第70讲 直线的方程导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了直线的方程专题，将倾斜角与斜率的关系、直线方程的五种形式及其适用范围等核心考点，按“概念—公式—应用”逻辑递进构建知识网络，通过问题导向的题型设计和任务驱动的知识点梳理，引导学生自主建立从基础概念到综合应用的认知框架。 亮点在于诊断性自测与进阶式题型训练，如开篇设置概念辨析题（题型一）帮助学生自主诊断倾斜角与斜率的理解偏差，通过光线反射综合题（题型四）培养数学思维与空间观念。每个题型模块配有解题方法指导，学生可通过错题归因实现自主提升，教师能依据题型分布精准把握学情，支持因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第七十讲 直线的方程 【学习目标】 1.明确倾斜角与斜率两个描述直线倾斜程度的量,并会用直线上两点的坐表 示直线的斜率; 2.能写出直线方程的五种形式. 【学习重点】 倾斜角与斜率的关系 【学习难点】在不同的情境中选择合适的直线方程去解题 必掌握知识点 一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 必考题型全归纳 题型一、直线倾斜角与斜率基础概念 1．下列叙述不正确的是（　　　　） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的范围是0°≤α＜180° C．若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanα D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 2（多选）．（湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 3（多选）．下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 题型二、直线方程形式（点斜、斜截、两点、截距式） 4（多选）．下列说法错误的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．过不同两点的直线方程为 C．线段的两个端点和，则以为直径的圆的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 5（多选）．下列说法错误的是（    ） A．过任意两点，的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是 D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 6（多选）．（江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次素质检测数学试题）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 题型三、曲线动点、直线斜率与倾斜角范围 7（多选）．已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 题型四 光线多次反射、对称法求直线 / 周长，倾斜角正切范围 8．如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 9．矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是____________. 题型五、两直线平行、垂直判定 10（多选）．（江西省玉山县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次集中训练数学试题）以下四个命题叙述正确的是（   ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线和的交点为P，且P在直线上，则k的值是 C．直线：，：，若，则或2 D．设点是直线上的动点，O为原点，则的最小值是 题型六、定点直线恒过定点问题 11（多选）．（安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高二上学期数学试题）下列说法正确的是（   ） A．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限. B．斜率为，在轴截距为3的直线方程为. C．直线关于对称的直线方程是. D．对任意的，直线与直线有公共点. 12（多选）．（重庆市涪陵第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 题型七、直线截距问题（截距相等 、 相反、坐标轴正半轴相交） 13．（安徽省淮南崇文高级中学2025-2026学年高二上学期数学试题）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 14．（浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月调研数学试题）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 15．已知直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，. (1)当面积为8时（为坐标原点），求直线的方程； (2)求直线在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程. 16．已知直线l过点，O为坐标原点． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程； (2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． ⅰ）求直线l方程； ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 巩固提升： 1．下列叙述不正确的是（　　　　） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的范围是0°≤α＜180° C．若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanα D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 2．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题）若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 4．设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是 A． B． C． D． 5．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第七十讲 直线的方程 【学习目标】 1.明确倾斜角与斜率两个描述直线倾斜程度的量,并会用直线上两点的坐表 示直线的斜率; 2.能写出直线方程的五种形式. 【学习重点】 倾斜角与斜率的关系 【学习难点】在不同的情境中选择合适的直线方程去解题 必掌握知识点 一：直线的倾斜角和斜率 1、直线的倾斜角 若直线与轴相交，则以轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与重合所成的角称为直线的倾斜角，通常用表示 （1）若直线与轴平行（或重合），则倾斜角为 （2）倾斜角的取值范围 2、直线的斜率 设直线的倾斜角为，则的正切值称为直线的斜率，记为 （1）当时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的 （2）所有的直线均有倾斜角，但是不是所有的直线均有斜率 （3）斜率与倾斜角都是刻画直线的倾斜程度，但就其应用范围，斜率适用的范围更广（与直线方程相联系） （4）越大，直线越陡峭 （5）倾斜角与斜率的关系 当时，直线平行于轴或与轴重合； 当时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随的增大而增大； 当时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随的增大而减小； 3、过两点的直线斜率公式 已知直线上任意两点，，则 （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关． （2）若，则直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线． 两直线的斜率相等→三点共线；反过来，三点共线，则直线的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在． 二：直线的方程 1、直线的截距 若直线与坐标轴分别交于，则称分别为直线的横截距，纵截距 （1）截距：可视为直线与坐标轴交点的简记形式，其取值可正，可负，可为0（不要顾名思义误认为与“距离”相关） （2）横纵截距均为0的直线为过原点的非水平非竖直直线 2、直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含垂直于轴的直线 斜截式 不含垂直于轴的直线 两点式 不含直线和直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 平面直角坐标系内的直线都适用 3、求曲线（或直线）方程的方法： 在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种： （1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率 （2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 4、线段中点坐标公式 若点的坐标分别为且线段的中点的坐标为，则，此公式为线段的中点坐标公式． 5、两直线的夹角公式 若直线与直线的夹角为，则. 必考题型全归纳 题型一、直线倾斜角与斜率基础概念 1．下列叙述不正确的是（　　　　） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的范围是0°≤α＜180° C．若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanα D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 【答案】A 【分析】根据斜率的定义知当直线与轴垂直时，斜率不存在，得到答案. 【详解】根据斜率的定义知：当直线与轴垂直时，斜率不存在，故错误，其他选项正确. 故选： 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义，属于简单题. 2（多选）．（湖北省沙市中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（    ） A．任意一条直线都有倾斜角 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为 D．分别在轴、轴上截距相等的直线的斜率为. 【答案】BCD 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可. 【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A正确； 钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B错误； 若一条直线的倾斜角，则斜率不存在，C错误； 分别在轴、轴上截距相等的直线可以过原点，斜率可以不是，D错误；故选:BCD. 3（多选）．下列四个选项中，说法错误的是（    ） A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率 B．直线与直线互相平行，则 C．过两点的所有直线的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为. 【答案】AD 【分析】根据直线的倾斜角与斜率判断A；根据两直线平行求出参数的值，即可判断B；根据两点式方程判断C；分截距都为与都不为两种情况讨论，即可判断D. 【详解】对于A：坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角， 但是与轴平行（重合）的直线的倾斜角为，斜率不存在，故A错误； 对于B：因为直线与直线互相平行， 则，解得或， 当时直线与直线重合，故舍去， 当时直线与直线平行，符合题意， 综上可得，故B正确； 对于C：过两点的所有直线的方程为，故C正确； 对于D：当截距都为时直线方程为， 当截距都不为时，设直线方程为，则，解得， 所以直线方程为， 综上可得满足条件的直线方程为或，故D错误.故选：AD 题型二、直线方程形式（点斜、斜截、两点、截距式） 4（多选）．下列说法错误的是（    ） A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 B．过不同两点的直线方程为 C．线段的两个端点和，则以为直径的圆的方程为 D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 【答案】ABD 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系，直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可. 【详解】若一条直线的斜率为，，此时可以为负值， 而直线的倾斜角的范围为，所以A不正确. 由直线的两点式方程可知过不同两点 的直线方程为， 但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行，故B错误. 根据与 易得圆的方程为：，故C正确. 当截距为时直线方程为，故D错误. 故选：ABD. 5（多选）．下列说法错误的是（    ） A．过任意两点，的直线方程为 B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C．若直线倾斜角，则斜率的取值范围是 D．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】根据直线方程、斜率、倾斜角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，过任意两点，，当时， 直线方程不能表示，所以A选项错误. B选项，直线过点，且在轴和轴上截距都相等，所以B选项错误. C选项，直线倾斜角，，则根据正切函数的性质知的取值范围是，故C正确； D选项，当时，直线的斜率不存在，所以D选项错误.故选：ABD 6（多选）．（江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高二上学期第一次素质检测数学试题）下列结论正确的是（    ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线过点，倾斜角为，则其方程是 C．直线过点，斜率不存在，则其方程是 D．所有的直线都有点斜式和截距式方程 【答案】BC 【分析】根据函数的定义域可判断A：根据点斜式方程可判断B；根据倾斜角为的直线方程可判断C；根据直线方程的适用范围可判断D. 【详解】对于A：方程分母不为0，要求，对应的直线不包含点， 而包含点，二者不能表示同一直线，A错误； 对于B： 倾斜角为，斜率，代入点斜式方程得， 整理得，B正确； 对于C：斜率不存在的直线垂直于轴，直线上所有点的横坐标恒为，方程为，C正确； 对于D：点斜式要求斜率存在，斜率不存在的直线没有点斜式； 截距式要求横、纵截距都存在且不为0，过原点的直线没有截距式， 因此不是所有直线都有点斜式和截距式，D错误. 题型三、曲线动点、直线斜率与倾斜角范围 7（多选）．已知点，，直线上存在点P满足，则直线l的倾斜角可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】BD 【分析】将、两点代入直线的方程，可知点、不可能同时在直线上，又，可判断出点的轨迹即为线段，把原问题转化为直线与线段恒有公共点问题，再求出两个临界值，即可判断. 【详解】将点代入直线得，再将点代入直线得，故点、不可能同时在直线上， 又，且， 点的轨迹为线段，即直线与线段恒有交点， 又直线，直线恒过定点，作出示意图： 此时，， 故直线的斜率的取值范围为：，且直线的斜率存在， 故直线的倾斜角的取值范围为：，故选：BD. 题型四 光线多次反射、对称法求直线 / 周长，倾斜角正切范围 8．如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线， 所以直线的方程为，，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，,, 所以.故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 9．矩形OABC中，为坐标原点，，光线从OA边上一点发出，到AB边上的点，被AB反射到BC上的点，再被BC反射到OC上的点，最后被OC反射到轴上的点，若，则与轴夹角的正切值的取值范围是____________. 【答案】 【分析】设与轴夹角为，根据入射光线与反射光线的关系，逐步用表示出，再根据的范围可求. 【详解】设与轴夹角为，由题意可知，， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 题型五、两直线平行、垂直判定 10（多选）．（江西省玉山县第一中学2025-2026学年高二上学期第一次集中训练数学试题）以下四个命题叙述正确的是（   ） A．方程与方程可表示同一直线 B．直线和的交点为P，且P在直线上，则k的值是 C．直线：，：，若，则或2 D．设点是直线上的动点，O为原点，则的最小值是 【答案】BD 【分析】利用方程不含的点判断A；求出交点坐标，进而求出判断B；验证判断C；求出点到直线距离判断D. 【详解】对于A，方程表示不含点的直线，A错误； 对于B，由，解得，由题可得在直线上，则，B正确； 对于C，当时，直线与重合，C错误； 对于D，的最小值是原点到直线的距离，D正确. 故选：BD 题型六、定点直线恒过定点问题 11（多选）．（安徽省合肥市第七中学2025-2026学年高二上学期数学试题）下列说法正确的是（   ） A．若直线经过第一、二、四象限，则点在第二象限. B．斜率为，在轴截距为3的直线方程为. C．直线关于对称的直线方程是. D．对任意的，直线与直线有公共点. 【答案】AD 【分析】对于A，结合一次函数的特征可得，进而判断即可；对于B，根据斜截式方程求解判断即可；对于C，先求出直线与的交点，再求出直线上一点的对称点，进而求解判断即可；对于D，由题设可得直线恒过定点，而在直线上，进而判断即可. 【详解】对于A，由直线经过第一、二、四象限， 则，所以点在第二象限，故A正确； 对于B，斜率为，在轴截距为3的直线方程为，故B错误； 对于C，联立，解得， 则直线与的交点为， 取直线上一点，设其关于直线对称点为， 则，解得，即对称点为， 则所求直线的斜率为， 则所求直线的方程为，即，故C错误； 对于D，直线，即， 令，解得，则直线恒过定点， 而在直线上， 所以对任意的，直线与直线有公共点，故D正确. 故选：AD 12（多选）．（重庆市涪陵第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题）下列说法正确的是（   ） A．若直线不经过第三象限，则 B．方程表示的直线都经过点 C．若直线的斜率，则直线倾斜角的取值范围是 D．已知，，点在轴上，则的最小值是5 【答案】BD 【分析】对于A，分和两种情况讨论即可判断，对于B，由，令，解出即可判断，对于C，由，又，解出即可求解，对于D，先求点关于对称点，由，利用两点间距离即可求解. 【详解】对于A，由直线不经过第三象限， 当时，直线不经过第三象限，所以， 当时，直线不经过第三象限，所以， 故A错误； 对于B，由题意有，令，得， 解得，所以方程表示的直线都经过定点，故B正确； 对于C，由，又，所以或，故C错误； 对于D，由关于轴的对称点为，所以，所以的最小值是5，故D正确； 故选：BD. 题型七、直线截距问题（截距相等 、 相反、坐标轴正半轴相交） 13．（安徽省淮南崇文高级中学2025-2026学年高二上学期数学试题）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)设为坐标原点，若直线与轴正半轴交于点、与轴正半轴交于点，求的最小值，并求此时直线的方程； 【答案】(1)或 (2)最小值为16， 【分析】（1）分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况，即可求得结果； （2）设，其中，求得坐标后，利用基本不等式即可求得的最小值及直线方程. 【详解】（1）当过坐标原点时，方程为，即，满足题意； 当不过坐标原点时，可设其方程为：， ， ， ∴直线l方程为：或； （2）由题意可知：直线斜率存在，且，可设， 令，解得：，， 令，解得：，， ∴，当且仅当即等号成立， 直线的方程为：，即， ∴的最小值为，此时直线方程为：. 14．（浙江省舟山市五校联盟2025-2026学年高二上学期10月调研数学试题）已知直线经过点． (1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求直线的方程； (2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)或 (2)24， 【分析】（1）分类讨论截距是否为0，结合截距式计算即可； （2）设坐标，根据截距式结合基本不等式计算即可. 【详解】（1）若截距为0，则该直线方程为； 若截距不为0，不妨设轴上的截距为，则轴上的截距为， 该直线方程为，将点代入解得，即， 综上直线的方程为或； （2）由题意可设，则，且， 由基本不等式可知，所以， 则，当且仅当时取得最小值，此时. 15．已知直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，. (1)当面积为8时（为坐标原点），求直线的方程； (2)求直线在两坐标轴上的截距之和的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）设直线方程，其中，求出与坐标轴的交点，根据三角形面积求出k即可得解； （2）根据均值不等式求出截距和的最小值，求出取等号时的k即可得直线方程. 【详解】（1）由题意可设直线的方程为，其中 它与轴、轴正半轴分别交于点， 由题意得，解得.故所求直线方程为. （2）由（1）知直线在两坐标轴上的截距之和为 . 当且仅当即时取等号， 此时直线方程为. 16．已知直线l过点，O为坐标原点． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l方程； (2)若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点且面积为24． ⅰ）求直线l方程； ⅱ）若点P为线段AB上一动点，且交OA于点Q．在y轴上是否存在点M，使为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)或 (2)ⅰ） ，ⅱ），， 【分析】（1）分类讨论截距是否为零，计算即可； （2）利用截距式结合面积公式计算可得第一小问，利用等腰直角三角形的特征分类讨论计算即可. 【详解】（1）若直线过原点，易知其方程为：； 若直线不过原点，不妨设其方程为：，代入点得，即； （2）i）由截距式设直线的方程为，所以， 所以，即 ； ⅱ）若存在为等腰直角三角形，不妨设，，则， 因为为等腰三角形， 当M为直角顶点时，设，，， 所以，即， 所以或（舍），所以，即点； 当Q为直角顶点时，点，，符合题意； 当P为直角顶点时，设，由可得：， 所以，；综上所以，，，符合题意． 巩固提升： 1．下列叙述不正确的是（　　　　） A．平面直角坐标系内的任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线倾斜角的范围是0°≤α＜180° C．若一条直线的倾斜角为α（α≠90°），则此直线的斜率为tanα D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是0°或90° 【答案】A 【分析】根据斜率的定义知当直线与轴垂直时，斜率不存在，得到答案. 【详解】根据斜率的定义知：当直线与轴垂直时，斜率不存在，故错误，其他选项正确. 故选： 【点睛】本题考查了直线的倾斜角和斜率的定义，属于简单题. 2．已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 3．（河南省南阳市第一中学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试题）若点，点为曲线：上一点，则直线的倾斜角取值范围是（    ） A． B． C． D．以上三项都不对 【答案】D 【分析】由题意可画出曲线的图象，然后对点在图象上的运动情况分情况讨论，求出相应的的斜率，从而可求得相应的倾斜角范围，即可求解. 【详解】由题意可得对于曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 当，时，曲线：， 可画出下图，，，，，， 当点位于点处时，此时，则倾斜角为； 当点在正方形（不包含点）上运动时，此时， 则倾斜角； 当点在上运动时，此时，倾斜角； 综上所述：直线的倾斜角取值范围为，故A、B、C错误，D正确. 故选：D.    4．设不等式组所表示的平面区域为，其面积为.①若，则的值唯一；②若，则的值有2个；③若为三角形，则；④若为五边形，则．以上命题中，真命题的个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域，不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k的正负有关），所以不等式组所表示的平面区域就是它们的公共部分，再对每一个命题进行分析推理，确定命题的真假. 【详解】由题得不等式|x|+|y|≤2，表示的是如图所示的正方形区域， 不等式y+2≤k(x+1)，表示的是经过定点（-1，-2）的动直线y+2=k(x+1)的一侧（与k的正负有关）， 所以不等式组所表示的平面区域就是它们的公共部分， （1）因为大正方形的面积为8，若，面积为正方形面积的一半，且过原点O的任意直线均可把正方形的面积等分，故当S=4时，直线必过原点，所以k=2,k的值唯一，命题正确; （2）左边阴影三角形的面积为1，故当k取适当的负值左倾可以使三角形的面积为，k取适当的正值，使得阴影部分的面积为，故S=时，k的值有两个，故该命题正确； （3）由（2）的讨论可知，当k＜-2时，左边也有一个三角形，所以当D为三角形时，k的取值范围为，故该命题错误； (4)经过点（-1，-2）和（0,2）的直线绕定点（-1，-2）向左旋转一点，D就是五边形， 此时k＞.故命题正确. 故选C 【点睛】本题主要考查线性规划，考查直线方程，考查直线和直线的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力. 5．已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积. 【详解】直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C    【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $