精品解析：浙江杭州绿城育华学校2026-2027学年八年级上学期数学10月学情自测试卷

初二数学练习卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，本题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， B、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意， D、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意， 故选：D 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 【详解】解：线段是的高的是D选项． 3. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：由题意可知， 当时，不一定能使，则A符合题意； 当时，，则B不符合题意； 当时，，则C不符合题意； 当时，，则D不符合题意． 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质找出对应角即可作答． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角， ∴， 故选：D． 5. 一个等腰三角形的两边长分别是7和15，则它的周长为（　　） A. 37 B. 29 C. 22 D. 29或37 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，根据题意进行分类讨论，检验是否符合三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：①若7为腰长，15为底边长，由，则三角形不存在； ②若15为腰长，7为底边长，则符合三角形的两边之和大于第三边， ∴三角形的周长为， 故选：A． 6. 如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中线的性质得，然后列式求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴与的周长之差为． 7. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由垂线的定义和平角的定义得到，，再由折叠的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴． 8. 如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ： A. Ⅰ对，Ⅱ错 B. Ⅰ错，Ⅱ对 C. Ⅰ，Ⅱ都对 D. Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件可知三角形的全等，根据全等三角形的性质可知边相等，再根据三角形的内角和即可求出角的大小． 【详解】， ， ， 在和中， ， ， ，故Ⅰ正确； ， ， ， ， ，， ，， ，故Ⅱ错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟记对应性质和判定定理是解题的关键． 9. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积的求法，关键是找出三角形面积之间的关系． 根据三角形的面积公式得到，三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分，据此解答即可． 【详解】解：∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴，， ∴ ， ∴， 故选：C． 10. 如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A. ④⑤ B. ①② C. ③⑤ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，正确地作出辅助线并且证明△△是解题的关键． 由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，△与△也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明△△，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明△△，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， △△的另一个条件是， 与不一定相等， △与△不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， ， ， 在△和△中， ， △△， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与题干信息矛盾，故④错误； 故选：． 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【解析】 【详解】原命题“对顶角相等”中，条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 12. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 【答案】##105度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角板中角度计算问题，由题意得，，，求出，然后通过三角形外角性质即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的定义、三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积是解题的关键．根据三角形中线的性质可得，再根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴是的2倍． 故答案为：2． 14. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为12，，则的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： 根据基本作图可判断为的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质得到，则利用得到，即，然后计算的周长． 【详解】解：由作法可得为的垂直平分线， 则， ∵的周长为12， ∴， ∴，即， ∴的周长． 故答案为20． 15. 当一个三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称这个三角形为“半角三角形”，其中称为半角．若一个“半角三角形”的最大内角为，则这个“半角三角形”的“半角”的度数为________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据半角定义得，结合三角形内角和定理，分情况讨论最大内角的位置，排除不符合的情况，即可计算得到半角的度数． 【详解】解：∵是“半角”，由定义可得， ∵三角形内角和为，设第三个内角为， ∴，整理得， 已知该三角形最大内角为，分三种情况讨论： 1．若， 则，不符合三角形内角和定理，舍去； 2．若， 则，解得， 此时，最大内角为，符合条件； 3．若， 则，解得， 此时，最大内角为，符合条件； ∴这个“半角三角形”的“半角”度数为或． 16. 如图，，的内角的角平分线与的外角平分线交于点，的外角的角平分线与的反向延长线交于点，以下结论： ①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论有_____．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】根据角平分线的性质可得，从而得到，再由三角形外角的性质可得，从而得到，故①正确；再由平分，平分，可得，因此②正确；由是的平分线，是的平分线，结合三角形外角的性质可得到，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，因此③正确；由，，可得与不一定相等，因此④不正确；根据和 ，可得，因此⑤正确，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，交的延长线于点，于，过点作于， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 是的平分线， 即， ， ，， ， ， 因此①正确； 平分，平分，， ， 即， 因此②正确； 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 因此③正确； ，而， 与不一定相等， 因此④不正确； ， ， ， ， ， 因此⑤正确； 综上所述，正确的结论有：①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质，角平分线的定义和性质、三角形内角和定理是正确解答的前提． 三．解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知的三边长为，，． （1）若，，求边长的取值范围； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形三边关系列不等式，求解的取值范围； （2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去绝对值后合并化简． 【小问1详解】 解：∵，，是的三边长，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，是的三边长. ∴，. ∴，. ∴ ． 18. 如图，，，，求证：． 【答案】证明， ， 在和中， 由 ， 【解析】 【详解】略 19. 如图，四边形中，连接． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交于点E、F； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）如图1所示：直线即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形的外角的含义，掌握线段的垂直平分线的作图与性质的运用是解本题的关键． （1）分别以，为圆心，大于为半径画弧，得到两弧的交点，再过两弧的交点画直线，分别交于点E、F即可； （2）证明，可得，再利用三角形的外角的性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2．连接， ∵垂直平分，， ∴， ∴． ∵是的外角， ∴． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，即． 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到． （1）利用证明即可，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形内角和定理以及对顶角相等即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 21. 如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：①；②；③；④． （1）任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号○○○→○表示）． （2）在所写真命题中，选择一个真命题进行证明． 【答案】（1）①③④→②；①②④→③； （2）解：选择①③④→②，证明如下： ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 选择①②④→③，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）（2）根据全等三角形的性质与判定定理分析和证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若，，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若，设点Q的运动速度为，是否存在实数v，使得与全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 解：当时，与全等，线段和线段的位置关系是：，数量关系是：， 理由如下： ，， ， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动， ， ，， ， ， 又且点Q的运动速度与点P的运动速度相同， ， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， ， ， ； （2）存在，，或， 【解析】 【分析】本题考查了动点问题（一元一次方程的应用），全等的性质和综合（），直角三角形的两个锐角互余等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）通过证明，来说明，再利用直角三角形两个锐角互余来说明； （2）分“，”、“，”两种情况，分别得到关于的方程求解，并求出相应的速度即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意得：，， ，， ， 又， 当与全等时，有以下两种情况： ①当，时，则， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 即当，时，与全等； ②当，时，则， 由，得：， 解得：， 由，得：， ， ， 即当，时，与全等， 综上所述：v，t的值分别为，或，． 23. 在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． （1）如图1，当点D是边的中点时， ； （2）如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 【答案】（1） （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，根据三角形面积公式求出即可； （2）过点D作交于点E，作交于点F，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （3）根据已知和（1）（2）的结论求出和的面积，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图1，过点A作于点E， ∵点D是边上的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：如图2，过点D作交于点E，作交于点F， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴由（1）知：， ∵， ∴， ∵，，平分， ∴由（2）知：， ∴， ∴． 24. 【基础巩固】 （1）如图，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为的中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图，与中，，，，与交于点，若，，的面积为，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）①；②2 （3）8 【解析】 【分析】（1）先说明，再根据“边角边”证明即可； （2）①先说明，可得，再根据三角形内角和定理得出答案；②作，证明，可得，再根据全等三角形的性质得到，，最后根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接，同（2）证明，接下来证明，可得．进而得，然后根据，可得，则此题可解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； ②如图2所示，过点A作于点H， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由①得， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3所示，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴或（舍去）． 即的长为8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学练习卷 一．选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图形中，线段是的高的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，则添加下列一个条件不一定能使的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 一个等腰三角形的两边长分别是7和15，则它的周长为（　　） A. 37 B. 29 C. 22 D. 29或37 6. 如图，在中，，，为中线，则与的周长之差为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三角形纸片中，，分别是边，上的点，将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在和中，，，，，交于点，关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（ ） 结论Ⅰ：；结论Ⅱ： A. Ⅰ对，Ⅱ错 B. Ⅰ错，Ⅱ对 C. Ⅰ，Ⅱ都对 D. Ⅰ，Ⅱ都错 9. 如图，在中，，，分别是，，的中点．（阴影部分）的面积是4，则的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 10. 如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①， ②， ③平分，④平分， ⑤．其中正确的结论是（    ） A. ④⑤ B. ①② C. ③⑤ D. ①②③ 二．填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式________． 12. 将一副三角板按如图方式叠放，那么等于______． 13. 如图，是的中线，于点，于点，，则是的________倍． 14. 如图，在中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点D，连接．若的周长为12，，则的周长为_______． 15. 当一个三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称这个三角形为“半角三角形”，其中称为半角．若一个“半角三角形”的最大内角为，则这个“半角三角形”的“半角”的度数为________． 16. 如图，，的内角的角平分线与的外角平分线交于点，的外角的角平分线与的反向延长线交于点，以下结论： ①；②；③；④平分；⑤．其中正确的结论有_____．（填序号） 三．解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程） 17. 已知的三边长为，，． （1）若，，求边长的取值范围； （2）化简． 18. 如图，，，，求证：． 19. 如图，四边形中，连接． （1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作的垂直平分线，分别交于点E、F； （2）连接，若，求的度数． 20. 如图，点E在上，与交于点F，． （1）求证∶； （2）若，求的度数． 21. 如图，在和中，，，，在同一直线上，下面给出四个论断：①；②；③；④． （1）任选三个为条件，余下一个为结论，写出所有的真命题（用序号○○○→○表示）． （2）在所写真命题中，选择一个真命题进行证明． 22. 已知，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为t秒． （1）如图1，若，，且点Q的运动速度与点P的运动速度相同，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系和数量关系，请分别说明理由； （2）如图2，若，设点Q的运动速度为，是否存在实数v，使得与全等？若存在，求出v，t的值；若不存在，请说明理由． 23. 在中，D是边上的点（不与点B、C重合），连接． （1）如图1，当点D是边的中点时， ； （2）如图2，当平分时，若，，求的值（用含m、n的式子表示）； （3）如图3，平分，延长到E．使得，连接，若，，，求的值． 24. 【基础巩固】 （1）如图，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2）如图，在与中，，，，、、三点在一条直线上，与交于点，若点为的中点， ①求的大小； ②，求的面积； 【拓展提高】 （3）如图，与中，，，，与交于点，若，，的面积为，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $