精品解析：黑龙江省肇东市第四中学校2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试卷

肇东市第四中学2026-2027学年上学期高二第一次月考数学试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. －5 B. －1 C. i D. 1 3. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 4. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 5. 若直线平行，则实数的值为（ ） A. 1或2 B. 2 C. 1或2 D. 1 6. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ） A. 点A的坐标为 B. 当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C. 直线的方程可以是 D. 直线的方程可以是 10. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知直线，下列结论正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 过点且与直线平行的直线为 C. 过点且与直线垂直的直线为 D. 点关于直线对称的点的坐标为 三、填空题 12. 已知，，，若，则的值为______. 13. 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 四、解答题 15. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 16. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 17. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点为的中点，点为线段上靠近点的三等分点． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 19. 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 肇东市第四中学2026-2027学年上学期高二第一次月考数学试题 一、单选题 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间中点的对称关系，即可判断. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为. 所以，点关于平面对称的点的坐标为. 2. 的虚部为（ ） A. －5 B. －1 C. i D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】，所以虚部为1. 3. 若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的性质求解即可. 【详解】原数据方差为， 则新数据方差为. 4. 在平面直角坐标系中，直线的斜率为（ ） A. 0 B. 1 C. 90 D. 不存在 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线过点且垂直于轴，所以直线的斜率不存在. 5. 若直线平行，则实数的值为（ ） A. 1或2 B. 2 C. 1或2 D. 1 【答案】D 【解析】 【详解】∵平面内两条直线平行， ∴，解得或2． 时的方程为，的方程为，两条直线重合． 时的方程为，的方程为，两条直线平行． 因此． 6. 已知直线与圆相交于点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得圆心，半径. 过点作，垂足为，如图所示： 由题意可得. ，，，，得； 即圆心到直线的距离. ，解得. 7. 已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 8. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 二、多选题 9. 已知直线过定点A，且点A到直线的距离为2，则（ ） A. 点A的坐标为 B. 当直线l在y轴上的截距为1时，直线l的方程为 C. 直线的方程可以是 D. 直线的方程可以是 【答案】ABC 【解析】 【分析】本题考查过定点的直线方程、点到直线的距离公式．对于A选项利用直线过定点的定点求法求解即可；对于B，利用直线l在y轴上的截距为1，结合直线的方程求解即可；对于C，考虑斜率不存在的情况求解即可；对于D，利用点到直线距离公式建立方程即可. 【详解】对于A，由已知得，令解得所以定点，故A正确； 对于B，当直线l在y轴上的截距为1时，直线l过点，代入得，解得，此时直线l的方程为，故B正确； 对于C，易知直线过定点，当直线的斜率不存在，即时，可得，此时点到直线的距离为2，符合题意，故C正确； 对于D，当直线的斜率存在，即时，由题可得，解得，即直线，故D错误． 10. 如图，在平行六面体中， 且 ，M为与的交点，设 则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量的基本定理可判断选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断选项. 【详解】对于，，故正确； 对于， ，故错误； 对于，， ，， ， 故正确； 对于，，故正确. 故选：. 11. 已知直线，下列结论正确的是（ ） A. 向量是直线的一个方向向量 B. 过点且与直线平行的直线为 C. 过点且与直线垂直的直线为 D. 点关于直线对称的点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由直线的方向向量，直线的位置关系，点关于直线的对称点对选项逐一判断， 【详解】对于A，直线的斜率为，则是直线的一个方向向量，故A正确， 对于B，过且与直线平行的直线为，即，故B正确， 对于C，过且与直线垂直的直线为，即，故C错误， 对于D，过且与直线垂直的直线与直线的交点为， 则点关于直线对称的点的坐标为，故D正确， 故选：ABD 三、填空题 12. 已知，，，若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为： 13. 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点构成的平面区域的面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分析出符合要求的点构成的平面区域是以点为圆心，以点到直线的距离为半径的圆内部，再使用圆的面积公式求解. 【详解】点到直线的距离为：， 直线：绕着点旋转一周所不能经过的点， 等价于到该点的距离小于点到直线的距离， 即不能经过的点构成的平面区域是一个以点为圆心，以为半径的圆的内部， 则不能经过的点构成的平面区域的面积为：. 14. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 四、解答题 15. 已知的顶点为，，． （1）求过点且平行于直线的直线方程； （2）求边上的中线所在直线方程； （3）求边上的高所在直线方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； 【小问2详解】 线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； 【小问3详解】 因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 16. 如图，在长方体中，是AB的中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量为， ，取，则， 所以， 因为， 所以，又因为平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量的法向量和直线方向向量之间的关系进行运算证明即可； （2）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离为. 17. 已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． （1）求的面积； （2）求圆的标准方程； （3）已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【小问1详解】 因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. 【小问2详解】 由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. 【小问3详解】 设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点为的中点，点为线段上靠近点的三等分点． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质确定四棱锥的高，然后计算底面的面积，最后由到平面的高是的，再结合棱锥体积公式计算体积； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量的夹角公式计算二面角的大小. 【小问1详解】 ∵，为的中点，∴，. 又平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直性质定理得：平面.为上靠近的三等分点，则， 由底面，得点到底面 ABCD的距离：，， 故四棱锥的体积为. 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 取为上靠近点的三等分点，可得， 因为，所以，即，取得. 由（1）知平面，则取平面的一个法向量为， ，故二面角的大小为． 19. 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两点坐标计算斜率，根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角； （2）根据平行四边形对边平行且相等，转化为直线斜率相等，根据两点坐标公式计算两点距离，由此计算点的坐标； （3）分析所求的式子为与连线的斜率，根据直线与线段有交点的条件下计算斜率的范围． 【小问1详解】 因为，； 因为直线的斜率为． 设直线的倾斜角为， 则；所以直线的倾斜角为； 【小问2详解】 如图，当点D在第一象限时，，． 设，则，解得，故点的坐标为； 【小问3详解】 由题意得为直线的斜率． 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $