2027届高三数学一轮复习第三讲不等式性质与不等式解法

该高中数学高考复习学案系统梳理了不等式性质与解法专题，将比较大小方法、不等式性质及各类解法按“基础方法—性质应用—综合解题”分层构建知识网络，通过问题链和任务驱动引导学生自主推导性质规律，形成完整认知框架。 亮点在于诊断性题型设计和方法指导，开篇设置性质辨析、解法应用等诊断题，学生根据错题匹配基础巩固或综合提升任务，培养数学思维（推理能力）和数学语言（规范表达）。每个题型配有方法步骤示例，如作差法四步流程，帮助自主诊断提升，教师可通过学情精准指导，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第三讲 不等式性质与不等式解法 【学习目标】 1.熟记等式与不等式的性质，会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小； 2.会解各种类型的不等式问题. 【学习重点】不等式性质的灵活应用及解不等式． 【学习难点】不等式性质的灵活应用及解不等式． 【学习过程】 必掌握知识点 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 乘方性 【解题方法总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 必考题型全归纳 题型一. 不等式的性质 1．（多选题）已知，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以或， 当时，，A不成立，，， 由，故，当且仅当，即时，等号成立， 因为，故等号不成立，故； 当时，，， 不妨设，则，故此时C不成立， 由，故，当且仅当，即时，等号成立， 因为，故等号不成立，故； 综上：BD一定成立.故选：BD 2．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，利用不等式的性质可判断ABC选项；利用不等式的性质可判断D选项. 【详解】若，则，所以，，，ABC均错； 因为，则，因为，则，即.故选：D. 3．（多选题）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，，，，A错误； 对于B，，，，，，， ，即，B正确； 对于C，，，，即，C正确； 对于D，，D错误.故选：BC. 题型二. 充分必要条件判定 4．已知a，b为实数，则“”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分条件、必要条件的定义及对数函数的单调性即可求解. 【详解】解：因为，所以在上单调递减， 当时，和不一定有意义， 所以“”推不出“”； 反之，，则，即， 所以“”可推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B. 5（多选）．下列选项中p是q的充分不必要条件的是（    ） A．， B．，， C．， D．p：两直线平行，q：内错角相等 【答案】AC 【解析】判断命题“若p，则q”，与命题“若q,则p”的真假即可. 【详解】A:集合是集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件； B:,故不能推出，由，   所以是的必要不充分条件. C: 可得，集合是集合的真子集，所以p是q的充分不必要条件； D:根据平面几何中平行直线的判定定理和性质定理可知，是充要条件.故选: AC 【点睛】此题为基础题，考查充要条件. 题型三、不等式性质的应用 6．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 【答案】D 【分析】根据的取值范围，可得到以及的取值范围，然后相加相乘即可得解. 【详解】对于A，因为， 所以，即， 所以的取值范围为，故A正确，不符合题意； 对于B，因为，所以， 因为，所以，即， 所以的取值范围为，故B正确，不符合题意； 对于C，因为，则， 所以，则， 所以的取值范围为，故C正确，不符合题意； 对于D，因为，所以，则， 因为，所以，则， 所以取值范围为，故D错误，符合题意；故选：D. 7．已知且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的单调性可得，A、B根据幂函数、正弦函数的单调性判断，C、D利用导数研究函数单调性比较大小. 【详解】由于在上单调递增，又，可得． 由在上单调递减，所以，A错； 由在上不单调，所以无法判断与的大小，B错； 由，则， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 由于在上不单调，故无法判断与的大小，C错； 由，则当时，所以在上单调递增； 又，可得，所以，D对，故选：D． 题型四 . 作差、作商法比较代数式大小 8．已知，，则（    ） A． B． C． D．P，Q的大小关系不确定 【答案】A 【分析】根据给定条件作出与的差，变形判断符号即得. 【详解】因，，则， 所以.故选：A 9．已知，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较. 【详解】因为，所以，故选：A 题型五. 不等式变形正误判断 10．若有下列四个不等式①；②；③；④.则下列组合中全部正确的为__________ 【答案】①③ 【解析】由条件可知，利用作差，或是不等式的性质，或是代特殊值，判断不等式是否正确. 【详解】，则正确，故①正确；，，但不确定和的大小关系，所以的正负不确定，故②不正确； ，，， ，即，故③正确； 当时， 当时，，故④不正确； 故答案为：①③ 【点睛】 1.利用不等式的性质判断，把要判断的结论和不等式的性质联系起来考虑，先找到与结论相近的性质，再判断. 2.作差（或作商）比较法，先作差（商），变形整理，判断符号（或与1比较），最后判断大小； 3.特殊值验证的方法，运用赋值法排除选项. 题型六 、逻辑与综合拓展类 11（多选）．欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一.在数学史上，人们称18世纪为欧拉时代.直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，，则下列说法正确的是（    ） A． B．，都有 C．方程有无数个根 D． 【答案】ACD 【分析】A选项，根据题意得到，，，A正确；B选项，举出反例；C选项，当为素数时，满足，C正确；D选项，先得到有7和7的倍数与不互素，利用等差数列性质计算出个数，从而得到. 【详解】A选项，所有不超过正整数3且与3互素的正整数为1，2，个数为2，故， 所有不超过正整数5且与5互素的正整数为1,2,3,4，个数为4，故， 所有不超过正整数15且与15互素的正整数为1,2,4,7,8,11,13,14，个数为8，故， 故，A正确； B选项，不妨令，满足，但，B错误； C选项，当为素数时，，而素数有无数个，故方程有无数个根，C正确； D选项，因为为素数，所以当时，只有7和7的倍数与不互素， 即，共有，所以.故选：ACD 12（多选）．给出以下四个结论，其中正确结论是（    ） A．若函数在上为减函数，则的取值范围是 B．函数的图象上关于原点对称的点共有1对 C．若都是正数，且，则 D．设，其中，则， 【答案】AC 【分析】对于A，利用复合函数的单调性与对数函数的定义域即可判断；对于B，利用奇函数的性质结合图象即可得解；对于C，利用指对数互换与作差法即可判断；对于D，利用对数函数的图像判断即可. 【详解】对于A，因为在上为减函数， 当时，在上单调递减，在上调递减， 所以在其定义域内单调递增，不满足题意； 当时，在上单调递增，在上调递减， 所以在其定义域内单调递减，满足题意； 又在上恒有，显然当时，不等式恒成立； 当时，可化为，又，所以，综上：，故A正确； 对于B，因为，当时，令， 从而的图象上关于原点对称的点的对数转化为和的图象在上的交点个数，作出和在上的函数图象， 如图所示:    由图象可知两函数图象有两个交点， 所以的图象上关于原点对称的点共有2对，故B错误； 对于C，令，则，所以，，， 所以，则， ，则， 所以，故C正确； 对于D，如图，由于是上凸函数，    故应为点对应纵坐标，应为点对应纵坐标， 故，当时，等号成立，故D错误.故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题D选项解决的关键是作出的图象，结合图形得到与的几何意义，从而得解. 13．已知函数满足：，则不等式的解集为____． 【答案】 【分析】根据题意可知为奇函数，利用分离常数得在上单调递增，结合奇函数与单调性得关系可得在上单调递增，再解得，即可判断解集． 【详解】根据题意可得，且为奇函数 当时，，则在上单调递增 ∴在上单调递增则，即，解得 ∴即的解集为，故答案为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第三讲 不等式性质与不等式解法 【学习目标】 1.熟记等式与不等式的性质，会利用不等式的性质比较两个数或代数式的大小； 2.会解各种类型的不等式问题. 【学习重点】不等式性质的灵活应用及解不等式． 【学习难点】不等式性质的灵活应用及解不等式． 【学习过程】 必掌握知识点 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2、不等式的性质 （1）基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 乘方性 【解题方法总结】 1、应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率． 2、比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性． 比较法又分为作差比较法和作商比较法． 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论． 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论． 其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于与0或1比较大小． 作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法． 必考题型全归纳 题型一. 不等式的性质 1．（多选题）已知，，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知实数满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二. 充分必要条件判定 4．已知a，b为实数，则“”是“”的（      ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5（多选）．下列选项中p是q的充分不必要条件的是（    ） A．， B．，， C．， D．p：两直线平行，q：内错角相等 题型三、不等式性质的应用 6．已知，则下列结论错误的是（    ） A．的取值范围为 B．的取值范围为 C．的取值范围为 D．取值范围为 7．已知且，则（    ） A． B． C． D． 题型四 . 作差、作商法比较代数式大小 8．已知，，则（    ） A． B． C． D．P，Q的大小关系不确定 9．已知，设，则（    ） A． B． C． D． 题型五. 不等式变形正误判断 10．若有下列四个不等式①；②；③；④.则下列组合中全部正确的为__________ 题型六、逻辑与综合拓展类 11（多选）．欧拉是人类历史上最伟大的数学家之一.在数学史上，人们称18世纪为欧拉时代.直到今天，我们在数学及其应用的众多分支中，常常可以看到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，，则下列说法正确的是（    ） A． B．，都有 C．方程有无数个根 D． 12（多选）．给出以下四个结论，其中正确结论是（    ） A．若函数在上为减函数，则的取值范围是 B．函数的图象上关于原点对称的点共有1对 C．若都是正数，且，则 D．设，其中，则， 13．已知函数满足：，则不等式的解集为____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $