主题4 第10章 第7节 二项分布、超几何分布与正态分布（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布、超几何分布与正态分布三大核心考点，按n重伯努利试验基础、各分布定义及期望方差、实际应用的逻辑层次构建知识体系，通过考点梳理填空、易错辨析判断、典例分命题点精讲、真题分层训练的教学流程，帮助学生系统突破概率统计难点。 资料以对比辨析突破易混点，如通过“思考辨析”区分二项分布与超几何分布的适用场景，结合考试成绩、产品抽检等实例培养数据观念和模型意识，设置基础巩固与能力提升练习分层落实，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第7节　二项分布、超几何分布与正态分布 ★[课程标准] 1．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．能解决一些简单的实际问题． 2．理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用． 3．理解正态分布的特点，并能解决一些简单的实际问题． 一、n重伯努利试验 1．伯努利试验：把只包含　两个　可能结果的试验叫作伯努利试验．我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次，且每次实验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为　n重伯努利试验　. 2．n重伯努利试验的特征 (1)同一个伯努利试验重复做　n　次； (2)各次试验的结果　相互独立　. 二、二项分布 1．定义：一般地，在n重伯努利试验中，设每次成功的概率为p(0<p<1)，用X表示这n次试验中成功的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝　Cpk(1－p)n－k　，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作　X～B(n，p)　. 2．二项分布的均值与方差：如果X～B(n, p)，那么EX＝　np　，DX＝　np(1－p)　. 三、超几何分布 1．定义：一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝　　，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}．其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 公式中的k可以取的最小值为max{0，n－(N－M)}，而不一定是　0　. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布． 2．服从超几何分布的均值 一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝　　. 四、正态分布 1．定义：由误差引起的　连续　型随机变量其分布密度函数图象如图，对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝　　，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ＞0)为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称正态分布，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为　正态曲线　. 2．正态分布的特点 如果一个随机变量X服从正态分布，那么对于任何实数a，b(a＜b)，随机变量X在区间(a，b]的概率可以用　P(a＜X≤b)　来表示．它的几何意义就是随机变量X的分布密度曲线在区间(a，b]对应的　曲边梯形面积　的值(如图所示)． 如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ＞0)确定，记为　X～N(μ，σ2)　，其中EX＝　μ　，DX＝　σ2　. 3．正态曲线的性质 (1)曲线在x轴的　上　方，与x轴　不相交　. (2)曲线是　单峰　的，关于直线　x＝μ　对称． (3)曲线的最高点位于x＝　μ　处． (4)当x＜μ时，曲线　上升　；当x＞μ时，曲线　下降　；并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为　渐近线　(如图所示)． 因为正态分布完全由μ和σ确定，所以正态曲线还具有下列特点： ①当σ一定时，曲线的　位置　由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴　平移　. ②当μ一定时，曲线的　形状　由σ确定，σ越大，曲线越“　矮胖　”，表示总体的分布越　分散　；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越　集中　. 4．3σ原则 如图，正态分布随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ](σ＞0)上取值的概率为阴影部分的面积． 特别地，P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6， P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4， P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. 因此，随机变量X在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]上取值的概率分别约为68.3%，95.4%,99.7%.而随机变量X在区间(μ－3σ，μ＋3σ]外取值的概率只有0.3%，通常认为这种情况在一次试验中几乎是　不可能发生的　，认为是小概率事件．因此，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取区间(μ－3σ，μ＋3σ]之间的值，并称之为　3σ　原则． ◆[思考辨析] 判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B(10,0.6)．(　　) (2) 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数μ，σ的变化而变化的．(　　) (3)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生次数的概率分布．(　　) (4)小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰好第3次测试获得通过的概率是P＝C·1·3－1＝.(　　) (5)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，σ越大，曲线越“矮胖”．(　　) (6)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　 (5) √　(6)√ ◆[小题查验] 1．(BSD选择性必修第一册P207例1改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为(　　) A．0.33　 B．0.66 C．0.5　 D．0.45 解析：A　[设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X，则X～B(5,0,9)，所以P(X＝4)＝C×0.94×0.1≈0.33.] 2．随机变量X的概率分布密度函数f(x)＝ (x∈R)，其图象如图所示，设P(X≥2)＝p，则图中阴影部分的面积为(　　) A．p B．2p C.－p D．1－2p 解析：C　[由题意可知X～N(1，σ2)，则P(X≤0)＝P(X≥2)＝p，故图中阴影部分的面积为－p.] 3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X表示取到次品的个数，则EX＝(　　) A. B． C. D．1 解析：A　[法一：X的可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.所以EX＝1×＋2×＝； 法二：从10产品中任取一件为次品的概率是p＝，由于X服从超几何分布，故EX＝np＝2×＝.] 4．(混淆二项分布与超几何分布致误)箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为(　　) A. B．3× C.× D．C×3× 解析：B　[由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为3×.] 5．(对正态分布的性质及意义不熟悉致错)随机变量ξ服从正态分布ξ～N(μ，σ2)，若P(μ－2≤ξ≤μ)＝0.241，则P(ξ>μ＋2)＝________. 解析：∵随机变量ξ服从正态分布ξ～N(μ，σ2)， ∴P(μ－2≤ξ≤μ＋2)＝2P(μ－2≤ξ≤μ)＝0.482， ∴P(ξ>μ＋2)＝[1－P(μ－2≤ξ≤μ＋2)] ＝×(1－0.482)＝0.259. 答案：0.259 　　　二项分布及其应用 ►[命题点1]　独立重复试验与二项分布　 [典例1]　中国教育国际交流协会主办的联合国国际教育日—中国活动在京举办，活动主题为“人工智能与教育：在自动化世界中维护人类自主性”，教育部副部长、中国联合国教科文组织全国委员会主任陈杰以现场或视频致辞的方式出席活动，来自20多个国家的驻华使节、国际组织代表和专家学者在线参加活动．会前有两种会议模式可供选择，为此，组委会对两种方案进行选拔：组委会对两种方案的5项功能进行打分，每项打分获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每项功能评比中，方案一获胜的概率为(每项得分不考虑平局的情况)． (1)求打分结束后，方案一恰好领先方案二1分的概率； (2)设打分结束后方案一的得分为随机变量X，求X的分布列． [解]　(1)设打分结束后，方案一恰好领先方案二1分为事件A，由题可得方案一5项功能获胜3项，所以P(A)＝C32＝. 即所求的概率为. (2)由题意可知X～B，P(X＝0)＝5＝；P(X＝1)＝C××4＝；P(X＝2)＝C×2×3＝；P(X＝3)＝C×3×2＝；P(X＝4)＝C×4×2＝；P(X＝5)＝5＝.则随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点： (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 1．福州纸伞是历史悠久的中国传统手工艺品，属于福州三宝之一．纸伞的制作工序大致分为三步：第一步削伞架，第二步裱伞面，第三步绘花刷油．已知某工艺师在每个步骤制作合格的概率分别为，，，只有当每个步骤制作都合格才认为制作成功1次． (1)求该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率； (2)若该工艺师制作4次，其中制作成功的次数为X，求X的分布列． 解：(1)由题意可知，1次制作成功的概率为××＝， 所以该工艺师进行3次制作，恰有1次制作成功的概率P＝C××2＝. (2)由题意知X的可能取值为0,1,2,3,4，X～B， 它的分布列为P(x＝k)＝Ck4－k(k＝0,1,2,3,4)，即 X 0 1 2 3 4 P ►[命题点2]　二项分布的期望与方差　 [典例2]　为了响应全民健身和运动的号召，某单位举行了羽毛球趣味发球比赛，规则如下：每位选手可以选择在A区发球2次或者B区发球3次，球落到指定区域内才能得分．在A区发球时，每得分一次计2分，不得分记0分，在B区发球时，每得分一次计3分，不得分记0分，得分高者胜出．已知选手甲在A区和B区每次发球得分的概率分别为，. (1)如果选手甲从在A区和B区发球得分的期望值角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？ (2)如果选手甲从在A区和B区发球得分的方差角度考虑，问选手甲应该选择在哪个区发球？ 解：(1)设选手甲在A区发2次球得分的次数为X，则X～B，所以EX＝2×＝， 所以甲在A区发球得分的期望为E(2X)＝2EX＝2×＝. 设选手甲在B区发3次球得分的次数为Y， 则Y～B，所以EY＝3×＝1， 所以甲在B区发球得分的期望为E(3Y)＝3EY＝3×1＝3. 由于3＞，所以选手甲应该选择在B区发球． (2)因为DX＝2××＝，DY＝3××＝，所以D(2X)＝4DX＝4×＝，D(3Y)＝9DY＝9×＝6，由于＜6，所以选手甲应该选择在A区发球． 二项分布的期望与方差 (1)如果ξ～B(n，p)，则用公式Eξ＝np；Dξ＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aEξ＋b以及Eξ＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 2．在某独立重复实验中，事件A，B相互独立，且在一次实验中，事件A发生的概率为p，事件B发生的概率为1－p，其中p∈(0,1)．若进行n次实验，记事件A发生的次数为X，事件B发生的次数为Y，事件AB发生的次数为Z，则下列说法正确的是(　　) A．pEX＝(1－p)EY　 B．(1－p)DX＝pDY C．EZ＝DY D．(DZ)2＝DX·DY 解析：C　[因为EX＝np，EY＝n(1－p)，所以pEX≠(1－p)EY.故A错误；因为DX＝np(1－p)，DY＝n(1－p)p，(1－p)Dx≠pDY.故B错误；因为A，B独立，所以P(AB)＝p(1－p)，所以EZ＝np(1－p)＝DY.故C正确；因为DZ＝np(1－p)[1－p(1－p)]，DXDY＝n2p2(1－p)2，所以(DZ)2≠DX·DY.故D错误．] 　　　超几何分布 [典例]　幸福农场生产的某批次20件产品中含有n(3≤n≤13)件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件． (1)若n＝3，求取出的产品中次品不超过1件的概率； (2)记f(n)＝P(X＝3)，则当n为何值时，f(n)取得最大值． [解]　(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝1)． 因为P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， 所以P(A)＝＋＝.则取出的产品中次品不超过1件的概率是. (2)因为f(n)＝P(X＝3)＝， 则f(n＋1)＝. 若＝＝＞1，解得n＜， ∵n∈N＋，则n≤5， 故当3≤n≤5时，＞1； 当6≤n≤13时，＜1； 所以当n＝6时，f(n)取得最大值． 1．超几何分布的两个特点 (1)超几何分布是不放回抽样问题． (2)随机变量为抽到的某类个体的个数． 2．超几何分布的特征：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体个数X的概率分布． 3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 某品牌手机厂为了更好地提升品牌的性能，进行了问卷调查，问卷满分为100分，现从中选出具有代表性的50份调查问卷加以研究．现将这50份问卷按成绩分成如下五组：第一组[0,20)，3份；第二组[20,40)，8份；第三组[40,60)；第四组[60,80)；第五组[80,100]，4份；已知其中得分高于60分的问卷份数为20. (1)在第二组与第四组问卷中任取两份，这两份问卷成绩得分差不低于20分的概率； (2)如果在这50份调查问卷中随机取4份，其中及格份数记为随机变量X，写出X的分布列(结果只要求用组合数表示)，并求出期望EX. 解：(1)由于成绩在[80,100]的问卷为4份，又得分高于60分的问卷份数为20，故第四组有16份问卷．由于所取两份问卷分差不低于20分，故由题意知是在第二组与第四组中各取一人，故所求概率为P＝＝. (2)由题意知随机变量X取值为0,1,2,3,4. P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝， X的分布列为： X 0 1 2 3 4 PX 所以期望EX＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝. 正态分布 ►[命题点1]　正态分布的概率计算　 1．在某校的一次化学考试中，全体考生的成绩近似地服从正态分布N(80,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有32名．则参加考试的学生总数约为(　　) (参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＝0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)＝0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝0.997 3) A．202　　 B．205 C．206　　 D．208 解析：A　[因化学考试的成绩X服从正态分布N(80,100)，显然期望μ＝80，标准差σ＝＝10， 于是得P(X＞90)＝[1－P(70≤X≤90)] ＝－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.158 7， 所以参加考试的学生总数约为32÷0.158 7≈202.] 2．(多选)(2024·新课标Ⅰ卷)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)．假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(u，σ2)，则P(Z<u＋σ)≈0.841 3)(　　) A．P(X>2)>0.2　 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 解析：BC　[由题意得X～N(1.8,0.12)，Y～N(2.1,0.12)， 故P(X＞2)＜P(X＞μ＋σ)＝1－P(X＜μ＋σ)＜0.2，故B正确，A错误； P(Y＞2)＞P(Y＞2.1)＝0.5， P(2＜Y＜2.1)＝P(2.1＜Y＜2.2)＝0.841 3－0.5＝0.341 3， P(Y＞2)＝P(2＜Y＜2.1)＋P(Y≥2.1) ＝0.341 3＋0.5＝0.841 3＞0.8，故C正确，D错误．] 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 6, 0.954 4,0.997 4求解． ►[命题点2]　正态分布的实际应用　 [典例]　为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下： 成绩(分) [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 2 4 22 40 28 4 (1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)； (2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2，若μ－σ＜X≤μ＋2σ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若X＞μ＋2σ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”． ①若该社区有3 000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果保留整数)； ②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 6，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 4，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 4. [解]　(1)100名居民本次竞赛成绩平均分＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75,100名居民本次竞赛成绩方差s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100. (2)①由于μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2，所以，μ＝75，σ2＝100，可知，σ＝＝10，由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，因此竞赛居民可获得“参赛纪念证书”的概率P(μ－σ＜X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈×0.682 6＋×0.954 4＝0.818 5,3 000×0.818 5＝2 455.5≈2 456，估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2 456；②当X＞μ＋2σ时，即X＞95时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先锋证书”． (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个． (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)． 老张每天17：00下班回家，通常步行5分钟后乘坐公交车再步行到家，公交车有A，B两条线路可以选择．乘坐线路A所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(44,22)，下车后步行到家要5分钟；乘坐线路B所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(33,42)，下车后步行到家要12分钟. 下列说法从统计角度认为不合理的是________． 参考数据：若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)≈0.682 7， P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ＜Z＜μ＋3σ)≈0.997 3. ①若乘坐线路B,18：00前一定能到家； ②乘坐线路A比乘坐线路B在17：58前到家的可能性更大； ③乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家的可能性更大； ④若乘坐线路A，则在17：48前到家的可能性不超过1%. 解析：对于①，因为P(B＞45)＝[1－P(21≤Z≤45)]＝×(1－0.997 3)＝0.001 35， 即乘坐线路18：02能到家的概率为0.001 35， 所以乘坐线路B,18：00前不一定能到家，所以①错误； 对于②，乘坐线路A在17：58前到家的概率为 P(A＜48)＝[1－P(40≤Z≤48)]＋P(40≤Z≤48)≈×(1－0.954 5)＋0.954 5＝0.977 25， 乘坐线路B在17：58前到家的概率为P(B＜41)＝[1－P(25≤Z≤41)]＋P(25≤Z≤41) ≈×(1－0.954 5)＋0.954 5＝0.977 25， 所以乘坐线路A和乘坐线路B在17：58前到家的可能性一样，所以②错误； 对于③，乘坐线路A在17：54前到家的概率为P(A＜44)＝， 乘坐线路B在17：54前到家的概率为P(B＜37)＝[1－P(29≤Z≤37)]＋P(29≤Z≤37)≈×(1－0.682 7)＋0.682 7＝0.841 35＞， 所以乘坐线路B比乘坐线路A在17：54前到家的可能性更大，故③正确； 对于④，乘坐线路A，则在17：48前到家的概率为P(A＜38)＝[1－P(38≤Z≤50)]≈×(1－0.997 3)＝0.001 35＜0.01，所以④正确． 答案：①② 学科网（北京）股份有限公司 $