第10章 10.6 二项分布、超几何分布与正态分布（配套教参Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦二项分布、超几何分布与正态分布三大核心考点，依据考试要求构建“概念定义-性质公式-实际应用”的知识体系，通过考点梳理（如伯努利试验条件、3σ原则）、方法指导（分布类型判断、概率计算步骤）、真题训练（世界杯点球、共享电动车等实例）的教学流程，帮助学生系统突破概率模型应用难点。 讲义以真实情境案例驱动教学，如用点球大战分析二项分布期望、借共享电动车问题探究超几何分布，培养学生用数学眼光观察现实问题的能力。设置基础判断、综合应用、分层练习三级训练，结合正态曲线对称性等解题策略，助力学生高效掌握概率计算逻辑，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布 ★[考试要求] 1．理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题． 2．借助正态分布曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用． 1．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验 　只包含两个可能结果　的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为　n重伯努利试验　. (2)二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0＜p＜1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝　Cpk(1－p)n－k　，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作　X～B(n，p)　. 2．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝　p　，D(X)＝　p(1－p)　. (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝　np　，D(X)＝　np(1－p)　. 3．超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝　　，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 4．正态分布 (1)定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中，μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从　正态分布　，记为X～N(μ，σ2)． (2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线　x＝μ　对称． ②曲线在　x＝μ　处达到峰值. ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． (3)3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. (4)正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝　μ　，D(X)＝　σ2　. 1．二项分布当n＝1时就是两点分布． 2．若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线关于直线x＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题． 3．利用n重伯努利试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三个条件． (1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p； (2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的； (3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率． 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．(√) (2)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(√) (3)n重伯努利试验中各次试验的结果必须相互独立．(√) (4)正态分布是对于连续型随机变量而言的．(√) 2．已知随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2)，若P(ξ<4)＝0.9，则P(－2<ξ<1)＝(　　) A．0.2　 B．0.3 C．0.4　 D．0.6 解析：C　[由题意可知μ＝1，正态曲线关于直线x＝1对称，P(ξ≥4)＝1－P(ξ<4)＝0.1，根据对称性可知，P(ξ≤－2)＝P(ξ≥4)＝0.1，故P(－2<ξ<1)＝0.5－P(ξ≤－2)＝0.5－0.1＝0.4.] 3．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：C　[如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝＝.] 4．甲、乙两位选手进行乒乓球比赛，5局3胜制，每局甲赢的概率是，乙赢的概率是，则甲以3∶1获胜的概率是______． 解析：甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负，第4局比赛甲胜，∴甲以3∶1获胜的概率是P＝C×2××＝. 答案： 　　　二项分布 [例1]　世界杯足球赛淘汰赛阶段的比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负(踢成平局)，将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下： ①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜； ②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比为2∶0，则不需踢第5轮了； ③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜． 现有甲、乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟(含加时赛)仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为.每轮点球结果互不影响． (1)设甲队踢了5球，X为射进点球的个数，求X的分布列与期望； (2)若每轮点球都由甲队先踢，求乙队在第4轮点球结束时以4∶2胜出的概率． [解]　(1)由题意知，X～B，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. P(X＝0)＝5＝，P(X＝1)＝C×5＝，P(X＝2)＝C×5＝＝，P(X＝3)＝C×5＝＝，P(X＝4)＝C×5＝，P(X＝5)＝5＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P E(X)＝5×＝. (2)设“乙队在第4轮点球结束时以4∶2胜出”为事件A，由题意知，乙射进4次，甲前4次射进2次，P(A)＝C×4×4＝， 即乙队在第4轮点球结束时以4∶2胜出的概率为. 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同． (2)各次试验中的事件是相互独立的． (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生． 提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试验可视为n重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布． 某区在高中阶段举行的物理实验技能操作竞赛分基本操作与技能操作两步进行，第一步基本操作：每位参赛选手从A类7道题中任选4题进行操作，操作完后正确操作超过两题的(否则终止比赛)，才能进行第二步技能操作：从B类5道题中任选3题进行操作，直至操作完为止．A类题操作正确得10分，B类题操作正确得20分．以两步总分和决定优胜者．总分80分或90分为二等奖，100分为一等奖．某校选手李明A类7题中有5题会操作，B类5题中每题正确操作的概率均为，且各题操作互不影响． (1)求李明被终止比赛的概率； (2)现已知李明A类题全部操作正确，求李明B类题操作完后得分的分布列及期望； (3)求李明获二等奖的概率． 解：(1)设“李明被终止比赛”事件为M，表示选的4题均会操作或3题会操作，故李明被终止比赛的概率P(M)＝1－P()＝1－＝. (2)设李明在竞赛中，A类题全部操作正确后得分为X，则X的取值为40,60,80,100，且B类题正确操作题数n～B，可得P(X＝40)＝C×0×3＝；P(X＝60)＝C×1×2＝；P(X＝80)＝C×2×1＝；P(X＝100)＝C×3×0＝. 所求X的分布列 X 40 60 80 100 P E(X)＝40×＋60×＋80×＋100×＝80. (3)设李明获二等奖的事件为N，事件N即A类题全部操作正确，B类题正确操作2题或A类题操作正确3题，B类题全部正确操作，所以李明获二等奖的概率为P(N)＝×C×2×＋×C×3＝. 　　　超几何分布 [例2]　袋中有8个除颜色外完全相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球． (1)若从袋中一次性取出两个小球，即取到的红球个数为X，求X的分布列和数学期望； (2)若从袋中不放回的取3次，每次取一个小球，取到黑球记0分，取到白球记2分，取到红球记4分，在最终得分为8分的条件下，恰取到一个红球的概率． [解]　(1)由题意得X的可能取值为：0,1,2， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1； (2)设事件A＝“最后得分为8分”，事件B＝“恰取到一个红球”． 由题意，最后得分为8分有两种情况：摸出2个白球、1个红球或1个黑球、2个红球， 所以P(A)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(B|A)＝＝＝. (1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是： ①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布． (2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型． 共享电动车(sharedev)是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享．某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为P＝0.4.若从这些共享电动车中任取3辆． (1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率； (2)求取出的3辆共享电动车中橙色电动车的辆数X的分布列与数学期望． 解：(1)因为从10辆共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆． 记事件A为“取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色”，则P(A)＝＝. (2)X的所有可能取值为0,1,2,3， 所以P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 　　　正态分布 [例3]　(1)某商场经营的某种包装的大米质量ξ(单位：kg)服从正态分布N(10，σ2)，根据检测结果可知P(9.9≤ξ≤10.1)＝0.96，某公司为每位职工购买一袋这种包装的大米作为福利，若该公司有1 000名职工，则分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为(　　) A．10　　 B．20 C．30　　 D．40 [解析]　由已知得P(ξ<9.9)＝＝＝0.02，所以分发到的大米质量在9.9 kg以下的职工数大约为1000×0.02＝20.] [答案]　B (2)[多选](2024·新课标全国Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值＝2.1，样本方差s2＝0.01，已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12)．假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z<μ＋σ)≈0.841 3)＝(　　) A．P(X>2)>0.2 B．P(X>2)<0.5 C．P(Y>2)>0.5 D．P(Y>2)<0.8 [解析]　依题可知，＝2.1，s2＝0.01，所以Y～N(2.1，0.1)， 故P(Y＞2)＝P(Y＞2.1－0.1)＝P(Y＜2.1＋0.1)≈0.841 3＞0.5，C正确，D错误； 因为X～N(1.8,0.1)，所以P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)， 因为P(X＜1.8＋0.1)≈0.841 3，所以P(X＞1.8＋0.1)≈1－0.841 3＝0.158 7＜0.2， 而P(X＞2)＝P(X＞1.8＋2×0.1)＜P(X＞1.8＋0.1)＜0.2，B正确，A错误． [答案]　BC 正态分布下的概率计算常见的有两类 (1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称及曲线与x轴之间的面积为1. (2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. 1．(2025·天津卷)已知r为相关系数，则下列说法中错误的是(　　) A．若X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ－σ)＝P(x≥μ＋σ) B．若X～N(1,22)，Y～N(2,22)，则P(X＜1)＜P(Y＜2) C．|γ|越接近1，相关性越强 D．|γ|越接近0，相关性越弱 解析：B　[本题考查正态分布曲线下面积，线性相关系数r的性质．A中，X～N(μ，σ2)，根据正态分布曲线的对称性可知P(X≤μ－σ)＝P(X≥μ＋σ)，故A正确；C、D中，由相关系数r的性质，当|r|越趋于1，线性相关性就越强，|r|越接近0，线性相关性就越弱，故C、D都正确．B中，X～N(1,22)，Y～N(2,22)，P(X＜1)＝P(Y＜2)，故B错误．] 2．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差εn～N，为使误差εn在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954 4，至少要测量________次．(若X～N(μ，σ)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.954 4) 解析：P(|εn－μ|<2σ)＝0.954 4， 又μ＝0，σ2＝， 即P(μ－2σ<εn<μ＋2σ) ＝P＝0.954 4， 由题意知2≤，所以n≥32. 答案：32 学科网（北京）股份有限公司 $