河南郑州市第二高级中学2026-2027学年高三上学期10月份供题数学试题

高三数学10月份供题 一、单选题(每题5分,共40分) 1.函数f(x)=V2x-4的定义域为() A.[0,+o) B.[2,+o) c.[0,2] D.(-0,2] 2.已知集合A={x-2<x<,B={xx=x,则AnB=() A.{0 B.{ -1,0 C.0,1} D.{-1,0,1} 3.已知a,b是模长均为1的平面向量,且a-=V2,则ab=() A.-1 B.-V2 c.0 D.2 4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S=35,S。=120,则a=() A.13 B.17 C.15 D.19 5.曲线y=nx-3x2+3在点(1,0)处的切线方程为() A.y=-6x+6 B.y=-5x+5 C.y=6x-6 D.y=5x-5 6.如图,点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,OC=(0,0,2),平面ABC的法向量为 n=(2,1,2),设二面角C-AB-0的大小为0,则cos0=() ZA B A.- 3 B.5 3 c 号 7.已知圆C:x2+y2-4x-5=0,过点P(3,-2)作直线I与圆C相交于点M、N.当MW最小时, MNC 的面积为() A.5 B.2√5 C.35 D.4V5 8.已知函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为() 试卷第1页(共4页) -2-1012x A.f(x)=e-Inx B.f)=4sinx-丙 c.f()=4cosr-因 1 D.f(x)=x-In x 二、多选题(每题6分,共18分,每道题有两个及以上的正确答案,错选多选不得分,少选得部分分) 9.已知复数z=2,则() A.= 2 B.z+z=1 C.z2>0 0.+0 10.下列结论正确的是() A.随机交量X服从二项分布3》: Y=2X+1,则D(Y)=3 B.相关系数r的绝对值越小,两个变量之间的线性相关性越弱 C.在线性回归分析中,若值越小则模型的拟合效果越好 D.随机变量X服从正态分布N),且P2<X<)=a,则P(K>8)=a 11.中国结是一种手工编织工艺品,因为其外观对称精致,符合中国传统装饰的习俗和审美观念,故命名 为中国结.中国结有着复杂曼妙的曲线,我们可以将其简化成单纯的二维线条,其中的八字结对应着数学曲 线中的双纽线,如图,曲线C:(x2+y2=9(x2-y2)是双纽线,则下列结论正确的是() A.曲线C的图象关于原点对称 B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点) C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D.若直线y=x与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-o,-U1,+∞) 试卷第2页(共4页) 三、填空题(每题5分,共15分) 12.已知等比数列{an}的公比q>0,42=4,a4=16,则其前5项和S=一 13.已知球O的体积与表面积相等,点P,A,B,C,D均在球O的表面上.四边形ABCD为正方形 且PA=PB=PC=PD.若PA与平面ABCD所成角的正切值为√5,则正方形ABCD的面积为 14.已函数闭-e-c二.正数a,6满足/o)+f-)=0,则的最小值为 四、解答题(77分) 15.(13分)已知数列{an}满足41=3,an1=2an-2. (1)证明:数列{an-2}是等比数列;(6分) (2)求数列{an}的前n项和Sn(7分) 16.(15分)如图1,梯形ABCD,中,AB和CD是梯形的高,A4=AB=1,BC=2,DD=√5,将 ABA 和 DCD沿AB和CD折起,使A,和D重合于点P,如图2. 0 D M 图1 图2 (1)求证:PA⊥平面ABCD;(5分) (2)M是BC上的动点,连接AM,PM,作AH⊥PM于H,连接CH. ①若M是BC中点,求平面AHC与平面PAD夹角的余弦值;(5分) ②当CH最短时,求BM的长.(5分) 17.(15分)从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查,发现他们的用电量都在50350kW.h之间, 进行适当分组后(除了最后一组是闭区间,其余每组为左闭右开区间),得到如下频率分布直方图。 频率/组距 0.0060 0.0036 0.0024 0.0012 050100150200250300350月用电量/kW-h) 试卷第3页(共4页) (1)求直方图中x的值;(4分) (2)估计该小区用户月用电量的中位数;(4分) (3)用频率估计概率,假设各户月用电量是否小于150kW.h相互独立,从该小区随机抽取10户居民用户, X表示月用电量小于150kW.h的户数,求E(X).(7分) 18.(17分)已知椭圆C: 若+)广=1@>)的离心率为.过右焦点6o)的直线交椭圆于A.B两点. 交y轴于点P. (1)求椭圆C的标准方程;(6分) (2)设PA=1AF,PB=元BF,求+元2的值.(11分) 19.(17分将函数y=5smx-}sm5x-)图象向左平移号个单位长度得到f()图象。 3 (1)求曲线y=f(x)在点 年到) 处的切线方程;(4分) 2)求函数y=f 在0 上的最大值;(5分) 包设0≤x≤1,求证:血平产平28分别 试卷第4页(共4页) 《高三数学10月份供题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B B A AD ABD 题号 11 答案 ACD 1.B 【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解即可. 【详解】由题意得:2x-4≥0,解得x≥2, 所以函数f(x)=V2x-4的定义域为[2,+o): 2.B 【分析】先解方程求出集合B的全部元素,再利用交集的运算法则计算求解. 【详解】x3=x,则x(x-1)(x+1)=0,解得x=-1,0,1,即B={-1,0,1}, AB={-1,0}. 3.C 【详解】由a-=v2-2ab+b2=V2,即-2a-6+1=2,可得a.6=0. 4.B 5(a+a-5a,=35 【详解】由 2 a=7 得 S0= 0(a+ao】-5(a,+a,)=120 (%=17 5.B 【分析】求出函数的导函数,利用导数的几何意义可得答案 【详解】函数y=hx-3x2+3的导数为y=1-6x, 则曲线y=nx-3x2+3在点(L,0)处的切线的斜率k=yL1=1-6=-5 所以切线方程为y=-5(x-1),即y=-5x+5. 6.C 【详解】由题意可知点A,B,C分别在空间直角坐标系O-xz的三条坐标轴上,OC=(0,0,2), 所以OC为平面ABO的一个法向量, 因为平面ABC的法向量为i=(2,1,2) 设二面角C-AB-O的大小为0,0为锐角 答案第1页(共11页) 则cos0= 0C.n42 0Ci2 33 7.B 【分析】作出图形,分析可知当PC⊥MN时,即当P为MN的中点时,圆心C到直线MN的距离取最大值, 利用勾股定理求出MW的值,再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9,圆心为C(2,0),半径为r=3,如下图所示: 由平面内两点间的距离公式可得PC=V3-2)2+(-2-0=V5, 设点C到直线MN的距离为d,则d≤PC,当且仅当PC⊥MN时,即当P为MN的中点时,等号成立, 故d的最大值为PC=V5,此时MW=2Wr2-d取最小值,且最小值为2√32-5=4, 此时 NC的面积为Sae-MNd=之x4x5=25. 8.A 【分析】由图象可知,f(x)为偶函数,并且当x 0时,f(x) +o,还可看出f()>2,即可选出选项. 【详解】由图象得函数f(x)的定义域为(-o,0)U(0,+o),且图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数, 当x 0时,f(x) +o. 在选项BC中,当x 0时,f(x) -0,故排除BC, 在选项D中,f(I)=1,排除D,故只有选项A满足图象. 9.AD 【详解)z=11-1 2i22 对FA ,故A正确: 对于8三=片,则+=-1,放B错误: 对于C.-(分}+-.闪虚数不能比较大小,故c结误: 答案第2页(共11页) +1_1-1_1+=0,故D正确。 对于D,z2+z+。=。i "22222 10.ABD 【详解】对于A.D)=4D0=4x3 X-》=3,A正确」 对于B,相关系数r的绝对值越小,两个变量之间的线性相关性越弱,B正确; 对于C,在线性回归分析中,若R值越大则模型的拟合效果越好,C错误: 对于D,正态曲线关于直线x=5对称,所以P(2<X<5)=P(5<X<8)=a, 又P(X>5)=7所以P(X>8)=P(X>)-P6<X<8)=2a,D正确 11.ACD 【分析】将(-x,一y)代入曲线中证明关于原点对称判断A,先求出部分整点,再判断不存在其他整点求解B, 结合给定条件并利用放缩法得到x+y≤9,再设出曲线上的点到原点的距离,解不等式得到d≤3判断C, 先找到特殊交点,再转化为方程有解问题,建立不等式判断D即可. 【详解】对于A,把x-y)代入(x2+y2)=9(x2-y2)中, 得到(2+(y)》2)=9仁x)2-( y)2) 故(x2+y2=9(x2-y),所以曲线C的图象关于原点对称,故A正确。 对于B,令y=0,得到(x2)=9(x)) 解得x=0或x= 3,即曲线经过(0,0),(3,0),(-3,0) 由图可得-3≤x≤3,令x= 1,得到(+y2=91-y) 解得y=-1+37,而37-=53<169=13. 2 故-1+37<-11+13=2.故1+37<2=1. 2 2 令x= 2,得到(4+y2)=9(4-y2) 解得y=-17+3④,而34=569>36=19 2 故-17+341>-17+19=2,得到-17+3④>1, 2 而3V41=V369<V441=21,故-17+3V41<-17+21=4, 得到17+3④<4-2.故1<17+3④<2, 2 2 2 则曲线C只能经过3个整点,故B错误, 对于C,由题意得(x2+y2=9(x2-y2),x2+y2>0, 答案第3页(共11页) 故2+y9-),面-y≤,得到-y+≤+2. x2+y2 故-g+)-g.即+y≤9. x2+y2 x2+y2 设曲线C上任意一点到坐标原点O的距离为d, 由两点间距离公式得d=√x+y2, 而x2+y2≤9,解得Vx2+y2≤3,即d≤3, 则曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3,故C正确, 对于D,由题意得直线y=x与曲线(x2+y2=9(x2-y2)一定有公共点(0,0), 联立方程组 (r+y=(r-y),得到x+k2}=9x-) y=kax 若直线y=c与曲线C只有一个交点,则方程除x=0外无解, 而x4(1+k2>0,9x2>0,则1-k2≤0即可, 解得k∈(-o,-U[,+o),故D正确。 故选:ACD 12.62 【详解】:等比数列{an}公比9>0,a2=4,a4=16, :g2=-16=4,解得q=2. 434 42=a9=4, 44=2 92 :8=2 0-22-=62. 1-2 13.10 【分析】先根据已知条件求出球O的半径,然后分析几何结构,建立参数关系,然后利用外接球性质列方 程求解,最后即可求出正方形的面积 【详解】设球O的半径为R,因为球O的体积与表面积相等, 所以R=4R.解得R=3 设正方形ABCD的中心为O,由PA=PB=PC=PD可知, PO⊥平面ABCD,球心O在直线PO上. 答案第4页(共11页) 设正方形ABCD的边长为a,则正方形对角线长为V2a,因此OA=V2a 2 PA与平面ABCD所成角为∠PAO,由题意tan∠PAO=V5. 在cm0中,m02-5,代人a4-得m=59- 点A球0表面,故01=R=3,在Rs00,A中,O0=1P0-P0=M00- 2 山限定聘o心+af=a,人到四j空-9 化简得3a2-3V10a=0. 由于a>0,所以a=10. 所以正方形ABCD的面积为a2=(V1O=10. D A B 14.9 【详解】f(x)=e-e,定义域为R, f(-x)=e-e=-(e-e)=-f(x),故f(x)是奇函数, f'(x)=e+e>0,所以f(x)在R单调递增, 由f(a)+f(4b-1)=0,得 f(a=-f(4b-1)=f(1-4b), 因为f(x)单调递增,所以a=1-4b,即a+4b=1, 由题意得,a>0,b>0,+仁+a+4物=1+b+9+4=5+4+ a b a b) a b a b 46a之2,4他a=4,当且仅当。6,即a=26时取等号 a b a b (a+46=1'解得a=J a=2b 1 b=6,满足a>0,6>0, 故+之3+6=9,即上+最小值为9. a b a b 15.(1)证明:因为an1=2an-2, 答案第5页(共11页) 所以an+1-2=2(an-2), 即12=2. a,-2 当n=1时,4-2=1, 所以{an-2}是以1为首项,以2为公比的等比数列. (2)Sn=2”-1+2n 【详解】(1)略. (2)由(1)得:an-2=1 2=2, 所以an=2+2, -2)+2n=2-1+2m 所以Sn= 1-2 16.(1)由折叠性质可知,PA=AA=1,且原梯形中AB⊥AA,故折叠后AB⊥PA; AB,CD是梯形的高,因此ABCD为矩形,得AD=BC=2,且PD=DD=V5, 在 PAD中,PA+AD2=12+22=5=(N5)2=PD2,由勾股定理逆定理得PA⊥AD, 又ABOAD=A,且AB,ADC平面ABCD,根据线面垂直判定定理,可得PA⊥平面ABCD; 2042当(聚题时.Bm-可3 4 【分析】(1)由折叠性质直接得到AB⊥PA,用勾股定理逆定理证明PA⊥AD,由线面垂直判定定理,通 过两条相交直线证得结论;(2)①建立空间直角坐标系,利用垂直条件求出垂足H的坐标,分别确定两个 平面的法向量,用空间向量夹角公式计算二面角的余弦值; ②设BM为参数m,用m表示H点坐标,将CH长度转化为关于m的函数,通过求导找函数最小值点,得 到BM的长度. 【详解】(1)略 (2)①以A为原点,分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0) C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1), 由M是BC中点,得M(1,1,0), 设Pi=tPM,则H(4,4,1-),AH=(,,1-,PM=((L,1,-1) 由Ah1PM得 -pM=0.即t+t-1-0=0一t=京因taG引 答案第6页(共11页) 平面PAD的一个法向量是%=(1,0,0), 1.1 2 112 设平面AC的法向鼓为%=(c小,由=(33引 AC=(,2,0),得3 3E+3y+22-0,令x=4, 3 x+2y=0 解得n2=((4,-2,-1), 设平面AHC与平面PAD夹角为O,则cos0= mn442 H2V2121, 所以若M是BC中点,平面AHC与平面PAD夹角的余弦值是42I 21 ZA M ②设BM=m(0≤m≤2),则M(1,m,O),设Pi=tPM,则H(t,mt,1-t) m2+2,因此H 由AH⊥PM得1+m1-(1-)=0,解得t=,1 1mm2+1 m2+2'm2+2'm2+2 C(1,2,0),则CH2可化简为CH=6m-4m+9 m2+2 令fm)-6m-4m+9,∫m)=4r+68,令m))=0,即2m+3m-4=0,解得正根 m2+2 (m2+2)2 m=④-3∈0,2] 4 wf画 单调递减, 首3r0. 432 √41-3 单调递增, 所以m=4-3为极小值点即最小值点,故当CH最短时,BM=4-3 4 4 17.(1)x=0.0044 (2)0 3 (3)3 【分析】(1)利用频率分布直方图的性质建立方程,求解参数值即可. (2)判断出样本数据的中位数落在哪个区间内,进而根据中位数的求解方法列式,即可求得答案. 答案第7页(共11页) (3)先根据用电量小于150kWh的频率估计概率,确定随机变量X服从二项分布,并利用二项分布的数 学期望公式进行求解 【详解】(1)由图可得组距为50,根据频率和为1, 得50 (0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1, 解得x=0.0044. (2)由图可得第一组[50,100)的频率为50 0.0024=0.12, 第二组[100,150)的频率为50 0.0036=0.18, 第三组150,200)的频率为50 0.0060=0.30, 因为前两组的累计频率为0.12+0.18=0.3, 前三组的累计频率为0.12+0.18+0.30=0.6, 所以中位数位于第三组150,200)内, 设中位数为m,则0.3+(m-150) 0.0060=0.5, 解得m=550 3 (3)用电量小于150kWh的频率为0.12+0.18=0.3, 所以用频率估计概率,从该小区随机抽取1户居民用户, 其用电量小于150kW.h的概率p=0.3, 从该小区抽取10户居民用户,设X表示用电量小于150kW h的户数, 则X服从二项分布B(10,0.3), 则E(X)=10 0.3=3. 180号- (2)-4 【分析】(1)根据条件列方程组求解; (2)设直线I的方程为y=k(x-),根据向量的坐标运算以及韦达定理化简 【详解1(1)依题意可得e=S-2.=Lc=d-,解得a=V2,6=lc=1. a 2 所以椭圆C的标准方程为号+y=1. 2 (2)由(1)可得椭圆C的右焦点F(1,0), 由题意知直线1的斜率存在,则设直线l的方程为y=k(x-1), 答案第8页(共11页) Ax,),B(x2,2)(x≠1,x2≠1),P(0), 系含经r 1,得1+2k2)x2-4kx+22-2=0,A=164-4+2k2(2k2-2>0, y=k(x-1 4k2 2k2-2 +x1+2西-1+2, 又PA=(x,y-%),PB=(x,5-%),AF=(1-x,-),BF=(1-x,-y), PA=AF,PB=4 BF, 则(x,y-%)=(1-,-y),(x2-)=3(1-x,-2), 名名产 4。- 4k22(2k2-2) =1+2k21+2k2 1-,4k212k2-2 =-4. 1+2k2+1+2k2 A F B P 19.(1)y=52x-52 +3√2 4 (2)3V3 =x中1因为0≤x1.所以s1s1,=1 (3)证明:令1=1 则 1-11-4-2 +2+2i41411. t t 所以如产2等价于加之名 令g0=nx,子+1.1s1,则g0=xams+6品 t+1 t+12 .2 因为当)1≤1时,)=c0s你单调递减.中单调递减, 答案第9页(共11页) 所以当)≤1≤1时,8O)= c0sm+2 (1+1)P单调递减。 时g 7-9>0.g0=xs+2- 870 1+2<0, 所以头,5别 使得g()=0, 当1∈2凸]时,g0>0,g0单调递增:当1,)时。g)<0,8)单调避减。 -号。&0=nx品+1=0, 2 所以8(0)m=g()=0, 所以当兮1s1时,g00,用m2,1 故当0≤x≤1时,sin元,≥x x+1x+2 【分析】(1)根据导数的几何意义,结合基本初等函数的导数及简单复合函数的导数求解即可. (2)根据导数与单调性及最值的关系求解即可. 将如之x2转化为血红之石1,将造函数间=血m名1.11,酸 (3)令1=1 t+1 t+1 据导数与单调性及最值的关系证明即可. 【详解11)由整应知-5(+子}m5气+}到 =5sinx-sin5x f(x)=5cosx-5cos5x. x日-5gm9(}35。 r[-sas子引-59-59}sv5 所以面线y=e在点?(任》处的切线方程为y-35=52(x-到 整理得y=5N2x-5n+3N2. 4 (2)令f'(x)=0,即cosx-cos5x=0,所以cosx=cos5x, 所以x+5x=2km或5x=x+2km,keZ. 答案第10页(共11页) 所以x=0或r=育或x=号 当x0写到引时.f>0.f)单润港地:当xe引时.fk0.f@)单调道减 所以当x引时,fy在x处取得最大堂。 为-)=m5m引5(}=35 故函数y=f(倒在0 上的最大值为35 (3)略 答案第11页(共11页)