青海大通县朔山中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测数学试题

大通县朔山中学2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测·数学 参考答案、提示及评分细则 L.DAB+BD+DB=AD+DB-AB.故选D. 2.C点(1,4，一3)关于y轴对称的点的坐标为（一1,4,3）.故选C. 3.A设点P(y,),又A(-5,-2,3),B(1,-4,2),所以B=(x-1,y+4,-2),PA (-5-x,-2-y,3-x),又BP=2PA,所以(x-1,y十4，之-2)=2(-5-x,-2-y,3-z),解得x=-3, y一一号=号，所以点P的坐标是(-3，一号，号)故选A 4B不-六-0mi=含亦+元)号i=号a+b+c放选 5.A由题意可知，若A,B,C,D四点共面，则AD=xAB+yAC,即O市-OA=x(O苑-OA)+y(元-OA), 所以0i=(1-一y0i+0成+0元，0i号0i-0+,所以1-x-y=号x=-,y日， 即号+（一D+合=1，所以1=一合故选A -2=, 6.B因为a∥3，所以存在入，使得n=m,所以y=入，所以y=一2，=一4，所以y一之=一2-(-4)=2.故 之=2A, 选B. 7.A因为p=a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+c,所以a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+c,因为 x+y=1, 23 2 {a,b,c}是空间的一个单位正交基底，所以x一y=2,即 y=一合，所以x十y+:=4故选A =3, x=3, 8.B因为a=(2,A,1),b=(1,-1,-2),所以|a=√2+X+1平=5+灭，1b1= 个+(-)+（一2=6a·6-A,又向量a与b夹角的余弦值为得所以osa,6)=日合 5+X后6，解得A=一5.故选B 9.AC因为正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a,E,F,G,H,I,J分别是棱CD',DA',A'A,AB,BC,CC的 中点，所以E(0,号a),G(a,0,号)，1（号a,0)J(0,a,号）.故选AC 10.ABD对于A,因为b=号[(b十c)十(h-c)],所以b+c,b,b-c共面；对于B,因为a 号[(a十b)十(Q一b)],所以a,a+b,a一b共面：对于C,若a+b,a-b,c共面，则存在实数入4，使得c A(a十b)十u(a一b)=(A十)a十（入一）b,所以a,b,c共面，这与{a,b,c}构成空间的一个基底矛盾，所以 a+b,a一b,c不共面；对于D,因为c=a+b十c-(a十b),所以a+b,a十b+c,c共面.故选ABD. 【高二第一次阶段检测·数学参考答案第1页（共4页）】 27-T-048B 11.ABD若A=4,则B=A(B武+BB)=ABC,所以B成∥BC,又A∈[0,1门，所以点A P在线段BC,上，故A正确：若A十4=1，所以BD=ABC+(1一X)BB1,所以BP BB=A(BC-BB),所以BP=λB,C,所以BP∥BC,又A∈[0,1]，所以点P在 线段B,C上，故B正确：若X=。,取棱BC的中点D,则B萨=B市+BB,所以D市A =uBB,则D∥BB,取棱BC的中点E,连接DE,则点P在线段DE上，连接 3 AD,AE,易证AD,AE均垂直于平面BCCB,当点P在点D,或点P在点E处时，AP⊥BP,故C错误： 若=2，分别取棱BB,CC的中点M,N,连接MN,BN,BE,则点P在线段MN上，因为四边形 BCCB1为正方形，易证BN⊥BE,AE⊥B,N,从而可以证得B1N⊥平面A,BE,从而可得BN⊥A1B,所 以当点P在点N处时，BP⊥AB,故D正确.故选ABD. 12.(0,0,一3)设M(0,0,m),因为M到点A与点B的距离相等，所以√12+0+(m-2)= √2+32+(m-1),解得m=-3,即点M的坐标为(0,0，一3). 13.-9AB=(1,2,0),AC-(0,1,3),AD=(2,1,a),因为A,B,C,D四点共面，所以存在实数x,y,使得 2=x, /x=2, AD=xAB+yAC,所以1=2x+y,解得 y=-3,所以a=-9, a=3y, a=-9, 14.66 6 如图，以A为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,之轴建立空间直角 坐标系，则P(0,0,3),B(2,0,0),D0,2,0),C(2,2,0),M(0,0,2),所以 0(告，号，1)，0亦-(-专，专，-1)，D=0,-2,2,放点0到直线DM的距 A D 离为 市-·离)层(- 15.解：(1)因为b=(2,0,3),c=(0,0,2),所以b+c=(2,0,5),…3分 因为a=(2,-3,1),所以a·(b十c)=2X2+(-3)X0+1X5=9.…7分 (2)因为a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2), 所以a+6b-8C=(2,-3,1)+6(2,0,3)-8(0,0,2)=(2,-3,1)+(12,0,18)-(0,0,16)=(14,一3,3). …13分 16.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体ABCD-A,BCD的棱长为2，E,F分别为DD1,BC的中点， 所以A(2,0,0),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(0,0,1),F(1,2,1),…2分 所以AF=(-1,2,1),B2=(-2,-2,1). 4分 E 设直线AF和BE所成角为0， 则os0=1cosA,B弦1=，1A方·B 16 |AF|·|BE6×3181 即直线AF和BE所成角的余弦值为， …7分 (2)由(1)知A=(-1,2,1),B2=(-2,-2,1),BC=(-2,0,2), 【高二第一次阶段检测·数学参考答案第2页（共4页）】 27-T-048B n·B=0, |-2x-2y十之=0， 设n=(x,y,≈)是平面BC1E的法向量，则 即 In .BC =0, -2x+22=0, 令=1，则y=-2=1,所以n=(1,-名，1)是平面CE的一个法向量，… 11分 设点A到平面BCE的距离为d,则d= n 4 即点A到平面BC,E的距离为子 15分 17.1)解：以AB,AD,A}为一个基底，由题意知1A=|AD1=2,AA1=3,A店.A市=2×2×号=2， i.A=iA=2X3×=3,… 3分 又Aò-A-A=2AB+2A市-A 4分 所以A,ò：=(2A+号Aò-AA) =A亦+A亦+AA+AB·AD-A成·AA-Aò：AA =4×4+×4+9+号×2-3-3=6， 7分 所以A,O=|AO1=6. 8分 (2)证明：由(1)知A0=号AB+2AD-AA, 在菱形ABCD中，BD-AD-AB,… 10分 所以Aò.励=(2A+A市-AA)·(A市-A访) =A:A市+A市-AA.AD-A亦-A市：AB+AA·A店 =7×2+号×4-3-7×4-号×2+3=0，… 14分 所以Aδ⊥BD,即A,OLBD.… 15分 18.(1)证明：因为D,E分别为PA,AB的中点， 所以DE∥PB. 3分 因为DE吐平面PBC,PBC平面PBC, 所以DE∥平面PBC. a.sS. 6分 (2)解：因为AB=AC=2,BC=2√2， 所以AB2+AC=BC,即AB⊥AC… 8分 因为PA⊥平面ABC,AB,ACC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,故以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， A 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP-(0,-2,2),CB=(2,-2,0).…10分 设平面PBC的法向量n=(x,y,2), 【高二第一次阶段检测·数学参考答案第3页（共4页）】 27-T-048B （n·CP=0,1-2y+2x=0, 则 即 不妨设x=1,则y=1,x=1,所以n=(1,1,1). …13分 n·CB=0,2x-2y=0, 设直线PA与平面PBC所成角为0，则sn0-=|(cosA市，ml=2:n=,2=E |A21n2X53' 所以直线PA与平面PBC所成角的正弦值为5 ……小 31 17分 19.(1)证明：因为△PAB是等边三角形，E是AB的中点，所以PE⊥AB,…1分 又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PEC平面PAB,所以PE⊥平面ABCD. 3分 又ACC平面ABCD,所以PELAC.……4分 连接BD,由E,F分别是AB,AD的中点，得EF∥BD,在正方形ABCD中，AC⊥BD,所以AC⊥EF, 5分 又PE∩EF=E,PE,EFC平面PEF,所以AC⊥平面PEF.… …7分 (2)解：取CD的中点为H,连接EH, 在正方形ABCD中，E,H分别是AB,CD的中点，所以EH⊥AB, 由PE⊥平面ABCD,EHC平面ABCD,所以PE⊥EH, 又PE⊥AB,所以AB,PE,EH两两垂直，以E为原点，EB,EH,EP所在直 线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以 A5 A(-2,0,0),C(2,4,0),D(-2,4,0),P(0,0,25).……9分 由PG=3Gd,得(66,6-2/3)=3(-2-G,4-36,一2G),所以6= -号%=89，即G(-子，) ……11分 m·AC=0, A心-(4,4,0)，花=（分，3，），设平面ACG的法向量为m=(xy,),则 所以 m·AG=0, 4x+4y=0, 令=1，则y=-1=55,即m=(1,-1,5)是平面ACG的-个法向量。 3 13分 市=(-40,0)，=（冬-1，号） (n.CD=0, 设平面CDG的法向量为n=(a,b,c),则 所以 ln.CG=0, 4a=0, 7a-6士号。三0令c-2,则a=0,b3,即”=03,2)是平面CDG的一个法向量.…15分 7 75 设平面ACG与平面CDG的夹角为0，则cos0=|cos(m,n1=mm 3 /217 m n 3×7 37, 3 即平面ACG与平面CG夹角的余孩值为平。 …17分 【高二第一次阶段检测·数学参考答案第4页（共4页）】 27-T-048B大通县朔山中学2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡 上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上 各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.化简：AB+BD+DB= A.DA B.BA C.AD D.AB, 2.在空间直角坐标系Oxyx中，点(1,4，一3)关于y轴对称的点的坐标为 A.(1,-4,-3) B.(1,-4,3) C.(-1,4,3) D.(-1,-4,3) 3.已知点A(-5,-2,3),B(1,-4,2),点P满足BP-2PA,则点P的坐标是 A(-3.-) B(-1.-9) C.(7,-6,1)》 D.(-11,0,4)》 4.如图，空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M在OA上，且OM=2MA,点N为 BC的中点，则MN= 3 B-号a++e C.2a+2b- 1 D号a+号 3 2℃ 5.已知A,B,C,D为空间中四点，0为坐标原点，若Oi-号Oi-40店+号O心且A,B,C,D四 点共面，则t= A.- 6 c号 【高二第一次阶段检测·数学第1页（共4页）】 27-T-048B 6.已知平面a的一个法向量m=(1,1,2),平面3的一个法向量n=(-2,y,z),若a∥3，则y一= A.5 B.2 C.-2 D.-6 7.{a,b,c}是空间的一个单位正交基底，向量p=a十2b十3c,{a十b,a一b,c}是空间的另一个基 底，用基底{a十b,a一b,c}表示向量p,得p=x(a十b)十y(a一b)十c,则x十y+之= A.4 B.2 C.-2 D.-4 8已知向量a=（21,b=（1,-1.-2),且向量a与b夹角的余弦值为停，则入的值为 A.-5 B.-√5 C.5 D.-5或5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.如图，正方体OABC-D'A'B'C的棱长为a,E,F,G,H,I,J分别 是棱CD',D'A',A'A,AB,BC,CC的中点，则下列点的坐标正确 的是 A.E(0,号，a） BG(号0，号 c(受a,0） D.J(0,受号) 10.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是 A.b+c;b,b-c B.a;a+b;a-b C.a+b;a-b;c D.a+b;a+b+c,c 11.如图，在正三棱柱ABC-A,B1C中，AB=AA,空间一点P满足BP=入BC+4BB,A∈ [0,1]∈[0,1]，则 A.若=，则点P在线段BC1上 B.若入十=1，则点P在线段BC上 C若入=，则不存在点P,使得APLBP D.若=号，则存在点P,使得BPLAB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知点M是≈轴上一点，且M到点A(1,0,2)与点B(1,一3,1)的距离相等，则点M的坐 标为 13.已知A(0,0,0),B(1,2,0),C(0,1,3),D(2,1,a)四点共面，则实数a= 14.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方 形，0为△PBC的重心，PM=号Pi,且PA=3,AB=2,则点O到直线 DM的距离为 【高二第一次阶段检测·数学第2页（共4页）】 27-T-048B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2).求： (1)a·(b+c); (2)a+6b-8c. 16.(本小题满分15分)》 如图，正方体ABCD-A,BCD的棱长为2，E,F分别为DD1,BC的中点. (1)求直线AF和BE所成角的余弦值： (2)求点A到平面BC1E的距离. B E D 17.(本小题满分15分) 如图，在四棱柱ABCD-A,B,CD,中，∠BAD=∠BAA-∠DAA=,四边形ABCD是 边长为2的菱形，AA,=3,O为AC与BD的交点. (1)求A,O的长： D C (2)证明：OA,⊥BD. A B D 【高二第一次阶段检测·数学第3页（共4页）】 27-T-048B 18.(本小题满分17分)》 如图，在四面体P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=AC=2,D,E分别为PA,AB的 中点 (1)求证：DE∥平面PBC: (2)若BC=2√2，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 19.(本小题满分17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，E,F分别是AB,AD的中 点，△PAB是等边三角形，且平面PAB⊥平面ABCD (1)求证：AC⊥平面PEF; (2)若PG=3GD,求平面ACG与平面CDG夹角的余弦值. ! A E B 【高二第一次阶段检测·数学第4页（共4页）】 27-T-048B大通县朔山中学2026~2027学年度第一学期高二年级第一次阶段检测 数学答题卡 条形码粘贴处 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、准考 准 考 证 夕 注 证号填写清楚。 2.选择题使用2B铅笔填涂：如需改动，用橡皮擦干 意 净后，再选择其他答案标号：非选择题使用黑色 事 碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序 [0] [0][0] [0][0][0][0][0] [0 在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 项 [1 [1][1] [1][1][1[1J 的答案无效：在草稿纸、试卷上答题无效 [2 [2][2][2][2 1[ [2 3.保持卡面清洁，不折叠、不破损 [3] [3][3][3][3] 3 0 123 「4 [4][4 「47 [ 填 正确填涂：■ [5 [5] [51 [5 [5 [5 ] 错误填涂：白这的☐p口 [6 [6] [6 [6] 6 [6 范 [7] [7 [7 [7 缺考 ◇ [7 例 ■ 8 [8][8][8] [8][8 (8 标记 9 [91[9][9][9][9][9] [9 [9 选择题（请用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 6CA][B][C][D] 11[A[B][c][D] 2[A][B][C][D] 7 CA][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A]LB][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 非选择题（请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写） 12.(5分) 13.(5分)】 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 15.(本小题满分13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二第一次阶段检测·数学第1页（共2页）27-T-048B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(本小题满分15分) 0 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(本小题满分15分) D D 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(本小题满分17分) A R 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 高二第一次阶段检测·数学第2页（共2页）27-T-048B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(本小题满分17分) : e B 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效！