第1章 第2讲 常用逻辑用语-【衡中学案】2027年高考数学一轮总复习学案

4.A由题得2a<a+1,解得a<1,所以a+1<2,又A∩B≠⑦，所以 只需a+1>-2,解得a>-3,所以-3<a<1. 名师讲坛·素养提升 变式训练 ABD根据题中信息可得B/A={5,6},A正确；根据题意可得 A/B=1,2},故A④B=(A/B)U(B/A)=1,2,5,6},B正确； AUB={1,2,3,4,5,6}≠A①B,C错误：A∩B={3,4}≠A①B,D 正确.故选ABD. 第二讲常用逻辑用语 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 台充分必要充分必要充分必要充要 知识点二 3 知识点三 xEM,p(x)VxEM,-p(x) 双基自测 1.(1)×(2)V(3)×(4)× [解析】（④）当a=日号时，知Q,mB都无意义.因此不能指 出tana=tanB,当tana=tanB时，=B+km,k∈Z,不一定a=B, 因此是既不充分也不必要条件. 2.CD当x=0时，x+2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含 量词命题的否定可知，p:Hx∈R,x+2≤0的否定为p:]x∈R, x+2>0,故D正确，B错误；p是真命题，故C正确。 3.B当a>b时，若c2=0,则ac2=bc2,所以a>b≠ac2>bc2,当 ac2>bc2时，c2≠0，则a>b,所以ac2>bc2=a>b,即“a>b”是“ac2> bc2”的必要不充分条件」 4.（-o,3)由题意知，x∈A→x∈B,x∈B台x∈A,即AB,所以 a<3. 5.B对于两个命题而言，可分别取x=-1、x=1,再结合命题及其 否定的真假性相反即可得解.对于p而言，取x=一1，则有1x+1 =0<1,故p是假命题，7p是真命题，对于q而言，取x=1,则有 x3=13=1=x,故q是真命题，q是假命题，综上，7p和q都是 真命题.故选B. 6.A由x=0得sin2x=0,所以充分性成立；由sim2x=0得x= 2 (k∈Z),所以必要性不成立.故“x=0”是“sin2x=0”的充分不 必要条件，故选A 考点突破·互动探究 考点1 例1：BD根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，即可求 解.对于A,某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B,4=9 12=-3<0,则原命题是假命题；对于C,Hx∈R,Ix1+x2≥0， 是真命题；对于D,只有A=a2-4≥0，即a≤-2或a≥2时， x2-ax+1=0有实数解，是假命题：根据原命题和它的否定真 假相反的法则判断，选项BD中，原命题的否定是真命题.故 选BD. 例2：D命题p:Yxe(0,7）,n<x为全称量词命题，则p: 3xe(0,7）,inx≥x 4 例3：(-∞，-2]若命题p为真，则a≤0.若命题g为真，则△= 4a2-4(2-a)≥0，即a≤-2或a≥1.综上，实数a的取值范围 是(-∞，-2] 考点2 方法1 例：C说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分 必要条件.根据立方的性质和指数函数的性质，a3=b3和3“= 3都当且仅当a=b,所以二者互为充要条件，故选C 方法2 例：A不等式x2-5x>0的解集A={x1x>5或x<0},由Ix-1I>1 得x-1>1或x-1<-1,其解集B={xlx<0或x>2},则集合A是 B的真子集，所以“x2-5x>0”是“1x-11>1”的充分不必要条 件，故选A 方法3 例：C解法（集合法）：设全集U={(x,y)lxeR,y∈R,集合A= {(x,y)Ix≠y},B={(x,y)Isin x≠siny},则A的补集C={(x, y)lx=y,B的补集D={(x,y）Isinx=simy},显然C手D,所以 B手A,故“x≠y”是“sinx≠siny”的必要不充分条件. 解法二（等价转化法）：x=y→sinx=siny,而sinx=siny台 x=y,故“x=y”是“sinx=siny”的充分不必要条件，故“x≠y”是 “sinx≠siny”的必要不充分条件. 变式训练 1.A因为7p是q的必要不充分条件，则q→7p,但p台9，其 等价命题为p→一q,但7g台p,所以p是q的充分不必要 条件. 2.B由<1得x>1或x<0,不妨设集合A=(-∞，0)U(1,+0) 由x2+x-6>0得x<-3或x>2,不妨设集合B=(-0,-3)U(2,+0): 因为B军A,所以p推不出q,而q能推出p,所以p是q的必要不 充分条件.故选B. 3.B解法一：当cosx≠1时，不一定有sinx≠0，当sinx≠0时，一 定有cosx≠1，因此“cosx≠1”是“sinx≠0”的必要不充分条件 故选B. 解法二：判断“sinx=0”是“cosx=1”的什么条件？ 当sinx=0时，cosx=±1，不是充分条件，当cosx=1时，一定有 sinx=0,是必要条件.故选B. 考点3 例：(1)[0,3](2)[9，+0) (1)由x2-8x-20≤0，得-2≤x≤10，所以P={x1-2≤x≤10}， r1-m≤1+m, 由xeP是xeS的必要条件，知S≤P,则1-m≥-2，所以 1+m≤10， 0≤m≤3.所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所 求m的取值范围是[0,3]· (2)由已知可得P={x1-2≤x≤10}，因为P是S的必要不 充分条件，所以S是P的必要不充分条件，所以x∈P一x∈S 且x∈S台x∈P.所以[-2,10]军[1-m,1+m].所以 f1-m≤-2或 -m<-2:所以m≥9，即m的取值范图是[9，+0）· L1+m>10L1+m≥10. 变式训练 1.BCD令A={xlx<k-2或x>k},B={xl-2<x<3},因为“x<k-2 或x>k”是“-2<x<3”的必要不充分条件，所以B军A,所以k≤-2 或k-2≥3，解得k≤-2或k≥5，结合选项可知符合题意的有B、 C、D. 6 2.[3,+∞)因为不等式1x-1|<a成立的充分条件是0<x<4,设 不等式的解集为A,所以(0,4)二A,当a≤0时，A=⑦，不满足要 r1-a≤0， 求；当a>0时，A=(1-a,1+a),所以 解得a≥3，故实数 L1+a≥4， a的取值范围是[3，+∞）. 名师讲坛·素养提升 一、抽象命题间充要条件的判定 变式训练 必要不充分由题意可知q→r军P,p是q的必要不充分 条件 二、突破双变量“存在性或任意性”问题 [引申1] [分+）当xe[0,3]时)a=0)=0, 当xe山，2]时，g)=)=2-m 由x)n≥g(x)m得0≥ 2m,所以m≥ 2 [引申2] [子h10+x）当e[0,3]时=3)=n10, 当xe[1,2]时，g(x)a=g(2)=4m, 1 1 由f代x)s≥g(x)m得1h10≥4m, 所以m≥4-h10 [引申3] [分h02）当e0.3]时s31=h10. 当e1.21时.ea1分m 由f(x）mm≥g(x)mx, 得血10≥2m, 所以a≥子bla 变式训练 D不妨设f(x1)=g(x2)=a,.e1-e=lnx2+1=a,x1=n(a+ e),%2=e,-2=In(a+e)-e"(a>-e).h(a)=In(a+e) t,则(ae,易知a在(-上是说两数 且h'(0)=0,故h(a)在a=0处有最大值，即x1-x2的最大值为 11 e 第三讲等式性质与不等式性质 知识梳理·双基自测 知识梳理 知识点一 >=< 知识点二 b=aa=c 知识点三 b<aa>c a+c>b+c ac>be ac<be a+c>b+d ac>bd a">b" 41 双基自测 1.(1)×(2)×(3)V(4)×(5)V(6)× 2.M>NM-N=ab-(a+b-1)=ab-a-b+1=(a-1)(b-1),:a,b∈ (0,1),∴.(a-1)(b-1)>0,∴.M>W. 3.(-5,-1)由b∈(2,3)得-6<-2b<-4,又1<a<3,故-5<a-2b< -1. 4.B如取a=4,b=3,c=2,d=-4,此时a+d<b+c,故A错误；a+c> b+c>b+d,故B正确；如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此时ad<be, 故C错误；如取a=4,b=-1,c=-2,d=-3,此时ac<bd,故D错 误.故选B s告告可化为1片>1+台即台由a0.得 ac,即(a-b)c<0,即c<0,故选AB. 考点突破·互动探究 考点1 例1：ADx2-2x+3=(x-1)2+2≥2>0，.x2-2x>-3,故A正确； a+b3-a2b-ab2=a2(a-b)+b2(b-a)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+ b).(a-b)2≥0，a+b的符号不确定，a3+b与a2b+ab2的 大小不确定，故B错误；a2+b2-2a+2b+2=(a-1)2+(b+1)2 20,0+W≥2(a-6,放C错误：用作差法比较：226 a2026(b-a） bb(b+2026) 6002小分 a+2026 6+2026,故D正确， 例2：A因为实数m,,p满足m=4e,n=5ep=8,则m>0, 0,p>0,所以了：e1所以m”5】 n p18 e 2el,所以m>p所以Kmm 9 考点2 角度1 例1：B通解：当b>c≥0时，b2>c2,当c<b≤0时，b2<c2,所以a+b2 >a+c2不一定成立，故A错误；因为b>c,a≥0，所以a2+b>a1 +c成立，故B正确；当a>0,c<b≤0时，ab2<ac2,当a<0,b>c ≥0时，ab2<ac2,当a=0时，ab2=ac2,这三种情况下ab>ac 都不成立，故C错误；当a=0时，a2b>a2c不成立，故D错误. 光速解：令a=0,b=-1,c=-2,分别代人选项A,B,C,D可知 只有a2+b>a2+c成立. 例2：AD因为a>b>0>c,所以ac<bc,故A正确：令a=2,b=1, c=-1,d=-2,此时a-b=c-d,ad<be,故B、C错误；因为a>b>0 20.所以分>0-6>0，可得-名>后>0.所以 a6>0,故D正确 c d 角度2 例：AC因为1≤x≤2,3≤y≤5，所以4≤x+y≤7，-2≤-x≤-1， 1≤y-x≤4，所以x+y的取值范围为[4,7]，y-x的取值范围为 [1,4],故A正确，B错误；因为1≤x≤2,3≤y≤5，所以3≤ ≤10,5≤≤3,5≤≤号所以y的取值范围为 11 11x2 [3,10,产的取值范围为[5号]，放C正确，D错误 7第二讲 常用逻辑用语 知识梳理·双基自测 知识梳理 归纳拓展 知识点一 充分条件、必要条件与充要条件1.从集合的角度理解充分条件与必要条件，若p以集 的概念 合A的形式出现，9以集合B的形式出现，即A= xlp(x)},B=xq(x),则 “若p,则g”和 命题 “若p,则q”为“若p,则g”为 (1)若ACB,则p是q的充分条件； “若q,则p”都 真假 真命题 假命题 (2)若A2B,则p是q的必要条件； 是真命题 (3)若A=B,则p是q的充要条件； 推出 (4)若AB,则p是g的充分不必要条件； 关系 9 (5)若A早B,则p是q的必要不充分条件； p不是q的 p是g的 (6)若A4B且A2B,则p是q的既不充分也不必要 条p是q的 条件 条件，9 条件。 件，g不是p 条件，简称 关系 是p的 2.p是q的充分不必要条件，等价于一q是p的充分 的 条件 条件 不必要条件。 条件 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否 知识点二 全称量词与存在量词 结论”。 005 4.命题p和一p的真假性相反，若判断一个命题的真假 类别 全称量词 存在量词 有困难，可判断此命题的否定的真假， 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 双基自测 含有全称量词的命题 含有存在量词的命题 题组一 走出误区 命题 叫做全称量词命题 叫做存在量词命题 1.判断下列结论是否正确（请在括号内打“V”或“×”） (1)“x2+2x-3<0”是命题 ( ) “对M中任意一个x, “存在M中的元素x, (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题. 命题 p(x)成立”，可用符 p(x)成立”，可用符 形式 号简记为“Hx∈ 号简记为“]x∈ M,p(x)” M,p(x)” (3)命图3reRm+音子光真命题 ( 知识点三 全称量词命题和存在量词命题 (4)“=B”是“tana=tanB”的充分不必要条件. 的否定 ( 名称 全称量词命题 存在量词命题 题组二走进教材 2.(多选题)（必修1P3o例4(1）改编)已知命题p:x 对M中任意一个x, 存在M中的元素x, 结构 ∈R,x+2≤0，则下列说法正确的是 () p(x)成立 p(x)成立 A.p是真命题 简记 Hx∈M,p(x) ]x∈M,P(x) B.p:VxER,x+2>0 C.p是真命题 否定 D.7p:3x∈R,x+2>0 3.(必修1习题1.4T2改编)“a>b”是“ac2>bc2”的 题组三走向考场 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:Hx∈R,lx+11> A.充分不必要条件 1;命题g:3x>0,x3=x,则 () A.p和g都是真命题B.一p和g都是真命题 B.必要不充分条件 C.p和q都是真命题D.一p和一q都是真命题 C.充要条件 6.(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin2x=0”的 D.既不充分也不必要条件 4.（必修1复习参考题1T5改编)已知A=(-∞，a], A.充分不必要条件 B=(-0,3),且x∈A是x∈B的充分不必要条件， B.必要不充分条件 C.充要条件 则a的取值范围为 D.既不充分也不必要条件 考点突破·互动探究 2.全称量词命题与存在量词命题的否定 点 全称量词命题与存在量词命题一自主练透 (1)改写量词：确定命题所含量词的类型，若命题 例1.（多选题）(2026·西安模拟)下列命题的否定 中无量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进 中，是真命题的有 行改写； A.某些平行四边形是菱形 (2)否定结论：对原命题的结论进行否定， B.]x∈R,x2-3x+3<0 C.HxeR,lxl+x2≥0 考点〔 充分条件与必要条件的判断一多维探究 D.Vx∈R,x2-ax+1=0有实数解 方法上定义法判断 006 2.(2025·青岛模拟)已知命题p:Vx∈(0，)， 例(2024·天津卷)设a,b∈R,则“a2=63”是“3= 3”的 () sinx<x,则p: A.充分不必要条件 人3xE(0受）n B.必要不充分条件 C.充要条件 .)sin D.既不充分也不必要条件 C3x生(0,7），sinx≥ 方法2：集合法判断 例设xeR,则2-5x>0是1x-1>1的（) Dn.3xe(02）simx≥ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 3.已知命题p:HxeR,x2-a≥0；命题q:3x∈R C.充要条件 x2+2ax+2-a=0.若命题p,q都是真命题，则实数a的 D.既不充分也不必要条件 取值范围为 方法3 等价转化法判断 名师点拨： 1.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 例如果x,是实数，那么“x是“nx≠siny 命题名称真假 判断方法二 的 判断方法 () A.充要条件 解决不相等问题转 全称量 真 所有对象使命题为真 否定为假 B.充分不必要条件 化为相等问题来处 词命题 度 存在一个对象使命题为假 否定为真 C.必要不充分条件 理，即转化为等价 存在量 真 存在一个对象使命题为真 否定为假 D.既不充分也不必要条件 命题来处理 词命题 假 所有对象使命题为假 否定为真 名师点拨：有关充要条件的判断常用的方法 3.设x∈R,则cosx≠1”是“sin≠0”的 1.根据定义判断：(1)弄清条件p和结论q分别是 A充分不必要条件 什么；(2)尝试p→9,9→p.若p→9，则p是q的充分条 B.必要不充分条件 件；若q→p,则p是q的必要条件；若p→q,9台p,则p C.充要条件 是q的充分不必要条件；若pq,9→P,则p是q的必 D.既不充分也不必要条件 要不充分条件；若p→q,9→p,则p是q的充要条件. 2.利用集合判断 考点 充分、必要条件的应用一师生共研 记法 A=xlp(x),B=x1q(x) 关系 AB B手A A=B AEB且BEA 例)已知P=xl-8x-20≤0，非空集合S=x1 m≤x≤1+m.若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值 p是9的 p是g的 p是g的既 p是g的 结论 充分不必 必要不充 不充分也不 范围是 充要条件 要条件 分条件 必要条件 (2)在(I)的条件下，若把“x∈P是x∈S的必要条 3.利用等价转化法：对于带有否定性词语的命题， 件”改为“一P是S的必要不充分条件，”则m的取值 常用此法，即要判断p是q的什么条件，只需判断q范围是 是p的什么条件. 名师点拨： 【变式训练】 本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价 1.给定两个条件P,9,若p是q的必要不充分条件， 转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题 则p是g的 来解决。一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关 A.充分不必要条件 007 B.必要不充分条件 系问题时，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这 C.充要条件 是破解此类问题的关键 D.既不充分也不必要条件 【变式训练】 2(2026·东北师大附中质检)已知p:<1,9:+-6>1.(多选题)(2026·大连模拟)若“x<k-2或x>”是 “-2<x<3”的必要不充分条件，则实数k的值可以是 0,则p是q的 A.充要条件 () B.必要不充分条件 A.3 B.-3 C.5 D.-5 C.充分不必要条件 2.若关于x的不等式x-11<a成立的充分条件是0<x D.既不充分也不必要条件 <4,则实数a的取值范围是 名师讲坛·素养提升 一、抽象命题间充要条件的判定 例已知p是r的充分不必要条件，g是r的充分条件， A.①④⑤ B.①②④ s是r的必要条件，9是s的必要条件，现有下列命 C.②③⑤ D.②④⑤ [答案] B 题：①r是g的充要条件；②p是q的充分不必要条件； [解析] 由题意得p么，显然=r且r一s一 ③r是g的必要不充分条件；④p是s的必要不充 q,即qr,①正确；P→r→s→9且q护p,②正确；r台q, 分条件：⑤r是s的充分不必要条件，则正确命题的序③错误；由p→知s→P,但s户P,.7p台5，④ 号是 ）正确；r台s,⑤错误.故选B. 名师点拨： 【变式训练】 命题较多、关系复杂时，画出各命题间关系图求 若p是r的必要不充分条件，q是r的充分条件，则p 解，简洁直观，一目了然 是g的 条件 二、突破双变量“存在性或佳意性”问题 逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就 是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）， 目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质. 例 已知fn(6+1),g=()-m,若对于 3x€[0,3]是指代x)在[0,3]上有一个 Vx∈[0,3]，3x∈[1,2]，使得fx)≥ 函数值即最大值： g,则实数m的取值范围是 [引申3]把本例中，Vx∈[0,3]，3：2∈[1,2]改 A.[4,+) B.(o,4] 为]x∈[0,3]，Vx∈[1,2]，其他条件不变，则实数 c[. D.(,3] m的取值范围是 Vx1[0,3]是指f{x)在[0,3]上的每-个函 V:2e[1,2]是指x)在[1,2]上的每-个 数值即最小值， 函数值即最大值. %e[1,2]是指(x)在[1,2]上有一个函数 值即最小值 名师点拨： 008 [答案]A 对于含量词的命题中求参数的取值范围的问 [解析]当x∈[0,3]时，f(x)mm=f(0)=0, 题，可根据命题的含义，利用函数值域（或最值） 当e1,2]时8e)a=g2)-子m 解决， 【变式训练】 1 1 由f代)m≥g(x)m得0≥4m,所以m≥4 已知函数f(x)=e-e,g(x)=lnx+1,若对于Hx,∈ R,3x2∈(0，+∞)，使得f(x1)=g(x2),则x1-x2的 [引申1]把本例中“3x,∈[1,2]”改为：“x∈ 最大值为 () [1,2]”,其他条件不变，则实数m的取值范围是 A.e B.1-e Vx,e[1,2]是指g(x)在[1,2]上的 每二个值即最大值. C.1 D.11 e 引申2]把本例中，Vx∈[0,3改为]x∈[0,3] 其他条件不变，则实数m的取值范围是 3×e[0,3]是指x)在[0,3]上有-个函 温馨提示：复习至此，请完成练案[2] 数值即最大值.