精品解析：河南平顶山市第四十四中学2026-2027学年八年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期学业水平测试（一） 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，3，2 D. 7，24，25 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列算式中，运算错误的是 A. B. C. D. 4. 若，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A. B. 2 C. D. 6. 如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A. 20 B. 4 C. 10 D. 2 9. 若点在轴上，则点所在象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 中，三边分别是，，，斜边，则的值为___． 12. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ____________． 13. 如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为______． 14. 已知，则的平方根是______． 15. 如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 三、解答题（共75分） 16. 计算题 （1） （2） （3） （4） 17. 把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①；②；③0；④8；⑤；⑥；⑦；⑧（每两个5之间依次增加1个2） （1）正数集合：{　 　……}； （2）负分数集合：{　 　……}； （3）整数集合：{　 　……}； （4）无理数集合：{　 　……}． 18. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设表示的数为． （1）求的立方根； （2）求的值． 19. 中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． （1）求草坪拐角的度数． （2）小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）写出顶点的坐标：A（ ），B（ ），C（ ） （2）画出关于轴对称的图形 （3）已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标 21. 如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上点． （1）试说明：． （2）若，，求线段的长． 22. 观察下列化简过程，解答后面的问题： ， ，，…… （1）化简：______（直接写结果） （2）计算下列式子： （3）数学课上老师出了一道题“已知，求的值”，聪明的小明给出了这样的解答： ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 根据小明的做法解答：若，求的值． 23. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点P的运动时间为t秒． （1） ______． （2）点P在边上运动时，①的长是______（用含t的代数式表示）． ②若点P在的角平分线上，求t的值． （3）当点P在边上时，直接写出是以AB为腰的等腰三角形时t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期学业水平测试（一） 八年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下面各组数中，是勾股数的是（ ） A. 9，16，25 B. 0.3，0.4，0.5 C. 1，3，2 D. 7，24，25 【答案】D 【解析】 【分析】满足的三个正整数，称为勾股数，据此依次判断即可． 【详解】A．，∴不是勾股数，不符合题意； B．∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意； C．，∴不是勾股数，不符合题意； D．，∴是勾股数，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键． 2. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数是小数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3. 下列算式中，运算错误的是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】掌握二次根式相关运算法则：（1）二次根式的性质：即；（2）二次根式乘法：()；（3）二次根式除法：()；（4）二次根式加减：仅同类二次根式(被开方数相同)可合并． 【详解】解：，选项A运算正确； 根据二次根式乘法法则，，选项B运算正确； 根据二次根式除法法则，，选项C运算正确； 和的被开方数分别为7和3，二者不相同，不是同类二次根式，不能直接合并，选项D运算错误． 4. 若，那么的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出与相邻的两个完全平方数，结合确定的取值范围． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， ∴． 5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由数轴可得，则，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 6. 如图，P是等边三角形内的一点，且，，，以为边在外作，连接，则以下结论中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据△ABC是等边三角形，得出∠ABC=60°，根据△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判断A；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ是等边三角形，△PCQ是直角三角形即可判断D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判断C． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60°， ∵△BQC≌△BPA， ∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4， PA=QC=3，∠BPA=∠BQC， ∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°， 所以A正确，不符合题意； PQ=PB=4， PQ2+QC2=42+32=25， PC2=52=25， ∴PQ2+QC2=PC2， ∴∠PQC=90°， 所以B正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°， ∴△BPQ是等边三角形， ∴∠BPQ=60°， ∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°， 所以D正确，不符合题意； ∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC， ∵PC=5，QC=PA=3, ∴PC≠2QC， ∵∠PQC=90°， ∴∠QPC≠30°， ∴∠APC≠120°． 所以C不正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是综合应用以上知识． 7. 《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 8. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　） A. 20 B. 4 C. 10 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作关于的对称点， 过作交的延长线于， 则四边形是矩形， ，， 连接，则即为最短距离， 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， ，， 在中，． 故选：B． 【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 9. 若点在轴上，则点所在象限是（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点在轴上得到点的坐标，进而得到点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴，解得， ∴，点的坐标为， ∴点在第三象限． 10. 如图，将一张边长为的正方形纸片折叠，使点落在的中点处，点落在点处，折痕为，则线段长的平方为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，正方形的性质，勾股定理，找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键．连接，作交于点，根据折叠的性质，在中，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出的长．在中，有，在中，有，根据这两个式子可求得，得到，，在中，运用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，作交于点， 由四边形是正方形及折叠性知， ，，，， 在中，， ∵，为的中点， ∴， ∴， 解得， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， 在中， ， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 中，三边分别是，，，斜边，则的值为___． 【答案】18 【解析】 【分析】先由勾股定理求得=9，然后求得的值． 【详解】解：为直角三角形，斜边， ， ． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了勾股定理，解题的关键是熟知直角三角形三边的关系． 12. 代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ____________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数． 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解． 【详解】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：且． 故答案为：且． 13. 如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解题的关键是求出的长． 根据勾股定理和，，，可以先求出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积． 【详解】解：，，， ， ∴， 是直角三角形，， 阴影 ． 故答案为：． 14. 已知，则的平方根是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方和算术平方根的非负性，两个非负数和为0时每个非负数均为0，求出，的值后，再计算的平方根． 【详解】解：对根号内的式子因式分解，原式可化为 ， ∵ 任意数的平方都是非负数， ， ∵ 算术平方根本身是非负数， ， ∵ 两个非负数的和等于， ∴ 每个非负数都等于， ， 解得 ， ， 解得 ， 计算得 ， ∴ 的平方根是． 15. 如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 【答案】5或20 【解析】 【分析】根据折叠的性质可知，，设对称轴l与，的交点分别为点E，F，则，，分两种情况讨论：当点P在线段上时，点落在l上或当点P在线段的延长线上时，点落在l上，画出图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， 设对称轴l与，的交点分别为点E，F， 则，， 分两种情况讨论： 当点P在线段上时，点落在l上，如图①， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， 即： 解得，及 当点P在线段的延长线上时，点落在l上，如解图②， 在中，， 则， 设，则，， 在中，， 解得，及， 综上所述，的长为5和20． 三、解答题（共75分） 16. 计算题 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 【小问4详解】 解： 17. 把下列各数的序号填在相应的大括号内： ①；②；③0；④8；⑤；⑥；⑦；⑧（每两个5之间依次增加1个2） （1）正数集合：{　 　……}； （2）负分数集合：{　 　……}； （3）整数集合：{　 　……}； （4）无理数集合：{　 　……}． 【答案】（1）④⑥⑦ （2）①②⑤ （3）③④ （4）⑥⑧ 【解析】 【分析】（1）根据正数是比0大的数进行分类即可； （2）负分数是指是负数中的分数进行分类即可； （3）根据整数包括正整数、0、负整数进行分类即可； （4）根据无理数三大特征：含有π、无限不循环、开不尽方进行分类即可． 【小问1详解】 正数集合：{④⑥⑦……}； 【小问2详解】 负分数集合：{①②⑤……}； 【小问3详解】 整数集合：{③④……}； 【小问4详解】 无理数集合：{⑥⑧……}． 【点睛】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握相关概念是解题关键． 18. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬行2个单位长度到达点，点表示的数为，设表示的数为． （1）求的立方根； （2）求的值． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，立方根，实数的运算． （1）根据数轴上两点间距离公式求出的值，再计算出，利用立方根的定义即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：点表示的数为， ， ， 的立方根为； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴ ． 19. 中秋假日，小明带着自己的小狗来到湿地公园玩耍．公园内有一块四边形草坪ABCD，草坪内有一条小路AC．经测量，，，，，． （1）求草坪拐角的度数． （2）小明来到草坪站在点B处，小狗从点A开始以的速度沿A—C的方向奔跑，跑到C点时停止奔跑，则小狗跑多少秒时与小明的距离最近？ 【答案】（1） （2）小狗跑8秒时与小明的距离最近 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出的长，证明，可得； （2）设小狗的位置为点E，由垂线段最短可知当时，有最小值，由等面积法求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，即； 【小问2详解】 解：设小狗的位置为点E， 由垂线段最短可知当时，有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴， ， 答：小狗跑8秒时与小明的距离最近． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上． （1）写出顶点的坐标：A（ ），B（ ），C（ ） （2）画出关于轴对称的图形 （3）已知为轴上一点，若与的面积相等，请直接写出点的坐标 【答案】（1） 解：根据题意可得； （2） 解：如图所示：根据题意可得：，顺次连接点即可求得； （3）或 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，三角形面积相等知识点，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据题意写出三点坐标即可； （2）分别作出的对应点，顺次连接点，继而即可求解； （3）设点，构建方程即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设点， ， 由题意可得：，即， 解得：或， ∴点的坐标为或． 21. 如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上点． （1）试说明：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 和都是等腰三角形， ，， 在和中， ， ， 即． （2） 【解析】 【分析】（1）由于与都是等腰直角三角形，，，，，于是，根据等式性质可得，利用可证，利用全等三角形的对应边相等即可解答； （2）根据，于是，，易求，再利用勾股定理可求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ∴在中，， ， （负值已舍去）． 22. 观察下列化简过程，解答后面的问题： ， ，，…… （1）化简：______（直接写结果） （2）计算下列式子： （3）数学课上老师出了一道题“已知，求的值”，聪明的小明给出了这样的解答： ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 根据小明的做法解答：若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式，分母的有理化因式为； （2）根据题干的规律得出，对括号内每一项分母有理化，再合并括号内的项，最后利用平方差公式计算即可得出结果； （3）先求出，再求出，最后整体代入计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ，， …… ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ． 23. 如图，在中，，，，点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点P的运动时间为t秒． （1） ______． （2）点P在边上运动时，①的长是______（用含t的代数式表示）． ②若点P在的角平分线上，求t的值． （3）当点P在边上时，直接写出是以AB为腰的等腰三角形时t的值． 【答案】（1）4 （2）， （3）1或 【解析】 【分析】（1）直接运用勾股定理求解即可； （2）①先求出的周长，再结合图形列代数式即可；②如图：点P在的角平分线上，过P作于D，易得、，利用角平分线的性质可得，再证明可得，即，最后在中运用勾股定理列方程求得t并判断其是否符合题意即可； （3）分和两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴． 【小问2详解】 解：①∵在中， ，，， ∴的周长为12， ∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动， ∴如图：点P在边上运动时． ②如图：点P在的角平分线上，过P作于D， 由①知：，则， ∵点P从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，，，，的周长为12， ∴， ∵点P在的角平分线上，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，解得：（符合题意）． 【小问3详解】 解：如图：当时，则， ∴； 如图：当时，过点B作于点D， ∵在中， ，，， ∴，即，解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 综上，当点P在边上时，是以AB为腰的等腰三角形时t的值为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $