第2章 第1节 函数的概念及其表示(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案系统覆盖函数概念、表示法、定义域、分段函数及复合函数等核心考点，按“概念要素-表示方法-应用拓展”逻辑架构梳理知识，通过填空式知识梳理和诊断自测题，引导学生自主构建函数知识网络，体现考点的系统性与层次性。 亮点在于诊断性自测与方法化学习设计，开篇设5道诊断题（含判断、选择、填空）帮助学生定位薄弱点，考点模块配套求定义域方法、解析式求法（换元法等）指导及2025年模拟真题演练，培养数学思维与数学语言表达能力。每个考点附训练题与反思提示，助力学生自主诊断提升，教师可依学情精准指导，实现因材施教。

第1节　函数的概念及其表示 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法等）表示函数，理解函数图象的作用. 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 知识梳理 1.函数的概念及其表示 （1）函数的概念 （2）函数的表示法：　　　　、图象法和列表法； （3）同一个函数：如果两个函数的　　　　相同，并且　　　　　　完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数. 提醒：两个函数的值域与对应关系相同，这两个函数不一定是同一个函数，如：y＝x2（x≥0）与y＝x2. 2.分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的　　　　取值区间，有着不同的　　　　，这样的函数叫做分段函数. 提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. 3.复合函数 对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）的　　　　　　，记作y＝f（g（x））. 提醒：函数f（g（x））的定义域是x的取值范围，而不是g（x）的取值范围. 1.求函数的定义域时尽量不要对函数的解析式进行变形，以免引起定义域的变化. 2.直线x＝a与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点.　 诊断自测 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝1与y＝x0是同一个函数.（　　） （2）对于函数f：A→B，其值域是集合B.（　　） （3）函数f（x）＝的定义域为R.（　　） （4）若A＝R，B＝{x｜x＞0}，f：x→y＝｜x｜，其对应是从A到B的函数.（　　） 2.（2025·江苏常州金坛区二模）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x｜－2≤x≤2}，值域为N＝{y｜0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　） 3.已知函数f（x）＝则f（ f（ ））＝（　　） A.62　　　B.63　　　C.64　　　D.65 4.函数f（ ）＝，则函数f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝ B.f（x）＝（x≠0） C.f（x）＝（x≠0，－1） D.f（x）＝（x≠－1） 5.已知函数f（x）＝2x－3，x∈{x∈N｜1≤x≤5}，则函数f（x）的值域为　　　　. 函数的定义域 （基础自学过关） 1.函数f（x）＝＋（x－1）0的定义域为（　　） A.（ ，＋∞） B.［，1）∪（1，＋∞） C.（ ，1）∪（1，＋∞） D.［，＋∞） 2.（2025·山东烟台期中）若函数y＝f（2x）的定义域为{x｜x＜2}，则函数y＝f（x－1）的定义域为（　　） A.{x｜0＜x＜4} B.{x｜x＜4} C.{x｜x＜5} D.{x｜1＜x＜5} 3.已知函数f（x）＝的定义域是R，则实数a的取值范围是　　　　. 1.求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 2.求复合函数定义域的方法 （1）若已知函数f（x）的定义域为[a，b]，则复合函数f（g（x））的定义域可由不等式a≤g（x）≤b求出； （2）若已知函数f（g（x））的定义域为[a，b]，则f（x）的定义域为g（x）在x∈[a，b]上的值域. 函数的解析式 （师生共研过关） 求下列函数的解析式： （1）已知f（1－sin x）＝cos2x，求f（x）的解析式； （2）已知f＝x2＋，求f（x）的解析式； （3）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）的解析式； （4）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，求f（x）的解析式. 求函数解析式的4种方法 训练1 （1）〔一题多解〕（2026·重庆江津中学月考）已知f（x2＋1）＝x4－1，则函数f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝x2－2x B.f（x）＝x2－1（x≥1） C.f（x）＝x2－2x＋2（x≥1） D.f（x）＝x2－2x（x≥1） （2）已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f（x）＝　　　　； （3）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋1）＝2f（x）.若当0≤x≤1时，f（x）＝x（1－x），则当－1≤x≤0时，f（x）＝　　　　. 分段函数 （师生共研过关） （1）〔多选〕已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　） A.f（x）的定义域为R B.f（x）的值域为（－∞，4] C.若f（x）＝2，则x的值是－ D.f（x）＜1的解集为（－1，＋∞） （2）〔一题多解〕设函数f（x）＝则满足f（2x）＞f（x＋1）的x的取值范围为　　　　. 听课记录 1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解. 2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 提醒：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论. 训练2 （1）已知函数f（x）＝若f（a）＝4，则实数a＝　　　　；若f（a）≥2，则实数a的取值范围是　　　　； （2）若函数f（x）＝的值域为R，则实数m的取值范围为　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　第1节 答案 第二章　函数的概念与性质 第1节　函数的概念及其表示 【夯实必备知识】 知识梳理 1.（1）非空　唯一确定　（2）解析法 （3）定义域　对应关系 2.不同　对应关系 3.复合函数 诊断自测 1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）× 2.C　3.B　4.C　5.{－1，1，3，5，7} 【研透核心考点】 考点1 1.C　2.D　3.（－12，0]　 考点2 【例1】　解：（1）（换元法）　设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f（1－sin x）＝cos2x＝1－sin2x， ∴f（t）＝1－（1－t）2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f（x）＝2x－x2，x∈[0，2]. （2）（配凑法）　∵f＝x2＋＝（ x＋）2－2，∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）. （3）（待定系数法）　∵f（x）是一次函数，故可设f（x）＝ax＋b（a≠0）， 又3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17， ∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17， 即ax＋（5a＋b）＝2x＋17， ∴解得 ∴f（x）＝2x＋7. （4）（解方程组法）　∵2f（x）＋f（－x）＝3x， ① ∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x， ② 由①②解得f（x）＝3x. 训练1　（1）D　（2）2x2－x＋1　（3）－x（x＋1）　解析：（1）法一（换元法）　设x2＋1＝t≥1，则x2＝t－1，所以f（t）＝（t－1）2－1＝t2－2t，所以f（x）＝x2－2x（x≥1）.故选D. 法二（配凑法）　f（x2＋1）＝x4－1＝（x2＋1）·（x2＋1－2），所以f（x）＝x（x－2）＝x2－2x（x≥1）.故选D. （2）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），因为f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以解得所以f（x）＝2x2－x＋1. （3）因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f（x）＝f（x＋1）＝（x＋1）[1－（x＋1）]＝－x（x＋1），故当－1≤x≤0时，f（x）＝－x（x＋1）. 考点3 【例2】　（1）BC　（2）（1，＋∞） 解析：（1）函数f（x）＝的定义域是[－2，＋∞），故A错误；当－2≤x＜1时，f（x）＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f（x）＝－x＋2，值域为（－∞，1]，故f（x）的值域为（－∞，4]，故B正确；当x≥1时，令f（x）＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x＜1时，令f（x）＝x2＝2，解得x＝－，故C正确；当－2≤x＜1时，令f（x）＝x2＜1，解得x∈（－1，1），当x≥1时，令f（x）＝－x＋2＜1，解得x∈（1，＋∞），故f（x）＜1的解集为（－1，1）∪（1，＋∞），故D错误. （2）法一　当x≤－1时，x＋1≤0，2x≤－2，f（x＋1）＝1，f（2x）＝1，则f（2x）＞f（x＋1）不成立；当－1＜x≤0时，x＋1＞0，2x≤0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝1，由f（2x）＞f（x＋1），得3x＋1＜1＝30，则x＜－1，与－1＜x≤0矛盾，舍去；当x＞0时，x＋1＞1，2x＞0，f（x＋1）＝3x＋1，f（2x）＝32x，由f（2x）＞f（x＋1），得32x＞3x＋1，则2x＞x＋1，得x＞1.综上，满足f（2x）＞f（x＋1）的x的取值范围是（1，＋∞）. 法二　画出f（x）的大致图象，如图所示，若f（2x）＞f（x＋1），则2x＞0＞x＋1或2x＞x＋1＞0，解得x＞1.　 训练2　（1）－2或5　[－3，－1）∪[4，＋∞） （2）（－∞，－1]　解析：（1）若f（a）＝4，则或解得a＝－2或a＝5.若f（a）≥2，则或解得－3≤a＜－1或a≥4，∴a的取值范围是[－3，－1）∪[4，＋∞）. （2）当x＜－2时，f（x）＝（ ）x∈（4，＋∞），由于函数f（x）的值域为R，所以当x≥－2时，f（x）＝mx＋2的值域应包含（－∞，4]，所以m＜0且f（－2）＝－2m＋2≥4，解得m≤－1. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $