精品解析：河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

新蔡一高2026-2027学年上学期10月份半月考 高三数学试题（理科） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，若，则的取值是（ ） A. 或0 B. 或0 C. 0或2 D. 或2 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或，解得或或， 当时，，，满足要求； 当时，，，满足要求； 当时，，与元素互异性矛盾，不满足要求； 综上，的取值为0或2. 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据给定的复数等式求解出复数，再利用复数模的计算公式计算的值即可. 【详解】由可知，且. 展开得，化简得. 则， . 3. “”是“命题，为假命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题与存在命题之间的关系、一元二次不等式的性质，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】因为命题，为假命题， 所以该命题的否定为真命题，即，为真命题， 当时，，该命题为真命题； 当时，则有，所以， 显然当能推出，但是由不一定能推出， 所以“”是“命题，为假命题”的充分不必要条件. 4. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 5. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 【答案】C 【解析】 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 6. 在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】取的中点M，连接BM，则，所以， 显然时，取最小值， 在中，则， 所以，此时， 由对称性可知或时，取最大值，为， 所以，即的取值范围是. 7. 曲线（其中）在处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或0 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】由切线方程得与；按、分类去掉绝对值写出，分别与联立解出，两种情形均得. 【详解】由题得， 若，当时，，， 所以，所以，； 若，当时，，， 所以，所以，. 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将“函数图像绕原点逆时针旋转后仍为函数图像”的几何条件转化为代数条件：原函数与任意斜率为的直线至多有一个交点，进一步转化为构造的函数至多一个零点，即在上单调，由此得到导数恒成立的约束，再通过参变分离求函数最值即可求解的取值范围. 【详解】函数图象绕原点逆时针旋转后仍为函数图象，根据函数定义可知，旋转后任意垂直于轴的直线与曲线至多有1个交点. 将该条件等价转化为：原函数的图象上任意两点连线的倾斜角不能等于， 即对任意实数，直线与的图象至多有1个交点. 令，则上述条件等价于在上至多有1个零点. 若同时存在增区间和减区间，则必然存在极值， 当取值合适时会出现2个及以上零点，因此需在上单调. ， 若，则当时，，当时，，若能使恒成立，则满足要求； 若，则当时，，当时，，不可能单调. 综上，只能单调递增，即对任意恒成立. ，即恒成立. ∵ ，参变分离得 ，对任意恒成立，只需. 令，. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ∴ 在处取得最大值，. ∴ ，即的取值范围为，故选C. 【点睛】方法归纳：涉及函数图像旋转后仍为函数图像的问题，核心是利用函数的定义（一个自变量对应唯一函数值），将旋转条件转化为原函数切线斜率的取值范围约束，再通过导数、参变分离、函数最值求解参数范围. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每个小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象可确定，判断A的真假；利用可验证B的真假；利用函数的平移变换结合诱导公式，可判断C的真假；利用换元法，结合函数图象可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】由题意：，， 又，所以，，故A错误； 对B：因为，所以，所以函数的图象关于点对称，故B正确； 对C：将函数的图象向左平移个单位长度，可得： ，故C正确； 对D：，当时，. 设，，若要在上有两个不相等的实数根， 由下图可知： ，故D错误. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集为 B. 当时， C. 有且只有两个零点 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数的奇偶性求解可判断B；利用B中的结论及已知条件解不等式可判断A；由函数的解析式及奇函数的性质求出零点可判断C；利用导数研究函数的最值可判断D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以， 当时，，则，故B正确； 当时，，由即，解得； 当时，，由即，解得， 所以的解集为，故A正确； 当时，由，解得； 因为是定义在上的奇函数，所以； 当时，由，解得， 故有且只有三个零点，故C错误； 当时，，， 故在上单调递增，所以，， 则，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AB 【解析】 【分析】对A，直接利用不等式求最值；对B，由三角换元，转化为辅助角公式求的最小值；对C，先用基本不等式放缩，再检验等号成立条件进行判断；对D，分与分别验证其是否满足最小值. 【详解】对于A：因为，所以，当且仅当时取等号，A正确； 对于B：令，则，B正确； 对于C：， 当且仅当时取等号，此时即无解，所以取等条件不成立， 所以，C错误； 对于D：当时， ，当且仅当时取等号， 当时，比如，此时，，D错误. 三、填空题（本题共3小题，每个小题5分，共15分．） 12. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】 将两边平方化简后可得，于是推出，从而得解． 【详解】解：，，即， 与的夹角为． 故答案为：． 13. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】把 看作整体，由 的范围写出相位 的范围（开区间）； 在该区间内无零点，等价于相位开区间完整落在相邻两零点 与 之间（端点可以重合），据此建立 的不等式组，再对整数 分类讨论. 【详解】因为 ，，所以 ，且该区间为开区间. 在 内无零点， 等价于开区间 内不含 （），即存在整数 ，使得 且 . 由不等式组解得 . 该不等式组有解，需 ，解得 . 又 ：当 时，； 当 时，，结合 得 （此时相位范围为 ，右端点处的零点取不到，故 满足题意）； 当 时，，与 矛盾. 综上， 的取值范围是 . 14. 已知函数有两个极值点，，且，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】极值点处导数值等于零，将去掉绝对值后求解. 【详解】，由题知， 不妨设，则或时,时, 则是极大值点，是极小值点，，，， 因为，所以， 若，则，舍去； 若，则， 即， 又，所以， 解得. 四、解答题（共5个题，共77分） 15. 已知中角所对的边分别为，满足，且 （1）求的值； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角形三个角的关系及正弦定理化简，解得，利用余弦定理化简求得； （2）由正弦定理化简，由三角函数的性质求得其最大值. 【小问1详解】 因为在中，， 所以由，得， 于是由正弦定理得， 所以， 因为，则， 所以，，所以， 所以，. 于是由，得， 再由正弦定理、余弦定理得， 化简得. 【小问2详解】 由正弦定理可得, ， 其中锐角满足，， 所以当，，即，时， 所以取得最大值为． 16. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列 的公差为 ，根据“吉祥数列”的定义，利用 为常数建立关于 的恒等式，求出 ，进而得到 ；再由 判断 为等比数列，结合首两项求其通项公式． （2）由 ，将 的前 项和拆成等差数列 与等比数列 的前 项和，分别求和后相加即可． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，．因为， 则， 整理得， 因为对任意上式均成立， 所以解得， 所以数列的通项公式为． 因为，又， 所以数列是首项为，公比为2的等比数列． 所以． 【小问2详解】 由（1）知． 因为，数列的前项和为， 所以 ． 所以数列的前项和． 17. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）（ⅰ）； （ⅱ）此时在上有唯一零点．在上单调递增， 故当时，，即； 当时，，即， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点. 方法一：由上分析，，又，故； 方法二：因为，由，得， 则， 令，则（）， 所以在上递减， 所以，即，所以. 【解析】 【分析】（1）先求出函数的定义域，再求导后讨论导数的正负即可； （2）（ⅰ）将问题转化为导函数的变号零点，结合零点存在定理即可求解；（ⅱ）方法一：由（ⅰ）可知是的极小值点，则，结合即可证明；方法二：由（ⅰ）可知，然后构造函数，结合函数的单调性可证得结论. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 当时，， 当时，，则在上单调递减， 当时，由，解得；由，解得． 即在上单调递增，上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得，所以的定义域为， 在上有极值点等价于在上有变号零点． 令，即在上有变号零点． 当时，显然在区间上恒成立，无变号零点，不满足题意； 当时，在区间上恒成立. 所以在上单调递增. 令，解得. （ⅱ）略 18. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 【答案】（1） 设，则， 所以， 因为，所以，所以， 所以是一个“乘法封闭集”. （2），或. （3） 【解析】 【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可； （2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可； （3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 根据题意，中恰有2个元素，不妨设， 由“乘法封闭集”的定义可知，， 由，得或，即或，所以，或， 若令，则，所以，解得（舍去），此时； 若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或. 综上，，或. 【小问3详解】 因为是集合的一个“完美元素”， 所以， 所以，且不同时为0， ， 因为，所以，或. 假设，则，即为7的倍数， 设，若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数； 若，则，不是7的倍数， 假设不成立，所以，所以. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若，，求实数a的取值范围； （3）若当时，，求实数a的取值范围． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解极值； （2）设，，转化问题为利用导数分析的单调性，进而求解即可； （3）由当时，不等式成立得到，再验证其满足题意即可求解. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 而，令，可得． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以当时，取得极大值，且极大值为，无极小值. 【小问2详解】 ，，即，． 设，，只需． 而，令，可得． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 所以，所以，即， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 因为当时，，所以当时，成立， 即成立，则． 下证：时，且时，. 当时，有，所以． 记，，则． 记，，则． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 而，所以． 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增． 而，所以， 即当时，． 综上所述，实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新蔡一高2026-2027学年上学期10月份半月考 高三数学试题（理科） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题四个选项中，只有一个选项符合题目要求．） 1. 已知集合，，若，则的取值是（ ） A. 或0 B. 或0 C. 0或2 D. 或2 2. 已知复数满足（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“命题，为假命题”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是不共线的向量，且，则（    ） A. 三点共线 B. 三点共线 C. 三点共线 D. 三点共线 6. 在中，，E，F两点在AC边上运动，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 曲线（其中）在处的切线方程为，则（ ） A. 2 B. 4 C. 4或0 D. 0 8. 已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转后，得到的曲线仍是函数图象，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．每个小题有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9. 函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D. 若方程在上有2个不相等的实数根，则的取值范围是 10. 已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的解集为 B. 当时， C. 有且只有两个零点 D. 11. 已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每个小题5分，共15分．） 12. 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________. 13. 已知函数在区间内无零点，则的取值范围是______. 14. 已知函数有两个极值点，，且，则__________. 四、解答题（共5个题，共77分） 15. 已知中角所对的边分别为，满足，且 （1）求的值； （2）求的最大值. 16. 定义：设某数列的前项和为，若为常数，则称此数列为“吉祥数列”．已知等差数列的首项为1，公差不为0，且数列为“吉祥数列”；非零数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 17. 已知，． （1）当时，讨论的单调性； （2）设，若在上有极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 18. 定义：设非空数集，若，，则称是一个“乘法封闭集”；若，，则称为的一个“完美元素”.已知集合. （1）证明：是一个“乘法封闭集”； （2）若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合； （3）若是集合的一个“完美元素”，求的值. 19. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若，，求实数a的取值范围； （3）若当时，，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $