解得 a=1,此时A=0,-1},B=-1,0,1},满足ACB.所以a=1,故 选B. 2.D如图 a-1 ACB,∴.a<-1,故选D. 考点3 角度1 例1：DAUB=1,2,3,5},C(AUB)=4}.故选D. 例2：BA={xlx≤-1，或x≥3}，B={xlx≥√e},∴.AUB={xIx ≤-1，或x≥e}. 角度2 例1：BCD由题意知A={xlx2+x-6=0,由x2+x-6=0,解得x=2 或x=-3,所以A=2,-3},因为AUB=A,所以BCA,当B= ②时，m=0,满足题意：当B≠O时，B={},-1=2或 1m了，m -3,解得m=或m=兮综上，a=0或了或行 1 m 例2：A因为B={xlx>a,所以CRB={xlx≤a,又An(CRB)= A,所以ACCRB,又A=xlx<a2},所以a2≤a,解得0≤a≤1， 即实数a的取值范围为[0,1]. 变式训练 1.C依题意得，对于集合B中的元素x,满足x+1=1,2,3,4,5,9, 则x可能的取值为0,1,2,3,4,8，即B=0,1,2,3,4,8},于是 A∩B=1,2,3,4}.故选C. 2.ACD由x2-2x>0,得x<0或x>2,所以A={xlx<0或x>2},所 以CRA={x10≤x≤2}，对于A,因为B={xI1<x<3},所以 (CRA)UB={x0≤x<3},所以A正确；对于B,因为B={x11<x< 3},所以(CRA)∩B={xI1<x≤2}，所以B错误：对于C,因为A= {xlx<0或x>2},B={xl1<x<3},所以A∩B={xI2<x<3},所以 C正确；对于D,因为A∩B=xl2<x<3},所以A∩B是{x2<x<5 的真子集，所以D正确. 3.80由A∩B=2},得2∈B,即2+2c+6=0,解得c=-5,所以B =2,3},由AUB=B,得ACB,而A∩B=2},则A=2},因此2 是方程x2+ax+b=0的两个相等实数根，则-a=4,b=4,即a= -4,b=4,所以abc=-4×4×(-5)=80. 5 4.A由题得2a<a+1,解得a<1,所以a+1<2,又A∩B≠⑦，所以 只需a+1>-2,解得a>-3,所以-3<a<1. 名师讲坛·素养提升 变式训练 ABD根据题中信息可得B/A={5,6},A正确；根据题意可得 A/B=1,2},故A④B=(A/B)U(B/A)=1,2,5,6},B正确； AUB={1,2,3,4,5,6}≠A①B,C错误：A∩B={3,4}≠A①B,D 正确.故选ABD. 第二讲常用逻辑用语 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 台充分必要充分必要充分必要充要 知识点二 3 知识点三 xEM,p(x)VxEM,-p(x) 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× [解析】（④）当a=日号时，知Q,mB都无意义.因此不能指 出tana=tanB,当tana=tanB时，=B+km,k∈Z,不一定a=B, 因此是既不充分也不必要条件. 2.CD当x=0时，x+2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含 量词命题的否定可知，p:Hx∈R,x+2≤0的否定为p:]x∈R, x+2>0,故D正确，B错误；p是真命题，故C正确。 3.B当a>b时，若c2=0,则ac2=bc2,所以a>b≠ac2>bc2,当 ac2>bc2时，c2≠0，则a>b,所以ac2>bc2=a>b,即“a>b”是“ac2> bc2”的必要不充分条件」 4.（-o,3)由题意知，x∈A→x∈B,x∈B台x∈A,即AB,所以 a<3. 5.B对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1,再结合命题及其 否定的真假性相反即可得解.对于p而言，取x=一1，则有1x+1 =0<1,故p是假命题，7p是真命题，对于q而言，取x=1,则有 x3=13=1=x,故q是真命题，q是假命题，综上，7p和q都是 真命题.故选B. 6.A由x=0得sin2x=0,所以充分性成立；由sim2x=0得x= 2 (k∈Z),所以必要性不成立.故“x=0”是“sin2x=0”的充分不 必要条件，故选A 考点突破·互动探究 考点1 例1：BD根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求 解.对于A,某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B,4=9 12=-3<0,则原命题是假命题；对于C,Hx∈R,Ix1+x2≥0， 是真命题；对于D,只有A=a2-4≥0，即a≤-2或a≥2时， x2-ax+1=0有实数解，是假命题：根据原命题和它的否定真 假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题.故 选BD. 例2：D命题p:Yxe(0,7）,n<x为全称量词命题，则p: 3xe(0,7）,inx≥x 4 例3：(-∞，-2]若命题p为真，则a≤0.若命题g为真，则△= 4a2-4(2-a)≥0，即a≤-2或a≥1.综上，实数a的取值范围 是(-∞，-2] 考点2 方法1 例：C说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分 必要条件.根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3“= 3都当且仅当a=b,所以二者互为充要条件，故选C 方法2 例：A不等式x2-5x>0的解集A={x1x>5或x<0},由Ix-1I>1 得x-1>1或x-1<-1,其解集B={xlx<0或x>2},则集合A是 B的真子集，所以“x2-5x>0”是“1x-11>1”的充分不必要条 件，故选A 方法3 例：C解法（集合法）：设全集U={(x,y)lxeR,y∈R,集合A= {(x,y)Ix≠y},B={(x,y)Isin x≠siny},则A的补集C={(x, y)lx=y,B的补集D={(x,y）Isinx=simy},显然C手D,所以 B手A,故“x≠y”是“sinx≠siny”的必要不充分条件. 解法二（等价转化法）：x=y→sinx=siny,而sinx=siny台 x=y,故“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件，故“x≠y”是 “sinx≠siny”的必要不充分条件. 变式训练 1.A因为7p是q的必要不充分条件，则q→7p,但p台9，其 等价命题为p→一q,但7g台p,所以p是q的充分不必要 条件. 2.B由<1得x>1或x<0,不妨设集合A=(-∞，0)U(1,+0) 由x2+x-6>0得x<-3或x>2,不妨设集合B=(-0,-3)U(2,+0): 因为B军A,所以p推不出q,而q能推出p,所以p是q的必要不 充分条件.故选B. 3.B解法一：当cosx≠1时，不一定有sinx≠0，当sinx≠0时，一 定有cosx≠1，因此“cosx≠1”是“sinx≠0”的必要不充分条件 故选B. 解法二：判断“sinx=0”是“cosx=1”的什么条件？ 当sinx=0时，cosx=±1，不是充分条件，当cosx=1时，一定有 sinx=0,是必要条件.故选B. 考点3 例：(1)[0,3](2)[9，+0) (1)由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，所以P={x1-2≤x≤10}， r1-m≤1+m, 由xeP是xeS的必要条件，知S≤P,则1-m≥-2，所以 1+m≤10， 0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所 求m的取值范围是[0,3]· (2)由已知可得P={x1-2≤x≤10}，因为P是S的必要不 充分条件，所以S是P的必要不充分条件，所以x∈P一x∈S 且x∈S台x∈P.所以[-2,10]军[1-m,1+m].所以 f1-m≤-2或 -m<-2:所以m≥9，即m的取值范图是[9，+0）· L1+m>10L1+m≥10. 变式训练 1.BCD令A={xlx<k-2或x>k},B={xl-2<x<3},因为“x<k-2 或x>k”是“-2<x<3”的必要不充分条件，所以B军A,所以k≤-2 或k-2≥3，解得k≤-2或k≥5，结合选项可知符合题意的有B、 C、D. 6