精品解析：浙江宁波市镇海蛟川书院2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

蛟川书院（甬江校区）2026学年第一学期学科素养大比拼（一） 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，只需判断每组三个数中，较小的两个数的和是否大于较大数，若大于，则可组成一个三角形． 【详解】解：A．，能组成三角形，符合题意． B．，不能组成三角形，不符合题意． C．，不能组成三角形，不符合题意． D．，不能组成三角形，不符合题意． 2. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质得出，，，根据对顶角的性质得出，再逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 根据对顶角性质得， 无法判断， 故选项D错误. 3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 钝角三角形三条边长为，， D. 直角三角形两个锐角互余 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：逆命题为有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题； 对于选项B：逆命题为面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； 对于选项C：逆命题为三边长为，，的三角形是钝角三角形， ∵， ∴该三角形是钝角三角形，逆命题为真命题； 对于选项D：逆命题为有两个锐角互余的三角形是直角三角形， ∵三角形内角和为，且两锐角互余， ∴第三个角为，该三角形是直角三角形，逆命题为真命题． 4. 若一个三角形三个外角的度数之比为，则与之对应的三个内角的度数的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形外角和为的性质，结合已知比例求外角度数，再计算对应内角的度数比． 【详解】解：设三个外角的度数分别为、、， ∵ 三角形的外角和为， ∴ ， 解得， ∴ 三个外角的度数分别为、、， ∵ 外角与相邻内角互补， ∴ 对应的三个内角度数分别为 ，，， ∴ 三个内角的度数比为． 5. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 6. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，容易证明，则，利用三角形中线平分面积的性质可得． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 7. 如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】过作于，根据得到，再根据中线得到，最后根据计算即可． 【详解】解：过作于， ∵，， ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴． 8. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 若是边上的中线，则 C. 若平分，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过作高得到垂足，研究、、随点位置变化的规律．抓住可得为直角三角形，从而利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”把的最小值转化为点到定点的距离问题；、两问则用勾股定理与面积法，用角平分线性质与等腰直角三角形性质． 【详解】解：在中，，，所以是等腰直角三角形，，由勾股定理． 设（），则． 因为，垂足为，所以，即是以为斜边的直角三角形． 设为的中点，连接，，由“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，得． 选项A：因为，垂足为，所以，是以为斜边的直角三角形． 在中，，，由勾股定理． 在中，由三角形两边之和大于第三边，， 即； 当、、三点共线时取等号，故的最小值为，选项A正确． 选项B：若是边上的中线，则为中点，． 在中，，， 由勾股定理． 由面积法，， 所以． 在中，． 而选项B给出，两者不相等，故选项B错误． 选项C：若平分，过点作于点． 由角平分线的性质，点到两边的距离相等，即． 在等腰直角三角形中，， 所以是等腰直角三角形，． 因此，选项C正确． 选项D：若，由得，即，， 在中，，，由勾股定理． 由面积法，，选项D正确． 9. 如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根据全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根据全等三角形的判定可证AEM≌CGN，AHN≌CFM，从而得出S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM，即可求出S四边形MFGN，最后根据S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN即可求出结论． 【详解】解：∵AH=3DH，且S正方形ABCD， ∴AH2＋DH2=AD2=21 即（3DH）2＋DH2=21 解得：DH=， ∴AH= 由全等三角形的性质可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2 ∴正方形EFGH的边长EH=AH－AE=，S△FGN=2S△CGN ∵AH∥CF ∴∠HEN=∠FCM ∵∠AEM=∠CGN=90°，AE=CG，∠AHN=∠CFM=90°，AH=CF ∴AEM≌CGN，AHN≌CFM ∴S△AEM= S△CGN，S△AHN = S△CFM ∴S四边形MFGN= S△CFM－S△CGN= S△AHN－S△AEM=S四边形EMNH=S正方形EFGH=×= ∵S△FGN=2S△CGN ∴S阴影=S△MNF＋S△AEM＋S△CGN = S△MNF＋2S△CGN = S△MNF＋S△FGN = S四边形MFGN = 故选B． 【点睛】此题考查的是勾股定理和全等三角形的判定及性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质和各图形的面积公式是解决此题的关键． 10. 如图，在等腰中，，于点，于点，点在边上，连接交于，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，，设，得出，根据各角之间的关系确定，得出，确定，再由等角对等边得出，结合图形求三角形面积即可 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用全等的性质得到，即可得到，再由运算解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且，， ∴， 解得：． 12. 等腰三角形一边上的高是该边的一半，那么这个三角形的顶角的度数是多少__________． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：①高在底边上、②高在锐角三角形的腰上、③高在钝角三角形的腰上，利用等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：设是一个等腰三角形，且，则的顶角是． ①如图，高在底边上，是边上的高，则， ∵，， ∴， ∴， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， ∴顶角； ②如图，高在锐角三角形的腰上，是边上的高，则， ∵， ∴， 取的中点，连接， ∴在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴顶角； ③如图，高在钝角三角形的腰上，是边上的高，则， 取的中点，连接， 同理可得：， ∴， ∴顶角； 综上，这个等腰三角形的顶角的度数是或或． 13. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积是2，4，1，2，则最大正方形的边长是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出，的值，再在中，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 则在中，， 即最大正方形的边长是3． 14. 如图，将竖直向上平移得到，与交于点G，G恰好为的中点，若，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过作于，交于，连接．再根据平移的性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】解：连接，过作于，交于，连接． ∵将竖直向上平移得到，，，G恰好为的中点， ∴，，，，， ∴， ∴由竖直向上平移得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 15. 点是锐角的三条高线交点，，的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】画出图形：于点，于点，于点，三条高线，，交于点，先证出，则，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，于点，于点，于点，三条高线，，交于点， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 16. 如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的值， 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，构建腰长为的等腰直角，和半径为的，发现在点的位置时，满足条件； 如图，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以、为圆心，以为半径画弧，与的交点就是满足条件的点，再以为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论取何值，以为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以为腰的三角形有两个即可． 【详解】解：分三种情况： 如图，当与重合时，即时，点恰好有三个； 如图，以为圆心，以为半径画圆，当与相切时，设切点为，与交于， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 当与重合时，即时，同理可知：点恰好有三个； 如图，取，以为圆心，为半径画圆， 则与除了外只有一个交点，此时，即以为顶角，为腰，符合条件的点有一个，以为圆心，以为半径画圆，与直线相离，说明此时以为顶角，以为腰，符合条件的点不存在，还有一个是以为底边的符合条件的点； 点沿运动，到时，发现与直线有一个交点； 当时，圆在移动过程中，则与除了外会有两个交点，满足点恰好有三个； 综上所述，若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是：或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，有难度，本题通过数形结合的思想解决问题，解题的关键是熟练掌握已知一边，作等腰三角形的画法，以及找到临界点． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，在中，，平分，且， （1）过作垂足为，求证： （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴； （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握含30度的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质直接得到结论； （2）先求出，再根据直角三角形的性质即可得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 19. 如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 【答案】（1）平行，理由如下： ∵是边的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再结合等腰三角形的定义进行等量代换证明平行； （2）先根据平行线的性质得到，然后由线段垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形的定义以及三角形内角和定理求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴ ∵ ∴ ∵点在线段的垂直平分线上， ∴ ∴ ∴ 20. 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】（1）证明：，，， ． 是直角三角形，即； （2）解：海港受台风影响，理由如下 如图，过点作于， ， ， ， 海港受台风影响． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）过点作于，再利用三角形面积得出的长，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）32 【解析】 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②略 （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 22. 将军饮马问题是一道典型的几何最值问题，下面一起探究相关问题． （1）如图1，点，是直线外的定点，，点P是直线上一动点，连接，，求的最大值． （2）如图2，在等腰中，，，作中点，延长至点，使得，在上取点，使得，求的最大值． （3）如图3，在等腰中，，，点P为动点且，求的最大值． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系求解即可； （2）过点作于点，连接，先求出的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据三角形的三边关系求解即可； （3）当三点共线时，点一定在线段上，此时，再将绕点逆时针旋转，得到，其中，点的对应点为点，点的对应点为点；过点作于点，则，求出的长，根据求解即可． 【小问1详解】 解：由三角形的三边关系可知，，当直线延长后与直线交于点时，三点共线，等号成立， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为2． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，连接， ∵在等腰中，，， ∴，， ∵点是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， 由三角形的三边关系可知，，当三点共线时，等号成立， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ∵在等腰中，，， ∴，， ∴在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴当三点共线时，点一定在线段上，此时， 如图，将绕点逆时针旋转，得到，其中点的对应点为点，点的对应点为点；过点作于点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由三角形的三边关系可知，，当三点共线时，等号成立， ∴， ∴， ∴的最大值为． 23. 结合图形，解决问题： （1）如图1，，，点是上一点，，求证：． （2）如图2，在等腰中，，，垂足点，，垂足点，其中，在中取点，使得，并且平分，用含的表达式表示的值． （3）如图3，在中，，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴； （2）； （3）的最小值． 【解析】 【分析】（1）先判断出，即可得出结论； （2）过点A作交的延长线于G，延长交于K，连接，可得，进而证明四边形是菱形，根据等面积法即可得证； （3）过点A作，且，连接，可得，当三点共线时取得最小值，过点作交的延长线于点，则是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点A作交的延长线于G，延长交于K，连接， ∴，， ∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 是的角平分线，，即， ， ，， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形， ∵， 又∵， ∴，即， 即， ， 即； 【小问3详解】 解：如图，过点A作，且，连接， 同（1）理可得， ， ，当三点共线时取得最小值，最小值为的长， 过点作交的延长线于点， ，，，，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， ， 即的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蛟川书院（甬江校区）2026学年第一学期学科素养大比拼（一） 初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 下列长度的三条线段能组成一个三角形的是（ ） A. 5，6，10 B. 5，6，11 C. 5，6，12 D. 5，6，13 2. 如图，，点C与点D是对应点，那么下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 全等三角形的面积相等 C. 钝角三角形三条边长为，， D. 直角三角形两个锐角互余 4. 若一个三角形三个外角的度数之比为，则与之对应的三个内角的度数的比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，是边上的中线，若，，，则的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 8. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），垂直交于点，垂足为点，连接并延长交于点，下面结论错误的是（ ） A. 的最小值为 B. 若是边上的中线，则 C. 若平分，则 D. 若，则 9. 如图，四个全等的直角三角形围成一个正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图，连接AC，FN交EF，GH分别于点M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，则图中阴影部分的面积之和为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰中，，于点，于点，点在边上，连接交于，，，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如图，，点，，，在同一条直线上，若，，则的长是________． 12. 等腰三角形一边上的高是该边的一半，那么这个三角形的顶角的度数是多少__________． 13. 如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积是2，4，1，2，则最大正方形的边长是__________． 14. 如图，将竖直向上平移得到，与交于点G，G恰好为的中点，若，，则的长为________． 15. 点是锐角的三条高线交点，，的度数为__________． 16. 如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有三个，则的值是______． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 如图，在等腰中，，点在边上，延长交于点，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 如图，在中，，平分，且， （1）过作垂足为，求证： （2）若，求的长． 19. 如图，在中，，是边的中点，点，分别在线段，上，且． （1）与平行吗？请说明理由； （2）若，点在线段的垂直平分线上，求的度数． 20. 我市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）求证：； （2）海港受台风影响吗？为什么？ 21. 综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 22. 将军饮马问题是一道典型的几何最值问题，下面一起探究相关问题． （1）如图1，点，是直线外的定点，，点P是直线上一动点，连接，，求的最大值． （2）如图2，在等腰中，，，作中点，延长至点，使得，在上取点，使得，求的最大值． （3）如图3，在等腰中，，，点P为动点且，求的最大值． 23. 结合图形，解决问题： （1）如图1，，，点是上一点，，求证：． （2）如图2，在等腰中，，，垂足点，，垂足点，其中，在中取点，使得，并且平分，用含的表达式表示的值． （3）如图3，在中，，，，，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $