精品解析：黑龙江省佳木斯市第十一中学2026-2027学年高二上学期第1次月考考试数学试题

2025-2026学年度高二上学期第1次月考考试 高二数学试题 一、单选题(共40分，8小题，每小题5分) 1. 直线 的倾斜角为 （ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则直线与的位置关系是 A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 3. 直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. 5 C. D. 2 6. 若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ） A. 3 B. 15 C. D. 7. 如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（ ） A. a B. a C. a D. a 8. 圆上到直线的距离为2的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题(共18分，3小题，每小题6分) 9. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 半径 C. 圆被直线截得弦长为 D. 直线与圆相切 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 11. 如图，在正方体中，点E为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与AD所成角的正弦值为 D. 直线与平面所成角的正切值为 三、填空题(共15分，3小题，每小题5分) 12. 两条平行直线与间的距离为_______． 13. 求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 14. 已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为___________． 四、解答题(共77分，5道题) 15. 已知点，直线的斜率为3． （1）若直线经过点，求直线在轴上的截距； （2）求经过，两点的直线的方程（结果化为方程的一般式）； （3）求经过点且与直线垂直的直线的方程（结果化为方程的一般式）． 16. 已知直线l经过点，且与直线平行． （1）求直线l的方程； （2）已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 17. 已知圆． （1）判断圆与圆：的位置关系，并说明理由； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程． 五、解答题-证明题 18. 如图， 在长方体中，. （1）求平面的法向量. （2）线段中点为点，求证平面. （3）求点到平面的距离． 19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，. （1）求证：平面PAD； （2）求直线PD与平面PCE所成角的正弦值； （3）在棱AB上是否存在一点F，使得平面EPC和平面FPC所成角为60°？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期第1次月考考试 高二数学试题 一、单选题(共40分，8小题，每小题5分) 1. 直线 的倾斜角为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线方程求直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系求倾斜角. 【详解】 即 ， 所以斜率为 ， 设直线的倾斜角为，则 又， 所以 ， 即 ． 故选：D. 2. 已知直线，，则直线与的位置关系是 A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【详解】直线即，即， 可得直线与的斜率都等于，截距不相等． 所以直线与平行． 3. 直线恒过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直线变为点斜式，求出定点坐标. 【详解】变形为，故恒过点. 故选：B 4. 如图，已知平行六面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的加减运算进行求解即可. 【详解】因为平行六面体， 所以，， 所以. 故选：C. 5. 已知直线，则直线在轴上的截距为（ ） A. B. 5 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用截距式及截距的定义即可得出． 【详解】直线的方程为，即， 故直线在轴上的截距为． 故选：C. 6. 若直线的方向向量，平面的一个法向量，若，则实数（ ） A. 3 B. 15 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，可知的方向向量与平面的法向量共线，从而得到的值. 【详解】,的方向向量与平面的法向量共线. ，即，解得， 故选：C. 7. 如图，在正方体中，M，N分别为AB，B1C的中点，若AB＝a，则MN的长为（ ） A. a B. a C. a D. a 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理，用，，表示，将线段长度问题转换为向量模长问题. 【详解】设，，，则构成空间的一个正交基底. ， 故，所以MN＝a. 故选：A 8. 圆上到直线的距离为2的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，结合圆的半径大小确定圆上到直线距离为2的点的个数. 【详解】圆的圆心为，半径，所以圆心到直线的距离，所以圆上到直线的距离为2的点有3个，故选：C． 二、多选题(共18分，3小题，每小题6分) 9. 已知圆，下列说法正确的是（ ） A. 圆心的坐标为 B. 半径 C. 圆被直线截得弦长为 D. 直线与圆相切 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆的知识、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 所以A选项错误，B选项正确. 到直线的距离为， 所以圆被直线截得弦长为， 所以C选项正确. 到直线的距离为， 所以直线与圆相交，D选项错误. 故选：BC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小； B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面； C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角； D. 若已知空间向量和，则在上的投影向量为. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项，由空间向量的模为实数可知；B项，由系数和为即可判断；C项，由两向量共线且反向情况可判断；D项，由单位向量与投影向量的定义可得. 【详解】A项，空间向量不能比较大小，而空间向量的模是非负实数，可以比较大小，故A正确； B项，由，可得，故四点共面，故B正确； C项，若与为两非零向量，共线且反向时，， 此时两向量的夹角为，不为钝角，故C错误； D项，与方向相同的单位向量为 ，由投影向量的定义，则在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 11. 如图，在正方体中，点E为棱的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 与AD所成角的正弦值为 D. 直线与平面所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由线面垂直的判定定理证得平面，即可得出可判断A；由线面平行的性质定理可判断B；由异面直线所成角可判断C；由线面角可判断D. 【详解】如图，连接，由题易得，，又， 平面，所以平面. 又平面，所以，A正确； 若平面，平面， 因为平面平面，所以，与题意不符，B错误； 因为，所以为与AD所成的角（或其补角）， 连接，设正方体的棱长为2，易得平面，平面， 所以.因为，，， ，所以，C正确； 因为为在平面上的射影， 所以为直线与平面所成的角，所以，D正确. 故选：ACD. 三、填空题(共15分，3小题，每小题5分) 12. 两条平行直线与间的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，两直线的距离为. 故答案为： 13. 求以直线和的交点为圆心，半径为4的圆的标准方程______ 【答案】 【解析】 【分析】先求直线和的交点，进而求圆的标准方程. 【详解】由题意有：， 所以圆的圆心为，半径为4， 所以圆的标准方程为： . 14. 已知A，B是平面上的两定点，，动点M满足，动点N在直线上，则距离的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】以为原点建立平面直角坐标系，根据定义可得点的轨迹是以为圆心， 为半径的圆，则MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径. 【详解】如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系，则， 设动点，则由可得，整理可得， 故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 易得直线的方程为， 则由图可知MN距离的最小值为圆心到直线的距离减去半径， 则圆心到直线的距离为， 所以MN距离的最小值为. 故选：C. 四、解答题(共77分，5道题) 15. 已知点，直线的斜率为3． （1）若直线经过点，求直线在轴上的截距； （2）求经过，两点的直线的方程（结果化为方程的一般式）； （3）求经过点且与直线垂直的直线的方程（结果化为方程的一般式）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，利用斜率公式，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）根据题意，得到所求直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 若直线经过点且直线的斜率为3， 则直线的方程为，即， 令，可得，所以直线在轴上的截距为． 【小问2详解】 因为点，可得， 所以所求直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为直线的斜率为3，则与直线垂直的直线的斜率为， 又由，则所求直线的方程为，即． 16. 已知直线l经过点，且与直线平行． （1）求直线l的方程； （2）已知圆C与y轴相切，直线l被圆C截得的弦长为，圆心在直线上，求圆C的方程． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由两直线平行可求得斜率为，再利用直线的点斜式方程即可求得结果； （2）设出圆C的标准方程，由弦长即圆心位置等即可解出圆的标准方程为. 【小问1详解】 因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为， 则直线l的方程为， 化简可得． 即直线l的方程为 【小问2详解】 设圆C的方程为，则， 因为圆C与y轴相切，所以， 又圆心C到l的距离，所以， 即， 解得，． 故圆C的方程为． 17. 已知圆． （1）判断圆与圆：的位置关系，并说明理由； （2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程． 【答案】（1）圆与圆外切；（2）或 【解析】 【分析】（1）利用圆与圆的连心线长等于圆与圆的两半径之和，判断圆与圆的位置关系即可； （2）分类直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，求直线的方程． 【详解】（1）∵圆的标准方程是 ∴圆的圆心坐标是，半径长， 又圆的圆心坐标是，半径长 ∴圆与圆的连心线长为 又圆与圆的两半径之和为，∴圆与圆外切 （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即 ∵直线与圆C相切 ∴圆心到直线的距离，即，故，解得 ∴此时直线的方程为，即 综上，直线的方程为或 五、解答题-证明题 18. 如图， 在长方体中，. （1）求平面的法向量. （2）线段中点为点，求证平面. （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）平面的一个法向量为． （2）由题意 因为是线段的中点，所以 于是 由（1）可取平面的法向量，且 所以直线的方向向量与平面的法向量垂直． 又平面的方程可写为而点不满足该方程，所以不在平面内． 因此平面. （3）． 【解析】 【分析】（1）按图中坐标系取为原点，写出的坐标，利用法向量与平面内两条相交直线的方向向量均垂直求法向量． （2）求出的坐标，验证与平面的法向量垂直，并说明直线不在该平面内． （3）利用长方形的两条对角线互相平分，判断点与平面的位置关系． 【小问1详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则 所以 设平面的法向量为，则 即 取，得，所以平面的一个法向量为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 四边形是长方形，它的两条对角线与互相平分． 因为是的中点，所以也是的中点，从而 又，所以 因此点到平面的距离为 19. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，. （1）求证：平面PAD； （2）求直线PD与平面PCE所成角的正弦值； （3）在棱AB上是否存在一点F，使得平面EPC和平面FPC所成角为60°？如果存在，确定点F的位置；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）为的中点 【解析】 【分析】（1）取中点，通过证明四边形是平行四边形得出，故而平面； （2）建立了空间坐标系，求出平面的法向量，计算和的夹角即可求出线面角的正弦值； （3）设，求出平面的法向量，令计算，根据计算结果得出结论． 【小问1详解】 证明：取中点，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是正方形，，， ，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面； 【小问2详解】 以为原点建立空间直角坐标系，如图所示： 则，0，，，0，，，4，，，4，， ，4，，，0，，，4，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，1，， ，， 直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设，0，，则，0，，，4，， 设平面的法向量为，，，则，即， 令可得，，， 故，令，解得， 当为的中点时，平面EPC和平面FPC所成角为60°． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $