第十五章 轴对称单元复习讲义2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学第十五章轴对称复习讲义以思维导图为统领，系统梳理轴对称概念、性质、线段垂直平分线及等腰三角形等核心知识，通过分节框架呈现概念辨析、性质推导与判定方法，重点突出三线合一、30°直角三角形性质等重难点，构建知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的轴对称图形辨析到优质的动点问题探究，如“类型七：斜边一半—30°对应的直角边”题型，培养推理意识与空间观念。配套月考、期中、期末覆盖题，助力学生巩固应用，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

第十五章 轴对称 思维导图 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称的基本概念 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。此时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系： 轴对称图形是一个图形自身的对称特性，对称轴不一定只有一条，沿着对称轴折叠后都能重合，都有对称轴；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称； 两个图形成轴对称是两个图形的位置关系，只有一条对称轴。 15.1.2 轴对称的性质 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形，即对应边相等、对应角相等。 2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 15.1.3 线段垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线l垂直平分AB，点P在l上，则。 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点P在AB的垂直平分线上。 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（该点是三角形外接圆的圆心，也叫外心）。 15.2 画轴对称的图形 15.2.1 作轴对称图形 作轴对称图形的原理：如果一个图形关于某条直线对称，那么对称图形上的每一点都是原图形上某一点关于这条直线的对称点，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 作已知图形关于某条直线对称的图形的步骤： 1. 找：在原图形中找出几个关键点（如顶点、端点、交点等）； 2. 作：分别作出这几个关键点关于对称轴的对称点； 3. 连：按照原图形的顺序依次连接这些对称点，得到轴对称图形。 15.2.2 坐标平面内的轴对称 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数。即点(x,y)关于x轴的对称点坐标为(x,-y)。 在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数。即点(x,y)关于y轴的对称点坐标为(-x,y)。 作已知图形关于坐标轴对称的图形步骤： 1. 确定图形中各关键点的坐标； 2. 根据坐标规律求出各关键点关于坐标轴的对称点坐标； 3. 在坐标系中描出对称点，依次连接得到对称图形。 拓展：关于直线对称的点，横坐标满足关系，纵坐标不变，即点(x,y)关于的对称点为；关于直线对称的点，纵坐标满足关系，横坐标不变，即点(x,y)关于的对称点为。 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形的相关概念 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 15.3.2 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 几何语言：在中，，。 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称：三线合一）。 几何语言：在中，，若AD平分，则AD⊥BC，；若AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，AD平分；若AD⊥BC，则，AD平分。 性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线，或底边上的高所在直线，或底边上的中线所在直线），只有一条对称轴。 等腰三角形角度计算规律： 已知等腰三角形一个角的度数，求另外两个角： · 若已知角是钝角或直角，该角一定是顶角，底角为； · 若已知角是锐角，该角可能是顶角也可能是底角，需要分两种情况讨论，计算后验证三角形内角和是否为。 15.3.3 等腰三角形的判定 判定方法1：定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 判定方法2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。 几何语言：在中，，，即是等腰三角形。 结论：三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三角形三条边的距离相等（该点是三角形内切圆的圆心，也叫内心）。 15.3.4 等边三角形的性质 1. 等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于。 2. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的垂直平分线。 3. 等边三角形满足三线合一，且三条角平分线、三条中线、三条高分别交于同一点（中心）。 15.3.5 等边三角形的判定 判定1：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 15.3.6 含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在中，，，则。 逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于，该命题也成立。 15.3.7 最短路径问题 常见的最短路径类型及解法： 1. 两点在直线异侧：连接两点，与直线的交点即为所求点，依据是两点之间，线段最短。 2. 两点在直线同侧：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求点，此时两线段长度和最小，依据是轴对称的性质和两点之间线段最短。 原理：设两点为A、B，直线为l，作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则，此时和最小。 3. 造桥选址问题：河两岸平行，桥要垂直于河岸，作法是将其中一个点沿垂直于河岸方向平移河宽的长度，连接平移后的点与另一个点，连线与靠近该点的河岸交点即为桥的一端，再作垂线得到桥的位置，此时路径最短。 【类型一】轴对称图形与成轴对称 1．随着我国人工智能技术蓬勃发展，各类国产人工智能平台已广泛应用于学习与生活当中．下列AI软件的官方标志图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，对各选项分析判断即可． 【详解】 选项A： 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意； 选项B：不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项C：不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 选项D：不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴．根据定义逐一分析即可． 【详解】解：A、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； B、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； C、两个数字都不能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则都不是轴对称； D、两个数字能确定一条直线使两个数字关于这条直线对称，则两个数字成轴对称． 故选：D． 3．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【答案】1，3，7 【分析】此题考查了成轴对称图形的识别，沿着一条直线折叠，如果两个图形能够完全重合，就说这两个图形关于这条直线成轴对称，据此进行解答即可． 【详解】解：观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与1，3，7成轴对称． 故答案为：1，3，7 【类型二】轴对称的性质求解 1．如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形与四边形关于对称， 与是对应边， ，选项A正确； 与是对应角， ，选项B正确； 与是对应点，且对称轴是对应点连线的垂直平分线， 垂直平分，即，选项C正确； 与不一定平行，选项D错误． 2．如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称的性质得出，，利用三角形内角和求出的度数，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：与关于直线成轴对称， ∴, ，， 在中，， ， 是的外角， ． 3．如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【答案】 【详解】解：根据对称的性质可得，，， 则五边形的周长为． 【类型三】逆命题 1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【答案】C 【分析】先写出每个选项的逆命题，再判断原命题和逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：选项A：原命题“全等三角形的对应角相等”是真命题，逆命题为“对应角相等的三角形是全等三角形”，是假命题，不符合要求； 选项B：原命题“若，则”是真命题，逆命题为“若，则”，是假命题，例如时但，不符合要求； 选项C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”是真命题，逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合要求； 选项D：原命题“若，则”是假命题，时也可以是，不符合要求； 2．下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．面积相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】B 【分析】先根据逆命题的定义写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：A选项：原命题：若，则， 逆命题为：若，则， 当，时，成立，但， 该逆命题是假命题， 故A选项不符合题意； B选项：原命题：面积相等的两个三角形全等， 逆命题为：全等的两个三角形面积相等， 全等三角形能完全重合， 全等三角形的面积一定相等， 该逆命题是真命题， 故B选项符合题意； C选项：原命题：对顶角相等， 逆命题为：相等的角是对顶角， 两直线平行时内错角相等，但内错角不是对顶角， 该逆命题是假命题， 故C选项不符合题意； D选项：原命题：若，则， 逆命题为：若，则， 当，时，成立，但， 该逆命题是假命题， 故D选项不符合题意． 3．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】先根据逆命题定义得到原命题的逆命题，再通过举反例判断逆命题的真假． 【详解】解 原命题的条件是，结论是， 根据逆命题的定义，将条件和结论互换，得到逆命题为： 如果，那么， 取，，此时，，满足， 但，， 可得， 因此“如果，那么”的逆命题是假命题． 【类型四】等腰三角形的定义 1．等腰三角形一个内角为，则该三角形顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质，分类讨论，结合三角形内角和定理计算即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ① 当为等腰三角形的底角时， 顶角为 ； ② 当为等腰三角形的顶角时，顶角即为； 综上，该三角形顶角的度数为或． 2．已知的周长为，且于的周长为，则的长为（　　） A．6 B．8 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得到为的中点，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：根据题意，， 所以为等腰三角形， 又，即为的中点， 的周长是， ，即， ∴ 的周长是， ， cm． 故选：C． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，．若的周长为20，，则的周长是______．    【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义；由、的平分线交于点，得，，利用等量代换，将已知数值代入即可求得答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵、的平分线交于点 ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的周长为，即， ∴ 又∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【类型五】三线合一 1．如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， ，即点到所在直线的距离是． 2．如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．如图，是的中线，，的平分线交于点，于点．若的面积为7，，则的长为__________． 【答案】7 【分析】先得出，再根据角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的平分线，且，， ∴， ∵的面积为7， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【类型六】等边三角形的性质 1．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质及平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：如图， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，为等边内任一点，于点，于点，于点．已知的高为5，则（     ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】连接，利用等面积法求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ， ∵三角形是等边三角形， ∴， ， ∴， 又∵的高为5， ∴， ∴， 解得． 3．如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 【答案】 /度 8 【分析】先根据等边三角形的性质证明，再结合三角形的外角性质求解的度数；在线段上取点，使得，连接，证明，然后导角证明即可． 【详解】解：①如图， ∵是正三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； ②在线段上取点，使得，连接， ∵，， ∴ 设，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴． 【类型七】斜边一半—30°对应的直角边 1．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，据此即可求出的长． 【详解】解：∵ 在中，， ∴ 所对的直角边 ∵ ∴ ． 2．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】过点作于点，求出，的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，是边上的中线，， ∴， ∵，，， ∴在中，， ∴的面积为． 3．如图，的斜边的中垂线与交于点，，，则的面积为___________． 【答案】 【分析】先利用线段垂直平分线性质得，推出，再用外角求，在中由直角三角形性质得长度，最后用三角形面积公式求面积． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【类型八】画轴对称图形 1．如图，已知关于直线l的轴对称图形为，点A的对应点为点． (1)尺规作图：作出对称轴l（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据轴对称图形的性质画出； (3)若，，直接写出的度数． 【答案】(1)如图，直线即为所求对称轴， (2)如图，即为所求， (3) 【分析】（1）先连接，再用尺规作图，作的垂直平分线即可； （2）由轴对称图形的性质，分别过点、作对称轴的垂线，延长垂线至、，使、到直线的距离分别等于、到直线的距离；顺次连接、、，得到，即为关于直线l的轴对称图形； （3）由轴对称性质得．在中由内角和定理得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形对应角相等， ， ， ． 2．如图，的点关于某直线的对称点为． (1)在图中用尺规作出直线，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)画出关于直线的对称图形；（保留作图痕迹） (3)在直线上找一点，使的长最短． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，作线段的垂直平分线l即可． （2）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （3）连接交l于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 3．如图，在中，，，若，且，，三点共线．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，作一个三角形与关于直线对称； (2)在图2中，作的边上的高． 【答案】(1)解：如图所示，即为所作； (2)解：如图，为的边上的高． 【分析】（1）延长交于点G，即可求解； （2）延长交于点G，连接，延长交于点H，连接即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：图略． 【类型九】网格中的轴对称 1．已知在直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出，，各点的坐标，以及它们关于轴的对称点，，的坐标． (2)作关于轴对称的图形． 【答案】(1)，，，，， (2)如图，即为所求： 【分析】（1）直接根据点A、B、C的位置写出坐标即可，再根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数可得对应点的坐标； （2）根据轴对称性质得到对应点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可知，，，，，，； （2）略 2．如图所示的正方形网格中，、两点均位于小正方形的格点上，点在直线上．请完成以下问题： (1)在图中作出点关于直线的对称点； (2)连接、，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)在直线上确定点，使得最短．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)如图所示，点即为所求， (2)，理由如下： 如图，连接、， 根据轴对称的性质，点、关于直线l对称， ∴直线垂直平分线段， ∵点在对称轴直线上， ∴； (3)如图所示，点即为所求， 【分析】（1）根据对称轴垂直平分对称点连线，过点作直线的垂线，垂足为，沿着垂线向直线的另一侧延长，取，得到的点即为点关于直线的对称点； （2）根据轴对称的基本性质：对称轴上的点到两对称点距离相等即可得到答案； （3）依据将军饮马模型（轴对称最短路径）：利用“两点之间线段最短”求线段和最小值．取（1）中所得的对称点，连接，线段与直线产生的交点就是所求的点，由轴对称可得，则，根据两点之间线段最短可得此时取得最小值． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图 (1)在图（1）中画出与关于直线l成轴对称的图形； (2)在图（1）直线l上找一点P，使的长最短（保留必要的画图痕迹）； (3)在图（2）中画出网格中的所有，使与全等． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如上图，点P即为所求 (3)如图，、都与全等 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出； （2）连接，交直线l于点P，此时的长最短； （3）根据全等三角形的对应边和角相等，结合网格作图即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【类型十】尺规作图—垂直平分线与垂线 1．如图，已知，请利用尺规作图法，作出的边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】 【分析】边上的中线是顶点与边中点的连线，只需先作出的中点，再连接点和中点即可，利用作线段垂直平分线的方法可得到的中点． 【详解】解：分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两侧两点，过两交点作直线，该直线与交于点，即为的中点，连接，线段即为所求作的边上的中线，保留作图痕迹即可． 2．如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 【答案】(1)如图，即为所求， (2) 【分析】（1）利用尺规作图即可． （2）根据垂直平分线性质和三角形周长的差值计算即可． 【详解】（1）略． （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．阅读与思考 下面是小茗同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日        星期六       晴 尺规作的平分线 数学问题：已知，作出的平分线． 解决问题： 通过小组交流，得到了如下方案： 方案一：如图1，在和上分别截取，，使，再分别以点D和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，最后作射线．射线即为的平分线． 方案二：如图2，在上取一点，在的右侧过点作，再在上截取，最后作射线．射线即为的平分线．   收获与反思： 利用全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线． 任务： (1)方案一中判断三角形全等的依据是__________________________________． (2)请帮助小茗，在图2中根据方案二的做法用尺规完成作图，并说明理由． (3)请根据“等腰三角形三线合一”的性质在图3中用尺规作出的平分线．    【答案】(1) (2) 由作图可得， ， ， ， ， ∴射线即为的平分线． (3) 射线即为的平分线 【分析】（1）根据尺规作图得出三条对应边相等，可得三角形全等的依据； （2）根据题意作出图形，根据平行线的性质以及等边对等角得出相等的角，即可得出结论； （3）在的两边上截取相等的线段，然后再作线段的垂直平分线即可，根据等腰三角形的三线合一可得角平分线． 【详解】（1）解：根据尺规作图可得， 又∵， ∴根据可得，； （2）解：略； （3）解：图略， 说明：在的两边上截取相等的线段，然后再作线段的垂直平分线即可． 【类型一】线段垂直平分线的性质求解 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，再结合三角形的周长公式计算即可得出结果． 【详解】∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长是． 2．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 【答案】16 【分析】根据垂直平分线的性质，得到，求出，推导出是的垂直平分线，，得到，进而求出的周长即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵垂直于点，且为的中点， ∴是的垂直平分线，， ∴， ∴的周长是． 3．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 【类型二】大角对大边 1．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过折叠的性质，通过比较与的大小，即可判断与的大小，从而求解． 【详解】解：、如图， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， ∴， ∴，不符合题意； 、由折叠可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，不符合题意； 、如图， 由折叠可知，， 无法确定与的大小，从而无法确定与的大小，符合题意． 2．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查三角形边角关系，根据大边对大角的性质，确定已知边对应的角，即可比较角的大小． 【详解】解：在中，对，对，， ，即． 3．阅读并完成相应的任务 证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，．（理由1 ） 在中，，（理由2 ） ．即． (1)任务1：填空：理由1： ； 理由2： ； (2)任务2：应用：在中，，，求证：． 【答案】(1)等角对等边；三角形两边之和大于第三边 (2)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴由“大角对大边”可得． 【详解】（1）证明：以为顶点作， ， ．（理由1等角对等边） 在中，，（理由2三角形两边之和大于第三边） ． 即． （2）略 【类型三】线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形的内角和定理与角平分线的定义求解即可． （2）证明，，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）解： ，， ， 平分， ， ． （2）证明：平分，，， ， ， ， ， 垂直平分． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 3．如图，在中，平分，于D，于E，． (1)求证：； (2)求证：点C在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明即可； （2）在上取点F，使，连接、，先证明，可得，再证明，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：在上取点F，使，连接、，如图： ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点C在的垂直平分线上． 【类型四】等腰三角形的判定 1．如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：∵，，且， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由角平分线的判定定理可得平分，再由角平分线的定义和平行线的性质可 证明，得到，则可证明是等腰三角形； （2）证明，得到，求出的度数，可得到，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 2．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线得到，，结合角平分线得到，最后根据等角对等边得到等腰三角形； （2）根据三角形的外角和角平分线得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵平分外角． ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：∵平分内角，平分外角． ∴，， 由三角形的外角可得，， ∴， ∵， ∴． 3．如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：， ，， 平分， ， ， ∴， 为等腰三角形； (2) 【分析】（1）利用平行线性质得到角相等，结合角平分线定义推导出，再根据等角对等边证明为等腰三角形； （2）先由角平分线定义求出，再通过平行线性质得到，接着利用等腰三角形性质求出，最后根据三角形内角和定理计算出． 【详解】（1）略 （2）解：∵平分，， ∵， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，． 【类型五】等边三角形的判定 1．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 2．如图，在中，为边上一点，，过点作于点，，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，得到，结合，推出，即可证明结论； （2）由（1）知，由已知可得，结合，推出即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 3．如图，在中，平分交于点，，延长至点，使得．连接． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作于点，求证：是线段的垂直平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由等边对等角可得，利用三角形外角的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义可得，即；最后根据有两个内角为的三角形是等边三角形即可证明结论； （2）先证明可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是线段的垂直平分线． 【类型六】无刻度尺作图 1．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 【答案】(1)①②是 (2) (3) 【分析】（1）①连接交于点，连接并延长交于点；②根据等腰三角形的性质可得关于成轴对称； （2）根据正方形的对称性，所在的直线是正方形的对称轴，连接交于点，连接交于点，连接并延长交于点，则； （3）构造等腰三角形，以所在的直线为对称轴，根据（1）的方法画图，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．（1）如图①，，连接．请仅用无刻度的直尺，画出线段的垂直平分线． （2）如图②，在四边形中，，．请仅用无刻度的直尺，画出边的垂直平分线．（保留画图痕迹，不写画法） 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，找出两点即可画出直线． （1）连接，所在直线即为所求. （2）延长，交于一点，连接，交于一点，连接两点即可得到垂直平分线. 【详解】解：（1）如图①，直线即为线段的垂直平分线． （2）如图②，直线即为边的垂直平分线． 3．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个等边三角形． (2)在图2中，作一条直线，使其垂直平分． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）连接，，，根据多边形内角和即可判定是等边三角形． （2）连接交于点，延长，交于点，然后连接并延长交于点，连接，根据正六边形的性质和等边三角形的性质和判定即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，，，则即为所求； 理由：∵六边形是正六边形， ∴，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， 即即为所求； （2）解：如图，连接交于点，延长，交于点，然后连接并延长交于点，连接，则直线即为所求． 理由：∵六边形是正六边形， ∴与互相平分，交点为正六边形的中心，即为的中点， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴,即点在的垂直平分线上， 又∵点是正六边形中心，也在的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∵正六边形中， ∴， 又∵交点为正六边形的中心， ∴是等边三角形， ∴直线是线段的垂直平分线． 【类型一】镜面对称 1．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【详解】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 2．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质．根据镜面对称的性质，像与物左右颠倒，将镜中示数“”整体左右翻转即可得到实际时间“”． 【详解】解：∵镜中示数为“”， ∴ 实际数字为每个数字的镜像： 第一个数字， 第二个数字， 第三个数字， 第四个数字， ∴ 实际时间为， 故选：D． 3．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【答案】 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【详解】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 【类型二】等腰三角形的个数 1．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形； ， ∴是等腰三角形， 综上分析可知：等腰三角形有：， 故选：A． 2．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据角平分线的性质可得，的关系，根据平行线的性质可得，的关系，根据等腰三角形的判定可得，，进而完成解答． 【详解】解：∵与的平分线相交于点O， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴，即都为等腰三角形． 又∵，， ∴，且， ∴都为等腰三角形． ∵，与的平分线相交于点O， ∴， ∴，即是等腰三角形． 故等腰三角形有：． 故选：B． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 【答案】4 【分析】本题考查在坐标系中构造等腰三角形，熟练掌握等腰三角形的性质与两点间的距离的公式是解题的关键． 分、、三种情况讨论即可． 【详解】解：如图： 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有1点满足条件的点M； 当时，在y轴上有2点满足条件的点M； 符合条件的有4个点M； 故答案为4． 【类型三】阴影部分问题 1．如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于，设与交于点，根据平移的性质，结合等腰三角形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据，利用梯形的面积公式即可得出阴影部分面积． 【详解】解：如图，过点作于，设与交于点， ∵， ∴， ∵将沿着一定方向平移到的位置， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，解题的关键是通过折叠的性质得出对应的线段等量关系． 根据折叠的性质，得，，即可求得阴影部分的周长之和． 【详解】解：由折叠的性质，得，， ∵为等边三角形， 得， 三个阴影部分的周长的和为： ， 故选D． 3．如图，和是两个边长为5的等边三角形，将沿方向平移到的位置得到右图，则图中六个阴影三角形的周长之和为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，根据平移的性质可得和的周长不变，进而根据阴影部分面积等于和的周长和，即可求解． 【详解】解：和是两个边长为5的等边三角形， ∴和的周长和为 ∴图中六个阴影三角形的周长之和为， 故答案为：． 【类型四】手拉手问题 1．已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 【答案】(1) (2)解：①，，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ，， ， ， ， ， ， 综上：， ② 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）①证明，进一步利用全等三角形的性质证明即可；②由，可得，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 又∵，，， ∴； （2）证明：①略 ②， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 2．【问题呈现】 在中，，点是直线上一点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． ． (1)如图①，当点在线段上时，若 ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，当点是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点在线段上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 【答案】(1)①，理由如下： ， ， ， ，， ； ②； (2)与平行； (3)，理由如下： 由（1）同理可得：， ， ， ， ， ． 【分析】（1）①由结合角的和差可得，再结合，即可证明结论；②根据三角形内角和性质以及等腰三角形的性质，全等三角形的性质，得出，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质，得出，再结合同旁内角互补，得出两直线平行，即，； （3）由（1）可知，则根据全等三角形的性质得到，进而得到，再根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）解：①略 ②由①得， ， ，， ， ； （2）解：，是中点， ，即， 由图可得，， ， ； （3）略 3．【问题背景】 (1)如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．请完成填空： ①线段与线段的数量关系为__________； ②的度数为__________°； (2)【问题探索】如图2，为等腰直角三角形，，点为边上一点，以为边在的右侧作等腰直角三角形，且，连接，若，，求的面积； (3)【问题解决】在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，如图3，四边形中，将四边形分成两部分，连接交于点，，，，．当时，求四边形的面积． 【答案】(1)①，②60； (2) (3) 【分析】（1）因为和都是等边三角形，所以可得到，，且，通过角的和差推导相等的夹角，利用证明，进而得到和的数量关系；再结合等边三角形的内角、平角性质以及全等三角形的对应角相等，推导的度数． （2）因为和都是等腰直角三角形，所以可得到，，且，通过角的和差推导相等的夹角，利用证明，得到的长度与相等，且对应角相等，进而推导的度数，判断的形状，再用三角形面积公式计算面积． （3）过点作交的延长线于点，连接，利用和的条件，构造以为直角顶点的等腰直角三角形，通过证明三角形全等，将的长度转化为对应边的长度，得到的对应角的度数，推导相关线段与的位置关系，求出的面积；再根据，结合等高三角形面积比等于底之比，分别计算与的面积关系，与的面积关系，得到与的关系，求和得到四边形的面积． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 因此，． ∵共线，， ∴， ∴． （2）解：为等腰直角三角形，， ，， 为等腰直角三角形，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ． （3）解：如图，过点作交的延长线于点，连接， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， 即， 又，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 四边形的面积． 【类型五】角平分线与垂直平分线结合 1．如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，平分， ，，       是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ，       ； (2)的长为 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得； （2）连接，，利用中垂线的性质可证，，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，     平分，，， ，       的垂直平分线交于点， ，       在和中， ， ，       ， 在和中， ， ，       ， ，， ， 即的长为． 2．如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)36 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）连接，．根据角平分线的性质定理得出，，根据是的垂直平分线，得出．证明，即可得． （2）根据全等三角形的性质得出，结合，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，． 是的角平分线，，， ． 是的垂直平分线， ． ，， ． 在和中， ， ， ． ． （2）解：， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． ． ． 的长为36． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线（点Q在上）于点P，连接，过点P作于点D，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据角平分线的性质得出，根据线段垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）证明得，然后根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴． ∵垂直平分， ∴． 在和中， ∴， ∴． （2）解：在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． 【类型六】等腰三角形的动点求t 1．如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； (2)①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (3)在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 【答案】(1)， (2)①；②， (3)或2 【分析】本题主要考查了列代数式，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，注意分类讨论． （1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可表示出； （2）①根据题意分三种情况：点P在上运动和点P在上运动，以及点在上，然后根据三角形面积公式求解即可； ②首先画出图形，然后根据题意得到，，然后根据题意列方程求出，然后根据三角形面积求出的面积为； （3）根据题意分三种情况讨论：点P在上时，点P在上和点P在上，经分析排除点P在上和点P在上，然后列方程求解． 【详解】（1）解：∵点以的速度从点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： ∵，， ∴； 当点P在上运动时，如图： 此时， ∴ 综上所述，； ②如图所示，过点P作交于点E，则，    ∵是以为底的等腰三角形， ∴ ∵， ∴， 可得四边形是长方形， ∴ ∵， ∴ 解得 ∴ ∴； （3）解：当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离， ∴点P到的距离点P到的距离，点P到的距离点P到的距离， ∴不符合题意； 当点P在上时，即， ∵点P到的距离，点P到的距离，点P到的距离 根据题意得，或 解得或； 当点P在上时，即， ∵，故点P到和的距离均小于点P到的距离为长， ∴不符合题意； 综上：点P到长方形的相邻两边的距离相等时，或2． 2．综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 【答案】(1) (2)当为或时，是直角三角形 (3)①；②见解析 【分析】（1）由题意可得是等边三角形，推出当为的中点时，，此时是直角三角形，得到，即可求解； （2）根据题意可得：，，进而得到，由是等边三角形，可得，分两种情况：当时，当时，根据含角的直角三角形的性质，列出关于的方程即可求解； （3）①根据三角形的外角性质可得，推出是等腰三角形，此时只能使，然后证明是直角三角形，再列出关于的方程即可求解；②过点作交于点，过点作于点，可得是等边三角形，推出，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：， 是等边三角形， 当为的中点时，，此时是直角三角形， ， ， 故答案为：； （2）根据题意可得：，， ， 是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， 解得：； 当时，， ， ，即， 解得：； 综上所述，当为或时，是直角三角形； （3）①是等边三角形， ， ， 是等腰三角形，此时只能使， ，， ，， ， ， ， 解得：， 当为时，是等腰三角形， 故答案为：； ②证明：如图，过点作交于点，过点作于点， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和的高均为， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 3．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或 【分析】本题考查了列代数式、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，数形结合是解决问题的关键． （1 ）根据即可列代数式； （ 2）先求出，再由三角形面积公式求解； （3 ）当以为底时，根据等腰三角形的判定与性质得到，则；当以为底时，则，则． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，，此时点在上，如图所示： ∴的面积； （3）解：存在， 理由如下： 当以为底时，如图所示： 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当以为底时，如图所示： 则， ∴， 综上所述：存在，的值为或． 【类型七】等腰三角形的新定义 1．阅读与思考 下面是创新小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 研究小组：创新小组 研究对象：和谐四边形 研究思路：由特殊到一般进行研究 定义：若一个四边形的一组对边之和等于另一组对边之和，则称该四边形为和谐四边形． 【特例研究】如图1，根据和谐四边形的定义证明菱形是和谐四边形 证明：设菱形ABCD， ∵菱形的四条边相等，即， ∴，∴菱形是和谐四边形． 【一般研究】如图2，四边形是和谐四边形，，E，F分别是上的点，且，连接． 求证：四边形是和谐四边形． 证明：连接， ∵四边形是和谐四边形，∴， ∵， …… 任务： (1)请阅读上述报告，补全【一般研究】中的证明过程； (2)如图2，连接对角线，试用表示出四边形的面积为______； (3)如图3，请在射线上确定点D使四边形是和谐四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)证明：连接， ∵四边形是和谐四边形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴． 在和中， ∴ ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴四边形是和谐四边形； (2) (3)如图，四边形即为所求 【分析】（1）先证明，再证明即可； （2）可得垂直平分，则四边形的面积为，整理即可求解； （3）过点分别作，垂足为点，连接，由角平分线的性质定理可得，再由角平分线的判定可得平分，然后根据可证明，则，那么，，故． 【详解】（1）略 （2）解：如解图②，令交于点H，由（1）可知，， ∴垂直平分 ∴四边形的面积为 ． （3）解：先作出的角平分线交于点，连接，作即可． 2．【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 【答案】（1）见解析；（2）①与是偏等积三角形，理由见解析；②修建小路的总造价为元 【分析】（1）作的垂直平分线交于点，连接即可； （2）①过作于，过作于，证，得，则，再证与不全等，即可得出结论；②过点作，交的延长线于，则，证得，得到，再证，得，由余角的性质可证，然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得，，求出，即可求解． 【详解】解：（1）如图，线段即为所求；              （2）①与是偏等积三角形，理由如下： 过作于，过作于， ∴， ∵、是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； ②如图，过点作，交的延长线于，则， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 由①得：与是偏等积三角形， ∴，， ∴（）， ∴（元）． 答：修建小路的总造价为（元）． 【点睛】本题考查了新定义“偏等积三角形”的定义、尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明和是解题的关键，属于中考常考题型． 3．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角． 为了更好的研究中垂三角形的一般性质，请利用特殊化策略进行探究． 【特殊图形】 (1)从下列特殊的三角形切入研究，根据定义，是中垂三角形的有________． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③三边长分别为4，4，2的等腰三角形． 【一般性质】 (2)勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系．如图1，在中，平分交于点，为的中线，与交于点，若，则为中垂三角形，此时的边和满足怎样的数量关系？请你写出来并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图2，线段的长度为，在射线上取一点，使是以为中垂角的中垂三角形，作平分交于点，中垂点为点，若的面积为3，请你画出符合题意的图形（不限作图工具），在图上标注的长度（用含的式子表示），并直接写出的面积． 【答案】(1)③ (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据新定义，逐一进行判断即可； （2）证明，得到，根据中线，得到，进而得到即可； （3）根据新定义，结合（2）的结论，分2种情况，画出图形，根据三角形的中线平分面积，求出面积即可． 【详解】（1）解：①如图，等边三角形，既为角平分线也为中线，也是高线， 故两两均不垂直，不符合题意； ②等腰直角三角形，既是中线也是角平分线，是角平分线，是中线， 则，， 即与均不可能垂直，不符合题意； 同理和边上的中线或的角平分线均不垂直，不符合题意； 当为角平分线，为中线， 明显不垂直，不符合题意； 同理当为中线，为角平分线时，也不符合题意； ③如图，为中线，为角平分线， ∵， ∴， ∴， 故该三角形为中垂三角形；故③符合题意； （2）解：，理由如下： ∵平分交于点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知：当或，为中垂三角形，画出图形如下： 对于图1：∵平分， ∴点到的距离相等， 根据同高（等高）三角形的面积比等于底边比，可知：， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴， ∴， ∵为中线， ∴， ∴， ∴； 对于图2，连接， 同理：，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【类型八】等腰三角形的分割 1．小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点在上，且，则的度数为_________； 通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； （3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例． 【答案】（1）； （2）如图所示： （3）正确，理由如下： 在中，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于，连接，则是的分割线； ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握垂直平分线的作图是关键． （1）由题意得，根据，得，即可求解； （2）根据题意作相应边的垂直平分线即可； （3）在中，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于，连接，则是的分割线 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 2．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． (3)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)作图见解析； (3)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形． （1）证明，，从而得出结论； （2）是腰时，，；是底时，，，可画出图形； （3）分为，及三种情形，画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴是的一条等腰分割线； （2）解：如图当是腰时，， ∴，， ∴， ∴， ∴此时都是等腰三角形； 如图，当是底时，，， ∴，， ∴， ∴此时都是等腰三角形； （3）解：如图2， 当，时，则， ∴， ∴是等边三角形， ∴当时，是等边三角形，即此时； 如图3， 当，时，则， ∴； 如图4， 当，时，则， ∴； 综上所述：的度数为或或． 3．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条等腰分割线． (2)在中，为的等腰分割线， ，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 【答案】(1)见解析； (2)图见解析，的度数为或或． 【分析】（1）证明、是等腰三角形即可； （2）根据等腰分割线的定义，画出图形即可；分三种情形：当时，当时，当时，利用等腰三角形的性质，分别求解． 【详解】（1）证明：如图2中， ∵是线段的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，即是等腰三角形， ∴是是一条等腰分割线； （2）解：∵线段即为所求分割线， ∴和都是等腰三角形， ①如图3，，而， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图4，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ③如图5，，， ∴，， ∵， ∴， 综上所述，∠B的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，等腰分割的定义等知识，解题的关键是理解等腰分割的定义，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 1．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）一个图书馆的图标设计不仅要美观大方，还要能准确传达图书馆的核心价值和文化内涵．下列图书馆图标是轴对称图形的是（     ） A．成都图书馆 B．重庆图书馆 C．首都图书馆 D．苏州图书馆 【答案】C 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C、选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D、选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 2．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 【答案】D 【分析】根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”即可解答． 【详解】解：要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三边垂直平分线的交点处． 3．（25-26八年级下·海南海口·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标规律，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据规律直接计算即可得到结果． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数， ∴点关于轴对称的点坐标是． 4．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ，，，故②正确， ，，故①，③正确， ，， ， ， 是等边三角形， ，故④正确， 综上所述，正确的个数有4个． 5．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______． 【答案】 或 【分析】解题时需分已知内角为顶角和底角两种情况讨论，再根据三角形内角和计算底角，验证是否成立即可． 【详解】解：根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理，分两种情况讨论： ①若为顶角， 则底角为； ②若为底角， 则底角为，此时顶角为，符合三角形内角和定理. ∴底角为或． 6．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 【答案】 【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 【答案】 【分析】利用长方形的性质求出再根据折叠的性质得到，最后利用平行线的性质与等量代换求出答案． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵ ∴ ∵是由沿折叠而得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 【答案】(1)如图，直线即为所求； (2)如图，直线即为所求． 【分析】（1）连接，作出的垂直平分线即为直线； （2）作出的平分线即为直线． 【详解】（1）略 （2）略 9．（25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（网格线的交点），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)画出关于轴对称的； (2)用无刻度直尺作出线段的中垂线（只保留作图痕迹即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先找出各顶点关于轴对称的点，即可连接得； （2）根据线段垂直平分线的性质找到两格点，过这两点作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）解：线段的中垂线如图所示． 10．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等腰三角形得，结合，推出；再由对顶角相等，得，根据“等角对等边”得，从而证明结论． （2）过作，由（1）的结论，用“等腰三角形三线合一”得；再由及，推得；最后用证明，得，等量代换得结论． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ，， ． ， ， ， 是等腰三角形． （2）证明：如图，过点作于点． ， ． ，，， ， ． ，， ， ， ． 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为． 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】先根据邻补角性质求出与外角相邻的内角，再分该内角为顶角或底角两种情况，结合等腰三角形性质与三角形内角和定理计算顶角． 【详解】当的角是顶角的外角时，顶角的度数为； 当的角是底角的外角时，底角的度数为， 所以顶角的度数为； 故顶角的度数为或． 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 4．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据折叠的性质即可判断①；根据①中全等三角形的性质可得，，结合，证明是等边三角形，即可判断③；证明是的平分线，进一步即可判断②；④易得，，，进而可判断④，于是可得答案． 【详解】解：①∵由翻折而成， ∴，故结论①正确； ③∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形，故结论③正确； ②∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． ∵， ∴， ∴垂直平分，故结论②正确； ④∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论④正确． 5．（24-25七年级下·上海·期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 假 【分析】根据逆命题定义将原命题的题设和结论互换得到逆命题，再判断逆命题的真假即可． 【详解】解：原命题“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”中，题设为“两个角是同一个角的余角”，结论为“这两个角相等”．将题设与结论互换，得到逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角． 判断真假：两个相等的角，不一定是同一个角的余角，例如：，，是的余角，是另一个的余角，两角相等但不一定是同一个角的余角，因此逆命题不成立，是假命题． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 【答案】/36度 【分析】利用等边对等角求出，再利用角平分线的定义求解． 【详解】解：∵，， ∴， 根据尺规作图可得，平分， ∴． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 【答案】/40度 【分析】先利用等边三角形每个内角为，结合，在中求出，再由对顶角、翻折性质得，推出，最后在中用内角和算出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由翻折可得， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形； （2）根据网格特点，利用割补法求解的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为． 9．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 【答案】(1)解：如图所示： 上图即为所求作； (2) 【分析】（1）分别作的平分线及作边的垂直平分线即可； （2）由垂直平分线性质及角平分线定义得到，结合已知条件，由三角形内角和定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图所示： 垂直平分边， ，，， 平分， ， 则， ，， ， 即，解得． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 (1)用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)； 【问题探究】 (2)如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 【答案】(1)①②④ (2)证明：法：如图，过作于点，作，交于点， ， 四边形是邻等对补四边形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在角平分线上， 平分； 法：如图，四边形是邻等对补四边形，延长至点，使，连接， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 平分； (3)或或 【分析】（1）根据邻等对补四边形的定义并结合图形即可得解； （2）过作于点，作，交于点，则，又四边形是邻等对补四边形，所以，又，则有，证明，所以，从而得点在角平分线上，即有平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：根据邻等对补四边形的定义并结合图形可得：是邻等对补四边形的有①②④； 故答案为：①②④； （2）略 （3）解：在中，，， ， 四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ， ， ， ， ； ②当，时，如图， ，， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ，， ； ③当时，如图，同②； ④当，时，如图， ； 综上所述，的大小为或或． 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）下列由阴影部分组成的图案中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 解：A、，是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、，是轴对称图形； D、，是轴对称图形． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将长方形纸片沿着折叠，点A，B分别落在，处．如果，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由折叠知，， ． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线可得，进而可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ， ，， ∴． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上两个动点，当的周长最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先作点关于的对称点，关于的对称点，连接，交于点，交于点，此时的周长最小，再根据轴对称的性质，三角形的内角和定理，即可解答． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点， 此时周长最小，即的周长最小． 由对称可得，，． ， ， ， ， 即的度数为． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 【答案】/40度 【分析】根据等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴，即， ∵， ∴ 6．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 【答案】15 【分析】连接，，，由线段垂直平分线的性质得出， ，由三角形周长得出，由线段垂直平分线的性质得出，由等腰三角形三线合一的性质得出． 【详解】解：连接，，， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴，， ∴的周长为∶， ∵F是、垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴M是的中点， ∴． 7．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，第一次折叠，使点与点重合，折痕为（点在上，点在内部），展开，进行第二次折叠，点落在上，使边与边重合，折痕为（点在上）．已知两条折痕交于点，且，那么的度数是________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，结合三角形内角和即可求解． 【详解】由第一次折叠可知，是线段的垂直平分线， ∴，且， 由第二次折叠可知，平分， 即， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 即， 解得：， ∴． 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 【答案】解：是等腰三角形， 证明：平分， ． ， ，． ． ． 是等腰三角形． 【分析】由平分，得；由，根据平行线的同位角、内错角相等，得，．等量代换得，由等角对等边得，故是等腰三角形． 【详解】略 9．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． (1)若的周长为，的周长为，求线段，的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质求解即可； （2）求解，结合等腰三角形的性质进一步求解即可. 【详解】（1）解： 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， ； （2）解：， ， ，， ，， ． 10．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，． (1)如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足． 请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B  （ ， ） C  （ ， ） ； (2)如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求； (3)如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】(1)，；，；0，5 (2)8 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、c的值，则可得到点A和点C的坐标；过点B作轴于点D，证明，得到，则，据此可求出点B的坐标； （2）过点C作轴于点F，轴于点E，证明，得到，则可证明，据此可得答案； （3）过点M作轴于点T，证明，得到，则，即可得到；证明，推出，则可证明是等腰直角三角形，得到，根据，得到，解得，则；证明，得到，则． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点C作轴于点F，轴于点E， ∴； ∵轴，轴， ∴轴，轴， ∴，即， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点M作轴于点T， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十五章 轴对称 思维导图 15.1 图形的轴对称 15.1.1 轴对称的基本概念 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。此时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系： 轴对称图形是一个图形自身的对称特性，对称轴不一定只有一条，沿着对称轴折叠后都能重合，都有对称轴；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称； 两个图形成轴对称是两个图形的位置关系，只有一条对称轴。 15.1.2 轴对称的性质 1. 关于某条直线对称的两个图形是全等形，即对应边相等、对应角相等。 2. 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 3. 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 15.1.3 线段垂直平分线的性质与判定 线段垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 性质：线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等。 几何语言：若直线l垂直平分AB，点P在l上，则。 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 几何语言：若，则点P在AB的垂直平分线上。 结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（该点是三角形外接圆的圆心，也叫外心）。 15.2 画轴对称的图形 15.2.1 作轴对称图形 作轴对称图形的原理：如果一个图形关于某条直线对称，那么对称图形上的每一点都是原图形上某一点关于这条直线的对称点，连接对称点的线段被对称轴垂直平分。 作已知图形关于某条直线对称的图形的步骤： 1. 找：在原图形中找出几个关键点（如顶点、端点、交点等）； 2. 作：分别作出这几个关键点关于对称轴的对称点； 3. 连：按照原图形的顺序依次连接这些对称点，得到轴对称图形。 15.2.2 坐标平面内的轴对称 在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标相等，纵坐标互为相反数。即点(x,y)关于x轴的对称点坐标为(x,-y)。 在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点的坐标特点：纵坐标相等，横坐标互为相反数。即点(x,y)关于y轴的对称点坐标为(-x,y)。 作已知图形关于坐标轴对称的图形步骤： 1. 确定图形中各关键点的坐标； 2. 根据坐标规律求出各关键点关于坐标轴的对称点坐标； 3. 在坐标系中描出对称点，依次连接得到对称图形。 拓展：关于直线对称的点，横坐标满足关系，纵坐标不变，即点(x,y)关于的对称点为；关于直线对称的点，纵坐标满足关系，横坐标不变，即点(x,y)关于的对称点为。 15.3 等腰三角形 15.3.1 等腰三角形的相关概念 等腰三角形定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等边三角形定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 15.3.2 等腰三角形的性质 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）。 几何语言：在中，，。 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称：三线合一）。 几何语言：在中，，若AD平分，则AD⊥BC，；若AD是BC边上的中线，则AD⊥BC，AD平分；若AD⊥BC，则，AD平分。 性质3：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边的垂直平分线（或顶角平分线所在直线，或底边上的高所在直线，或底边上的中线所在直线），只有一条对称轴。 等腰三角形角度计算规律： 已知等腰三角形一个角的度数，求另外两个角： · 若已知角是钝角或直角，该角一定是顶角，底角为； · 若已知角是锐角，该角可能是顶角也可能是底角，需要分两种情况讨论，计算后验证三角形内角和是否为。 15.3.3 等腰三角形的判定 判定方法1：定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 判定方法2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。 几何语言：在中，，，即是等腰三角形。 结论：三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三角形三条边的距离相等（该点是三角形内切圆的圆心，也叫内心）。 15.3.4 等边三角形的性质 1. 等边三角形的三条边都相等，三个内角都相等，并且每一个内角都等于。 2. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的垂直平分线。 3. 等边三角形满足三线合一，且三条角平分线、三条中线、三条高分别交于同一点（中心）。 15.3.5 等边三角形的判定 判定1：定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定2：三个角都相等的三角形是等边三角形。 判定3：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 15.3.6 含30°角的直角三角形的性质 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 几何语言：在中，，，则。 逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于，该命题也成立。 15.3.7 最短路径问题 常见的最短路径类型及解法： 1. 两点在直线异侧：连接两点，与直线的交点即为所求点，依据是两点之间，线段最短。 2. 两点在直线同侧：作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为所求点，此时两线段长度和最小，依据是轴对称的性质和两点之间线段最短。 原理：设两点为A、B，直线为l，作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于点P，则，此时和最小。 3. 造桥选址问题：河两岸平行，桥要垂直于河岸，作法是将其中一个点沿垂直于河岸方向平移河宽的长度，连接平移后的点与另一个点，连线与靠近该点的河岸交点即为桥的一端，再作垂线得到桥的位置，此时路径最短。 【类型一】轴对称图形与成轴对称 1．随着我国人工智能技术蓬勃发展，各类国产人工智能平台已广泛应用于学习与生活当中．下列AI软件的官方标志图案中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．下列两个电子数字成轴对称的是（ ） A． B． C． D． 3．国际奥委会会旗上的图案由5个圆环组成．每两个圆环相交的部分叫做曲边四边形，如图所示，从左至右共有8个曲边四边形，分别给它们标上序号．观察图形，我们发现标号为2的曲边四边形（下简称“2”）经过平移能与“6”重合，2还与_______成轴对称．（请把能成轴对称的曲边四边形标号都填上） 【类型二】轴对称的性质求解 1．如图，四边形与四边形关于直线对称，交于点R，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图：已知与关于直线成轴对称，，则（     ） A． B． C． D． 3．如图，和关于直线对称，连接交直线于点，若，，，则五边形的周长为________． 【类型三】逆命题 1．下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．若，则 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 2．下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．面积相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．如果，那么 3．命题“如果，那么”的逆命题是________命题．（填“真”或“假”） 【类型四】等腰三角形的定义 1．等腰三角形一个内角为，则该三角形顶角的度数为（     ） A． B． C．或 D． 2．已知的周长为，且于的周长为，则的长为（　　） A．6 B．8 C．1 D．2 3．如图，在中，，的平分线交于点，过点作分别交，于点，．若的周长为20，，则的周长是______．    【类型五】三线合一 1．如图，在等腰中，，于点，，则点到所在直线的距离是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，是的中线，，的平分线交于点，于点．若的面积为7，，则的长为__________． 【类型六】等边三角形的性质 1．如图，等边三角形的顶点B，C分别在直线a，b上，且，若，则大小为（     ） A． B． C． D． 2．如图，为等边内任一点，于点，于点，于点．已知的高为5，则（     ） A．10 B． C． D．5 3．如图，在正中，点分别在边上，且，与相交于．若，则___________，连接，若，且，则的长为___________． 【类型七】斜边一半—30°对应的直角边 1．在中，，，，则的长等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．在中，是边上的中线，，，，则的面积为（     ） A． B． C．1 D．2 3．如图，的斜边的中垂线与交于点，，，则的面积为___________． 【类型八】画轴对称图形 1．如图，已知关于直线l的轴对称图形为，点A的对应点为点． (1)尺规作图：作出对称轴l（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据轴对称图形的性质画出； (3)若，，直接写出的度数． 2．如图，的点关于某直线的对称点为． (1)在图中用尺规作出直线，（不写作法，保留作图痕迹）； (2)画出关于直线的对称图形；（保留作图痕迹） (3)在直线上找一点，使的长最短． 3．如图，在中，，，若，且，，三点共线．请仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，作一个三角形与关于直线对称； (2)在图2中，作的边上的高． 【类型九】网格中的轴对称 1．已知在直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出，，各点的坐标，以及它们关于轴的对称点，，的坐标． (2)作关于轴对称的图形． 2．如图所示的正方形网格中，、两点均位于小正方形的格点上，点在直线上．请完成以下问题： (1)在图中作出点关于直线的对称点； (2)连接、，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)在直线上确定点，使得最短．（不写作法，保留作图痕迹） 3．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C在小正方形的格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图 (1)在图（1）中画出与关于直线l成轴对称的图形； (2)在图（1）直线l上找一点P，使的长最短（保留必要的画图痕迹）； (3)在图（2）中画出网格中的所有，使与全等． 【类型十】尺规作图—垂直平分线与垂线 1．如图，已知，请利用尺规作图法，作出的边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）． 2．如图，在中，． (1)求作的垂直平分线，分别交，于点，（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若的周长比的周长大，求的长． 3．阅读与思考 下面是小茗同学写的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务． ×年×月×日        星期六       晴 尺规作的平分线 数学问题：已知，作出的平分线． 解决问题： 通过小组交流，得到了如下方案： 方案一：如图1，在和上分别截取，，使，再分别以点D和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内相交于点，最后作射线．射线即为的平分线． 方案二：如图2，在上取一点，在的右侧过点作，再在上截取，最后作射线．射线即为的平分线．   收获与反思： 利用全等三角形、等腰三角形的有关知识可以用多种方法作的平分线． 任务： (1)方案一中判断三角形全等的依据是__________________________________． (2)请帮助小茗，在图2中根据方案二的做法用尺规完成作图，并说明理由． (3)请根据“等腰三角形三线合一”的性质在图3中用尺规作出的平分线．    【类型一】线段垂直平分线的性质求解 1．如图，在中，，，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，垂足分别为，．则的周长是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是的垂直平分线，垂直于点，且为的中点，，则的周长是_______． 3．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【类型二】大角对大边 1．如图，在中，根据图形折叠后的情况，不可以判定的是（  ） A． B． C． D． 2．在中，已知，则________（填“”、“”或“”） 3．阅读并完成相应的任务 证明“大角对大边”．已知：如图，在中，．求证：． 证明：以为顶点作， ，．（理由1 ） 在中，，（理由2 ） ．即． (1)任务1：填空：理由1： ； 理由2： ； (2)任务2：应用：在中，，，求证：． 【类型三】线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作于点E，连接交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：垂直平分． 2．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 3．如图，在中，平分，于D，于E，． (1)求证：； (2)求证：点C在的垂直平分线上． 【类型四】等腰三角形的判定 1．如图，在中，点为边上一点，连接，过点分别作于点，于点，交于点，且． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的度数． 2．如图，在中，平分内角，平分外角． (1)若，求证：为等腰三角形． (2)若，求的度数． 3．如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交延长线于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【类型五】等边三角形的判定 1．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 2．如图，在中，为边上一点，，过点作于点，，交的延长线于点，且． (1)求证：； (2)若点是的中点，求证：是等边三角形． 3．如图，在中，平分交于点，，延长至点，使得．连接． (1)求证：是等边三角形； (2)过点作于点，求证：是线段的垂直平分线． 【类型六】无刻度尺作图 1．综合与实践：校园文化节中，设计小组要制作一个轴对称的活动徽标． (1)【操作思考】 徽标边框是，其中，点是线段的中点，点是线段上任意一点，如图， ①请仅用无刻度的直尺画图：连接，线段与相交于点，再连接并延长，与线段 相交于点． ②点与点是否关于线段成轴对称: ．（选填“是”或“不是”） (2)【模仿实践】 如图2，徽标边框是正方形 （四条边相等，四个角均为直角），点在边上，请仅用无刻度的直尺，利用“正方形的对称性”，在边上找一点，使得 ． (3)【拓展应用】 如图3，在正方形网格中，线段是徽标的对称轴的一部分．请仅用无刻度的直尺，利用格点小正方形的顶点的垂直关系及轴对称的有关知识，画出点 关于线段 的对称点．(保留作图痕迹，关键点加黑加粗) 2．（1）如图①，，连接．请仅用无刻度的直尺，画出线段的垂直平分线． （2）如图②，在四边形中，，．请仅用无刻度的直尺，画出边的垂直平分线．（保留画图痕迹，不写画法） 3．如图，已知正六边形，请仅用无刻度的直尺按下列要求完成作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个等边三角形． (2)在图2中，作一条直线，使其垂直平分． 【类型一】镜面对称 1．小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 2．平面镜中看到电子钟示数为“”，实际时间是（    ） A． B． C． D． 3．东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【类型二】等腰三角形的个数 1．如图，在中，，点在内，，图中一共有（    ）个等腰三角形． A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，，与的平分线相交于点O，过O作交于E，交于F，那么图中所有的等腰三角形个数是（   ）． A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，，若点M在y轴上．且是等腰三角形，则符合条件的点M有______个． 【类型三】阴影部分问题 1．如图，两个全等的等腰三角形重叠在一起，将一个三角形沿着一定方向平移到的位置，若，，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，等边三角形纸片的边长为，点，分别在，上，将沿直线折叠，点落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为（   ） A． B． C． D． 3．如图，和是两个边长为5的等边三角形，将沿方向平移到的位置得到右图，则图中六个阴影三角形的周长之和为__________． 【类型四】手拉手问题 1．已知在中，，在中，，，点、、在同一条直线上，与相交于点，连接． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当时，完成下列问题： ①判断与的数量关系和位置关系； ②我们已经知道等腰三角形的两个底角相等，反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形也成立．若，，求线段的长． 2．【问题呈现】 在中，，点是直线上一点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． ． (1)如图①，当点在线段上时，若 ①判断与是否全等？并请说明理由． ②求的度数． (2)【知识应用】如图②，当点是的中点时，与平行吗？ (3)【拓展延伸】设，，如图③，当点在线段上移动时，问，之间有怎样的数量关系？说明理由． 3．【问题背景】 (1)如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．请完成填空： ①线段与线段的数量关系为__________； ②的度数为__________°； (2)【问题探索】如图2，为等腰直角三角形，，点为边上一点，以为边在的右侧作等腰直角三角形，且，连接，若，，求的面积； (3)【问题解决】在数学学习中，我们经常将面积之比转化为边之比，如图3，四边形中，将四边形分成两部分，连接交于点，，，，．当时，求四边形的面积． 【类型五】角平分线与垂直平分线结合 1．如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 2．如图，的角平分线和边的垂直平分线相交于点E，，，垂足分别为点M、N． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线（点Q在上）于点P，连接，过点P作于点D，作于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【类型六】等腰三角形的动点求t 1．如图，在长方形中，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． (1)当点P在运动的过程中，用含t的代数式表示和的长； (2)①用含t的代数式表示的面积； ②当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； (3)在整个运动过程中（点P与点B、C重合时除外），当点P到长方形的相邻两边的距离相等时，直接写出t的值． 2．综合与探究：在中，，点从点出发以的速度沿线段向点运动． (1)如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形； (3)如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点，都以的速度同时出发． ①设运动时间为，那么当为______时，是等腰三角形？ ②如图4，连接在点，的运动过程中，请证明和的面积始终相等． 3．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，到达点时，停止运动，设运动的时间为秒． (1)当点在上时，求的长；（用的代数式表示） (2)当运动时间为4秒时，求的面积； (3)当点在边上运动时，是否存在一个值，使得是以或为底边的等腰三角形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【类型七】等腰三角形的新定义 1．阅读与思考 下面是创新小组研究性学习的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 研究小组：创新小组 研究对象：和谐四边形 研究思路：由特殊到一般进行研究 定义：若一个四边形的一组对边之和等于另一组对边之和，则称该四边形为和谐四边形． 【特例研究】如图1，根据和谐四边形的定义证明菱形是和谐四边形 证明：设菱形ABCD， ∵菱形的四条边相等，即， ∴，∴菱形是和谐四边形． 【一般研究】如图2，四边形是和谐四边形，，E，F分别是上的点，且，连接． 求证：四边形是和谐四边形． 证明：连接， ∵四边形是和谐四边形，∴， ∵， …… 任务： (1)请阅读上述报告，补全【一般研究】中的证明过程； (2)如图2，连接对角线，试用表示出四边形的面积为______； (3)如图3，请在射线上确定点D使四边形是和谐四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 2．【定义学习】我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 【定义理解】（1）如图，中，，点在边上，请用不带刻度的直尺和圆规作线段，使与是偏等积三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； 【综合应用】（2）四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，； ①如图，判断与是否偏等积三角形，并说明理由； ②如图，已知，的面积为．计划修建一条经过点的笔直的小路，在边上，的延长线经过中点．若小路每米造价元，请计算修建小路的总造价． 3．面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【定义】如果一个三角形的一条角平分线和一条中线互相垂直，则称它们的交点为中垂点，该三角形为中垂三角形，这条角平分线平分的内角为中垂角． 为了更好的研究中垂三角形的一般性质，请利用特殊化策略进行探究． 【特殊图形】 (1)从下列特殊的三角形切入研究，根据定义，是中垂三角形的有________． ①等边三角形；②顶角为的等腰三角形；③三边长分别为4，4，2的等腰三角形． 【一般性质】 (2)勤思组在上述特殊的三角形中探究发现，中垂三角形的边满足特定的数量关系．如图1，在中，平分交于点，为的中线，与交于点，若，则为中垂三角形，此时的边和满足怎样的数量关系？请你写出来并说明理由． 【拓展应用】 (3)如图2，线段的长度为，在射线上取一点，使是以为中垂角的中垂三角形，作平分交于点，中垂点为点，若的面积为3，请你画出符合题意的图形（不限作图工具），在图上标注的长度（用含的式子表示），并直接写出的面积． 【类型八】等腰三角形的分割 1．小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点在上，且，则的度数为_________； 通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； （3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例． 2．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，“那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证：是的一条等腰分割线． (2)如图3，在中，，，，请你用两种不同的方法完成的等腰分割，并在图中标注底角的度数． (3)在中，为的等腰分割线，，，请你直接写出所有可能的度数． 3．如果一个三角形被一条线段分割成两个等腰三角形，那么这种分割叫做等腰分割，这条线段称为这个三角形的等腰分割线．如图1，当和为等腰三角形时，为的等腰分割线． (1)如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E．求证：是的一条等腰分割线． (2)在中，为的等腰分割线， ，，请你画出所有可能的图形并求出的度数． 1．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）一个图书馆的图标设计不仅要美观大方，还要能准确传达图书馆的核心价值和文化内涵．下列图书馆图标是轴对称图形的是（     ） A．成都图书馆 B．重庆图书馆 C．首都图书馆 D．苏州图书馆 2．（25-26八年级下·广东河源·阶段检测）三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图所示的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到A，B，C三个村庄的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三边垂直平分线的交点处 3．（25-26八年级下·海南海口·阶段检测）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点关于轴对称的点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东江门·阶段检测）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接、，以下说法：①，②，③，④中，正确的说法个数是（     ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______． 6．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________． 7．（25-26七年级下·上海闵行·阶段检测）如图，在长方形中，，现将这一长方形纸片沿折叠，若使平行于，则________． 8．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）如图，已知点为四边形中边上一点，请用直尺和圆规作出满足下列条件的直线：（保留作图痕迹，不写作法） (1)作一条直线，使得点关于的对称点为； (2)作一条过点的直线，使得线段关于的对称线段落在上． 9．（25-26九年级下·安徽池州·阶段检测）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，给出了格点（网格线的交点），建立如图所示的平面直角坐标系． (1)画出关于轴对称的； (2)用无刻度直尺作出线段的中垂线（只保留作图痕迹即可）． 10．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）如图，在中，，点在的延长线上，过点作于点，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，求证：． 1．（25-26七年级下·四川成都·期中）如图，在中，，按以下步骤作图：分别以点B和点C为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N作直线交于点D，连接．若，，则的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（） A． B．或 C． D．或 3．（25-26八年级下·山西太原·期中）如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 4．（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，中，，，将折叠，使点B落在点A处，为折痕，在下列结论中，正确的结论有（     ） ①； ②垂直平分； ③是等边三角形； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级下·上海·期中）“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”的逆命题是：___________________________，该逆命题是一个________命题（填“真”或“假”）． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则______． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 8．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 9．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线和边的垂直平分线，两线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的基础上，设边的垂直平分线与边交于点，与边交于点，连接．若，求的度数． 10．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”． 【概念辨析】 (1)用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_____(填序号)； 【问题探究】 (2)如图2，四边形是“邻等对补四边形”，，连结，求证：平分； 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期末）下列由阴影部分组成的图案中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，将长方形纸片沿着折叠，点A，B分别落在，处．如果，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在四边形中，，，，点M，N分别是边，上两个动点，当的周长最小时，的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，是的中线，，则的度数为_______． 6．（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，直线与直线相交于点，过点作于点．若的周长为30，则的长为______． 7．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，第一次折叠，使点与点重合，折痕为（点在上，点在内部），展开，进行第二次折叠，点落在上，使边与边重合，折痕为（点在上）．已知两条折痕交于点，且，那么的度数是________． 8．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G．请判断的形状，并加以证明． 9．（25-26八年级下·甘肃白银·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，连接，，． (1)若的周长为，的周长为，求线段，的长； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，． (1)如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足． 请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B  （ ， ） C  （ ， ） ； (2)如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求； (3)如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $