专题一集合导学案+课时作业-2027届高考数学一轮总复习

高考一轮总复习导学案 专题一 集合与常用逻辑用语01集合 一、考情分析 高考卷中集合专题为热点内容，主要考查集合的基本运算（交、并、补）、元素与集合关系及含参问题，题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。 二、知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法. (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N＋ Z Q R 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A). (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集. (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 常用结论 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个. 2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3.A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝B⇔A⊆B 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 三、类型应用 类型一 集合的基本概念及表示 例1：下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【详解】对于A，的唯一元素是零，而，所以，故A错误； 对于B，是无理数，是有理数集，故B错误； 对于C， 左边为数字集合，右边为点集，不是同类型，故C错误； 对于D，由集合的无序性可得D正确. 变式训练1：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断元素与集合的关系、描述法表示集合 【详解】因为， 所以，，，. 类型二：集合的基本运算 例2：已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 变式训练2-1：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 变式训练2-2：设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】并集的概念及运算、补集的概念及运算 【分析】由题意可得的值，然后计算即可. 【详解】由题意可得，则. 故选：A. 变式训练2-3：已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出. 【详解】因为，所以， 故选：D. 变式训练2-4：已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 变式训练2-5：已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】并集的概念及运算 【详解】因为集合，所以． 变式训练2-6：若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 类型三：集合间的关系 例3：已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、补集的概念及运算 【详解】依题意，， 故，则的真子集个数为． 变式训练3-1：集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 【答案】A 【知识点】列举法表示集合、判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】确定集合，根据集合中元素的个数确定子集的个数. 【详解】由题意且，的值可以为：，所以有6个元素. 故集合的子集有：个. 变式训练3-2：满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集） 【详解】满足条件的集合有， ，共7个. 类型四 根据集合的关系求参数范围 例4：设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 变式训练4-1：已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】由，得，进而得到关于的方程，结合集合的性质求解即可. 【详解】由，得， 所以或或，解得或或或. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 当时，，，符合题意. 当时，，，不符合集合元素的互异性，故舍去. 故. 变式训练4-2：已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 变式训练4-3：已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先通过解一元二次不等式得集合，再根据并集的定义可得. 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 变式训练4-4：已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据集合的包含关系求参数 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 类型五：集合新定义问题 例5：已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、集合新定义 【详解】解不等式得或，则或， 因为，所以. 变式训练5-1：（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】描述法表示集合、列举法表示集合、集合新定义 【分析】对于ABC：根据“影子关系”集合概念，举反例说明即可；对于D：根据“影子关系”集合概念，分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 变式训练5-2：定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为______． 【答案】4 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据新定义求出集合中的所有元素，即可得解. 【详解】，， 当，时，； 当，时，； 当，时，. 所以，所以集合中所有元素之和为. 故答案为：4 变式训练5-3：置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 【答案】C 【知识点】集合新定义 【分析】本题通过分析数组元素的大小关系，结合绝对值的运算求解参数. 【详解】由“间距置换”定义，得，，. 由，得. 因且，故或. 若，则，，， 于是， 得，即，故. 若，同理可得. 综上所述，的值为. 故选：C. 类型六 数学情境 例6：〔人A必修一P35〕学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 【答案】3人,9人 【知识点】容斥原理的应用 【分析】利用韦恩图列方程计算即可. 【详解】解:如图. 设同时参加田径和球类比赛的有x人,则, , 即同时参加田径和球类比赛的有3人, 而只参加游泳一项比赛的有(人). 【点睛】本题考查韦恩图解决集合问题，是基础题. 变式训练6：某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为（　　） A.168 B.172 C.184 D.196 解析：C　法一　设全年同学中听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C.由题意知，card（A）＝85，card（B）＝70，card（C）＝61，card（A∩B）＝16，card（A∩C）＝12，card（B∩C）＝9，card（A∩B∩C）＝5，由三元容斥原理得card（A∪B∪C）＝card（A）＋card（B）＋card（C）－card（A∩B）－card（A∩C）－card（B∩C）＋card（A∩B∩C）＝184. 法二　设全年级同学是全集U，听数学讲座的人组成集合A，听历史讲座的人组成集合B，听音乐讲座的人组成集合C.根据题意，用Venn图表示，如图所示.由Venn图可知，听讲座的人数为62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184. 4、 素养提升 1.若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为集合中有且只有一个元素， 所以方程只有一个解， 所以，解得. 故选：D. 2.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则. 故选：B. 3.已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据集合的包含关系求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】当时，集合，，可得，满足充分性， 若，则或，不满足必要性， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4.给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 【答案】ABD 【详解】取，，则，故A错误；取，，则，0不是无理数，故B错误；设，，则，，故C正确；取，，由C选项可知是闭集合，同理可证也是闭集合，则为被2整除或被3整除的全体整数集，取，，则，5不能被2或3整除，即，故D错误. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 01集合 一、单选题 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 二、填空题 10．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 11．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）设集合，则的非空子集个数为__________. 12．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________. 13．（25-26高二下·上海奉贤·月考）若集合，，，则实数的取值范围为___________. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题一 集合与常用逻辑用语01集合 一、考情分析 高考卷中集合专题为热点内容，主要考查集合的基本运算（交、并、补）、元素与集合关系及含参问题，题型以单选题为主，分值5分，难度较低，属于基础送分题。 二、知识梳理 1.元素与集合 (1)集合中元素的三个特性：确定性、 、无序性. (2)元素与集合的关系是 或不属于，表示符号分别为 和 (3)集合的三种表示方法： 、 、 . (4)常用数集及记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 2.集合间的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作 (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的 . (3)相等：若A⊆B，且 ，则A＝B. (4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何 集合的真子集. 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 常用结论 1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真子集有 个. 2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集. 3.A∩B＝A⇔ ；A∪B＝B⇔ 4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 三、类型应用 类型一 集合的基本概念及表示 例1：下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 变式训练1：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 类型二：集合的基本运算 例2：已知集合则（   ） A． B． C． D． 变式训练2-1：已知集合，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2-2：设全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2-3：已知集合，则（   ） A． B． C． D． 变式训练2-4：已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式训练2-5：已知集合，则（ ） A． B． C． D． 变式训练2-6：若集合，，则（    ） A． B． C． D． 类型三：集合间的关系 例3：已知全集，集合，则的真子集个数为（   ） A．3 B．7 C．15 D．31 变式训练3-1：集合的子集的个数为（   ） A．64 B．16 C．6 D．4 变式训练3-2：满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 类型四 根据集合的关系求参数范围 例4：设集合，，若，则（    ）． A．2 B．1 C． D． 变式训练4-1：已知集合，，且，则（    ） A．1 B． C．2 D． 变式训练4-2：已知集合，，若，则的取值范围为______ 变式训练4-3：已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练4-4：已知集合，，若，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 类型五：集合新定义问题 例5：已知集合，，若且，则（    ） A． B． C． D． 变式训练5-1：（集合间的基本关系）（人教A版2019必修第一册P5复习巩固1改编）若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ） A． B． C． D． 变式训练5-2：定义集合运算：，若集合，，则集合中所有元素之和为______． 变式训练5-3：置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，.已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组，且中所有数之和为2026，则（    ） A．1004 B．1007 C．1010 D．1013 类型六 数学情境 例6：〔人A必修一P35〕学校举办运动会时,高一(1)班共有28名同学参加比赛,有15人参加游泳比赛,有8人参加田径比赛,有14人参加球类比赛,同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人,同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人,没有人同时参加三项比赛,同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 变式训练6：某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有85人听了数学讲座，70人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，其中16人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有5人听了全部讲座，则听讲座的人数为（　　） A.168 B.172 C.184 D.196 4、 素养提升 1.若集合中有且只有一个元素，则值的集合是（   ） A． B． C． D． 2.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 3.已知，若集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.给定数集M，若对于任意x，，都有，且，则称集合M为闭集合.下列说法错误的是（    ） A．自然数集是闭集合 B．无理数集是闭集合 C．集合为闭集合 D．若集合，为闭集合，则也为闭集合 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习课时作业 01集合 一、单选题 1．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知集合，下列式子错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、空集的概念以及判断 【分析】先求出集合A，再利用元素与集合之间的关系依次判断各选项即可得解. 【详解】， ，故ABD正确； 而与是两个集合，不能用“”表示它们之间的关系，故C错误. 故选：C 2．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交并补混合运算 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【知识点】补集的概念及运算 【分析】根据补集的定义即可求出． 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 4．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 5．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、列举法表示集合 【详解】由题意可得：， 又集合，所以. 6．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】并集的概念及运算 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：C. 7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的定义先算出具体含有的元素，然后根据交集的定义计算. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即， 于是. 故选：C 8．（25-26高一上·重庆·期中）定义，若，则中元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】利用集合中元素的性质求集合元素个数、集合新定义 【分析】根据给定定义求出中的所有元素即可. 【详解】，当时，； 当时，；时，， 因此，所以中元素个数为5. 故选：C 9.设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么是的一个“孤立元”，给定，由的3个元素构成的所有集合中，含有“孤立元”的集合共有（    ）个． A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】B 【详解】由题意，要使集合含有“孤立元”，则集合中的元素不是3个一致连续的整数即可， 故满足条件的集合有：，，，，，， ，，，，，，，， ，. 故选：B. 二、填空题 10．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 11．（25-26高三上·浙江温州·开学考试）设集合，则的非空子集个数为__________. 【答案】7 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据非空子集个数公式计算即可. 【详解】集合，则的子集个数为, 所以的非空子集个数为. 故答案为：. 12．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）若集合，则__________. 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由可得，解得， 所以， 所以. 13．（25-26高二下·上海奉贤·月考）若集合，，，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【知识点】根据并集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解集合，再根据集合运算性质将转化为，然后根据集合是否为空集进行讨论，最后合并取值范围即可. 【详解】根据已知条件，解不等式，可得， ， 由，则. 当时，则，解得； 当时，则，解得， 所以实数的取值范围为. 14．（25-26高一上·上海·期末）已知集合．若，则实数________． 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $