第1章 集合与常用逻辑用语、不等式 考前必背知识清单及解题技巧 - 2027届新高考高三数学第一轮复习

该高中数学高考复习知识清单系统整合了集合与常用逻辑用语、不等式专题，涵盖集合的元素特征与运算、常用逻辑用语的命题与充要条件、不等式性质与基本不等式、二次函数与一元二次方程不等式五大核心模块。 清单采用“必背知识+解题技巧”双栏结构，必背知识通过表格梳理集合关系、量词命题等内容，解题技巧分点提炼集合互异性检验、充要条件集合法判定等方法，培养学生数学思维与表达能力。特设重要结论标注（如子集个数公式）和易错点提示（如空集优先考虑），助力学生自主构建知识体系，教师可据此精准把握复习重点，提升备考效率。

2027届新高考高三第一轮复习 高三数学备课组 新课标 · 新高考2027届高三第一轮复习 考前必背知识及解题技巧 第1章 集合与常用逻辑用语、不等式 第1讲　集 合 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：__确定性__、__互异性__、__无序性__． (2)元素与集合的关系是__属于__或__不属于__，用符号__∈__或____表示． (3)集合的表示法：__列举法__、__描述法__、__图示法__． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2．集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) __AB(或BA)__ 真子 集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 __AB(或BA)__ 集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 __A＝B__ 　 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} 并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ∁UA＝{x|x∈U且xA} 4.重要结论 1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为__2n__，真子集的个数为__2n－1__． 2．ABA∩B＝__A__A∪B＝__B__． 3．A∩(∁UA)＝____；A∪(∁UA)＝__U__；∁U(∁UA)＝__A__． ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表： 集合 集合的意义 {x|f(x)＝0} 方程f(x)＝0的解集 {x|f(x)>0} 不等式f(x)>0的解集 {x|y＝f(x)} 函数y＝f(x)的定义域 {y|y＝f(x)} 函数y＝f(x)的值域 {(x，y)|y＝f(x)} 函数y＝f(x)图象上的点集 2. 利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 3. 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 4. 判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法． 5. 要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集． 6. 根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题． 7. 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 8. 解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点： (1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． (3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn图． 9. 根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式： (1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素； (2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况． 10. 解决集合新定义问题的着手点： (1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口． (2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用． (3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的． 第2讲　常用逻辑用语 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以__判断真假__的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做__真命题__，判断为假的语句叫做__假命题__． 2．充要条件 充分条件与必要条件的定义 从集合角度理解 若pq，则p是q的__充分__条件， q是p的__必要__条件 p成立的对象的集合为A， q成立的对象的集合为B 结论 定义 集合关系 p是q的__充分不必要__条件 pq且qp A是B的__真子集__ p是q的__必要不充分__条件 pq且qp B是A的__真子集__ p是q的__充要__条件 pq A＝B p是q的__既不充分也不必要__条件 pq且qp A，B互不__包含__ 3．全称量词与存在量词 (1)全称量词:短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)存在量词:短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. 4．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 5．重要结论 1.会区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇏A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇏B)两者的不同. 2.p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件. 3.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 4.命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难，可判断此命题的否定的真假. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 充分条件、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据pq，qp进行判断，适用于定义、定理判断性问题． (2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题． (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． 2. 把握探求某结论成立的充分、必要条件的3个方面 (1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件； (2)注意问题的形式，看清“p是q的……”还是“p的……是q”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断； (3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断． 3. 根据充要条件求解参数范围的方法及注意点 (1)解决此类问题的方法：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)解决此类问题的注意点：区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的错误． 4. 充分条件、必要条件以其独特的表达形式成为高考命题的热点．高考主要考查充分条件、必要条件的判断，常以选择题的形式出现，难度不大，属于基础题．充分条件、必要条件作为一个重要载体，考查的数学知识面较广，几乎涉及数学知识各个方面． 5. 对全称量词(存在量词)命题进行否定的方法 (1)改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词； (2)否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可． 6. 对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定． 7. 全称量词(存在量词)命题真假的判断方法 全称 量词 命题 (1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立； (2)要判断一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可 存在 量词 命题 要判断一个存在量词命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一存在量词命题就是假命题 第3讲　等式与不等式的性质 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 两个实数比较大小的方法 (1)作差法 (2)作商法 2. 不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b，b>c⇒a>c; (3)同向可加性:a>b⇔a＋c>b＋c;a>b，c>d⇒a＋c>b＋d; (4)可乘性:a>b，c>0⇒ac>bc;a>b，c<0⇒ac<bc;a>b>0，c>d>0⇒ac>bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1); (6)可开方性:a>b>0⇒>(n∈N，n≥2). 3. 重要结论 1.真分数的性质 若a>b>0，m>0，则<; >(b－m>0). 2.倒数性质 (1)当ab>0时，a>b⇔<; (2)a>b>0，d>c>0⇒>. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 比较大小的三个常用方法： (1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差． (2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2. 不等式性质应用问题的三大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断pq 和qp是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法． 3. 判断不等式是否成立的方法 (1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明． (2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断． 第4讲　基本不等式 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的条件:a>0，b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号. (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数. 2. 2.两个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. (2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号. 3. 3.利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 4. 重要结论 (1)ab≤≤.要根据两数积、两数和、两数平方和选择合适的形式. (2)在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致. ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 常数代换法求最值的步骤： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 2. 常数代换法求解最值应注意的问题 (1)条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础； (2)已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键； (3)利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件． 3. 通过消元法求最值的方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解． 4. 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解． (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解． 5. 应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解． 6. 条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解． 7. 求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围． 第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 班级：_________ 学号：_________ 姓名：_________ ❀ 重知识 · 必背知识 ❀ 1. 一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2. 三个“二次”间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两相异实 根x1，x2 (x1<x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实 数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ 3. 分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)·g(x)>0(<0). (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 4. 简单的绝对值不等式 绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞);|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 5. 重要结论 1.当未说明不等式为一元二次不等式时应分二次项系数等于零和不等于零两种情况讨论. 2.当Δ<0时，注意区分不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集是R还是⌀. 3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔ ❀ 熟技巧 · 解题技巧 ❀ 1. 求二次函数解析式的方法 2. 识别二次函数图象应学会“三看” 3. 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A，即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)． 4. 求二次函数在给定区间上最值的方法 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨设a>0)在区间[m，n]上的最大或最小值如下： (1)当－∈[m，n]，即对称轴在所给区间内时： f(x)的最小值在对称轴处取得，其最小值是f＝；若－≤，f(x)的最大值为f(n)； 若－≥，f(x)的最大值为f(m)． (2)当－[m，n]，即给定的区间在对称轴的一侧时： f(x)在[m，n]上是单调函数．若－<m，f(x)在[m，n]上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<－，f(x)在[m，n]上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)． (3)当不能确定对称轴x＝－是否属于区间[m，n]时： 需分类讨论，以对称轴与区间的关系确定讨论的标准，然后转化为上述(1)(2)两种情形求最值． 5. 解一元二次不等式的四个步骤： (1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式，如例3中(1)小题； (2)判：计算对应方程的判别式； (3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 6. 二次函数值恒大(小)于零，常结合二次函数的图象和判别式来考虑；利用二次不等式与二次方程之间的关系，即二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解；关于二次方程根的分布问题，可以借助二次函数的图象直观考察，主要从判别式、对称轴、端点值这三个方面入手考虑应满足的条件． 7. 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论； (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 8. 对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值． 9. 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数． 第 2 页 共 8 页 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $