第1章 第4节 基本不等式(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

该高中数学高考复习学案系统梳理了基本不等式专题，涵盖不等式理解（成立条件、等号条件、算术与几何平均数）、求最值方法（配凑、常数代换、消元）及实际应用与恒成立问题，通过问题链（如判断命题真假步骤）和任务驱动（如一题多解）引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于诊断性练习与方法指导结合，开篇设置判断命题真假例题及练1自主诊断，各考点配备“关键点”总结（如配凑法步骤）和真题演练（如2026年模拟题），培养数学思维（推理能力）与数学语言（模型观念）。含听课记录和错题归因空间，助力学生个性化提升，教师可通过练习反馈精准指导，支持因材施教。

第4节　基本不等式 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.掌握基本不等式在实际生活中的应用. 　　 基本不等式的理解 基本不等式≤，则 （1）基本不等式成立的条件：　　　　　　； （2）等号成立的条件：当且仅当　　　　时，等号成立； （3）其中　　　　叫做正数a，b的算术平均数，　　　　叫做正数a，b的几何平均数. 结论：（1）＋≥2（a，b同号）； （2）ab≤（）2≤（a，b∈R）； （3）若a＞0，b＞0，则≤≤≤，其中和分别叫做a，b的调和平均数和平方平均数. 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. （1）已知a＞0，b＞0，则（　　） A.a2＋b2＞2ab B.＋≥ C.a＋b＞ D.＋≤ （2）（2026·湖南湘潭质量检测）下列结论正确的是（　　） A.当x＞0且x≠1时，ln x＋≥2 B.当x＞0时，x＋≥2 C.当x∈时，sin x＋的最小值为4 D.当ab≠0时，＋≥2 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用基本不等式判断命题真假的步骤 第一步：检查是否满足基本不等式成立的条件； 第二步：应用基本不等式； 第三步：检验等号是否成立. 练1 （1）（2025·山东潍坊一模）给出下面三个推导过程：①∵a∈R，a≠0，∴a＋≥2＝4； ②∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－［（ －）＋（－）］≤－2＝－2； ③∵a＞b＞0，则a2＋b2＞2ab，∴2（a2＋b2）＞a2＋b2＋2ab，∴2（a2＋b2）＞（a＋b）2，∴＞（）2.其中正确的推导为（　　） A.②③ B.①③ C.①② D.①②③ （2）若0＜a＜b，则下列不等式一定成立的是（　　） A.b＞＞a＞ B.b＞＞＞a C.b＞＞＞a D.b＞a＞＞ 利用基本不等式求最值 已知x＞0，y＞0，则 （1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最　　　值是　　　　（简记：积定和最　　　）； （2）如果x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最　　　值是　　　（简记：和定积最　　　）. 角度1　配凑法 （1）函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为（　　） A.6 B.8 C.10 D.12 （2）已知0＜x＜，则x的最大值为（　　） A. B. C. D. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 配凑法求最值的关键点 　　配凑法是指对所给或所求代数式进行适当的变形，通过拆（裂项、拆项），并（分组、并项），配（配式、配系数等），使得“和”是定值或“积”是定值，从而运用基本不等式求得最值. 角度2　常数代换法 （2026·安徽A10联盟质检）已知m，n∈（0，＋∞），＋n＝4，则m＋的最小值为（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 常数代换法求最值的基本步骤 角度3　消元法（或换元法） 〔一题多解〕若a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，求ab的取值范围. 利用消元法或换元法求最值的方法 （1）消元法：即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解； （2）换元法：求较复杂的式子的最值时，通常利用换元法将式子恰当变形，简化式子，再利用基本不等式求解. 练2 （1）已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg（a＋2b），则2a＋b的最小值为（　　） A.5 B.9 C.13 D.18 （2）〔一题多解〕已知正实数a，b满足ab＋2a＋3b＝9，则a＋3b的最小值是　　　　. 基本不等式的综合应用 角度1　实际应用 （2026·河南郑州模拟）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当△AEF的周长为4时，△AEF面积的最大值为　　　　. 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 利用基本不等式解决实际问题的策略 （1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值； （2）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围； （3）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解. 角度2　与基本不等式有关的恒（能）成立问题 已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝xy，若不等式x＋2y≥m2－2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A.[－2，4] B.（－2，4） C.（－∞，－2]∪[4，＋∞） D.（－∞，－2）∪（4，＋∞） 听课记录　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 含参数不等式的求解策略 （1）利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式（组）得到参数的值或范围； （2）∀x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）min≥a；∀x∈M，使得f（x）≤a，等价于f（x）max≤a； （3）∃x∈M，使得f（x）≥a，等价于f（x）max≥a；∃x∈M，使得f（x）≤a，等价于f（x）min≤a. 练3 （1）（2026·广西南宁调研）某单位为提升服务质量，花费3万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为0.1万元，已知使用x年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（　　） A.7 B.8 C.9 D.10 （2）若正实数x，y满足x＋y＝1，且不等式＋＜m2＋m有解，则实数m的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第一章　第4节 答案 第4节　基本不等式 考点一 （1）a＞0，b＞0　（2）a＝b　 （3）　 【例1】　（1）C　（2）B　解析：（1）当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A错误；取a＝b＝，则＋＝6，＝9，＋＜，故B错误；∵a＞0，b＞0，∴a＋b≥2＞，故C正确；∵a＞0，b＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝，故D错误.故选C. （2）对于A，当x＝时，ln x＋＝－2，故A错误；对于B，当x＞0时，x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故B正确；对于C，当sin x＞0时，sin x＋≥2＝4，当且仅当sin x＝，即sin x＝2时取等号，但当x∈时，0＜sin x≤1，故C错误；对于D，当a＝1，b＝－1时，＋＝－2，故D错误.故选B. 练1　（1）A　（2）C　解析：（1）∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴a＋≥2＝4是错误的，故①错误；由xy＜0，得，均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，（－），（－）均变为正数，符合均值不等式的条件，故②正确；易知③正确.故选A. （2）∵0＜a＜b，∴2b＞a＋b，∴b＞＞.∵b＞a＞0，∴ab＞a2，∴＞a.故b＞＞＞a. 考点二 （1）小　2　小　（2）大　　大 【例2】　（1）B　（2）D　解析：（1）因为x∈（－1，＋∞），则x＋1＞0，则f（x）＝4x＋＝4（x＋1）＋－4≥2－4＝12－4＝8，当且仅当即x＝时，等号成立，故函数f（x）＝4x＋，x∈（－1，＋∞）的最小值为8. （2）因为0＜x＜，则1－2x2＞0，x＝ ＝≤×＝，当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时取等号. 【例3】　B　∀m，n∈（0，＋∞），m＋＝（m＋）·（＋n）＝（10＋mn＋）≥（10＋2）＝4，当且仅当mn＝，且＋n＝4，即m＝1，n＝3时等号成立，则m＋的最小值为4. 【例4】　解：法一（代入消元）　由题意得a＝且b－1＞0， ∴ab＝ ＝＝b－1＋＋5≥9，当且仅当b－1＝时取等号. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 法二（换元消元）　∵a，b＞0，且ab＝a＋b＋3，由a＋b≥2，得ab＝a＋b＋3≥2＋3，当且仅当a＝b时取等号， 即ab－2－3≥0，设＝t（t＞0），则t2－2t－3≥0， 解得t≥3，故ab≥9. 故ab的取值范围为[9，＋∞）. 练2　（1）B　（2）6－9　 解析：（1）由lg a＋lg b＝lg（a＋2b），得lg（ab）＝lg（a＋2b），所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a＞0，b＞0，则2a＋b＝（2a＋b）（＋）＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当即a＝b＝3时等号成立，所以2a＋b的最小值为9. （2）法一　由ab＋2a＋3b＝9得b＝＝－2＋（0＜a＜），则a＋3b＝a－6＋＝a＋3＋－9≥2－9＝6－9，当且仅当a＋3＝，即a＝3－3时等号成立，故a＋3b的最小值为6－9. 法二　由ab＋2a＋3b＝9得（a＋3）（b＋2）＝15.令m＝a＋3，n＝b＋2，则mn＝15.a＋3b＝m－3＋3（n－2）＝m＋3n－9≥2－9＝6－9，当且仅当m＝3n且mn＝15，即m＝3，a＝3－3时取等号，故a＋3b的最小值为6－9. 提能点 【例5】　12－8 解析：设AE＝x，AF＝y，0≤x≤2，0≤y≤2，则EF＝，因为△AEF的周长为4，所以x＋y＋＝4，因为x＋y＋＝4≥2＋，当且仅当x＝y时取等号，故≤＝4－2，则xy≤24－16，则△AEF的面积满足xy≤12－8.故△AEF面积的最大值为12－8. 【例6】　A　x＋2y＝xy可化为＋＝1，则x＋2y＝（x＋2y）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当x＝2y＝4时，等号成立，即x＋2y的最小值为8，因为x＋2y≥m2－2m恒成立，所以m2－2m≤8，解得－2≤m≤4，则实数m的取值范围是[－2，4]. 练3　（1）C　（2）（－∞，－3）∪（，＋∞）　解析：（1）该设备年平均费用y＝＝＋＋（x∈N*），∵x＞0，则y＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即x＝9时，等号成立，∴该设备年平均费用最少时的年限为9.故选C. （2）由x＋y＝1，得（x＋1）＋y＝2，所以＋＝[（x＋1）＋y]·（＋）＝（5＋＋）≥（5＋2）＝.当且仅当即时，等号成立，所以＋的最小值为，因为不等式＋＜m2＋m有解，则m2＋m＞，即2m2＋3m－9＞0，整理得（2m－3）（m＋3）＞0，解得m＜－3或m＞. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $