第2章 第1节 函数的概念及其表示(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了函数概念及其表示专题，涵盖函数三要素、同一函数判定、表示法及分段函数、解析式求解等核心考点，按概念理解、应用深化、方法提炼的逻辑构建知识网络，通过题组练透和递进式问题设计，引导学生自主梳理定义域求法、分段函数求值等规律，形成完整知识体系。 亮点在于诊断性自测与方法指导融合，如开篇设置3道基础题组诊断概念理解，每个考点配解题策略及真题演练（如2026年调研题），培养数学思维（逻辑推理）和数学语言（符号表达）。练1练2实现分层提升，附听课记录栏促进反思，帮助学生自主诊断薄弱点，教师可依学情精准指导，提升复习实效。

第1节　函数的概念及其表示 1.了解函数的概念. 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 3.了解简单的分段函数，并会简单应用. 　　 函数的基本概念 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的　　　，如果对于集合A中的　　　一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有　　　确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f（x），x∈A 定义域 　　的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合{f（x）｜x∈A} 2.同一个函数 （1）前提条件：①定义域　　　　；②对应关系　　　　　　. （2）结论：这两个函数是同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有　　　　、图象法和列表法. 结论：（1）直线x＝a（a是常数）与函数y＝f（x）的图象至多有1个交点； （2）注意以下几种特殊函数的定义域： ①分式型函数，分母不为零的实数集合；②偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合；③f（x）为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正数且不为1的实数集合；④若f（x）＝x0，则定义域为{x｜x≠0}. 题组练透 1.已知集合A＝{x｜0≤x≤4}，集合B＝{x｜0≤x≤2}，下列图象能建立从集合A到集合B的函数关系的是（　　） 2.下列各组函数中，表示同一个函数的是（　　） A.f（x）＝，g（t）＝ B.f（x）＝x，g（x）＝ C.f（x）＝1，g（x）＝x0 D.f（x）＝x，g（x）＝ 3.（2026·重庆质检）函数f（x）＝＋的定义域是　　　　. 与函数概念有关问题的解题策略 （1）判断两个函数是否为同一个函数的关键有两点：定义域是否相同，对应关系即解析式是否相同； （2）求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子（运算）有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 提醒　定义域要用集合或区间表示，如果定义域是多个区间，要用符号“∪”连接. 分段函数 1.若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 2.分段函数表示的是一个函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的　　　　，其值域等于各段函数的值域的　　　　. 角度1　分段函数求值 （2026·湖北武汉调研）已知f（x）＝则f＝（　　） A.2 B. C. D.1 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数值的方法 　　先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值. 角度2　分段函数与方程、不等式问题 （1）已知函数f（x）＝且f（m）＝－12，则f（6－m）＝　　　　； （2）已知函数f（x）＝若a[f（a）－f（－a）]＞0，则a的取值范围为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求解分段函数与方程、不等式问题的解题思路 （1）分类讨论，先在分段函数每一段上分别求解，并与该段自变量的取值范围取交集，最后将各段的结果取并集； （2）若分段函数每一段的解析式便于作图，则作出分段函数的图象，通过数形结合求解. 练1 （1）已知函数f（x）＝若f（f（a））＝2，则a＝（　　） A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－1 （2）〔一题多解〕设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围是　　　. 求函数的解析式 （1）〔一题多解〕已知f（＋1）＝x＋2，则f（x）＝（　　） A.x2－1（x≥0） B.＋1（x≥1） C.x2－1（x≥1） D.－1（x≥0） （2）已知f（x）是一次函数且3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，则f（x）的解析式为（　　） A.f（x）＝x＋6 B.f（x）＝x＋7 C.f（x）＝2x＋6 D.f（x）＝2x＋7 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 求函数解析式的4种方法 练2 （1）已知f（x）满足2f（x）＋f（－x）＝3x，则f（x）＝　　　　； （2）已知函数f（x）是一次函数，若f（f（x））＝4x＋8，则f（x）＝　　　　. 提示：完成课后作业　第二章　第1节 第1节　函数的概念及其表示 考点一 1.实数集　任意　唯一　x 2.（1）①相同　②完全一致 3.解析法 题组练透 1.D　对于A，存在点使一个x与两个y对应，不符合，排除；对于B，当2＜x≤4时，没有与之对应的y，不符合，排除；对于C，y的范围超出了集合B的范围，不符合，排除；对于D，满足函数关系的条件，正确. 2.A　对于A中，函数f（x）＝的定义域为[－1，1），g（t）＝的定义域为[－1，1），定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数；对于B中，函数f（x）＝x和g（x）＝＝｜x｜＝的定义域都是R，但对应关系不同，所以不是同一个函数；对于C中，函数f（x）＝1的定义域为R，函数 g（x）＝x0的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D中，函数f（x）＝x的定义域为R，g（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域不相同，所以不是同一个函数.故选A. 3.[1，4）　解析：由题意知，函数f（x）＝＋有意义，需满足解得1≤x＜4. 考点二 2.并集　并集 【例1】　D　函数f（x）＝ 所以f＝2f＝2×＝1. 【例2】　（1）－7　（2）（－∞，－2）∪（2，＋∞）　解析：（1）由题意知，当m≤1时，f（m）＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1＞0，所以方程无解；当m＞1时，f（m）＝4lo（m＋1）＝－12，得lo（m＋1）＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，所以f（6－m）＝f（－1）＝2－1＋1－8＝－7. （2）由题意知a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为a2＋a－3a＞0，解得a＞2；当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为－a2－2a＜0，解得a＜－2.综上所述，a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）. 练1　（1）D　（2）（－∞，4]　解析：（1）令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1.当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0，解得a＝－2；当t＝1时，即f（a）＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1，解得a＝－1.综上所述，a＝－2或－1. （2）法一　当x＜1时，由f（x）≤2，得2x－1≤2，所以x－1≤1，解得x≤2，所以x＜1；当x≥1时，由f（x）≤2，得≤2，解得x≤4，所以1≤x≤4.综上，满足f（x）≤2成立的x的取值范围为 （－∞，4]. 法二　画出f（x）的图象，由图象知f（x）是R上的增函数，又因为f（4）＝2，所以f（x）≤2，可化为f（x）≤f（4），故x≤4. 提能点 【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）法一（换元法）　令t＝＋1，t≥1，则t2＝（＋1）2＝x＋2＋1，由f（＋1）＝x＋2得，f（t）＝t2－1，t≥1，即f（x）＝x2－1，x≥1. 法二（配凑法）　f（＋1）＝x＋2＝（）2＋2＋1－1＝（＋1）2－1，故f（x）＝x2－1，x≥1. （2）（待定系数法）　∵f（x）是一次函数，可设f（x）＝ax＋b（a≠0），∴3[a（x＋1）＋b]－2[a（x－1）＋b]＝2x＋17，即ax＋（5a＋b）＝2x＋17，∴解得∴f（x）＝2x＋7. 练2　（1）3x　（2）2x＋或－2x－8 解析：（1）（解方程组法）　∵2f（x）＋f（－x）＝3x　①，∴将x用－x替换，得2f（－x）＋f（x）＝－3x　②，由①②解得f（x）＝3x. （2）（待定系数法）　设f（x）＝ax＋b（a≠0），则f（f（x））＝f（ax＋b）＝a（ax＋b）＋b＝a2x＋ab＋b，又f（f（x））＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即解得或所以f（x）＝2x＋或f（x）＝－2x－8. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $