精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

南昌二中2025-2026学年度上学期高一数学月考（二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知在定义域内单调递增，结合零点存在性定理分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增，可知在定义域内单调递增， 又因为，，， 所以， 所以方程的根所在区间为. 故选：C. 2. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的性质求解. 【详解】按照分层随机抽样，在智界汽车车主中共抽取人． 故选：B 3. 设集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A和集合B，再根据交集的运算求解. 【详解】由，即，所以，解得，所以. 由，即，解得，所以. 所以. 故选：B 4. 若, c=log23，则a，b，c大小关系是（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. b＜c＜a D. c＜b＜a 【答案】A 【解析】 【详解】分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 详解： c=log23＞1， 则a＜b＜c， 故选A． 点睛：本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 若函数是奇函数，为偶函数，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意，可得f（1）+f（﹣1）＝4，及，两式联立即可求得f（﹣1）． 【详解】∵函数F（x）＝f（x）﹣2x4是奇函数， ∴F（1）+F（﹣1）＝0，即f（1）﹣2+f（﹣1）﹣2＝0，则f（1）+f（﹣1）＝4①， ∵为偶函数， ∴G（1）＝G（﹣1），即，则②， 由①②解得，． 故选：C． 【点睛】本题考查函数奇偶性的运用，考查函数值的求解，根据奇偶性的定义建立关于f（1），f（﹣1）的方程组是解题关键，属于基础题． 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知，可设，，利用换底公式表示出，带入中，得到m，n的等量关系，然后利用“1”的代换借助基本不等式即可求解最值. 【详解】由已知，令，， 所以，，代入得：， 因为，， 所以 . 当且仅当时，即时等号成立. 的最小值为. 故选：C. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 求出函数在上的值域，进而可知，存在，使得，利用参变量分离法得出，求出函数在上的值域，由此可解出实数的取值范围. 【详解】当时，，则， 所以，函数在区间上的值域包含， 所以，存在，使得，即， 而函数在区间上为增函数，，. 故选：D. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 8. 设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AB选项，画出和的图象，得到，并结合特殊点函数值，数形结合得到，，C选项，，，两式相减得到；D选项，由C知，结合的单调性得到，D错误. 【详解】AB选项，画出和的函数图象，如下： 显然， ，， 由于，故， 结合图象可知，，故，A错误； 由于，故， 结合图象可知，B正确； C选项，，，两式相减得 ，故，C错误； D选项，由C知，，故， 又，在上单调递减， 故，D错误. 故选：B 【点睛】方法点睛：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：（单位：分），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为5 【答案】AB 【解析】 【分析】通过排序样本数据，依次计算极差、平均数、分位数、方差，逐一验证各选项的正误. 【详解】将位选手的得分排序为. 选项A： 极差为最大值与最小值的差，即，该说法正确. 选项B： 得分总和为，平均数为，该说法正确. 选项C： 分位数的位置为，对应排序后第个数，并非，该说法错误. 选项D： 各得分与平均数的差的平方和为， 所以方差为，并非，该说法错误. 故选：AB 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在定义域上单调递减 D. 函数为奇函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据指数函数性质，结合解析式有意义可判断A；根据指数函数的值域直接推导可判断B；利用复合函数单调性的性质可判断C；根据奇函数定义可判断D. 【详解】对A，因为，所以对任意，， 即函数的定义域为，A错误； 对B，函数， 因为，所以，，所以， 即函数的值域为，B正确； 对C，因为在上单调递减，函数单调递增， 所以，由复合函数单调性可知，函数在上单调递减，C正确； 对D，由，可得：， 则为奇函数，D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】画出函数图象，即可判断A，由与有且仅有个交点，结合图象求出的取值范围，即可判断B，结合图象可得，再由对称性即可判断C，将式子转化为关于的解析式，结合函数的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，，； 当时，所以在上单调递减， 在上单调递增，且，； 所以函数的图象如下： 对于A：由函数的图象可知，函数的增区间为，，故A正确； 对于B：因为函数有且仅有4个零点， 令，则，即与有且仅有个交点， 由函数的图象可知，，故B错误； 对于C：由函数的图象可知， 又由，有，可得， 又由二次函数的对称性，有，可得，故C正确； 对于D：由， 则 ， 又函数单调递增，所以， 单调递增，所以， 所以， 即的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数的值域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由的值域为求出函数的定义域，进而求得的定义域. 【详解】因为的值域为，可得，即， 所以的定义域为， 故函数应满足，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 13. 研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是__________，方差是__________． 【答案】 ①. 60 ②. 36 【解析】 【分析】利用加权平均数公式求解第一空，利用加权方差公式求解第二空即可. 【详解】由题意得总体平均数为， 总体方差为. 故答案为：60；36 14. 已知函数，若，则的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由解析式得，结合已知得，且，进而有，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，则， 所以， 又函数在上单调递增，且， 所以，且，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示）， 其中样本数据分组区间． （1）求频率分布直方图中a的值： （2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）众数；中位数 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1列式即可； （2）根据众数即最高矩形中间值，中位数左右两边矩形面积各为0.5列式即可. 【小问1详解】 由,得 【小问2详解】 50名学生竞赛成绩的众数为 设中位数为,则 解得 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.4 16. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1） 先利用换元法将指数型函数转化为二次函数；再根据二次函数的单调性即可求出函数的值域. （2）分类讨论，结合指数函数和复合函数单调性即可求解. 【小问1详解】 当时，. 令，， 则，. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以当时；当时， 故函数，的值域为. 所以当时，在上的值域为. 【小问2详解】 当时，，满足在上单调递增，满足题意； 当时，设，则，. 因为单调递增， 所以要使在上单调递增， 须使在上单调递增， 所以解得. 综上可得：实数的取值范围为，即. 17. 在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度（单位：毫克／毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克／毫升． （1）直接写出，的值； （2）当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度（单位：小时）． 【答案】（1），， （2）. 【解析】 【分析】（1）根据时，函数取最大值，且该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，列关系式求； （2）由关系，结合函数解析式分段列不等式求其解，即可. 【小问1详解】 因为该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程， 函数在时取最大值， 所以，，， 所以，， 【小问2详解】 由（1）， 令可得， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以该药物有效的时间长度为（小时）. 18. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是，求的值； （3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用指对数函数性质有，则，即可求值域； （2）由题设，令，，讨论结合二次函数性质列方程求参数； （3）令，根据已知将问题化为有两个大于1的不等实根，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以，故的值域是． 【小问2详解】 因为函数的最大值是， 由对数函数的单调性质知的最大值为， 令，， 若，则为开口向上的二次函数，没有最大值，不满足题意； 由（1）知也不满足题意； 所以，此时，在处取得最大值， ，解得（舍去正值）．\ 【小问3详解】 令，， 令，对称轴为， 所以在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以，即， 所以方程有两个不等正实根， 即有两个不等正实根， 即有两个大于1的不等实根， 所以，解得， 即实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：应用换元法，令，问题化为有两个大于1的不等实根为关键. 19. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象的对称可知，再由奇函数的定义列方程解方程； （2）代入函数解析式，分离常数构造新函数，利用换元法结合对勾函数的单调性可得最值，进而确定参数范围； （3）根据指数与对数的运算化简可得，构造函数，利用定义法可确定函数单调递增，则可得，即，进而可得解. 【小问1详解】 由已知函数与的图象关于直线对称， 则， 则， 又函数是奇函数， 所以， 整理可得， 又不恒为，所以， 此时或， 均满足奇函数， 所以； 【小问2详解】 由，即， 由（1）得， 则可转化为， 即不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则，所以， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 即在上的最大值为， 即， 所以，即； 【小问3详解】 由实数，满足，， 所以，，则， 所以，，即，，， 令，，则 设，则，，， 所以，即， 所以在上单调递增． 因为方程等价于， 所以，即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中2025-2026学年度上学期高一数学月考（二） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，则方程的此根所落区间为（ ） A. B. C. D. 不能确定 2. 某地区的鸿蒙用户中心的客服人员现要从购买智界汽车的50名车主，享界汽车的60名车主，问界汽车的40名车主中用分层随机抽样的方法抽取容量为30的样本进行用户反馈调研，则在智界汽车车主中抽取的人数为（ ） A. 8 B. 10 C. 11 D. 12 3. 设集合，，则（    ） A. B. C. D. 4. 若, c=log23，则a，b，c大小关系是（　　） A. a＜b＜c B. b＜a＜c C. b＜c＜a D. c＜b＜a 5. 若函数是奇函数，为偶函数，则 A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 10 B. 9 C. D. 7. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设关于x的方程有两个不相等的实数根a，b，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了检测员工的技术水平，某企业组织职工技能大赛，在装配钳工比赛中，6位选手的得分分别为：（单位：分），则这组样本数据的（ ） A. 极差为4 B. 平均数为7 C. 分位数为7.5 D. 方差为5 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在定义域上单调递减 D. 函数为奇函数 11. 已知函数，若函数有且仅有4个零点，，，（其中），则（ ） A. 函数的增区间为， B. 的取值范围为 C. D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知函数的值域为，则函数的定义域为__________. 13. 研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取10名女工员、名男员工的体重数据，计算得到10名女员工的平均体重为52（单位：kg），方差为6；20名男员工的平均体重为64（单位：kg），方差为3．则这30名员工体重的平均数是__________，方差是__________． 14. 已知函数，若，则的最小值为_______. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示）， 其中样本数据分组区间． （1）求频率分布直方图中a的值： （2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数） 16. 已知函数. （1）当时，求在上的值域； （2）若在上单调递增，求实数的取值范围. 17. 在某种药物研究试验中发现其在血液内的浓度（单位：毫克／毫升）与时间（单位：小时）满足函数关系，其中，为大于的常数．已知该药物在血液内的浓度是一个连续变化的过程，且在小时时达到最大值毫克／毫升． （1）直接写出，的值； （2）当该药物浓度不小于最大值一半时，称该药物有效．求该药物有效的时间长度（单位：小时）． 18. 已知函数. （1）当时，求函数的值域； （2）若函数的最大值是，求的值； （3）已知，，且在区间上的值域为，求实数的取值范围. 19. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若是奇函数，求实数的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）已知实数，满足，．求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $