第十五章 轴对称 专题01 章节复习 讲义 2026--2027学年人教版八年级数学上册

专题01 轴对称全章复习（解析） 一、知识点总结 知识点01 轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这个图形关于这条直线（成轴）对称．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2. 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3. 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． 4. 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形． 知识点02 线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3） 判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 2．线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 知识点03 等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点04 等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【特别提醒】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点05 最短路径 1. 直线l上找点P并证明AP +BP最短. 已知定点A、B位于直线l同侧，在直线上求一点P，使AP +BP值最小． 作法：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时P为所求点． 理由：∵点A与点关于直线l对称， ∴，，此时值最小． 2. 如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小. 方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长. 证明：如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 二、【题型练习】 题型01 轴对称图形的识别 【例题】(24-25八上·广东汕头·期中)下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查轴对称图形的识别，根据轴对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，该选项符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； ．是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：B． 【变式1】(24-25八上·广东佛山禅城区·期末)下列运动项目图标中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C． 【变式2】(24-25八上·广东广州海珠区等5地·期末)在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D符合题意． 故选：D． 【变式3】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)下列图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，根据一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形逐项判断解答即可． 【详解】解：A.是轴对称图形； B.不是轴对称图形； C.不是轴对称图形； D.不是轴对称图形； 故选：A． 题型02 坐标轴上对称的点 【例题】(23-24八上·广东广州花都区和兴学校·期中)2．将坐标平面内的点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，然后将所得的像作关于y轴的轴对称变换，最终所得的像为，则是(　　) A．原点 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化以及关于坐标轴对称问题，注意：把一个点向左平移个单位，其横坐标减去；向右平移个单位，其横坐标加上；向上平移个单位，其纵坐标加上；向下平移个单位，其纵坐标减去m． 先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，即坐标为；再作关于y轴的对称变换，即横坐标变为原来的相反数坐标． 【详解】解：由已知条件可知： ∴平移后所得点为，即． ∵将所得的像作关于y轴的轴对称变换， ∴最终所得的像为． ∵最终所得的像为， ∴，解得， ∴点是． 故选：A． 【变式1】(24-25八上·广东广州广东实验中学·期中)1．如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，证明，得到，，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，过作轴于，过作轴于，交第一、三象限的角平分线l于，则，，， ∵将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 【变式2】(24-25八上·广东深圳深圳大学附属中学·期末)如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出，，即可． 【详解】解：∵图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故选：D． 【变式3】(24-25八上·广东广州越秀区·期末)已知关于x轴对称的点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．据此可得a，b的值，进而得出结论． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 题型03 轴对称/折叠的性质 【例题】(24-25八上·广东潮州高级实验学校·期中)如图，是一个左右对称的风筝，图是其几何示意图，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，根据轴对称的性质得，得出， ，即可推出结果． 【详解】与关于对称 ， 故选：C． 【变式1】(23-24八上·广东广州番禺区仲元中学·期中)如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质得到，则，即可作出判断． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点O， ∴． ∴， 故A，B，D正确， 故选：C． 【变式2】(24-25八上·广东珠海文园中学（集团）·期中)如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，还应理解翻折的性质．证明，利用三角形外角性质求出的度数，即可得到的度数，由翻折得，由此根据得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 由翻折得， ∴， 故选：A． 【变式3】（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据折叠的性质得出，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由折叠的性质可知， ． 题型04 作线段垂直平分线及性质与判定综合 【例题】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）直接根据线段垂直平分线的性质求解即可； （2）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （3）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， ． 故答案为：3； （2）解：垂直平分， ， ，， ， ． （3）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 【变式1】(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图及性质、三角形内角和定理的应用，掌握相关结论即可. （1）作线段的垂直平分线即可； （2）由得，根据平分得，结合，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【变式2】(24-25八上·广东珠海斗门区西湖学校·期中)如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足是E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图作垂线，中垂线的性质，熟练掌握中垂线的性质，是解题的关键： （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）根据中垂线的性质，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 【变式3】(24-25八上·广东广州第113中学等四校·期中)已知：如图，点D是边上的一点，过点D作，E，F为垂足，且，再过点D作交于点G． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接先根据且，可知，再根据即可得出，进而可得出，由等角对等边可知； （2）先根据（1）中可知，由全等三角形的判定定理可得出，再根据全等三角形的性质可得出，故可得出垂直平分． 【详解】（1）证明：连接BD，如图， ∵，且， ∴. 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， 由（1），可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 题型05 等腰三角形的性质与判定综合 【例题】(24-25八上·广东湛江徐闻县·期末)如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质；三角形的内角和定理的应用，熟记基础图形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明，可得，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先求解，证明，再结合角的和差运算可得答案． 【详解】（1）证明：， ，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， 在中，由三角形内角和定理，得 又， 的度数为． 【变式1】(24-25八上·广东东莞常平中学·期中)如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，熟悉掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质求出的度数，利用垂直平分线的性质求出的度数，即可解答； （2）利用三角形的周长运算方法列式求出的长，再利用垂直平分线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵的周长， 的周长， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴． 【变式2】(24-25八上·广东汕头潮南区峡晖中学·期中)在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式： ①，②，③，④． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形， 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可） 已知：______________．（填序号） 求证：是等腰三角形． 证明： 【答案】①③或①④或②③或②④，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，需要证明才能得到是等腰三角形，则可证明，根据条件已有，因此需要一组边对应相等，另一组角对应相等，据此求解即可． 【详解】解：已知：①③ 求证：是等腰三角形， 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 已知：①④ 求证：是等腰三角形， 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 已知：②③ 求证：是等腰三角形， 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 已知：②④ 求证：是等腰三角形， 证明如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【变式3】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点在的垂直平分线上．理由见解析 (3) 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，进而可求解； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据线段垂直平分线的判定可得结论； （3）根据等腰三角形的性质可得，，然后利用四边形的内角和为求得，进而可求解． 【详解】（1）解：，的垂直平分线分别交于点，， ，， 则的周长． （2）解：点在的垂直平分线上．理由如下： 连接，，， ，分别是，的垂直平分线， ，， ， 点在的垂直平分线上； （3）解：由（2）得，，又，， ，，， ， ． 题型06 等边三角形的性质与判定综合 【例题】(24-25八上·广东东莞期末联考·期末)综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． ①求证：； ②求的度数． (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①的度数为__________； ②请写出线段，，之间的数量关系为__________． (3)拓展延伸；在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①见解析；② (2)①；② (3) 【分析】（1）①证明，得出即可； ②求出，根据即可得出答案； （2）①同（1）的方法，即可得出结论； ②由得出，再判断出，即可得出结论． （3）根据（2）的结论求得，再根据四边形的面积的面积的面积，通过计算即可求解． 【详解】（1）解：①∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； ②∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①同（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：由（2）得：， ∴四边形的面积的面积的面积 ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 【变式1】(23-24八上·广东珠海第十一中学·期中)如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解答； (2)14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 又∵， ∴． 【变式2】(24-25八上·广东广州增城区·期末)如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定性质，三线合一． （1）根据等边三角形三线合一推出，即可解答； （2）根据等边三角形三线合一推出，进而推出，结合，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 【变式3】(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可． （1）由题意得，根据推出，即可求证； （2）连接，可推出垂直平分得；进而得， ，，即可求解； 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵． ∴，即， ∴是等边三角形， （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴ 【变式4】(24-25八上·广东中山中山纪念中学教育集团期中考试·期中)已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，判断的形状. 【分析】本题考查非负数的性质，根据绝对值和平方数的非负性可得，，进而可得，由此可知是等边三角形． 【详解】解： ， ，， ，， ， 的形状为等边三角形． 题型07 含30°角的直角三角形的性质与应用 【例题】(24-25八上·广东惠州惠阳区星湖中学·期中)等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，求其顶角的度数. 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，三角形内角和定理，分是钝角三角形和是锐角三角形两种情况，根据一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：设在等腰中，， 如图所示，当是钝角三角形时， 当时，如图所示，取中点E，连接， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，同理可得， ∴； 如图所示，当为锐角三角形时， 当时，同理可得； 当时，同理可得，此时，，不符合题意； 综上所述，该等腰三角形的顶角的度数为或或， 【变式1】(23-24八上·广东东莞石碣中学·期中)如图，在中，，于，的平分线交于，交于，于． (1)若，，求的长； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由角平分线的性质可得，，再根据直接三角形的性质可得，即得，进而即可求解； （）由（）可得，再根据余角性质可得，即得，得到，进而即可求证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（）可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，余角性质，等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【变式2】(24-25八上·广东深圳深圳实验学校坂田部·期中)如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用含30度的直角直角三角形的性质，本题属于基础题型．过点A作于点E，过点B作于点F，根据含30度角的直角三角形的性质即可求出与的长度，然后求出的长度即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点E，过点B作于点F，如图所示： ∵，， ∴， 由对称性可知：， ∴通过闸机的物体最大宽度为． 【变式3】(24-25八上·广东广州荔湾区第一中学·期中)下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是多少米． 【答案】4 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质．作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则，   ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：4． 题型08 最短路径的应用 【例题】(23-24八上·广东汕尾海丰县·期末)如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______． A．6 B．8 C．13 D．10 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值． 故选：C． 【变式1】(24-25八上·广东中山·期末)如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识． 由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点，连接，则当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值，周长最小为的长，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，根据三角形面积公式即可得答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称， 连接，交于点，连接 ∵， ∴， 当A、、F三点共线时，周长最小，即当点M与重合时，周长取得最小值， ∵周长的最小值为， ∴， ∵F为边的中点，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2】(23-24八上·广东广州白云区新和学校·期中)如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称知识，等边三角形的判定与性质．分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，再根据已知条件可证是等边三角形即可． 【详解】 解：分别作点关于的对称点，连接，分别交于点，此时的值最小，连接，如图所示： ∵点关于的对称点为，关于的对称点为 ∴ ∵点关于的对称点为 ∴ ∴ ∵周长的最小值是4 ∴ ∴ 即 ∴，即是等边三角形 ∴ ∴． 故选：B． 【变式3】(24-25八上·广东广州花都区·期末)唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【变式4】(24-25八上·广东东莞部分学校·期末)如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（    ） A．2.5 B．3 C． D．3.5 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点P关于的对称点，连接交于，此时的值最小．最小值． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，，， ，， 如图，作点P关于的对称点，连接交于， 此时的值最小．最小值， ， ∴， ∴，而， 是等边三角形， ， 的最小值为3． 故选B． 题型09 坐标系中画轴对称图形与最短路径问题 【例题】5．(24-25八上·广东东莞松山湖莞美学校·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形的面积，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，依次连接即可； （2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （3）连接交直线l于点P，连接，则，故，根据两点之间线段最短可得此时最小，即点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：； （3）解：如图，点P即为所求． 【变式1】(23-24八上·广东佛山禅城区华英学校·期中)平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中画出； (2)在图中作出关于轴对称的图形，写出的坐标．(________)、(________)、(________)． (3)在轴上找一点使得最小，则此时______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， ； (3) 【分析】本题考查直角坐标系中的描点，轴对称作图，最短距离问题，掌握轴对称作图和“将军饮马”模型是解题的关键． （1）根据三个顶点的坐标描点连线即可， （2）根据“关于轴对称的图形是”找出、、所在位置，连线并写出对应坐标即可； （2）利用“将军饮马”模型，找出点C关于y轴的对应点，连接交y轴与点P，则点P就是使得最小的点，利用勾股定理求解这个最小值即可． 【详解】（1）作图如下， 即为所求作的三角形： （2）作图如下， 即为所求作的三角形： 、、的坐标分别为：，，． 故答案是： ；； （3）找出点C关于y轴的对应点，连接交y轴与点P，则点P就是使得最小的点， 则有， 故答案是： 【变式2】(24-25八上·广东广州第113中学等四校·期中)如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最短；（保留作图痕迹） (3)的面积为： ． 【答案】(1)图见解析，的坐标 (2)见解析 (3)7 【分析】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）作点C关于x轴的对称，连接交x轴于点P，点P即为所求； （3）把三角形面积看成长方形面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标； （2）解：如图，点P即为所求； （3）解：的面积， 故答案为：7． 【变式3】(24-25八上·广东广州番禺区隽新学校·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 【答案】(1)的坐标为，图见解析 (2)5 (3)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）作出各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据的位置可写出坐标； （2）利用割补法求解； （3）作点B关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，由，可得点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求，的坐标为； （2）解： ； （3）解：如图，点P即为所求． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 轴对称全章复习（解析） 一、知识点总结 知识点01 轴对称图形 1．轴对称图形 （1）定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这个图形关于这条直线（成轴）对称．折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2. 轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 3. 关于坐标轴对称的点的坐标性质 ①关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． ②关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数； 点关于轴对称的点的坐标为． 4. 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形． 知识点02 线段的垂直平分线 1．线段垂直平分线的定义及其性质 （1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． （2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB． （3） 判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上． 2．线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 知识点03 等腰三角形 1．等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 等腰三角形的其他性质： （1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等． （2）等腰三角形两底角的平分线相等． （3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高． （4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个锐角都是45°． 2．等腰三角形的判定 （1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； （2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【注意】 （1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底角”“腰”． （2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定． 知识点04 等边三角形 1．等边三角形及其性质 等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 2．等边三角形的判定 （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形． （2）三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 3．含30°角的直角三角形的性质 一在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【特别提醒】这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系． 【注意】 （1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，更不能应用． （2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系． （3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切． （4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°的角转化后，再利用这个性质解决问题． 知识点05 最短路径 1. 直线l上找点P并证明AP +BP最短. 已知定点A、B位于直线l同侧，在直线上求一点P，使AP +BP值最小． 作法：作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时P为所求点． 理由：∵点A与点关于直线l对称， ∴，，此时值最小． 2. 如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小. 方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P’、P’’，连接P’ P’’，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P’ P’’的长. 证明：如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 二、【题型练习】 题型01 轴对称图形的识别 【例题】(24-25八上·广东汕头·期中)下列图形中不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八上·广东佛山禅城区·期末)下列运动项目图标中，属于轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25八上·广东广州海珠区等5地·期末)在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)下列图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型02 坐标轴上对称的点 【例题】(23-24八上·广东广州花都区和兴学校·期中)2．将坐标平面内的点先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，然后将所得的像作关于y轴的轴对称变换，最终所得的像为，则是(　　) A． 原点 B． C． D． 【变式1】(24-25八上·广东广州广东实验中学·期中)1．如图，将点关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25八上·广东深圳深圳大学附属中学·期末)如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25八上·广东广州越秀区·期末)已知关于x轴对称的点为，则 ． 题型03 轴对称/折叠的性质 【例题】(24-25八上·广东潮州高级实验学校·期中)如图，是一个左右对称的风筝，图是其几何示意图，已知，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【变式1】(23-24八上·广东广州番禺区仲元中学·期中)如图，若与关于直线对称，交于点O，则下列说法中不一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】(24-25八上·广东珠海文园中学（集团）·期中)如图，在中，点在上，，，将沿着翻折得到，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（26-27八年级上·广东湛江·开学考试）如图，把一个长方形沿折叠后，点，分别落在，的位置．若，则_______． 题型04 作线段垂直平分线及性质与判定综合 【例题】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，则的长为 ； (2)若，，求的长； (3)若的周长为，，求的长． 【变式1】(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在中，． (1)尺规作图：在边上求作一点，使；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，连接，若平分，，求的度数． 【变式2】(24-25八上·广东珠海斗门区西湖学校·期中)如图，在中，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，垂足是E，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，求的周长． 【变式3】(24-25八上·广东广州第113中学等四校·期中)已知：如图，点D是边上的一点，过点D作，E，F为垂足，且，再过点D作交于点G． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 题型05 等腰三角形的性质与判定综合 【例题】(24-25八上·广东湛江徐闻县·期末)如图，在中，，点、、分别在边、、上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 【变式1】(24-25八上·广东东莞常平中学·期中)如图所示，在中，，是边的垂直平分线，交于，交于，连接． (1)若，求的度数． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【变式2】(24-25八上·广东汕头潮南区峡晖中学·期中)在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式： ①，②，③，④． 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出是等腰三角形， 请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可） 已知：______________．（填序号） 求证：是等腰三角形． 【变式3】(24-25八上·广东东莞翰林实验学校·期末)如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点． (1)若，求的周长； (2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 题型06 等边三角形的性质与判定综合 【例题】(24-25八上·广东东莞期末联考·期末)综合与实践： (1)问题发现：如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE． ①求证：； ②求的度数． (2)类比探究：如图2，和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，为中边上的高，连接． ①的度数为__________； ②请写出线段，，之间的数量关系为__________． (3)拓展延伸；在（2）的条件下，若，，求四边形的面积． 【变式1】(23-24八上·广东珠海第十一中学·期中)如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 【变式2】(24-25八上·广东广州增城区·期末)如图，是等边三角形，，，垂足分别为，，连接． (1)若，求的长； (2)求证：是等边三角形． 【变式3】(24-25八上·广东广州华南师范大学附属中学·期末)如图，在四边形中，，，点为上一点，连接，交于点，． (1)若为等边三角形，请判断的形状，并说明理由： (2)在（1）的条件下，若，，求的长． 【变式4】(24-25八上·广东中山中山纪念中学教育集团期中考试·期中)已知a，b，c是的三条边，若a，b，c满足，判断的形状. 题型07 含30°角的直角三角形的性质与应用 【例题】(24-25八上·广东惠州惠阳区星湖中学·期中)等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，求其顶角的度数. 【变式1】(23-24八上·广东东莞石碣中学·期中)如图，在中，，于，的平分线交于，交于，于． (1)若，，求的长； (2)证明：． 【变式2】(24-25八上·广东深圳深圳实验学校坂田部·期中)如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度． 【变式3】(24-25八上·广东广州荔湾区第一中学·期中)下图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中、分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯时点到点上升的高度是多少米． 题型08 最短路径的应用 【例题】(23-24八上·广东汕尾海丰县·期末)如图，等腰的底边长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交，边于点E，F，若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为______． A．6 B．8 C．13 D．10 【变式1】(24-25八上·广东中山·期末)如图， 在中，，的垂直平分线交于点 D， 交于点E，点F为的中点，点M为线段上一动点，若周长的最小值为， 则的面积是 ． 【变式2】(23-24八上·广东广州白云区新和学校·期中)如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，周长的最小值是4，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式3】(24-25八上·广东广州花都区·期末)唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式4】(24-25八上·广东东莞部分学校·期末)如图，在等边三角形中，是中线，点P，Q分别在，上，且，动点E在上，则的最小值为（    ） A．2.5 B．3 C． D．3.5 题型09 坐标系中画轴对称图形与最短路径问题 【例题】5．(24-25八上·广东东莞松山湖莞美学校·期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)作出关于直线对称的（要求A与与与相对应）； (2)求的面积 (3)在直线上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 【变式1】(23-24八上·广东佛山禅城区华英学校·期中)平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)在图中画出； (2)在图中作出关于轴对称的图形，写出的坐标．(________)、(________)、(________)． (3)在轴上找一点使得最小，则此时______． 【变式2】(24-25八上·广东广州第113中学等四校·期中)如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出顶点的坐标． (2)在x轴上作出一点P，使最短；（保留作图痕迹） (3)的面积为： ． 【变式3】(24-25八上·广东广州番禺区隽新学校·期中)在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的并写出的坐标； (2)求的面积； (3)在x轴上画出点P，使最小（不写作法）． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $